21世纪最佳退休时间：参考

自然地，投资者不能只是从tontine池中套现，一旦资金投入使用，就带着原始资金离开。遗憾的是，到1963年5月初筹集的资金远远低于百万英镑的目标。根据保存在大英图书馆档案中的财政部保存的记录，在1692年11月至1693年5月期间，总共只有37.7万英镑被认购，约有3750人被提名为tontine。这就触发了将tontine换成14%终身年金的选择，因为显然，100万英镑的目标没有实现。有趣的是，似乎总共有1013名被提名人（代表1081股tontine股票）仍保持原来的10%/7%tontine，而其他三分之一的人选择将他们的tontine股票转换为14%的终身年金，取决于同一名被提名人。下表1和表2汇总了留在tontine的被提名人数量以及他们购买的股份数量。表1和表2事实上，政府在1693年6月通过了另一项法案，使14%的人寿年金可供任何绝望地试图达到其资金目标的人使用。他们仍然拿不到一百万英镑。请记住，当时的利率是6%，对于托丁或年金，提名人的年龄绝对没有限制。乍一看，令人费解的是，为什么有人会留在tontine泳池，而不是选择终身年金。按现值计算，7年内10英镑的现金流和7年后7英镑的现金流的价值远低于14英镑的终身现金流。正如我们将在后面描述的那样，10%/7%组合在6%的官方利率下的实际现值在（典型的被提名人）10岁时约为133英镑，而终身年金的价值约为185英镑。

记住，最初的投资是100英镑。毫不奇怪，英国政府在这14%的年金上真的出现了亏损。而且，他们向任何人提供这些术语，无论他们有多年轻。为什么有人留在tontine泳池？不仅仅是21世纪的财务逻辑决定了14%的终身年金是一个好（更好）的交易。事实上，正是天文学家埃德蒙·哈雷（Edmond Halley）在1693年1月出版的《皇家学会哲学学报》（the Physical Transactions of the Royal Society）中发表了自己的观点，就在《百万法案》通过几个月后。他写道：来源：霍华德（Howard）（1694）注意到，一名被提名人可以拥有100英镑的多股股票，这取决于他们的寿命。资料来源：Finlaison（1829）OPTIMAL RETIREMENT TONTINES 7这显示了将资金投入目前授予王室陛下的基金的巨大优势，每年以7年购买率支付14%的利息，而[甚至]年轻人以年利率[6%]生活，价值超过13年购买。“购买年数”是一个早期的精算术语，指的是一个人收回全部资金之前的年数。这是另一种报价方式。例如，如果你终身每年收到5英镑，你需要20年才能收回100英镑（忽略利息），因此这将被称为20年购买。那么，一个主要的研究问题是：为什么整整三分之一的订户决定保留tontine基金，而三分之二的订户选择终身年金？很难说剩下的托汀投资者是非理性的、无知的，或者可能选择了彩票，而人寿年金投资者则选择了更好的财务条件。毕竟，这100英镑在1693年是一笔非常大的金额。

关于死亡率和/或风险厌恶的不同观点能否解释为什么一些投资者改变了投资方向，而另一些则没有？有人能为这个看似不合理的选择提供合理的解释吗？我们引入的框架（3）可能有助于阐明这一决定，或者至少使选择合理化。请注意，尽管为了管理tontine游泳池，必须保存非常仔细的记录，但今天我们只能访问（i.）参与1693 tontine游泳池的每个人的名单，以及他们被提名人的年龄（ii）他们的身份是1730年，以及（iii）他们的身份是1749年。这是我们掌握的三个主要文件。正如引言中提到的，1693年tontine家族中寿命最长的被提名人——在首次提名时只有10岁——活到了100岁，在1783年又活了90年。她是一位在温布尔登度过大四的女性，在她生命的最后一年获得了1081英镑的股息。虽然在七名幸存者留在tontine池后，她的支付就被封顶，但她的最终支付是最初投资100英镑的n倍。记住，这只值一年的红利！请注意，如果她在1693年改用终身年金——很可能是她的父亲做出了决定并提名了她，因为她当时只有10岁——然后活到1783年，她的红利将只有14英镑。图1和图2从1692年11月宣布百万法案tontine计划到1693年5月底和6月初最终名单关闭的六个月期间非常繁忙和有趣。

