21世纪最佳退休时间：参考

（1965）不确定寿命、人寿保险和消费者理论，经济研究综述，第32卷（2），第137-150页。[73]Yagi，T.和Y.Nishigaki（1993）《私人固定年金的效率》，风险与保险杂志，第60卷（3），第385-412.26页，M.A.米列夫斯基和T.S.萨利斯伯里7。附录7。1.证据。为了简化符号，我们写θ（p）=θn，γ（p），β（p）=βn，γ（p），和D（p）=DOTn，γ（p）。引理15的证明。γ=1的情况很简单。两个人≤ γ有一个简单的证明，因为θ（p）=EhN（p）Nγ-1i≥ EhN（p）niγ-1=1+（n）- 1） pnγ-1=p+1- pnγ-1> pγ-1由詹森提出，意味着β（p）=pθ（p）>pγ。为了证明一般情况γ>0，需要一个更复杂的参数，基于以下计算：引理25。E[nN（p）]<p.证明。EhnN（p）i=n-1Xk=0N- 1kpk（1）- p） n-1.-knk+1=pn-1Xk=0nk+1pk+1（1）- p） n-（k+1）=p[1- (1 - p） n]<p。首先假设0<γ<1。H¨older不等式意味着E[（nN（p））a]1/ais在a>0时增加。特别是，当0<a<1时，我们有（26）EhnN（p）ai1/a<EhnN（p）i<p，引理25。取a=1- γ、 我们得到θ（p）<（p）1-γ=pγ-1.因此β（p）=pθ（p）<pγ。现在假设γ>1。集合A=利马↓0E[（nN（p））a]1/a<pby（26）。根据l\'H^opital的规则，A=elima↓0alog E[（nN（p））a]=elima↓0E[（nN（p））alog（nN（p））]/E[（nN（p））a]=E-E[log（N（p）N）]。取对数，我们得到（27）EhlogN（p）Ni> log p.如上所述，E[（N（p）N）a]1/ais在a>0时增加，因此增加了（27），并且与之前一样，是吗N（p）Nγ-1iγ-1> 利马↓0EhN（p）Nai1/a=eE[log（N（p）N）]>elog p=p。因此θ（p）>pγ-1，所以β（p）=pθ（p）>pγ，证明引理15。定理18的最佳证明。γ6=1的情况紧接着引理15。当γ=1时，我们有u（c）=log c so UOTn，1=R∞E-rttpxE[log（nctpxN（tpx））]dt，而UA=R∞E-rttpxlog（c）dt。特里弗雷乌阿- UOTn，1=Z∞E-rttpx电子日志N（tpx）N我- 日志（tpx）dt，现在的结果是（27）。7.2.

差异加载。定理19的证明。自1<γ≤ 2，cγ-1在c中是凹的，因此位于其切线下方。因此θ（p）=EhN（p）Nγ-1i≤ Ehpγ-1+ (γ - 1） pγ-2.Nn- Pi=pγ-1+ (γ - 1） pγ-21- 请注意。c1/γ在c中也是严格凹的，因此以同样的方式β（p）γ=（pθ（p））γ<（pγ）γ+γ（pγ）γ-1· (γ - 1） pγ-11- pn=p+（γ）- 1)(1 - p） γn.特雷弗雷斯∞E-rtβ（tpx）γdt<c+γ- 1γnR-C.根据定义，c-γ1 - γ(1 - δ)1-γ=1 - γZ∞E-rtβ（tpx）1/γ，dtγ、 和1- cγ1-γ在c中也是凹的，所以δ=1之前也是凹的-cZ∞E-rtβ（tpx）γdtγ1-γ· < -γ1 - γ·γ - 1γn铬- 1.=N铬- 1.根据需要。对于任何γ，我们都可以（使用N（p）的二阶矩，以及第一阶矩）导出δN→γ（cor- 1). 但事实证明，收敛速度非常慢，所以这种精确的渐近解用处有限。（缓慢收敛的原因是观察到，在Gompertz死亡率的情况下，t Tilltpx达到行数的时间仅以b log n的速率）。例如，在γ=2，r=3%，年龄x=50，Gompertz参数m=87.25和b=9.5的情况下，我们得到γ（cor- 1) = 0.6593; 但对于n=10、100或1000，我们只有δn=0.2858、0.3377和0.3671；事实上，即使有n=7×10吨的参与者（大致相当于全世界所有人口，假设他们的年龄和危险率相同），我们也只能达到δn=0.441728 M.A.米列夫斯基和T.s.萨利斯伯里7。3.确定性等价物和天然Tontine。我们希望比较长寿风险厌恶度γ6=1的个体，如果他们参与了非自然tontine而不是最优tontine，所经历的福利损失。因此，我们计算比率Γ≥ 两个音调的确定等价物中的一个。这代表了自然大陆的初始存款，它需要提供与最优自然大陆1美元存款相同的效用。

