季节性协整VAR模型的贝叶斯分析

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英文标题：
《Bayesian analysis of seasonally cointegrated VAR model》
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作者：
Justyna Wr\\\'oblewska
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  The paper aims at developing the Bayesian seasonally cointegrated model for quarterly data. We propose the prior structure, derive the set of full conditional posterior distributions, and propose the sampling scheme. The identification of cointegrating spaces is obtained \\emph{via} orthonormality restrictions imposed on vectors spanning them. In the case of annual frequency, the cointegrating vectors are complex, which should be taken into account when identifying them. The point estimation of the cointegrating spaces is also discussed. The presented methods are illustrated by a simulation experiment and are employed in the analysis of money and prices in the Polish economy.
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中文摘要：
本文旨在建立季度数据的贝叶斯季节协整模型。我们提出了先验结构，推导了全条件后验分布集，并提出了抽样方案。协整空间的识别是通过对跨越它们的向量施加{emph{via}正交性限制而得到的。在年频率的情况下，协整向量是复杂的，在识别它们时应该考虑到这一点。讨论了协整空间的点估计。所提出的方法通过模拟实验加以说明，并被用于分析波兰经济中的货币和价格。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
--> Bayesian_analysis_of_seasonally_cointegrated_VAR_model.pdf (835.07 KB)

2022-4-28 16:02:46 上传

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关键词：VAR模型 贝叶斯分析 协整VAR AR模型 贝叶斯

季节性协整VAR模型的贝叶斯分析Justyna Wróblewska*本文旨在建立季度数据的贝叶斯季节协整模型。我们提出了先验结构，推导了全条件后验分布集，并提出了抽样方案。协整空间的识别是通过对跨越它们的向量施加正交性限制来获得的。在年度频率的情况下，协整向量是复杂的，在识别它们时应该考虑到这一点。讨论了协整空间的点估计。所提出的方法通过模拟实验进行了说明，并用于分析波兰经济中的货币和价格。关键词：季节协整、降秩回归、误差修正模型、贝叶斯分析、贝叶斯模型比较；JEL分类：C11、C32、C53；*克拉科夫经济大学计量经济学和运筹学系，拉科维卡27号，31-510克拉科夫，波兰，电子邮件：eowroble@cyf-克鲁·埃杜。pl1简介许多宏观经济季度或月度时间序列显示出强烈的趋势和季节性行为。零频率下的协整思想（假设随机趋势控制序列的长期行为）是众所周知的，并且经常用于实证分析。向量误差修正模型的参数估计方法在经典（见Johansen，1995）和贝叶斯范式（见Koop等人，2006）中都是众所周知的。然而，尽管1990年引入了季节频率协整的思想（Hyleberg等人，1990年），但人们对它的兴趣却少得多。在大多数研究中，季节性调整的数据被分析，或者通过季节性模型来模拟季节性。然而，也有论文提出了季节性调整的不情愿结果。

例如，这样的程序可能会改变该系列的短期和长期行为（例如，Nerlove，1964年，Cubadda，1999年，Hecq，1998年，Granger，Siklos，1995年）。Abeysinghe（1994）讨论了在研究人员中可能出现的问题，当季节性由季节性单位根产生时，季节性由季节性假人建模。此外，L"of，Franses（2001）表明，考虑季节积分可以提高模型的预测能力。Johansen，Schaumburg（1999）提出了能够估计季节性VEC模型的似然法（进一步讨论请参见Cubadda，Omtzigt，2005），但据我们所知，没有贝叶斯季节性VEC模型。本文旨在通过建立季度-季节协整时间序列的贝叶斯模型来填补这一差距。参数的优先级是强制的。得到了完整的条件后验分布集。此外，还讨论了协整空间的点估计。通过一个小型模拟实验以及在四维季节系统中对波兰经济中的货币和价格进行的实证分析，说明了所提出的方法。2.贝叶斯季节性VEC模型我们假设n-维{xyTj}具有以下表示形式{xyTj}-j+ΦDt+εt，εt~ iiN（0，∑）（1）注意，在过滤非季节性单位根的情况下也会出现同样的问题（参见Meyer，Winker，2005，Hamilton，2018）。其中dt包含确定性成分，如常数、趋势或季节总结。初始条件-y，y-1.Y-k+1-固定，A（L）=In- 艾尔-· · · - AKLK是过程（1）的多项式矩阵。根据拉格朗日展开式，多项式A（z）围绕点z，z。