总部位于伦敦的tontine公司的发起人——可能是出于某种佣金的考虑——在1692年末发布了一份表格，声称该表格显示了未来100年的预期幸存者数量和相应的高股息支付率。这些最初的预测可能被认为没有吸引力，因为来源：Finlaison（1829）。8 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisbury的认购率远远低于10000目标。几个月后，在1693年初，发起人发布了一份随访表，显示该群体的死亡率更低，幸存者的预期股息支付率也相应更高。图1和图2以图形方式显示了这两组表格，以及留在tontine的1013名提名者的实际经验。请注意，实际存活率远远超过了最初的预测，这可能是基于人口道德。更健康（反选择）的提名群体。还有人猜测，埃德蒙·哈雷（Edmond Halley）参与了投资预测基础上的致命资产的创建，他于1693年3月向英国皇家学会（Royal Society）提交了第一个已知的生命表和年金定价模型。事实上，托丁的参与者反复提到埃德蒙·哈雷和他的生命表，他们随后抱怨死亡率低，甚至指控欺诈。但是，除了巧合之外，没有证据表明哈雷参与了tontine计划或其推广。表3显示了1693年夏天名单关闭时被提名人的年龄分布。回想一下，这是1013名提名者，他们没有切换到支付14%的年薪。他们在tontine pool工作了七年，收入为10%，之后为7%。

请注意1693年的年龄分布，以及这么多被提名者都在20岁、30岁、40岁甚至50多岁的事实。表3还显示了该群体在1730年和1749年的生存状态，这是仅有的两个可以获得详细文件和被提名人名单的日期。在下一节中，我们将介绍一种经济理论，以描述和理解谁可以选择参加托丁，谁可以选择终身年金，以及托丁的财产可能产生最高的终身效用。为了先发制人地预测结果，我们将证明，尽管终身年金在终身效用方面明显主导了托汀，但托汀支付结构的下降实际上是最优的。此外，如果投资者认为他们的被提名人比其他人健康得多，那么他们可能会更喜欢托丁而不是年金。3.Tontine vs.年金：经济理论我们假设一个客观的生存函数Tpx，对于一个x岁的人来说，它能生存t年。主观与客观生存率的影响将在后面讨论。我们假设tontine持续付款，而不是每季度或每月付款，尽管这并没有真正改变经济状况。基本年金包括年金受益人（他们也是被提名人）每人最初向保险公司支付1美元，并获得回报来源：Lewin（2003）来源：Walford（1871）来源：Leeson（1968）最佳退休TONTINES 9 c（t）dt终身收入流。年金的限制在于其定价合理，换句话说，由于拥有足够大的客户群，以无风险利率投资的初始付款将为所要求的永久付款提供资金。稍后我们将讨论保险负荷的含义。

无论哪种方式，年金支付函数c（t）都有一个约束，即（1）Z∞E-rttpxc（t）dt=1。虽然c（t）是每个幸存者的赔付率，但每个初始投入美元的赔付率是PxC（t）。稍后我们将回到这个话题。让u（c）表示消费的瞬时效用（又称幸福函数），没有遗赠动机的个人年金受益人（终身ζ）将选择终身年金支付函数，其中c（t）最大化贴现终身效用：（2）E[ZζE-rtu（c（t））dt]=Z∞E-rttpxu（c（t））其中，DTR（也是）主观贴现率（SDR），均受约束（1）。根据欧拉-拉格朗日定理，这意味着常数λ的存在，使得（3）e-rttpxu（c（t））=λe-换句话说，u（c（t））=λ是常数，因此如果效用函数u（c）是严格共存的，最优年金支付函数c（t）也是常数。这个常数现在由（1）决定，如下所示：定理4。优化的终身年金具有常数c（t）≡ c、 式中c=hZ∞E-rttpxdti-1.这一结果可以追溯到Yaari（1965年），他表明最佳（退休）消费比例是恒定的，当没有最佳动机时，100%的财富是年化的。有关更多细节和替代证据，请参阅Cannonand Tonks（2008）的优秀著作，特别是第7.3.1章中关于年金需求理论的讨论。最佳Tontine支付。当然，在实践中，支付人寿年金c（t）的保险公司既面临长寿风险，也面临再投资或利率风险，后者是长期的不确定性。前者是我们在这里关注的问题，所以我们将继续假设r是一个给定的常数。

