衡量资本市场效率：长期记忆、分形维数

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英文标题：
《Measuring capital market efficiency: Long-term memory, fractal dimension
  and approximate entropy》
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作者：
Ladislav Kristoufek and Miloslav Vosvrda
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We utilize long-term memory, fractal dimension and approximate entropy as input variables for the Efficiency Index [Kristoufek & Vosvrda (2013), Physica A 392]. This way, we are able to comment on stock market efficiency after controlling for different types of inefficiencies. Applying the methodology on 38 stock market indices across the world, we find that the most efficient markets are situated in the Eurozone (the Netherlands, France and Germany) and the least efficient ones in the Latin America (Venezuela and Chile).
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中文摘要：
我们利用长期记忆、分形维数和近似熵作为效率指数的输入变量[Kristoufek&Vosvrda（2013），Physica A 392]。通过这种方式，我们可以在控制不同类型的低效率后，对股市效率进行评论。将该方法应用于全球38个股票市场指数，我们发现效率最高的市场位于欧元区（荷兰、法国和德国），效率最低的市场位于拉丁美洲（委内瑞拉和智利）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Measuring_capital_market_efficiency:_Long-term_memory,_fractal_dimension_and_app.pdf (892.08 KB)

2022-4-28 17:47:18 上传

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关键词：市场效率 资本市场 Econophysics Quantitative Applications

EPJ手稿编号（将由编辑插入）衡量资本市场效率：长期记忆、分形维数和近似熵分布Kristoufek1,2和Miloslav Vosvrda1,2捷克共和国科学院信息理论与自动化研究所Podvoarenskou Vezi 4208捷克共和国布拉格欧盟经济研究所社会科学院，布拉格查尔斯大学，Opletalova 261100，捷克共和国布拉格，欧洲接收：日期/修订版：日期摘要。我们利用长期记忆、分形维数和近似熵作为效率指数的输入变量[Kristoufek&Vosvrda（2013），Physica A392]。通过这种方式，我们可以在控制不同类型的效率后对股市效率进行评论。将该方法应用于全球38个股票市场，我们发现效率最高的市场位于欧元区（荷兰、法国和德国），效率最低的市场位于拉丁美洲（委内瑞拉和智利）。PACS。05.10.-统计物理和非线性动力学中的计算方法–05.45-非线性动力学与混沌——89.65。Gh经济学；经济物理学、金融市场、商业和管理1介绍有效市场假说（EMH）是现代金融经济学的基石之一。自20世纪60年代[14,34,15]引入EMH以来，EMH一直是一个有争议的话题。尽管如此，该理论仍然是经典金融经济学的一个稳定组成部分。无论其定义是通过随机游走[14]还是鞅[34]，有效市场假说的主要思想是，风险调整后的回报无法系统预测，也不可能存在高于假设相同风险的市场收益的长期收益。EMHde定义还与理性同质代理和收益高斯分布的概念密切相关。

这两个假设在文献[8]中被广泛忽略。在经济物理学文献中，EMH是最常被研究的序列相关结构。有几篇论文对各种金融市场的效率进行了排名。Di Matteo[12,13,11]的研究团队发现，各种资产（股票、汇率和利率）的相关性结构与特定国家和股票市场的发展有关。长期记忆和多重分形在财务序列中的重要性，然后在该小组随后的研究中进一步讨论[1,30,29]。在这一系列论文中，Cajueiro和Tabak[5,6,4,7]研究了长期记忆参数H与国家经济发展阶段之间的关系。这两组人都发现了有趣的结果：最不发达市场的持续（长期相关）行为与最不发达市场有关，但最发达市场的持续行为也与最不发达市场有关。Lim[28]研究了基于赫斯特指数的股票市场排名是如何随时间变化的，并报告称这种行为可能非常不稳定。Zunino等人[41]利用entropyto对股票市场进行排名，以表明新兴/发展中市场的效率确实低于发达市场。

尽管这些研究提供了rank2 Kristoufek&Vosvrda：衡量资本市场效率，但所考虑的记忆类型（长期记忆或熵/复杂性）是有限的，并且是分开处理的。在本文中，我们利用Kristoufek&Vosvrda[24]提出的效率指标，结合长期记忆、分形维数和熵，使用单一度量来控制各种类型的相关性和复杂性。基于对市场效率的定义，我们可以简单地基于无相关结构，陈述有效市场的长期记忆、分形维数和熵的预期值，以构建基于与有效市场状态的距离的效率度量。与最初的效率指数相比，将熵测度引入效率指数是一种新颖的方法[24]，它替代了指数的短期记忆效应，而该效应被证明是指数中相当弱的组成部分。短期记忆能力仍然受到分维的控制。结果表明，熵指标的加入对最终效率排名产生了巨大影响。该程序应用于来自世界不同地区的38个股票指数，我们表明，效率最高的市场确实是最发达的市场——西欧市场和美国市场——而效率最低的市场大多位于拉丁美洲和东南亚。本文的结构如下。在第二部分中，我们简要介绍了长期记忆、分形维数、熵和效率测量所使用的方法。第3节介绍了数据集并描述了结果。

