平均场对策在金融工程和经济分析中的应用

它以时间t时家庭的财富nhtof表示。我们使用大写字母表示每个变量kht、MH和nht的总量（即经验平均值）。换句话说：（5.3）Kt=ZIhkhtλ（dh），Mt=ZIhmhtλ（dh），Nt=ZIhnhtλ（dh）。我们将发现，在平衡状态下，（ιht）t≥0独立于住户，并适应常见噪音的过滤（如果ιhtt仅取决于时间t的总量，则为这种情况），这意味着所有住户在实物资本策略上使用相同的投资，我们可以将（5.1）与h进行整合，并发现（5.4）dkt=（φ（ιt）- δ） dt+σdwt是一个仅受公共噪声驱动的随机微分方程。由于大数定律的连续形式，这种特殊的冲击消失了。例如，参见[21，第3.7节]。我们使用符号“ι”来区分这一集合的资本回报和单个家庭的ιht。我们还引入了两个常数：q表示一单位实物资本的价格（因此，总实物资本的实际价值为qKt），p表示货币的实际价值，按经济规模标准化，以Kt衡量（因此，Pk是总货币供应量的实际价值）。这些可能是It过程，比如（qt）t≥0和（pt）t≥0受常见噪声W的驱动，但为了简单起见，我们将在本演示中假设它们为确定性常数。考虑到常数q和p的定义，经济体中的总财富为（5.5）Nt=（p+q）Kt，QKT代表实物资本的价值，PKT代表名义资本的价值。我们用θ表示名义财富的分数：（5.6）θ=pp+q。经济中的货币数量由中央银行外部控制。

我们假设货币供应量遵循以下随机微分方程（5.7）dMtMt=uMdt+σmdwt，由公共噪声驱动。金融工程与经济学25个人家庭优化问题。我们首先推导了驱动普通家庭财富动态的随机微分方程，然后利用Pontryagin随机最大原理解决了消费预期效用的优化问题。nhtof家庭h在t时的财富变化是三个贡献的总和。我们有：（5.8）dnht=θhtnhtdrMt+（1）- θht）nhtdrh，Kt（ιht）- 其中RMT表示货币回报率，rh，Kt（ιht）表示资本回报率。如果θhtnht是家庭持有的货币数量，如果我们用pmt表示一个货币单位的价值，即（5.9）pmt=pKtMt，那么这个投资的回报率是rmt=dpmtpmt=d（Kt/Mt）Kt/mts，因为我们假设p是一个常数。使用（5.4）和（5.7）的公式，我们得到：（5.10）drMt=hφ（ιt）- δ - [微米- σM（σM）- σ） ]idt+（σ- σM）dWt。我们现在确定了资本回报率rh，Kt（ιht）的时间演化。它有三个组成部分：实物资本投资的回报、家庭资本qkht的回报和铸币税。铸币税是按资本比例转移给货币持有者的货币金额。考虑到一个货币单位价值的定义（5.9），我们很容易理解铸币税在一段时间内的变化[t，t+t] 。它由以下公式给出：Tht+T-Tht=pmt+t（Mt）+T-Mt）=pmt（Mt）+T-Mt）+（pmt+T-pmt）。（Mt）+T-Mt）。所以在连续的时间里。

在达到极限后t&0:dTt=pmtdMt+d[pm，M]t=pKth[uM+（σ）- σM）σM]dt+σMdWti。（5.11）因此：drh，Kt（ιht）=a- ιhtqdt+dqkhtqkht+dTtqKt=ha- ιhtq+φ（ιht）- δ+pq[uM+（σ- σM）σM]idt+（σ+pqσM）dWt+σdWht。（5.12）26 REN'ECarmona将（5.8），（5.10）和（5.12）相加，我们得到：dnht=θhtnhtdrMt+（1- θht）nhtdrh，Kt（ιht）- chtdt=θhtnhthφ（ιt）- δ - [uM+（σ- σM）σM]idt+θhtnht（σ- σM）dWt+（1）- θht）nhtha- ιhtq+φ（ιht）- δ+pq[uM+（σ- σM）σM]idt+（1- θht）nht（σ+pqσM）dWt+（1）- θht）nhtσdWht- chtdt=nhthθhtφ（ιt）- δ+ (1 - θht）A.- ιhtq+φ（ιht）- δ+ [uM+（σ- σM）σM]pq- θhtp+qq我- 红隧dt+nhtσ+pq- θhtp+qqσMdWt+（1）- θht）nhtσdWht（5.13）一般家庭优化问题的哈密顿量为：H（t，n，y，z，z，ι，θ，c）=nhθφ（ιt）- δ+ (1 - θ)A.- ιq+φ（ι）- δ+ [uM+（σ- σM）σM]pq- θp+qq我- Cy+nσ+pq- θp+qqσMz+（1）- θ） nσz- E-ρtu（c）（5.14）如果我们对伴随变量（有时称为共态）使用符号y，zand z。Pontryagin极大值原理的必要部分建议最小化关于控制变量ι、θ和c的哈密顿量- θ) ≥ 0，我们可以隔离ι并最小化（a）- ι） /q+φ（ι），给出托宾的q方程：-q+φ（ι）=0<=> ι = (φ)-1.Q,在[15]中使用的函数φ（ι）=（1/κ）log（1+κι）的情况下，我们得到：（5.15）κ^ιt=q- 1.请注意，最佳^ι是一个独立于t的常数。一般来说，如果q是一个适合于公共噪声过滤的参数，则^ι也是。但在这一阶段要记住的事实是，所有家庭的最佳选择都是一样的。

