离散时间博弈期权的短缺最小化

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英文标题：
《Shortfall Minimization for Game Options in Discrete Time》
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作者：
Yuri Kifer
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We prove existence of a self-financing strategy which minimizes shortfall for game options in discrete time
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中文摘要：
我们证明了一个在离散时间内最小化博弈期权短缺的自筹资金策略的存在性
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Shortfall_Minimization_for_Game_Options_in_Discrete_Time.pdf (106.96 KB)

2022-6-10 08:33:10 上传

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关键词：离散时间 Quantitative Game Options Mathematical Applications

JerusalEmtract希伯来大学数学研究所，YuriKiferInstitute OF MATHEMATICS。我们证明了一个在离散时间内最小化博弈期权风险的自融资策略的存在性。1、定义和结果我们在这里考虑的是【3】中介绍的以色列（博弈）未定权益。1.1. 定义。允许l 是一个凸增函数，等于零o n{x≤ 0}，Nbe为正整数，H（m，n）=UmIm<n+WnIn≤m、 英国≥ 工作时间：≥ 0k≥ 0 b ea支付函数满足El（联合国）<∞ 对于n=0，1。。。，N给定自我融资策略π的博弈未定权益的短缺风险r（π）由r（π）=infσ定义∈T0Nsupτ∈T0NE公司l（H（σ，τ）- Xπσ∧τ） =infσ∈T0Nsupτ∈T0NE公司l（（H（σ，τ）- Xπσ∧τ） +）其中T0是所有停止时间τ的集合，取值s介于0和N之间。在博弈未定权益案例中，如果所有N=0，1，…，对应的投资组合值Xπ为非负，则称为可接受的自融资投资组合策略。。。，N具有Xπ的容许策略集≤ x将用∏x表示。可容许投资组合策略π的存在性*使得r（π*) = 在fπ中∈πxr（π）对于x>0，x<infσ∈T0Nsup▄P∈P（P），τ∈T0NEP（H（σ，τ））对于在不确定概率空间中定义的市场，不难获得。实际上，对于任何σ∈ T0Nandπ∈ πxsetr（σ，π）=supτ∈T0NE公司l（H（σ，τ）- Xπσ∧τ).然后，与美国未定权益案例一样，我们可以找到πσ∈ πxsuch thatr（σ，πσ）=infπ∈πxr（σ，π）。考虑到在T0N的样本空间中，只有非常多的停止时间Ohm 是有限的（或当过滤由有限σ-代数组成时），我们得到π的存在*∈ πxsuch thatr（π*) = 最小σ∈T0Nr（σ，πσ）=infπ∈πxr（π）。对于一般市场，这种π的存在*这是一个更困难的问题，特别是因为，在这种情况下，上述r（π）不是π的凸函数。

然而，事实证明，对于相同的未定权益，这个问题也可以得到肯定的回答，这将扩展[1]中第6节的结果。日期：2021年11月1日。KiferWe在一般概率空间上考虑了一个圆盘网时间市场(Ohm, F、 P）债券价格为亿欧元的贴现数量≡ 1.n≥ 0保持不变，而时间n的库存价格的形式为sn=SnYk=1（1+ρk），其中Sis为正常数，ρ，ρ。。。是值为的随机变量序列(-1.∞). 我们还假设市场不允许套利。接下来，在N<∞ 而支付函数h（m，n）=UmIm<n+WnIn≤mwhere Uk=fk（ρ，…，ρk）≥ Wk=gk（ρ，…，ρk）≥ 0表示某些可测量函数fk=fk（x，…，xk）≥ gk=Rk上的gk（x，…，xk），k=1。。。，N我们假设El（英国）<∞ 对于所有k=1，2。。。N、 1.2。定理。在上述任何x>0的条件下，存在一个停止时间σ*≤ N和可接受的自我融资投资组合策略π*这样R（σ*, π*) = infσ∈T0N，π∈πxr（σ，π）。2、校对。设置ρ（k）=（ρ，…，ρk），并用u（k）表示随机向量ρ（k）的分布(-1.∞)k Rk。设F={, Ohm}, Fk=σ{ρ，…，ρk}，k=1，2。。。beσ-由ρ，ρ，….生成的代数。。。。众所周知（例如，参见[2]中的定理10.2.1和10.2.2），在这种情况下，对于每个x（k）=（x，…，xk）∈(-1.∞)k存在概率度量u（k+1）x（k）(-1.∞) 因此，对于anyBorel se tΓ R、 u（k+1）x（k）（Γ）=P{ρk+1∈ Γ| Fk}P- a、 对于任何Borel集Q Rk+1，u（k+1）（Q）=ZRku（k+1）x（k）（Qx（k））du（k）（x（k）），其中Qx（k）={x∈ R：（x（k），x）∈ Q} 。此类度量值u（k+1）x（k）被称为度量值u（k+1）的正则条件概率或分解。观察如果ρ，ρ。。。