天然沥青具有实用价值，γ=c1-γ1 - γZ∞E-rttp2-γxθn，γ（tpx）dt。因此Γ=“UOTn，γUNn，γ#1-γ=“DOTn，γ（1）-γc1-γR∞E-rttp2-γxθn，γ（tpx）dt#1-γ，然后是：Γ=R∞E-rttpxdtR∞E-rtβn，γ（tpx）γdt）γ1-γR∞E-rttp2-γxθn，γ（tpx）dt1.-γ.当我们计算这些数值时，对于0<γ≤ 2，我们得到的值非常接近1。此外，如果我们让n→ ∞, 然后是βn，γ（p）1/γ→ p和θn，γ（p）→ P-(1-γ） ，这使Γ→ 1同情地说，只要γ≤ 2.对于γ>2，这是一个不公平的比较，因为积分发散且UNn，γ=∞. 这是值得理解的原因。对于最优tontine，被积函数涉及[pθn，γ（p）]1/γ~ pγn1-ie.和p一样表现良好→ 0.另一方面，自然色调的积分涉及SP2-γθn，γ（p），当p→ 如果γ>2，则为0。这意味着，对于γ>2，自然大陆的效用会因活到高龄的可能性而受到不适当的影响。即使只有一个幸存者，该幸存者的赔付也会下降到相当低的水平，因为实际上不可能有人能活那么久。而对于γ>2，低支出的负面后果决定了存活那么长时间的概率很小。7.4. Tontine模拟的描述。我们从一组n=1000（例如）同质个体开始，他们同时承担年金受益人和被提名人的角色，每个人的x年龄最大寿命ω=105，此时所有人都已死亡。这些n个人向tontine pool贡献了w英镑，总计为wn英镑。我们用符号三元组L（x，i，t）来表示个人在t=ω年的生活状态- x、 形式上，当被提名人还活着时，L（x，i，t）=1，当被提名人死后，L（x，i，t）=0。我们从l（x，i，0）=1开始。

L（x，i，t）的下一个值是通过模拟标准均匀[0,1]杀死随机变量u获得的，然后在u<qx+t时设置变量L（x，i，t）=0，其中qx+t是年龄（x+t）适用的死亡率。例如，如果30岁时的死亡率为q=0.15，随机变量结果为u=0.2，那么个体存活下来。但是，如果u=0.1，个体将被杀死，所有未来的L（x，i，t）值将设置为最佳退休色调290。（不允许复活！）显然，qx+t的值越大，死亡的可能性（和实现）就越高。这可能不是模拟寿命矩阵的最有效或最快的方法，但却是最容易解释的方法。总之，对于用j表示的每个模拟运行，该过程生成一个（大）矩阵L（j），其中包含n行和（ω）- x+1）列。第一行设置为all One（所有人开始活动），所有行随着时间慢慢衰减为零。最后，最后一列（强制）为全零。我们将基线设置为M=10000模拟，以便：≤ J≤ 10000岁，初始年龄为x=10岁，这是1693年威廉国王的斯通廷提名人的平均年龄。每年年底，总共有英镑wnd（t）作为股息分配给幸存者，其中d（t）表示t时tontine支付函数的值。例如，对于1693 tontine，前7年（到1700年）的d（t）=10%，之后的d（t）=7%。然后生成一个新的矩阵D（x，i，t），它表示在tthyear中对个人的现金红利。注意，当L（x，i，t）=0时，D（x，i，t）=0。死人不分红利。计算D（x，i，t）的过程相当简单，因为在时间段t内，D（x，i）是活动的。