所以从现在开始ιt=^t=κ-1（q）- 1).期待θ∈ [0,1]，最小化θ上的哈密顿量可能导致θH=0，即nyha- ιq+p+qq[uM+（σ）- σM）σM]i+nzp+qqσM+nσz=0。出于显而易见的原因，我们将伴随变量z和zin写成z=-yζ和z=-yζ，因此我们可以重写一阶条件θH=0，平衡态为：（5.16）a- ιq+p+qq[uM+（σ）- σM）σM]=p+qqσMζ+σζ。金融工程与经济学27该方程不直接确定θt的最佳值。它有时被称为定价方程，因为它也可以从提供定价解释的优化问题的HJB方程中导出。最后，由于我们将自己限制为y<0，我们可以将三阶一阶条件（FOC）写成：cH=0<=> -Y- E-ρtu（c）=0<=> c=（u）-1.-eρty因此，在对数效用的情况下，最优消耗率应该是过程（^ct）t≥0由^cht给出=-E-ρtyht其中伴随过程（yt）t≥0是伴随方程解的第一部分，即倒向随机微分方程（BSDE）方程：（5.17）dyht=-nH（t，nht，yht，z0，ht，zht，^ιt，^θt，^ct）dt+z0，htdWt+zhtdWht。计算nH从（5.14）和（5.16）中得出：nH=yφ(ι) - δ - [uM+σM（σ- σM）]- (σ- σM）ζ= yrht（5.18）如果我们通过以下方式定义单个家庭的实际利益：（5.19）rht=φ（ι）- δ - [uM+σM（σ- σM）]- (σ- σM）ζ0，ht。因此，伴随倒向随机微分方程（BSDE）读数为（5.20）dyhtyht=-rhtdt- ζ0，hdWt- ζhtdWht，因此，RHTA是一个单独的家庭短期利率，YHTA是一个单独的随机贴现因子。

使用它的公式（5.8）和（5.20），以及哈密顿量的定义（5.14），我们得到：d（yhtnht）yhtnht=-chtnhtdt+σ+pq- θhtp+qqσM- ζ0，ht+(1 - θht）σ- ζ-ht,所以如果我们选择：（5.21）ζ0，ht=σ+pq- θhtp+qqσMandζht=σ（1）- θt），我们有yhtnht=-E-ρt/ρ，因此：（5.22）^cht=ρnht。注：当使用对数效用时，预期最优消费率与财富成正比。将ζ0、hT和ζhT的表达式（5.21）插入定价方程（5.16），我们发现：- ιq+p+qq[uM+（σ）-σM）σM]=p+qqσMσ+pq-θhtp+qqσM+σ(1-θt），由此我们导出（5.23）1- θht=a-ιq+p+qquMp+qq（σM）+σ.28勒内卡莫纳使用（5.6）中定义的名义财富分数，得出：（5.24）1- θht=a-ιq（1）- θ）+uM（σM）+σ（1）- θ)(1 - θ).因此，不仅所有家庭的最优投资组合是相同的，而且我们还了解到它是一个常数。此外：ζ0，ht=σ- σM+σM1- θht1- θ= σ- σM+σMa-ιq（1）- θ）+uM（σM）+σ（1）- θ），并将ζ0，hT的值插入公式（5.19）中，我们得到：（5.25）rht=φ（ι）-δ-[uM+σM（σ-σM）]-(σ-σM）σ-σM+σMa-ιq（1）- θ）+uM（σM）+σ（1）- θ),这表明，事实上，所有家庭的个人利率都是相同的常数。清理条件。如果总产量等于投资和消费的总和，商品市场就会清空。所以总消耗Ct=Rchtλ（dh）应该等于（a-ιt）kT代表总产量，ιtkT代表总资本再投资。