则u（k+1）x（k）不依赖于x（k），它与ρk+1的分布νk+1相等，因此在这种情况下u（k+1）=ν×ν×···×νk+1。回想一下，时间n对应于自融资投资组合策略的贴现投资组合值π=（βn，γn），n≥ 0可以写成Xπn=βn+γnSn=Xπ+nXk=1γk的形式Sk公司。由于市场不允许套利，u（n+1）x（n）（0，∞) < 1表示u（n）-几乎是所有x（n），因为否则，我们可以在第n阶段购买股票，在第n阶段购买股票，当ρ（n）等于x（n）满足u（n+1）x（n）（0，∞) = 1并在下一阶段销售Shortfall最小化3。因此，对于u（n）-几乎所有x（n）（2.1）都支持u（n+1）x（n）∩ (-∞, 0）6=0或suppu（n+1）x（n）={0}，其中supp表示度量的支持，即零度量的所有运算集的并集的补。L etan+1（x（n））=inf（suppu（n+1）x（n））。如果π是容许的，则概率为1（2.2）Xπn+1=Xπn+γn+1Sn+1=Xπn+γn+1Snρn+1≥ 0，so（2.3）Xπn+γn+1Snan+1（ρ（n））≥ 通过（2.1）和（2.3），概率为1-∞ ≤ an+1（ρ（n））<0和γn+1≤XπnSn(-an+1（ρ（n）），其中c-∞= 0，或an+1（ρ（n））=0，然后支持u（n+1）ρ（n）={0}和γn+1的任意选择≥ 0将保留可接受性。接下来，setbn+1（x（n））=sup（supu（n+1）x（n））。并观察到对于u（n）-几乎所有x（n）eithersuppu（n+1）x（n）∩ (0, ∞) 6=0或支持u（n+1）x（n）={0}，否则我们可以通过在u（n+1）ρ（n）时在第n阶段卖空股票，在第n阶段获得无风险收益(-∞, 0）=1，并在下一阶段关闭这些位置。By（2.2），Xπn+γn+1Snbn+1（ρ（n））≥ 因此，概率为0<bn+1（ρ（n））≤ ∞ 然后是γn+1≥ -XπnSnbn+1（ρ（n）），其中c∞= 0，或bn+1（ρ（n））=0，然后支持u（n+1）ρ（n）={0}和γn+1的任意选择≤ 0将保留可接受性。

γn+1上的上述条件是在下一个（n+1）阶段保持p或folio值非负的唯一约束条件。这一讨论促使我们考虑在n+1时所有可能的投资组合值的集合An（X，ρ（n）），前提是n时的投资组合值为X，这是一个非负的Fn可测随机变量。因此，An（X，ρ（n））=Y：Y=X+α序号+1用于-XSnbn+1（ρ（n））≤ α ≤ -XSnan+1（ρ（n）），如果0>an+1（ρ（n）≥ -∞ 0<bn+1（ρ（n））≤ ∞如果an+1（ρ（n））=0或bn+1（ρ（n））=0，则Y=X.接下来，我们将介绍以下最佳停止（Dynkin）游戏。对于每个可容许的投资组合策略π∈ πx，x>0 setQπ（m，n）=l（嗯- Xπm）Im<n+l（Wn）- Xπn）Im≥n4 Yu。Kiferwhere和以前一样，l 在{x上凸增损失函数等于零吗≤ 0}并且El（联合国）<∞ 适用于所有n≥ 通过反向感应ψπN=l（联合国- XπN），对于N=N- 1，N- 2.0，ψπn=最小值l（联合国- Xπn），最大值(l（Wn）- Xπn），E（ψπn+1 | Fn））,其中，回忆一下，Un=fn（Sn）和Wn=gn（Sn）。然后，根据第三课讨论的Dynkingames的结果，我们得到ψπ=infσ∈T0Nsupτ∈T0NEQπ（σ，τ）=r（π）。此外，存在σ=σ（π），使得r（π，σ）=supτ∈T0NEQπ（σ，τ）=r（π）。接下来我们将构造π*∈ πx和σ*∈ t确保（2.4）r（π*, σ*) = infπ∈πxr（π）。回想一下，如果f：[0，∞) → [0, ∞) 是一个下半连续函数，即lim infz→zf（z）≥ f（z）对于任何z，则参数min0≤z≤af（z）=最小值{0≤ z≤ a：f（~z）=最小0≤z≤af（z）}定义良好。我们需要反向归纳法定义以下函数。