第4节总结。方法学。1长时记忆长时记忆（长程依赖）通常在时域以自相关函数的幂律衰减为特征，在频域以接近原点的谱的幂律发散为特征。更具体地说，具有沿程相关过程滞后k的自相关函数ρ（k）衰减为ρ（k）∝k2H-2关于k→ +∞, 长程相关过程的频率为λ的频谱f（λ）发散为f（λ）∝ λ1-2Hforλ→ 0+. 长期记忆突变指数H的特征参数在0到0之间≤ H<1对于平稳过程。破坏值为0。5表示没有长期记忆，因此自动相关性衰减很快（指数或更快）。当H>0.5时，该序列是持续的，具有强的正相关，其特征是在保持平稳的同时表现出类似atrend的行为。对于H<0.5，序列是反持久的，它比随机过程更频繁地切换增量方向。在频域和时域中，长期记忆参数H有许多不同的估计器[35,36,37,2]。然而，估计值通常会受到短期记忆偏差[37,22]、分布特性[2,21,22]或有限规模效应[38,9,27,39]的影响，导致这些特定情况下的估计值具有相当大的置信区间。为了避免这些问题，我们使用了频率域中的两个估计器——局部Whittle和GPHestimators——它们适用于可能具有弱短期记忆的短期金融序列[35,36]，而且它们具有明确的渐近性质——一致性和渐近正态性。

效率指数是基于赫斯特指数H的这些估计器。局部Whittle估计器局部Whittle估计器[33]是一种半参数极大似然估计器——该方法利用了K¨unsch[26]的似然函数，只关注原点附近的一部分谱。周期图I（λj）=TPTt=1exp(-2πitλj）x被用作j=1，2，…，的一系列{xt}的谱的估计量，我在哪里≤ T/2和λj=2πj/T。假设序列是与0相关的长程指数≤ H<1时，localWhittle估计量定义为bh=arg min0≤H<1R（H），（1）其中（H）=对数mmXj=1λ2H-1jI（λj）-2小时- 1mmXj=1logλj.（2）局部Whittle估计量是一致的，并且在特定情况下是协正态的√m（伯克希尔哈撒韦）- H）→dN（0，1/4）。（3） Kristoufek&Vosvrda：测量资本市场效率3GPH估计器GPH估计器以Geweke&PorterHudak[17]的名字命名，基于基础过程的完整功能规范，即分数高斯噪声，意味着一种特定的频谱形式：对数f（λ）∝ -（H）- 0.5）log[4 sin（λ/2）]（4）同样，需要使用周期图估计光谱，以便使用最小二乘法对赫斯特指数进行估计，得出以下等式：log I（λj）∝ -（H）- 0.5）log[4 sin（λj/2）]（5）GPH估计量是一致的，且渐近正态[3]，具体而言√T（bH- H）→dN（0，π/6）。（6） 因此，渐近地，GPH估计比局部Whittle估计更有效。然而，只有当真正的基本过程确实是分数高斯噪声时，这一点才成立。在金融系列中，情况往往并非如此，这些过程主要是短期和长期记忆过程的组合。然后，GPH估计器变得有偏差。为了克服这个问题，我们只根据接近原点的一部分光谱（周期图）来设置GPHestimator，以避免短期记忆偏差。等式中的回归。

5不是在所有λj频率上运行，而是仅在基于与局部Whittle估计器相同的参数m的情况下运行。2.2分形维数分形维数D是序列粗糙度的度量，可以作为序列局部记忆的度量[24]。对于一元数列，它认为1<D≤ 2.对于自相似过程，分形维数与序列的长期记忆有关，因此D+H=2。这可以归因于局部行为（分形维数）对全局行为（长期记忆）的完美反映。然而，这种关系通常并不完全适用于金融系列，因此D和H对该系列的动态性有不同的见解。一般来说，D=1.5适用于没有局部趋势或非局部反相关的随机序列。对于低分维D<1.5的情况，该序列局部粗糙度较低，类似于局部持久性。相反，高分维D>1.5是具有局部抗持久性的粗糙序列的特征。出于效率指数的目的，我们使用了霍尔·伍德和根顿估计器[18,19]。Hall Wood估计器Hall Wood估计器[20]基于盒计数程序，利用步骤之间绝对偏差的缩放。正式地说，让我们有\\A（l/n）=lnbn/lcXi=1 | xil/n- x（i）-1） l/n |（7）表示尺寸为l的盒子内长度n系列的绝对偏差。根据分形维数[18,19]的定义，霍尔木材估计器由\\DHW=2给出-PLl=1（sl- \'s）日志（\\A（l/n））PLl=1（sl- 其中≥ 2，sl=对数（l/n）和¨s=LPLl=1sl。按照霍尔和伍德[20]的建议，使用L=2来最小化偏差，我们得到\\DHW=2-日志\\A（2/n）- 日志\\A（1/n）日志2。（9） Genton估计器Genton估计器是一种基于Genton[16]变异函数稳健估计的矩估计方法[18,19]。