，zs可以写成（Johansen，Schaumburg，1999，Kotlowski，2005）：A（z）=p（z）In+SXs=1A（zs）ps（z）zps（zs）zs+p（z）zA（z），（2）其中p（z）=QSs=1（1）- \'zsz），pj（z）=QSs6=j（1）- \'zsz）=p（z）1-\'zjz，z6=zjand A（z）是一个非对称矩阵。如果zs是过程（1）的特征多项式的根，即| a（zs）|=0，那么a（zs）是降秩的，可以分解为全列秩矩阵a（zs）=asb的乘积。在零频率和季度频率（即| A（z）|=0，z=1，z=-1，z=i，z=\'z=-i） 以下季节性误差修正表示（见Hyleberg等人，1990年，绍姆堡约翰森，1999年，库巴达，乌姆齐格特，2005年，科托夫斯基，2005年）：yt=αβy（1）t+αβy（2）t+α？β?~y（3）t+’α？β?¨y（3）t++k-4Xi=1Γjyt-j+＠Φ＠Dt+εt，εt~ iiN（0，∑），（3）式中yt=（1）- 五十） yt=yt- yt-4L表示滞后算子，Γj=-P[（k-j） /4]l=1Aj+4l，j=1,2，K- 4.向量y（·）tmay包含确定性成分，所以y（·）t=y（·）td（·）t！。

特别是，让我们考虑以下形式的确定性成分ΦDt=u+a cosπt+ b罪πt+ c cos（πt）+γt（见Franses，Kunst，1999和Kotlowski，2005）。将多项式p·（L）应用于过程（1）的随机和确定性部分，得到以下形式的向量y（·）tof:o在零频率下y（1）t=y（1）td（1）t！，其中y（1）t=p（L）Lyt=（1+L+L+L）Lyt=yt-1+yt-2+yt-3+yt-4，术语（1+L+L+L）ldt等于tod（1）t=t-以及一个不受限制的常数，o在π频率下-~y（2）t=y（2）td（2）t！，其中y（2）t=p（L）Lyt=（1）-L+L-五十） Lyt=yt-1.- yt-2+yt-3.- yt-4.术语（1）- L+L- 五十） LDtleads到d（2）t=cos（πt）和一个无限制常数，o在π和3π频率下-~y（3）t=y（3）td（3）t！，其中y（3）t=p（L）Lyt=(-我- L+iL+L）Lyt=-iyt-1.- yt-2+iyt-3+yt-4.术语(-我- L+iL+L）LDtleads到d（3）t=cosπt- 我有罪πt一个不受限制的常数。请注意，上述每个考虑频率结果中出现的无限制常数形成了所分析过程（1）水平的线性趋势。如果没有线性趋势，但只有常数，则在零频率下的协整空间中既没有趋势限制，也没有不受限制的常数（3），但有一个常数限制在零频率（d（1）t=1）的协整空间中，参见例如Juselius（2006，pp。