首先，我们把（x（N），y，z）=JN（x（N，y）=l（fN（x（N））- y） ，x（N）∈(-1.∞), y≥ 0，然后对于ny n<n，z∈ (-∞, ∞), y≥ 0和x（n）=（x，…，xn）∈ (-1.∞)nwe设定值（x（n），y，z）=最小值l（fn（x（n））- y） ，最大值(l（gn（x（n））- y） ，R∞-1Jn+1（（x（n），u），y+zuκn（x（n）））du（n+1）x（n）（u）andJn（x（n），y）=infz∈Gn（x（n），y）In（x（n），y，z），其中κn（x（n））=SQnk=1（1+xk）和Gn（x（n，y）={z∈ R:-y（κn（x（n））bn+1（x（n）））-1.≤ z≤ -y（κn（x（n））an+1（x（n）））-1如果0>an+1（x（n））≥ -∞ 0<bn+1（x（n））≤ ∞而z是任意的，如果an+1（x（n））=0或bn+1（x（n））=0}。为了使用上述argmin概念，我们需要证明In（x（n），·，·）和jn（x（n），·）在点表示的参数中是较低的se-mi连续。自从l 是一个连续函数，IN（x（N），·，·）=JN（x（N），·）是连续的，因此它们是下半连续的。假设在n=n，n的情况下，为Inand Jn建立了下半连续性- 1.m+1，我们证明了n=m→∞yk=y和limk→∞zk=z。由于Jm+1（（x（m），u），·，·）是下半连续的，我们通过Fatou引理得到Fm（x（m），y，z）=R∞-1μm+1（（x（m），u），y+zuκm（x（m）））du（m+1）x（m）（u）≤R∞-1即时消息→∞Jm+1（（x（m），u），yk+zkuκm（x（m）））du（m+1）x（m）（u）≤ lim信息→∞R∞-1Jm+1（（x（m），u），yk+zkuκm（x（m）））du（m+1）x（m）（u）=lim infk→∞Fm（x（m），yk，zk），短缺最小化5，因此Fm（x，y，z）在y和z上是下半连续的l 是一个连续函数，我们得到Im（x（m），y，z）在y和z上也是下半连续的。下一步，让limk→∞yk=y应使limk→∞Jm（x（m），yk）存在。如果m+1（x（m））6=0，bm+1（x（m））6=0，那么由于Im（x（m），y，z）在z较低，因此对于每个y和x（m）∈ (-1.∞) 存在zk∈ Gm（x（m），yk），例如Jm（x（m），yk）=Im（x（m），yk，zk）。当am+1（x（m））6=0且bm+1（x（m））6=0时，序列{zk}k≥1在紧致区域中的稳定，因此我们可以选择一个收敛子序列zki→ z作为i→ ∞ 带z∈ G（x（m），y）。

