带止损规则的Kelly增长最优策略

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英文标题：
《The Kelly growth optimal strategy with a stop-loss rule》
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作者：
Mads Nielsen
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  From the Hamilton-Jacobi-Bellman equation for the value function we derive a non-linear partial differential equation for the optimal portfolio strategy (the dynamic control). The equation is general in the sense that it does not depend on the terminal utility and provides additional analytical insight for some optimal investment problems with known solutions. Furthermore, when boundary conditions for the optimal strategy can be established independently, it is considerably simpler than the HJB to solve numerically. Using this method we calculate the Kelly growth optimal strategy subject to a periodically reset stop-loss rule.
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中文摘要：
从价值函数的Hamilton-Jacobi-Bellman方程出发，我们导出了最优投资组合策略（动态控制）的非线性偏微分方程。该方程在不依赖终端效用的意义上是通用的，并为已知解的一些最优投资问题提供了额外的分析见解。此外，当最优策略的边界条件可以独立建立时，数值求解比HJB简单得多。利用这种方法，我们计算了周期性重置止损规则下的Kelly增长最优策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> The_Kelly_growth_optimal_strategy_with_a_stop-loss_rule.pdf (263.76 KB)

2022-5-5 04:45:17 上传

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关键词：Kelly 最优策略 Optimization Quantitative periodically

带止损规则的Kelly增长最优策略。NielsenGLG Partners LP，伦敦柯松街1号W1J 5HB，英国；Viking Science Ltd，伦敦W8 7AY，英国。从价值函数的Hamilton-Jacobi-Bellman方程出发，我们导出了最优投资组合策略（动态控制）的非线性偏微分方程。该方程在某种意义上是通用的，它不依赖于终端效用，并为一些已知解的最优投资问题提供了额外的分析视角。此外，当最优策略的边界条件可以独立建立时，数值求解比HJB简单得多。利用这种方法，我们计算了周期性重置止损规则下的Kelly增长最优策略。康特西。导言1。背景和动机2。价值函数和HJB方程3IV。最优策略y4v的非线性偏微分方程。已知的HJB解决方案6A。Kelly优化和幂函数实用程序6B。61号终点站的凯利。最大压降限制为7C的方钻杆。概率最大化策略7VI。Kelly最优策略和止损规则8A。适用于多资产组合ts 10VII。结论10参考文献11A。通过HJB 11B的勒让德变换进行推导。转换和分析解决方案12I。简介Kelly策略因其鲁棒性和最佳性能而受到从业者的青睐。g、 从长远来看，它主导着任何其他战略，并最大限度地缩短了达到目标的时间，如凯利[2]和阿蒙·奥瑟斯比·布雷曼[4]、索普[20,21,22]、哈肯斯[16,17]、阿尔盖特和封面[1]、默顿[19]、布朗[8,9]所示。

它还具有直观的吸引力，因为它与信息理论有关，这是Kelly[2]最初动机的一部分，尤其是最佳投资是同一事物对可用信息的最佳应用；参见Barron and Cover[3]和Cover and Thomas[10]。另一方面，纯无约束形式的凯利策略，我们称之为“自由凯利”策略，通常会导致一种过于激进的策略，具有太高的杠杆率和风险，不利于实际应用。真实投资者受到各种约束，凯利原则的一个实用版本可以表述为：在相关约束下优化投资组合的客观预期复合增长率。正是在这种形式下，Kelly原理在过去20年或s o中越来越受到实践者的欢迎。在本文中，我们关注这种意义上的最优策略，特别是在约束为停止水平形式的情况下。与大多数其他形式的约束不同，sto p水平对最优策略的影响随投资组合价值和调整（重置）止损水平前的剩余时间而变化。Gro ssman和Zhou[11]使用HJB和鞅方法的组合，解决了在缩减约束（尾部止损规则）下找到投资组合增长最优策略的相关问题，另见C vitanic和Karatzas[12]、Cvita nic[13]和下文第V B 1节。本文的计划如下。第二节提供了一些背景，第三节回顾了HJB的投资问题，并介绍了符号。在第四节中，我们推导了最优策略的非线性偏微分方程，在第五节中，我们考虑了几个已知解的例子，并讨论了方程的适用范围。