将变异函数定义为\\V（l/n）=2（n- l） nXi=l（xi/n）- x（i）-l） l/n），（10）我们得到了Genton估计量asdDG=2-PLl=1（sl- \'s）日志（\\V（l/n））PLl=1（sl- ’s）（11）我在哪里≥ 2，sl=对数（l/n）和¨s=LPLl=1sl。使用L=2[10,40]再次减小偏差，我们得到DDG=2-日志\\V（2/n）- 日志\\V（1/n）2日志2。（12） 4 Kristoufek&Vosvrda：衡量资本市场效率2。3近似熵可以作为系统复杂性的度量。高熵系统的特征是没有信息，因此是随机的，反之亦然，低熵的序列可视为确定性的[32]。然后，有效市场可以被视为熵最大的市场，熵越低，市场效率越低。为了计算效率指数，我们需要一个有界的熵测度。因此，我们利用了Pincus[31]引入的近似熵。对于每一个我在1≤ 我≤ T- m+1，我们定义mi（r）=PT-m+1j=1d[i，j]≤rT-m+1（13），其中1o是一个二进制指示符函数，如果满足o中的条件，则等于1，否则等于0，其中[i，j]=maxk=1,2，。。。，m（| xi+k）-1.- uj+k-1|). （14） 因此，Cmi（r）可以被视为自相关的度量，因为它基于滞后序列之间的最大距离。平均Cmi（r）acrossi yieldsCm（r）=T-m+1T-m+1Xi=1Cmi（r）（15），与关联维数βm=limr相连→极限→+∞log Cm（r）log r（16），这反过来被视为系列的熵和复杂性的度量[31]。βm介于0（完全确定性）和1（完全随机性）之间。2.4资本市场效率测量根据Kristoufek&Vosvrda[24,25]，效率指数（EI）定义为asEI=VuTnxi=1cMi- M*伊丽！，（17） 其中Mi是效率的第i个度量值，Cmii是第i个度量值的估计值，M*iI是有效市场第i个度量的预期值，Ri是第i个度量的范围。

换言之，效率指标只是根据各种市场效率指标与有效市场规范之间的距离。在我们的案例中，我们考虑了市场效率的三个衡量指标——赫斯特指数H，有效市场（M）的预期值为0.5*H=0.5），分维D的预期值为1.5（M*D=1.5）和期望值为1（M）的近似熵*AE=1）。赫斯特指数的估计是基于局部Whittle估计的估计的平均值。分形维数的估计值再次被视为基于霍尔-伍德和根顿方法的估计值的平均值。对于近似熵，我们使用相应部分中描述的估计。然而，由于近似熵的范围在0（对于完全确定的市场）和1（对于随机序列）之间，我们需要重新调整其影响，即我们使用近似熵的RAE=2和其他两个度量的RH=RD=1，以便所有度量的有效市场价值的最大偏差都是相同的。3应用和讨论我们分析了来自不同地区的38个股票指数——完整列表见表1。1–2000年1月至2011年8月。因此，分析期涵盖了市场行为的各个阶段——网络混乱、泡沫破裂、2003-2007年的稳定增长和当前的金融危机。这些指标涵盖了北美和拉丁美洲、西欧和东欧、亚洲和大洋洲的股票市场，因此不同发展水平的市场都包括在研究中。标签。2总结了分析指数的基本描述性统计数据——收益率是渐近平稳的（根据KPSS测试），leptokurtic和大多数指数的收益率是负偏态的。现在让我们谈谈结果。在图1中，所有的结果都以图表的形式进行了总结。

由于使用了三种度量——赫斯特指数、分形维数和近似熵——我们给出了与有效市场预期值的绝对偏差，以供比较。对于赫斯特指数估计，我们观察到了巨大的差异——在几乎为零（智利的IPSA）和0.18（秘鲁的IGRA）之间。Kristoufek&Vosvrda：衡量资本市场效率5有趣的是，对于一些最发达的市场，我们观察到赫斯特指数远低于0。5（表3给出了具体的估计），但这与其他作者的结果一致[13,11]。分形维数的结果在股票指数中也有很大的差异。斯洛伐克指数的偏差最大（0.19），英国富时指数的偏差最小（0.02）。在标签上。3.我们观察到，除富时指数外，所有其他股票指数的分形维数均低于1.5，这表明指数是局部持续的，即在某些时期，指数经历了显著的正相关行为，这与关键事件期间的羊群行为的预期很好地一致。与前两种情况相比，各指标的近似倾向性估计更稳定。与有效市场预期值的最大偏差为智利IPSA（0.98），最低偏差为荷兰AEX（0.48）。显然，所有分析的股票指数都是高度复杂的，因为近似熵远不是理想的（有效市场）值1，而且其他两个应用的度量不能充分涵盖这种复杂度。因此，将近似熵纳入效率指数可以提高其价值。将这三个指标的估计值放在一起，我们得到了效率指数，该指数也以图形形式显示在图1中。为了根据指数的效率对其进行排名，我们提供了标签。3.