93-112）用于讨论向量Dt和Dt中收集的假人的含义，以及它们之间的关系。还要注意α？β?~y（3）和yenα？β?？~y（3）是复共轭矩阵，所以它们的总和等于它们的实部乘以2：α？β?~y（3）t+’α？β?\'y（3）t=2Re（α？\'β？\'y（3）t）=（4）=2[（αIβR- αRβI（yt）-1.- yt-3) - （αRβR+αIβI）（yt）-2.- yt-4） ]式中，αR，βR表示α的实部？β呢？而αI，βI-它们的主要部分（α？=αR+IαI，β？=βR+IβI）。这些导致了更常用的季节协整季度VAR过程表示（见Hyleberg等人，1990年，Johansen，Schaumburg，1999年，Cubadda，Omtzigt，2005年，Kotlowski，2005年）：yt=y（1）t+y（2）t+y（32）t+y（31）t+k-4Xi=1Γiyt-i+＠Φ＠Dt+εt，εt~ iiN（0，∑），（5）式中∏=αβ∏=αβ∏=-2（αRβR+αIβI），π=2（αIβR-αRβI），~y（31）t=y（31）td（31）t！，其中y（31）t=（1）- 五十） Lyt=yt-1.- yt-3，d（31）t=sin（πt），~y（32）t=y（32）td（32）t！，其中y（32）t=（1）- 五十） Lyt=yt-2.- yt-3，d（32）t=cos（πt）。为了节省符号，我们引入了模型（3）的矩阵形式。Z=Zβα+Zβα+Zββ？α?+\'Zβ？α?+ ZΓ+E，（6）其中Z=YYyT, Z=~y（1）~y（1）。~y（1）T,Z=~y（2）~y（2）。~y（2）T, Z=~y（3）~y（3）。~y（3）T= -Z-伊兹，Z=~y（31）~y（31）。~y（31）T, Z=~y（32）~y（32）。~y（32）T,Z=zz。zT, zt=yt-1.yt-2.yt-k+4~Dt, Γ =ΓΓ. . . Γk-4~Φ, E=εε. . . εT.由于分析的数据只涉及协整空间，而非协整向量，因此在估计过程中，我们必须处理产品中出现的不一致性：αβ、αβ、β？α?, β?α?. 因此，我们采用Koop等人（2009）提出的方法。按照他们的想法，我们将考虑对每一个考虑的产品进行两个观测等效表示。

在A- 我们假设矩阵属于适当维数的R·或C·空间，而在α空间中- β表示βs有正交列，αs仍然属于R·或C·空间：oAB≡ αβ，A∈ Rn×r，B∈ Rm×r，α=A（BB）∈ Rn×r，β=B（BB）-∈Vr，m，oAB≡ αβ，A∈ Rn×r，B∈ Rm×r，α=A（BB）∈ Rn×r，β=B（BB）-∈Vr，m，oA？“B？≡ α?β?,A？=AR+iAI∈ Cn×r，B？=BR+iBI∈ Cm×r，α？=A.（\'B？B？）∈Cn×r，β？=B（\'B？B？）-∈ VCr，m，其中Vrj，mj，j=1，2表示斯特菲尔流形，即具有正交列（Vrj，mj）的mj×rj矩阵集=十、∈ Rmj×rj:XX=Irj), VCr，m代表复数Stiefel流形，即m×rsemi酉矩阵集（VCr，m=十、∈ 厘米×r:\'XX=Ir).注意，通过这种方法，非识别问题只得到了部分解决，因为属于协整空间的斯蒂费尔流形和格拉斯曼曼尼弗尔斯托之间存在多对一关系：如果X是（复数）斯蒂费尔流形的元素，而rj×rj（j=1，2，3）矩阵O是（复数）正交群的元素（OO=OO=Irj，j=1，2，\'OO=O\'O=Ir）thanXO是同一（复杂）斯蒂费尔流形的元素，它们跨越sameGrj，mj-rj，j=1，2，GCr，m-r、 在实数（j=1，2）/复数（j=3）矢量mj维空间中收集穿过原点的rj维平面，参见例如James，1954，Chern，Wolfson，1987空间（投影矩阵相等，即实数情况下的XX=xOxin和复数情况下的X\'X=XO\'Xin）。前两个产品（即αβ和αβ）只涉及实数矩阵，因此可以完全按照Koop等人（2009）的建议进行处理。