请注意，即使确定了再投资率，保险公司的支出也可能低于方程式（1）中暗示的c（t），结果来源：Elsgolc（2007）page#51或Gelfand Fomin（2000），page#1510 M.a.MILEVSKY和t.S.SALISBURYof所需资本和准备金，有效地降低了退休人员的终身效用。这将我们带到tontine结构，我们将考虑作为替代方案，在该结构中，每个t的幸存者共享一个预先确定的美元金额。设d（t）为按初始投资美元支付的费率，即tontine支付函数。我们（在本文中）的要点是，tontine支付函数没有理由像历史上那样是初始投资美元的固定百分比（例如4%或7%）。事实上，我们可以提出与上述年金相同的问题：对于认购者来说，什么样的d（t）是最理想的，但前提是tontine的赞助人不能承受损失？请注意，现在自然比较的是d（t）和TPxC（t），其中c（t）是上述最佳年金支付。假设tontine计划最初有n个订户，每个订户向tontine赞助商存入一美元。设N（t）为t时刻实时订阅者的随机数。考虑其中一个订阅者。假设这个人还活着，N（t）- 1.~ 宾（n）-1，tpx）。换句话说，任何时候t的其他（活动）订阅者的数量是用概率参数Tpx二项分布的。正如我们发现的，对于终身年金，这个个体的贴现终身效用isE[Zζe-远程终端nd（t）N（t）dt]=Z∞E-rttpxE[u]nd（t）N（t）| ζ>t]dt=Z∞E-rttpxn-1Xk=0N- 1ktpkx（1-tpx）n-1.-库nd（t）k+1dt。tontine支付函数d（t）的约束条件是，初始存款n应足以永久维持取款。

当然，在某个时候，所有的订户都会去世，所以实际上tontine赞助商最终将能够停止付款，留下一笔小小的意外之财。但这一时间并不是预先确定的，所以我们认为这是tontine不可避免的特征。记住，我们不想让赞助者面临任何长寿风险。正是这一池完全承担了这一风险。因此，我们的预算或定价限制为（5）Z∞E-rtd（t）dt=1。因此，例如，如果d（t）=d被迫为常数（历史结构，我们称之为波动tontine），那么tontine支付函数（率）就是d=r，或者如果（5）中的积分上限小于完整性，则略大于d=r。相反，我们寻找的是远离常数的最优d（t）。根据变分法中的欧拉-拉格朗日定理，存在一个常数λ，使得最优d（t）满足（6）e-rttpxn-1Xk=0N- 1ktpkx（1-tpx）n-1.-knk+1und（t）k+1= λe-RTF表示每个t。请注意，该表达式直接将个人效用u（c）与年金联系起来。回想一下，tontine是一种参与或分担所有长寿风险的极端情况。方程式（6）明确规定了规避风险的退休人员将如何权衡消费与长寿风险。换言之，我们并不主张采用某种实际过程来平滑已实现的死亡体验。请注意，实际死亡率危险率uxd没有出现在上述等式中——它只是隐式出现在Htpx和λ中（由（5）确定）。所以，我们将通过重新参数化概率来简化我们的符号：让Du（p）满足（7）pn-1Xk=0N- 1kpk（1）- p） n-1.-knk+1unDu（p）k+1= λ.将p=1代入上述方程，它将收缩为u（Du（1））=λ。定理8。

