21世纪最佳退休时间：参考

因此，DOTn，1（p）=DN（p），因此Rn，1（p）=1代表每一个p。在第（4）节中，我们将提供各种数值示例，说明作为寿命风险规避γ和tontine池初始规模n.3.2的函数的最优tontine支付函数d（t）。最优Tontine效用vs.年金效用。设UOTn，γ表示最佳tontine的效用。为了计算这个，假设γ6=1，观察（16）DOTn，γ（p）1-γ1 - γpθn，γ（p）=DOTn，γ（p）1- γDOTn，γ（p）-γpθn，γ（p）=DOTn，γ（p）1- γDOTn，γ（1）-γ乘以（12）。因此，最佳tontine的效用是精确的Youtn，γ=Z∞E-rtDOTn，γ（tpx）1-γ1 - γtpxθn，γ（tpx）dt=DOTn，γ（1）-γ1 - γZ∞E-rtDOTn，γ（tpx）dt=DOTn，γ（1）-γ1 - γ=1 - γZ∞E-rtβn，γ（tpx）1/γdtγ乘以（5）和（11）。考虑年金提供的效用UAγ，即（17）UAγ=Z∞E-rttpxc1-γ1 - γdt=R∞E-rttpxdt（1- γ)R∞E-rttpxdt1.-γ=1 - γZ∞E-rttpxdtγ.定理18。UOTn，γ<UAγ，对于任何n和γ>0。证据对于γ6=1，这遵循引理15和上面给出的计算。我们在附录中展示了γ=1的情况。3.3. 不同年金负载。提供年金的保险公司将被建模为留出部分初始存款，以支付年金成本。换言之，初始存款的一小部分δ将在最初扣除，用于风险管理、资本储备等。以无风险利率r投资的余额将为年金提供资金。因此，随着载荷的增加，（1）变成∞E-rttpxc（t）dt=1- δ、 这意味着C（t）≡ c=（1）- δ） cis是年金的最佳支付结构。有载年金的效用为△γ，δ=Z∞E-rttpxc1-γ1 - γdt=（1）- δ)1-γR∞E-rttpxdt（1- γ)R∞E-rttpxdt1.-γ=c-γ1 - γ(1 - δ)1-对于γ6=1，和log（c）+log（1-δ） cforγ=1。在第4节中，我们将考虑差异负载δ，当应用于年金时，它使年金和托丁之间的个体差异，即ULAγ，δ=UOTn，γ。

M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURYout发现，荷载δ随着n的增加而减小，总荷载nδ保持稳定。换句话说，在个人开始从年金中获得更大的效用之前，无论参与者人数如何，保险人最多可以从总年金池中扣除固定金额（大致）。我们将说明这一观察结果，至少1<γ≤ 2，通过证明附录定理19中的下列不等式。假设1<γ≤ 2.然后δ<n铬- 1..注意c>r，因为c-1=R∞E-rttpxdt<R∞E-rtdt=r-1.3.4. 主观死亡率。现在假设有两个生存函数，一个是针对一般人群的客观函数，另一个是针对相关个体的主观函数。从经济角度来看，这相当于拥有一个主观贴现率，该贴现率与无风险利率r不同。自然，个人更喜欢支付结构不同的年金，因为欧拉-拉格朗日方程（3）变成了：（20）e-rttpxu（c（t））=λe-RTTPX每t。换句话说，在CRRA效用下，最优年金结构为（21）cS（t）=cS（0）tpxtpx1/γ.因此，一个比正常人更健康的人（tpx>tpx）会更喜欢重新加载年金流。从本质上说，死亡率异常值表明，当年金支付在生命后期发生时，其价格会被低估，因此，他们更愿意投资于提高这些支付的年金。当然，这个人不会走运——年金将围绕人口的富裕程度而设计，而不是他们的。

但是，这确实提出了一个问题，即如何测试个人认为自己比人群更健康的程度：如果有不同的年金结构，那些认为自己比平均年金购买者更健康的人应该通过选择背负的年金支付来表明这一信念。我们可以用同样的方式来看待tontines（并测试tontines是否可以作为备用年金的代理）。如果p和p表示主观和客观生存概率，那么CRRA效用的Euler-Lagrange是最优支付率Dn，γ（p，~p）满足（22）~pDn，γ（p，~p）-γθn，γ（p）=λ。换句话说，如果βn，γ（p，~p）=pθn，γ（p），那么（23）Dn，γ（p，~p）=Dn，γ（1，1）βn，γ（p，~p）1/γ，其中特定死亡率模型再次仅通过（24）Dn，γ（1，1）=hZ进入∞E-rtβn，γ（tpx，tpx）1/γdti-1.这也意味着，如果（参与者）认为目标群体生存率远低于他或她的个人最佳退休生存率，那么托丁提供了相对更大的效用。这或许再次解释了这样一个事实：一些参与者选择tontine——也许他们认为自己比投资池中的其他人健康得多——而有些人选择年金。在正在进行的工作中，我们试图量化这种影响。3.5. 项目被忽略。有两个问题我们还没有机会解决，这有待于未来可能的研究，那就是信贷风险的作用以及灾难性死亡率的影响。鉴于保险保荐人承担的风险，与tontines相比，人寿年金购买者更关心信用风险的存在。同样地，在随机死亡率模型下，托丁支付将更加可变和不确定，这可能会进一步降低托丁相对于终身年金的效用。