如果我们记得我们使用的是对数效用，我们看到最优消费与财富成正比，所以：Ct=Zchtλ（dh）=ρZnhtλ（dh）=ρNt=ρ（p+q）kt，因此清算条件等于ρ（p+q）=a- ιt给出（5.26）个- ^ιq=ρ1- θ.如果总资本需求等于资本供应Kt，资本市场就会清零，换句话说，如果：1- θtNtq=kT，利用Nt=（p+q）kT这一事实，我们得到：（5.27）1-^θt=qp+q=1- θ.货币市场根据瓦尔拉斯法进行清算。利用清除条件（5.26）和^ιt（5.15）的最佳值，我们得到：q=（1）- θ）1+κa1- θ+κρ，我们从中得出：^ι=（1）- θa- ρ1 - θ+κρ，p=θ1- κa1- θ + κρ.最后，将（5.27）和（5.26）注入定价方程（5.16），我们得到：1- θ=rρ+uM- （σM）σ。金融工程与经济学29表明，一个平稳的（指过程）t≥0和（qt）t≥如果（5.28）ρ+uM，一般平衡是可能的- （σM）>0和σ>qρ+uM- （σM）。所有这些都和普通的野战有关吗？由于一个家庭的状态变量是其财富nht，如果这个一般均衡可以被重塑为平均场博弈，那么人们应该预期的典型交互作用应该是总财富Nt。因此，在存在共同噪声的情况下，我们应该计算财富的条件分布流量，并对共同噪声进行过滤，寻找这个家庭的最佳响应。换句话说，考虑到（Nt）t的知识≥这是一个适应过滤的惊人过程，每个家庭都应该在物质资本（t）方面获得最佳投资率≥0，最优投资组合（^θt）t≥0和最佳消耗率（^ct）t≥0，以最大化其长期贴现预期消费效用（5.2）。

这正是在处理个体家庭优化问题一节中所做的。MFG范式的下一步是固定点步骤，根据该步骤，人们试图确定条件分布流，其endsup是优化问题解决方案的条件分布流，支持搜索最佳响应。在典型的宏观经济一般均衡问题中，假设总量已知，则进行个别优化。如果可以将聚集解释为某些状态变量的代表，那么对聚集进行筛选就等于对这些状态变量的分布进行筛选。在本例中，假设（Nt）t的知识≥0与假设（Kt）t的知识相同吗≥正如我们所看到的，Nt=ρ（p+q）Kt，这反过来又证明了对过程（ιt）t的了解≥0表示实物资本的总投资率。这是在个体家庭状态的动态（5.13）中明确出现的平均场相互作用。由于托宾q方程（5.15）给出的个体家庭最优资本投资率是恒定的，固定点步骤的一个必要条件是“t=t”。再加上优化的必要条件（我们从庞特里亚金随机最大值原理得出）和资本市场清算条件，这个定点步骤导致在条件（5.28）下的平衡溶液。因为我们选择把自己局限于寻找一个平稳的一般平衡，在这个平衡中，过程（pt）t≥0和（qt）t≥0是由实数p和q给出的确定性和常数，平衡点的大多数特征的确定性本质是反气候的，而在平均场博弈中搜索纳什平衡点的解的重新表述是相当人为的。

我们之所以选择提出这个模型，是因为存在特殊和常见的电击。我们请感兴趣的读者参考[14,15]，了解更具财务意义的扩展。下一个例子将更加说明与平均场游戏范式的深层联系。虽然它不涉及独特的符号冲击，但它涉及两个群体，这将为我们提供一个机会来强调平均场博弈模型重新制定的可能好处。5.2. 经济有两种类型的代理人。我们对[15]中讨论的模型进行了分析。我们考虑的是一个由家庭和专家组成的经济体。我们用Ih（分别）表示家庭（分别专家）的空间。通常，我们选择Ih=Ie=[0，1]，我们假设它配备了Borelσ场。我们将分别使用连续概率测度λ和λ。30勒内·卡莫纳同样，出于实际目的，将前一个模型开始讨论时备注5.1的内容进行模化，我们可以认为它们都等于[0,1]上的勒贝斯盖度量。在这种经济中，家庭消费并借钱给专家。另一方面，专家从家庭借钱，投资于单一商品的生产，然后消费。每个代理的目标是最大化其长期预期效用。在该模型中，所有代理都使用对数效用函数u（c）=log c。因此，如果我们分别用十六进制和十六进制表示专家e和家庭h在t时的消费，优化问题是：sup（cit）t≥0EhZ∞E-ρtlog citdi，i=e，h，其中ρ>0是两类代理共同的贴现因子。为了与本章所做的计算保持一致，我们实际上应尽量减少上述预期消费效用的负面影响。个体家庭优化问题。