最佳的音调结构是d（t）=Du（tpx），其中选择λ以便（5）保持。在恒定相对风险规避（CRRA）效用的情况下，我们可以简化这一点。Letu（c）=c1-γ/(1 - γ） 如果γ6=1，当γ=1时取u（c）=log c。定义（9）θn，γ（p）=EhnN（p）1.-γi=n-1Xk=0N- 1kpk（1）- p） n-1.-Knk+11.-γ，其中N（p）- 1.~ 宾（n）- 1，p）。设置βn，γ（p）=pθn，γ（p）。然后是推论10。在CRRA效用下，最佳tontine的退出率为DOTn，γ（p）=DOTn，γ（1）βn，γ（p）1/γ，其中（11）DOTn，γ（1）=hZ∞E-rtβn，γ（tpx）1/γdti-1.证据。假设γ6=1。然后DOTn，γ（p）的方程变成（12）DOTn，γ（p）-γpθn，γ（p）=λ=DOTn，γ（1）-γ.约束（5）现在意味着（11）。当γ=1时，类似的论点也适用。DOTn，γ（p）/DOTn，γ（1）=βn，γ（p）1/γ不取决于致死风险率ux的特定形式，也不取决于利率r，而只取决于长寿风险规避γ和tontine池的初始认购者数量n。换句话说，死亡率危险率和r仅通过常数DOTn进入DOTn，γ（p）的表达式，γ（1）.12 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisbury据我们所知，我们是第一个推导最优tontine支付函数性质的人，与文献中众所周知的最优终身年金相比。让我们来比较一下这两者。换句话说，我们比较两种产品的每个初始订户的支付。等价地，我们可以将最优托丁的实际支付与我们所说的自然托丁进行比较，其中支付为d（t）=DN（tpx），其中DN（p）与p成比例，就像每投资一美元的年金支付一样。比较预算约束（1）和（5），我们可以看到DN（p）=pc。我们很快就会看到，对于对数效用（γ=1），自然状态是最优的，当n较大时，自然状态接近最优。

因此，我们认为这是设计tontine产品的合理结构。图7显示了DOTn，γ（p）与DN（p）的比率，Gompertz危险率λ（t）=bex+t-兆字节这可以针对任何特定的危险率进行，但为了得到一个通用的结果，我们再次根据p和比例常数进行参数化。换句话说，我们考虑（13）Rn，γ（p）=DOTn，γ（p）/DOTn，γ（1）DN（p）/DN（1）=p1-γθn，γ（p）1/γ=βn，γ（p）1/γp。这有Rn，γ（1）=1，仅取决于p，γ和n，而不是特定的死亡率模型。根据大数定律，limn→∞Rn，γ（p）=1，对于任何固定的γ和p，我们有以下结果：定理14。对于任何n和0<p<1，Rn，γ（p）是< 1, 0 < γ < 1= 1, γ = 1> 1, 1 < γ.自Rn，γ（p）=βn，γ（p）/pγ1/γ，该定理紧随以下估计，如附录7.1所示。引理15。对于任何n和0<p<1，βn，γ（p）是< pγ，0<γ<1=pγ，γ=1>pγ，1<γ。由于低p对应于高龄，而p=1对应于购买日期，定理14意味着比对数（即γ>1）更厌恶长寿风险的个体更倾向于在高龄时增加自然tontine支出，而不是牺牲初始支出。而寿命风险厌恶程度低于对数（即0<γ<1）的个体则倾向于以牺牲高龄者的利益为代价来增加初始支出。注意，定理的情况γ=1暗示了前面的断言，即当γ=1时，自然音调是最优的，在这种情况下，参数很简单。对于u（c）=log（c），最优的欧拉-拉格朗日方程是d（t）=λ·tpx，这意味着DOTn，1（p）与p成比例。