我们将此留作进一步研究，现在将重点放在我们（更简单）模型的含义上。4.数字和示例4。1.1639年威廉国王的托尼。我们首先展示一些基本的模拟结果和tontinevs现金流精算现值（APV）的汇总统计数据。终身年金。特别是，我们计算并显示贴现现金流的精算（死亡率调整）平均值、标准差和偏度。附录中报告了模拟本身的机制，我们使用的参数值与第2节中描述的tontine和年金支付率一致。这是比较托丁和年金的经济价值最简单、最透明的方法。从这一点可以很清楚地看出，14%的年金比10%/7%的托汀更有效——按预期现值计算。表4和表5如下所示，例如，在6%的利率和（Gompertz平滑）死亡率下，对于一名x=10岁的被提名人，一名托丁在七年内支付10%，此后支付7%的实际现值（APV）约为133英镑。这比100英镑的成本高出33%。这假设了芬莱森（1829）报告的死亡率基础。如果我们假设一个更高的死亡率，模型值为寿命m=50，那么tontine的APV（甚至更低）为130英镑，尽管偏斜度更高，为11.16。在其他条件相同的情况下，年龄越大、利率越高或死亡率假设越高，APV越低。请注意，在更具攻击性的死亡率假设下，偏度为（正）且更高，即当死亡率（由m表示）更大时。与tontine相比，在相同的6%利率假设下，向x=10岁的被提名人支付14%的人寿年金的精算现值（APV）大约等于185英镑。

这与Halley（1694）的说法一致，即14%的终身年金在10岁时价值近14年。还请注意，终身年金的偏度始终为负值。因此，对于那些可能对偏度进行估值（所有其他方面都是同等的）的投资者来说，托汀可能比终身年金更受欢迎，尽管现值明显更低。16 M.A.米列夫斯基和T.S.萨利斯伯里。2.21世纪的最佳Tontine。图3显示了在Gompertzlaw死亡率参数m=88.721和b=10下，假设初始提名人数为400人，随着时间的推移，可能的4%托尼特股息的范围。该死亡率基础对应于生存概率P=0.05，即从65岁到100岁，是我们几个数值示例的基线值。图中清楚地显示，以生存为条件的支付流不断增加，这并不是最优函数。事实上，在这样一个（传统的、历史的）托丁计划中，相对于退休早期的终身年金，最初的预期支付是相当低的，而最后几年的支付——对于那些有幸活下来的人来说——将是非常高的，并且变化很大。因此，毫不奇怪，从经济效用的角度来看，这种形式的tontine是次优的，而且对那些希望在整个退休年龄内实现生活水平最大化的个人来说也不是很有吸引力。图3和图4与图3中的次优托汀相比，图4显示了在相同的利率和死亡率基础上，最优托汀支付函数的结果范围。具体来说，图4是通过求解DOTn，γ（1）的值，然后构造n=400，r=0.04和γ=1的DOTn，γ（tpx）来计算的。

一旦所有t的支出函数都已知，则二项分布的第10和第90百分位的幸存者人数用于将65岁至100岁的支出范围括起来。显然，每个幸存者的预期支出在退休年份相对稳定，这在直觉上更具吸引力。此外，如图4所示的tontine支付的贴现预期效用远高于图3所示的效用。表6显示了大小为N=25的非常小的池的最佳tontine支付函数。这些对应于第3节中推导的DOTn，γ（tpx）值。请注意，无论个体的长寿风险厌恶度γ如何，即使tontine池在n=25时相对较小，最优tontine支付函数也是非常相似的（第一个重要数字相同）。最低保证股息在65岁时约为7%，然后在95岁时降至约1%。当然，以活着为条件的个人实际现金流支出并不一定会下降，实际上保持相对稳定。表7显示了60岁参与者的效用差异值。请注意，即使是寿命风险厌恶（LoRA）γ水平非常高的退休人员，也会选择一个tontine（池大小为n）≥ 20） 如果保险负担大于7.5%，则不使用人寿年金。表8给出了最佳退休时间17。最后，表8计算了确定性等效因子。如果一个LoRAγ6=1的个体所面临的tontine结构仅适用于LoRAγ=1的个体（即对数效用），那么福利损失是微乎其微的。