也就是说，除以wnd（t），wnd（t）是幸存的游泳池成员的总权益，除以活着的人数，即L（x，i，t）的总和，从i=1到i=n。形式上是：D（x，i，t）=wnd（t）PNi=1L（x，i，t）。现在，我们感兴趣的主要计算量是变量P V（x，i，j），它是在模拟运行数j中托丁支付给被提名人（x，i）的现值≤ M.正式定义为：Pv（x，i，j）=ω-xXt=1D（x，i，t）（1+R）twr是估值率（大多数情况下假设为6%）。在算法上，首先根据其他幸存者的数量模拟整个分子向量，然后在一次特定的模拟运行中贴现，得出托丁支付给被提名人（x，i）的现值。注意，一旦L（x，i，t）为零（被提名人死了），那么d（x，i，t）也为零，所以整个总和是有效的。每次模拟运行j，都会生成一个P V（x，i，j）的值，对于给定的代表性最小值（x，i），M=10000个当前值。最后，我们对M=10000（模拟）当前值的样本平均值、标准偏差、偏度和峰度感兴趣。为了进一步明确表示法，请注意（模拟）样本平均值（精算现值）定义为：30 M.A.米列夫斯基和T.S.萨利斯伯亚普V（x，i）=MMXj=1P V（x，i，j）（模拟）样本标准偏差为：SDP V（x，i）=rMX（P V（x，i，j）- AP V（x，i））样本偏度和峰度的定义方式类似。最佳退休Tontine 31国王威廉的Tontine 1693#被提名人#股票提名平均年龄604 653 10.85女性409 428 10.98总计1013 1081 10.90来源：霍华德（1694）的原始数据。由IFID CentreTable 1编译。年金转换期权到期后，1013名被提名人仍留在托丁。

有一个单一的股份类别，在1700年6月之前支付10英镑（半年一次）的保证股息，之后支付7英镑，直到剩下七名。令人惊讶的是，超过60%的被提名人是男性，而最后一位被提名人（一位女性）在1783年去世，享年100岁，此前他获得了1081英镑的托尼红利。1693年威廉国王的Tontine#被提名人购买的股份总数956 1 95651 2 1023 91 4 42 5 101013 1081来源：霍华德的原始数据（1694）。由IFID CentreTable 2编译。提名人数（1013人）与tontine股份（1081人）之间的差距多年来造成了一些混乱。各种来源报告了原始tontine池大小的不同值。还值得注意的是，持有多股股票的被提名人的平均年龄（13.7岁）比持有一股股票的被提名人的平均年龄（10.7岁）高出三年。因此，事实上，根据自己的生活持有多股股票的被提名人（平均而言）去世得更早32 M.A.米列夫斯基和T.S.萨利斯伯金·威廉的1693年提名人数1730年提名人数17490-99=50m+49f58=25m+30f34=20m+14f3-5 183=108m+75f105=60m+45f60=36m+24f6-8 174=111m+63f93=53m+40f53=30m+23f9-11 181=102m+79f100=48m+52f52=25m+27f12-14=82m+56f=36m+63f17+17f17=16m+37f=31m+2）n n n n n n n n n n n n n n n n（6）6）6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6）6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1=0m+1f00Avg。