在第六节中，我们为周期性重置停止损耗的Kelly策略提供了一个数值解。第七节结束。二、背景和动机考虑一位谨慎的投资组合经理在一家全球宏观对冲基金中经营一本交易书。当选择合适的运行风险级别时，这样的阅读器会受到各种限制。除了杠杆率、压力测试和集中度限制，以及资产选择的可能限制外，账簿通常会受到ris k（VaR）限制值的约束。实际上，大多数交易者的账面价值都会显著低于这些限制，因为还有另一种约束：止损水平。站点可能有几种形式。例如，具有月流动性的账簿在流动性日期之间受到明确的软止损和硬止损水平的约束是很常见的。例如，如果一本书的3%VaR限额为95%1天，则可以在-5%MTD（当月至今），风险价值限额降至1%，并在-10%MTD，该月剩余时间的VaR限额降至零。在一个给定的月份，止损水平比该月初的投资组合价值低一个固定的百分点。在接下来的第一个月末，任何触发的止损点都将被释放并重置，投资者将有机会提取资金。作为大型对冲基金的一部分，管理相对较小子账簿的雇佣（非合作伙伴）交易主管通常也会受到明确的终止终止限制-25%的年初至今（年初至今），在这一点上，账簿关闭，他们失去了工作。即使是创始人和高级合伙人，他们可能不受任何明确高层的约束，也会在一个隐含的停止层下运作。

这是因为，如果bec从高水位线的下降幅度过大，那么在可预见的未来，将不会有绩效费用来支付运营费用，基金可能会发现自己处于人才流失、投资者撤资和低回报的下行状态。避免这种情况的愿望将意味着该基金只有在接近其最高点时才能在全风险下运作。事实上，对冲基金在asteep撤资后关闭的情况已经不止一次了，只是基金经理在不同的环境下开设了一只新基金。当然，历史也表明，如果交易操作没有止损，或者由于流动性不足或管理失败而无法强制止损，那么会发生什么。撇开道德方面不谈，很明显，无论是隐含的还是明确的止损水平，都是限制大多数基金风险的主要因素，止损水平的限制效应与投资组合值以及重置止损水平之前的剩余时间成比例。对到达终点的处罚是失去机会。对于一个终点站，机会成本可能取决于服务水平s是所有未来收益。当portfoliovalue接近止损水平时，策略可以通过降低风险来避免止损，但实际上，除非风险为零，否则无法保证止损不会被止损。在一个模型世界中，风险资产是以布朗运动为模型的，通过降低风险可以避免跌停，但这并不意味着没有机会损失。降低风险也会降低潜在回报，并增加投资组合在止损点附近花费的时间。

因此，在止损水平上方存在一种“死区”，投资组合的风险很小，并且可能会被虚拟卡住。最佳策略必须在过快降低风险与过慢降低风险之间找到正确的平衡，在这两种情况下都要放弃潜在回报。对于终端止损，或者需要很长时间重置，解决方案是有效地忽略止损水平以下的资本，并以最优方式投资，就像止损水平以上的资本是总资本一样。这样做，交易者只会冒着他能够生存下来的资本损失的一小部分。该策略独立于时间，但投资组合价值的函数在V B节中讨论，而在V B 1节中讨论了受最大支取限制的投资组合的相关最优策略。从实践角度来看，在每个周期结束时重置的停止水平更有趣。在不定期重置止损级别的情况下，对达到止损点或卡在死区的处罚不那么严重，因为这只是暂时失去机会。如果距离重置只有几天的时间，por tfolio值必须接近停止水平才能产生任何影响，但在另一个限制条件下，如果重置时间很长，则最佳策略必须接近与终端停止/最终地平线相同的策略。因此，可以预见，一个最优策略将上下调整风险，不仅根据止损点距离当前投资组合价值的距离，还根据止损点重置前的剩余时间。

这是解决这个问题的最佳策略，在第六节中详细讨论，这是我们的主要目标。这个问题的现实建模将非常复杂，取决于特殊的细节，这超出了我们在本文中的目标。相反，我们的目标是研究最简单的非随机模型中的最优策略。事实证明，第六节中讨论的最终策略与常见的交易策略非常接近，可以为实际投资组合的适当风险水平提供粗略的指导。三、 价值函数和HJB等式我们使用标准的最小投资组合模型，该模型由一个显示几何B罗年运动的风险资产和一个指数增长的无风险资产组成，分别由演化DST=St（udt+σdWt），（1）dBt=rBtdt，（2）带u增长率和σ风险资产的波动率，r无风险率，以及对香肠加工的前瞻性改进。一种自我融资的交易策略，将分数α投资于风险资产，并获得分数（1）-α） 在无风险资产中，将导致投资组合价值根据等式dptpt=[r+α（u- r） ]dt+ασdWt。（3） 通过引入贴现相对投资组合价值πt=Ptexp，可以简化分析(-rt）P.（4）我们可以认为πt是π=1和πt的投资组合的指数-1时间t的总回报，以时间0美元衡量。或者，如果r是通货膨胀率，则可以将其视为实际回报。这一定义从贴现投资组合值πtπt=α（πt，t）[（u- r） dt+σdWt]，（5）我们已经指出，策略可能取决于投资组合的价值以及时间。