这就是为什么我们提倡自然色调payout函数，它只适用于γ=1，作为21世纪色调的基础。图5如图5所示，当tontine池大小大于N=250时，不同级别的长寿风险规避γ的最佳tontine支付函数之间的差异几乎不明显，这主要是由于大数定律的影响。这条曲线追踪了幸存者在不同年龄段可以获得的最小红利。中位数（显然）要高得多。图6如图6所示，对于对数γ=1的人，无论tontine池中的参与者人数如何，他们开始支付与终身年金完全相同的利率，图6说明了最佳tontine支付函数。但是，对于较高水平的长寿风险厌恶γ和相对较小的tontine池，该函数以较低的值开始，以较低的速率下降。图7如图7所示，对于相对较小的tontine池，与长寿风险γ=25高度相反的退休人员将希望在高龄时获得高于其预期生存概率的保证最低支付率（GMPR）。作为交换，他们会在较低的年龄接受较低的GMPR。相比之下，对数效用最大化者将选择一个完全等于预计生存概率的GMPR。图8如图8所示。相比于精算公平的终身年金，65岁开始的终身保障为7.5%，无论寿命风险规避（LoRA）或tontine池的大小，它比最优tontine提供更多的效用。但是，一旦将保险负担包括在内，使初始支付下的收益率从最优托汀开始，人寿年金的效用可能会降低。差异荷载为δ，见表7。这是我们在论文中的主要观点。

在整个利润期内，整个资金池的股息是一个恒定（例如4%）利率的历史趋势是次优的，因为它们创造了一个不断增加的消费利润，这既是可变的，也是不可取的。然而，在托丁计划中，早期向储蓄池支付的利息更高（例如8%），然后随着时间的推移而下降，因此，少数百岁老人可以获得更低的利率（例如1%），这实际上是最理想的政策。巧合的是，威廉国王1693年的tontine也有类似的利息支出递减结构，这在历史上非常罕见。18 M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURYWe小心区分支付给整个池的担保利率（例如8%或1%），以及个人投资者在最佳时间内的预期股息，这将随着时间的推移相对恒定，如图3所示。当然，随着时间的推移，支付给整个池的利息的现值与池本身的原始贡献完全相等。我们只是在以不同的方式重新安排和分析身份现值的现金流。我们还表明，与精算公平人寿年金相比，合理设计的托汀计划的效用损失非常小，后者是养老金经济学和生命周期文献的工作重点。事实上，当保险（佣金、资本成本等）负载超过10%时，托丁的效用实际上可能高于纯人寿年金产生的效用。这一结果不应否定或被视为与广泛的年金文献相矛盾，这些文献证明了生命周期模型中终身年金的最佳性。事实上，我们所展示的是，完全对冲长寿风险仍然是最优的，但我们使用的工具取决于相对成本。

换句话说，在一个相对较小（n≤ 100）至少在经典的理性模型中，人才库不会造成巨大的公共设施或福利损失。这也可以被视为对参与式终身年金的进一步认可，该年金介于tontine和传统终身年金之间。5.简短的文献综述这不是一个全面回顾洲际文献的地方，我们也没有足够的空间，因此我们为那些有兴趣进一步阅读的人提供了一份精选的关键文章列表。洛伦佐·托蒂（Lorenzo Tonti）最初提出的托汀方案以法语发表在《托汀》（1654）一书中，并在哈伯曼和西贝特（1995）编辑的《重要历史精算学文章精选集》中以英语翻译出版。Kopf（1927年）的评论文章和O’Donnell（1936年）的书都很过时，但在记录历史上的tontine如何运作、讨论其曲折的历史以及提供丹麦、荷兰、法国和英国的一些最早推广者的易读传记方面做得很好。库珀（1972）的专著完全致力于tontine和19世纪（美国）tontine保险业的基础，该行业基于tontine的概念，但由于储蓄和lapsation的组成部分，有所不同。在一篇内容广泛的文章中，Ransom和Sutch（1987年）提供了纽约州禁止在线保险的背景和故事，然后最终整个美国。Jennings和Trout（1982年）的综合情绪图回顾了tontines的历史，特别是法国时期，同时仔细记录了最著名tontines的支付率和收益率。

这是该领域的一个次要经典，也是任何对tontines感兴趣的人的主要来源。最佳退休时间19对于那些在17和18世纪对死亡未定权益定价感兴趣的人，以及相关人员的历史和背景，我们推荐Alter（1983年、1986年）、Poitras（2000年）、Hald（2003年）、Poterba（2005年）、Ciecka（2008a、2008b）、Rothschild（2009年）以及Bellhouse（2011年），当然，霍默和希拉（2005）对相关利率进行了分析。Finlaison（1829）是关于死亡索赔定价历史中的另一个重要参考文献，他是第一个记录威廉国王1693名tontine参与者的死亡经验的人，并认为英国ZF以所有年龄段的相同价格提供的终身年金价格被严重低估。最近，财政大臣在报纸上发表的文章（2001年）、列文（2003年）的书，特别是麦基弗（2009年）最近的评论，都提供了tontine的良好历史，并讨论了tontine复兴的可能性。例如，标准的精算教科书，如Romislow（2011年）或Pitacco等人（2009年），有几页专门介绍历史上的托丁原理。更相关的是，一系列关于集合年金基金的论文，例如Piggot、Valdez和Detzel（2005年）试图重新引入类似tontine的结构。