年龄11.10 9.83（46.83）8.59（64.59）总计：1013514 267来源：霍华德（1694）、匿名（1730）和匿名（1749）的原始数据表3。考虑到婴儿出生后最初几年的高死亡率，更多的婴儿没有被提名是很自然的，但令人费解的是，如此多的托丁提名者年龄如此之大。事实上，到1749年，26岁以上的原提名人都已不在人世。最佳退休TONTINES 33 1693年威廉国王的Tontine：10岁时的模拟结果每100英镑利息死亡率基础：戈马。APV SDev。PV歪斜。PV4%l=0.0104，m=69.5，b=13.8英镑186.54英镑96.05 4.064%l=0，m=50，b=10英镑174.91英镑96.98 13.186%l=0.0104，m=69.5，b=13.8英镑133.02英镑45.74-0.466%l=0，m=50，b=10英镑130.31英镑48.5 11.168%l=0.0104，m=69.5，b=13.8英镑103.15英镑28.88-1.738%l=0，根据附录b中描述的模拟假设，注：4241.10。表4。根据Finlaison（1829）报告的6%利率和（Gompertz Makeham平滑）死亡率，对于x=10岁的被提名人，tontine支付10%的七年期和之后7%的精算现值（APV）约为133英镑。这比成本高出33%。当年龄高于x=10、利率更高或死亡率更高时，APV较低。支付14%收入的人寿年金：10岁时的模拟结果每100英镑利息死亡率基础：戈马。APV SDev。APV歪斜。APVVV4%l=0.0 0 0.0104，m=69.5，b=13.8.8英镑184.53英镑57.88-1.606%l=0，m=0，m=0.07-1.194-1.194%l=13.8英镑184.53英镑57.88-1.606%l=0，m=50，b=10，b=10.191.13.13英镑191.13.13英镑35英镑35英镑35.44-35 35.44-2.44-2.44-2.44-2.44-2.448.448%8.8.8.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13英镑19英镑19英镑35 35 35 35 35 35英镑35英镑35.35.35.35.35.35英镑35 35 35 35.44-2.44-2.35.44-2.44-2.44-2.44五,。

根据Finlaison（1829）报告的6%利率和（Gompertz Makeham平滑）死亡率，向x=10岁的被提名人支付14%的人寿年金的精算现值（APV）约为185英镑。这与Halley（1694）的说法一致，即14%的终身年金在10岁时价值近14年。4.2.2.2.4.7.2.4.2.2.2.4.4.7.7.0 7.7.0 7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.482.482%5.482%5.4%2.4.0 7.7.7.447.7.7 7 7 7.7.7 7 7 7 7.7 7 7.7.7 7 7.7 7 7 7 7.7 7 7 7.7.7 7 7.7 7 7 7.7 7.7 7.7 7.7 7 7 7 7.7 7.7 7.7.7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.7.7 7 7.7 7 7.7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 b=10）表6。请注意，无论个人的长期风险厌恶程度γ如何，即使tontine池在n=25时相对较小，最优tontine支付函数DOTn，γ（tpx）也是非常相似的（第一个重要数字相同）。最低保证股息在65岁时约为7%，然后在95岁时降至约1%。当然，幸存者收到的实际现金流并不一定会下降，而是保持相对稳定。n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n p.3.0 323.1 b.p.75.1 b.p.16.3 b.p.8.38b、 p.1.75 b.p.9.0 753.6 b.p.199.8 b.p.45.9 b.p.23.8 b.p.5.09 b.p.假设x=60岁，r=3%，Gompertz死亡率（m=87.25，b=9.5）见表7。