我们关心的问题的目标是最大化或最小化终端“奖励”函数g（πT）。对于Kelly增长最优投资组合，这将是周期增长率g（πT）=logπT。价值函数定义为从时间T的中间点π开始的路径上的终端回报预期，并根据（5）进行最优控制，即J（π，T）=maxαe[g（πT）|πT=π]。（6） 值得注意的是，我们在目标中排除了一个消费类型的术语（持续的合作/奖励），因为这会使分析变得相当复杂，但使用附录a的方法，这种术语至少可以在简单的情况下处理（通过在（A8）中添加等效术语）。值函数J和控制α满足Hamilton-Jaco-bi-Bellman方程0=tJ+maxα（π，t）α(u - r） ππJ+ασππJ, （7） 必须根据最终时间边界条件j（π，T）=g（π）求解。（8） 等式（7）-（8）也可用于通过将最大值替换为最小值来找到最小化终端目标g（πT）期望值的策略。在任何一种情况下，目标函数g（·）都必须有一种能使问题得到充分定义的形式。目前，由（7）和（8）定义的HJB问题相当复杂，因为它涉及两个未知函数J和α，由组合的PDE/最大化方程连接。使问题可解的技巧是，在某些条件下，我们可以在求解J之前对控制进行优化（参见Yongand Zhou[23]，Oksendal[24]）。基本上，条件是J必须有一个形状，使得（7）中的优化问题有一个明确的解决方案。这必须是实际解决方案的后验结果（但在许多应用中，这是相当明显的）。本质上，J对于最大化问题必须是凹的，对于最小化问题必须是凸的。

根据贝伊尔曼原理，最优控制在每个子区间上也必须是最优的。在目前的情况下，这意味着α必须在每个阶段优化（7）。这会受到α（·）=0，给出形式解α=-u - rσπJππJ.（9）将这一点代入（7），消除控制，从而得到HJB方程，仅用于值函数tJ=（u）- r） 2σ(πJ）对于任意边界条件，则将π（10）与边界条件（10）一起减少为π（10）≤ tπ≤ πU，可能是交感的）。因此，标准程序是通过求解值函数来启动t，然后通过第二步计算（9）中的最优策略。（1 0）隐藏了一个更简单的底层结构，这一点是由勒让德变换将其转化为线性二阶偏微分方程（如附录A.IV所述）提供的。最优策略的非线性偏微分方程自然会问，是否存在最优策略的偏微分方程，而不参考值函数。这样的方程不仅本身有趣，而且可能使我们绕过价值函数，并可能具有相当大的实际效益。在本节中，我们将展示如何消除价值函数，并推导出一个非线性偏微分方程，该方程由最优控制本身来观察。推导要求所涉及的函数在域内部足够平滑，但在实践中这不一定是一个很大的限制。起点是价值函数（10）的HJB和最优控制方程（9）。

如果我们把HJB方程（10）和后面的方程一起用π与π和最优控制方程（9）通过在两个方向上的运算得到方程Tπ与π、 然后我们有一个由七个未知量α方程组成的系统，tα，πα, πα, tJ，πJ，πJ，TπJ，TπJ，πJ，πJ.我们的目标是推导一个只涉及随机控制及其导数α的方程，tα，πα, πα. 从表面上看，我们需要八个方程才能消除值函数的七阶导数，并且仍然只剩下一个控制方程，但请注意，根据（9）给出的随机控制，仅通过两个导数之间的比率依赖于值函数πJ/πJ，这意味着只有六个方程需要消除所有的JTπJ，TπJ，πJ，πJ，剩下的三个方程可以用πJ=-u - rσπJπα（11）πJ=-tJtαπ-2.π(ππα), (12)πJ=（u）- r） 2σ(πJ）tJ。（13） 这个比率给出了πJ/分别是tJπJtJ=-(u - r） απ，（14）πJtJ=σπα（u- r）tαπ-2.π(ππα). （15） 因此，最优策略必须遵循以下等式tα=-σαπππα. （16） 这是一个非线性P DE，在投资组合价值中为二阶，在时间上为一阶。非线性表现在右侧的α因子中。与价值函数的HJB一样，它必须从一个初始时间边界条件开始，在一段时间内求解回差。一般来说，解也必须服从π方向的边界条件，这可能是渐近的。它让人想起一个逆时间的非线性扩散方程，但它并没有严格要求的结构（见附录a）。