如果我们用NHT表示时间t时家庭h的财富，我们有：（5.29）dnht=rtnhtdt- 在这里，过程（rt）t≥0代表所有代理的共同利率。这是一个内生决定的突变过程。一般家庭优化问题的哈密顿量为：H（t，n，ξ，c）=（rtn- c） ξ- E-ρtu（c）如果我们对伴随变量（有时称为共态）使用符号ξ，则我们应将其限制为负值。Pontryagin极大值原理的必要部分建议最小化关于控制变量c的哈密顿量。这给出了一阶条件（FOC）：cH=0<=> -ξ - E-ρtu（c）=0<=> c=（u）-1.-eρtξ因此，在对数效用的情况下，最优消耗率由^ct=-E-ρtξt这里是伴随函数t7→ ξt解伴随方程：dξt=-nHdt=-rtξtdt。微分积规则给出：d（ξtnht）=chtξtdt=-E-ρt乘以ξtnht=-E-ρt/ρ，因此：（5.30）^cht=ρnht。如前一个例子所述，最优消费率与财富成正比（且与利率无关）是对数效用函数的一个众所周知的性质。金融工程与经济31个人专家优化问题。如果在时间t，我们用专家的净财富e表示，用θt表示投资于债券的自我价值比例（即从家庭借款，所以θet≤ 0）通过实物资本投资，我们得到：（5.31）dnet=θetnetrtdt+（1）- θet）netdrkt（ιet）- CETDT，其中rkt（ιet）表示实物资本投资的回报。一般专家e的资本存量根据以下等式演化：（5.32）dketket=（φ（ιet）- δ） dt+σdwt其中δ>0是折旧率，函数φ反映资本存量中的调整成本。假设满足φ（0）=0，φ（0）=1，φ（·）>0和φ（·）<0。

它的凹度反映了技术流动性不足。波动率σ>0是一个正常数，W=（Wt）t≥0是一个维纳过程，用于模拟随机冲击。请注意，对于所有专家来说，这是相同的过程。这是我们所说的常见噪音的一个例子。在这个模型中没有特殊噪声的来源。假设一个单位资本在时间t的价格qt为满足（5.33）dqtqt=uqtdt+σqtdwt两个过程（uqt）t的It过程≥0和（σqt）t≥0适用于常见噪音的过滤，稍后将具体说明。资本回报率rkt（ιet）定义为：（5.34）drkt（ιet）=a- ιetqtdt+d（qtket）qtket。右边的第一项表示股息收益率，第二项表示资本收益。使用定义（5.33）和（5.32）及其乘积微分公式，我们得到：（5.35）drkt（ιet）=ha- ιetqt+φ（ιet）- δ+uqt+σqtidt+（σ+σqt）dWt。将这个公式代入普通专家财富的动力学（5.31），我们得到：（5.36）dnet=hθetnetrt+（1-θet）网A.- ιetqt+φ（ιet）-δ+uqt+σqt-cetidt+（1）-θt）净（σ+σqt）dWt。该方程应被视为给出了由（cet，ιet，θet）控制的状态变量netas的动力学。和以前一样，我们使用庞特里亚金随机最大值原理来解决消费预期效用的优化问题。为了便于记法，我们跳过本小节剩余部分的上标。因为我们只处理专家优化问题，所以不可能出现混淆。该优化问题的哈密顿量为：H（t，n，ξ，ζ，c，ι，θ）=Hθn rt+（1- θ） nA.- ιqt+φ（ι）- δ+uqt+σqt- ciξ- (1 - θ） n（σ+σqt）ζξ- E-ρtu（c）（5.37），其中，出于很快就会清楚的原因，我们使用了符号ξ（假定为负值）和-伴随变量的ζζ。