而在第三种情况下，我们必须调整他们的程序，以适应复杂的矩阵和空间。我们从A开始分析- B参数化，并对模型参数施加以下先验分布：o协方差矩阵的逆Wishart分布∑~ iW（S，q），oΓ-Γ∑，ν的矩阵正态分布~ mN（Γ，∑，ν）OhmΓ），频率为0a∑，ν时调整系数的矩阵正态分布~ mN（u，ν）Ohm, ∑），频率为0-B的非标准化协整向量的矩阵正态分布~ mN（0，mIr，P），这导致其定向β的基体角中心分布~ M ACG（P）（见Chikuse，1990年，2003年），通过矩阵P，研究人员可以结合关于零频率下的点积分空间的先验知识（详情见Koop等人，2009年），o频率πA∑v下调整系数的矩阵正态分布~ mN（u，ν）Ohm, ∑），o频率为π-B的非标准化协整向量的矩阵正态分布~ mN（0，mIr，P），soβ~ MACG（P）（参见B点中的解释），o频率为π和3π-A时调整系数的复矩阵正态分布|Σ, ν ~ mCN（u？，νIr，∑），即p（A？∑）=π-nr |∑|-雷克斯普{-tr∑-1（A）？- u?)（νIr）（\'A？- u?)}, 那么E（A？）=u?,V（vec（A？）=红外光谱 ∑，其中u？=u?R+iu？I.请注意，对A施加这样的分布？相当于假设那是真的|Σ ~mNu？Ru？我νIr，∑0n×nn×n∑！！，o非标准化协整向量频率π和3π-B的复矩阵正态分布？~ mCN（0mr×r，mIr，P？），P在哪里=PR+iP？一、 比如P？爱米提安（P？=\'P？≡ （P？R=P？R，P？I）=-P一） ）正定义矩阵，那么对于B的实部和虚部呢？我们采用下列形式的矩阵正态分布brbi！~mN2m×r，Ir，P？R-PIP？IP？R

这种分布导致矩阵B？的方向部分的复杂矩阵角中心高斯分布？（见Wróblewska，2020年）参数ν可由研究人员估计或确定。对于估计的ν，我们建议对其施加逆伽马分布~ iG（sν，nν）。考虑到每个频率的适当单位根数，联合先验分布被非爆炸条件截断。以上提出的先验分布与似然函数一起导致了具有以下核的联合后验分布：p（θ| y）∝ ν-nν-n[n（k）-4） +l+r+r+2r]-1exp-sν|Σ|-[q+n（k-4） +l+r+r+2r+T+n+1]/2×exp-trΣ-1.S+νΓ - uΓOhm-1Γ(Γ - Γ）+2ν（A？- u?)（A？- u?)×（7）×经验-trΣ-1.ν（A）- u)Ohm-1（A）- u）+ν（A）- u)Ohm-1（A）- u）+EE××经验-trmBP-1B+mBP-1B+2m’B？P-1.BI[0,1]（|λ| max）。式中θ=（∑，Γ，A，A？，B，B，B？）收集所有模型的参数，l表示在Dt中收集的确定性成分的数量，I[a，b]（·）是区间[a，b]的指示函数，λ代表伴随矩阵的特征值向量，即形式为a的矩阵=AA。Ak-1 Kin0。00英寸。0 0...............0 0 . . . 在里面, （8） 式中，Ini是一个n维单位矩阵，A=π+π+π+Γ，A=π-π+π+Γ，A=π+π- π+Γ，A=In+π- Π- π+Γ，Ai=Γi- Γi-4对于i=5，6，Π= αβ≡ AB，π=αβ≡ AB，π=2（αIβR- αRβI）≡2（AIBR）- ARBI），π=-2（αRβR+αIβI）≡ -2（ARBR+AIBI）和Γi=0表示i>k- 4.矩阵A使得以VaR（1）形式编写分析过程成为可能（见Lütepohl，2005，pp。

15-16).从方程（8）中，我们得到了模型参数的全条件后验分布集：o误差协方差矩阵的逆威斯哈特分布∑：p（∑|·，y）=fiWS、 q+n（k）- 4） +l+r+r+2r+T, （9） 式中S=S+νh（Γ）- uΓ)Ohm-1Γ(Γ - Γ）+2（A？- u?)（A？- u?)+ （A）- u)Ohm-1（A）- u）++（A- u)Ohm-1（A）- u）i+EE，（10）oν（如果估计）p（ν|·，y）=iG的逆伽马分布sν，Ohm毕, （11） 其中nν=nν+n[n（k- 4） +l+r+r+2r]andsν=sν+trn∑-1h（Γ）- uΓ)Ohm-1Γ(Γ - Γ）+2（A？- u?)（A？- u?)++ （A）- u)Ohm-1（A）- u）+（A）- u)Ohm-1（A）- u）io。