即使是长寿风险厌恶（LoRA）γ=9的退休人员，也会选择一个tontine（池大小为n）≥ 20） 如果保险金额大于7.5%，则不支付终身年金；最好的tontine也不坏！n=100岁xγ=0.5γ=1γ=230 1.000018 1 1.00021540 1.000026 1.00075350 1.000041 1 1.00167460 1.000067 1 1 1.00338870 1.0001181 1 1 1.00345180 1.000225 1.009877r=3%和Gompertz m=87.25，b=9.5表8的最佳退休Tontine 35自然与最佳Tontine当量。如果一个LoRAγ6=1的个体面临着一个tontine结构，该结构仅适用于LoRAγ=1的个体（即对数效用），那么福利损失是微乎其微的。这就是为什么我们提倡自然色调映射函数，它只适用于γ=1作为21世纪大陆的基础。36 M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURY0“1000”2000“3000”4000“5000”6000“7000”8000“9000”10000“1694”1697“1700”1703“1706”1709“1712”1715“1718”1721“1724”1727“1730”1733“1736”1739“1742”1745“1748”1751“1754”1767“1760”1763“1766”1769“1772”1775“1778”1781“1784”1787“1790”！“#$%”和“（）*”+++”#，-.%/0（1）（“2%34$5\'5#+%6$07”810（.%9%：；<；；%6#$18\'9#（=.%>）（\'1#+%6$07”810（%：？@A%B“5”），“C%6$07”810（%：？：？@D%E8=4#+%B#=%1.托汀镶嵌1692的发起人最初的预测过于乐观。1693年中期的修订预测非常乐观。事实上，1718年观察到的70%存活率导致了欺诈指控。没有其他数据点可用。数据来源：勒温（2003年），沃尔福德（1871年）.由IFID中心编制。最佳退休TONTINES 37图2。年金受益人（=投资者）、被提名人和1693年威廉国王托丁购买的股份数量的最终核实记录，以及他们的最终组成。由IFID中心根据霍华德（Howard，1694）出版的原始记录汇编。38 M.A.米列夫斯基和T.S。

索尔兹伯里！\"#\"\"$!%\"#\"\"$!&\"#\"\"$!\'\"#\"\"$!(\"#\"\"$!)\"\"#\"\"$!)%\"#\"\"$66\" 69\" 72\" 75\" 78\" 81\" 84\" 87\" 90\" 93\" 96\" 99\"*+,$-./+,$01$23.4$&5$60/7/,$8.90:4$8:;<=.>,?$.4美元@A$B0CD，；4E$F0；4.3G49$$）“4=$H>#$I”4=$D，；</73，A$/$J$&“$KCJ（#L%）M$NJ）”O$图3。在最初的几年或退休期间，d=4%的tontine股息的范围相对较低，对于数百人的基金规模来说是可预测的。股息在以后的年龄呈指数增长，80%的范围也更广。但这不是构建tontine的唯一方法。最佳退休tontine 39！”#\"\"$!%#\"\"$!&#\"\"$!\'#\"\"$!(#\"\"$!)“#”“美元！”%#”“美元！”、#$66”69”72”75”78”81”84”87”90”93”96”99”*+，$-./+，$01$2345.6$70/4/，$8.90:；$，$，$，$，，？；$A053，>；B$C0>；.6D；9$）”；E$F#$G“E$3，>H，/46，@$/$I$和“$J5I（#K%）L$MI）”N$图4。最佳tontine支付给幸存者的现金价值预计会随着时间的推移保持相对稳定，以生存为条件。尽管80%的结果范围确实随着年龄的增长而增加，但考虑到最初n=400的幸存者数量的内在确定性。这种结构对于对数γ=1效用是最优的，对于寿命风险规避的分配水平几乎是最优的。40 M.A.米列夫斯基和T.S.索尔兹伯里！\"!!!#$%\"!!!#$&\"!!!#$\'\"!!!#$(\"!!!#$)\"!!!#$*\"!!!#$+\"!!!#$,在这方面，他们的美元和（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（，，，，，（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（，，）））））））））））））美元（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（）））））））））））））））））））美元）美元））））））美元）））））美元））美元））美元）美元）美元）的）美元）的）的）美元）的）和（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（\"+&%N$O$J$%$gamma$=10$gamma$=1.0$Annuity$Payout$eventity$gamma$=25$Figure 5。当ontine池大小大于N=250时，不同长寿风险规避γ水平的最优托丁支付函数之间的差异几乎不明显，这主要是由于大数定律的影响。