ThenJm（x（m），y）≤ Im（x（m），y，z）≤ lim infi公司→∞Im（x（m），yki，zki）=lim infi→∞Jm（x（m），yki）=limk→∞Jm（x（m），yk）。因为对于任何序列yk→ 我们可以选择一个子序列→∞Jm（x（m），yk）=limi→∞Jm（x（m），yki）我们得到Jm（x（m），y）≤ lim信息→∞当am+1（x（m））6=0和bm+1（x（m））6=0时，Jm（x（m），yk）完成诱导步骤。如果am+1（x（m））=0或bm+1（x（m））=0，则u（m+1）x（m）{0}=1，并且soFm（x（m），y，z）=Jm+1（（x（m），0），y）不依赖于z，在这种情况下，Im（x（m），y，z）也不依赖于z。n Jm（x（m），y）=Im（x（m），y，0），由于Im（x（m），y，0）在y中是下半连续的，我们得到Jm（x（m），y）在y中也是下半连续的，在这种情况下也完成了诱导步骤。现在我们可以构造π*∈ πx和σ*∈ （2.4）对于这样的π成立*和σ*. 设置Xπ*= x和电感yxπ*n+1=Xπ*n+λn（ρ（n），Xπ*n）Sn+1，其中λn（x（n），y）=argminγ∈Gn（x（n），y）In（x（n），y，γ），如果an+1（x（n））6=0，bn+1（x（n））6=0，而λn（x（n），y）=In（x（n），y，0，如果an+1（x（n））=0或bn+1（x（n））=0，则在这种情况下，In（x（n），y，z）不依赖于z。因此，我们设置γn+1=λ（ρ（n），xπ*n） βn+1=Xπ*n+1- γn+1Sn+1。同时定义σ*= 最小值{0≤ n≤ 编号：l（联合国- Xπ*n） =ψπ*n} 。验证（2.4）我们通过反向归纳证明（2.5）Jn（ρ（n），Xπ*n） =ψπ*对于任何π∈ πx，（2.6）Jn（ρ（n），xπn）≤ ψπn。根据定义JN（ρ（n），Xπn）=ψπ，对于任何可接受的自我融资策略π，因此（2.5）和（2.6）对于n=n都是微不足道的。假设（2.5）和（2.6）对所有N都成立≥ n≥ m+1并证明它们的n=m。

我们躺在6号船上。Kiferproperties of regular conditional probability上文讨论的正则条件概率的性质，我们可以用概率1写出，EJm+1（ρ（m+1），Xπm+1）| Fm= EJm+1（（ρ（m），ρm+1），Xπm+γm+1ρm+1κm（ρ（m））| Fm=R∞-1Jm+1（（ρ（m），u），Xπm+γm+1uκm（ρ（m）））dum（u）。根据ψπm，Im（ρ（m），Xπm，γm+1）和Jm（ρ（m），Xπm）的定义，概率为1，ψπm≥ Im（ρ（m），Xπm，γm+1）≥ Jm（ρ（m），Xπm），对于任何可接受的自我融资策略π，完成（2.6）的归纳步骤。另一方面，如果我们选择γ*m+1=γm+1=λ（ρ（m），Xπ*m）∈ G（ρ（m），Xπ*m） 然后通过π的构造*,Im（ρ（m），Xπ*m、 γ*m+1）=Jm（ρ（m），Xπ*m） 。通过概率为1的归纳假设，Im（ρ（m），Xπ*m、 γ*m+1）=最小值l（fm（ρ（m））- Xπ*m） ，最大值(l（gm（ρ（m））- Xπ*m） ，E（Jm+1（ρ（m+1），Xπ*m+1）| Fm）= 最小值l（fm（ρ（m））- Xπm），最大值(l（gm（ρ（m））- Xπm），E（ψπ*m+1 | Fm）= Ψπ*m、 因此，Jm（ρ（m），Xπ*m） =ψπ*M完成（2.5）的导入步骤。观察π*= (β*n、 γ*n） Nn=1，带β*n=Xπ*n- γ*nSn。最佳停车时间σ的计算公式*下面是关于Dynkin的g ameswhich的标准结果，在第3课中进行了讨论。最后，r（π*, σ*) = r（σ*) = Ψπ*= J（S，x）≤ ψπ=r（π），对于任何可接受的自我融资投资组合策略π∈ πx，so（2.4）成立，完成了定理的证明。参考文献【1】Y.Dolinsky和Y.Kifer，《离散时间博弈期权的风险对冲》，随机79（2007），169–195。[2] R.M.Dudley，《真实分析与概率》第二版，剑桥大学出版社，2003年。[3] 于。Kifer，《博弈选择，金融与随机》，4（2000），443–463。