比例交易成本下的市场生存性研究

例如，可预测Stieltjes积分（文献[13]的定理A.9]和分部积分公式（文献[13]的命题A.16]）的一些收敛结果在我们的证明中起着重要作用，然而，无摩擦市场中的文献依赖于随机积分w.r.t.半鞅的收敛结果。实际上，在无摩擦市场中，财富过程的NLABP条件可能总是成立的，因为财富过程（H·S）不存在局部套利，或者存在局部套利，但投资组合过程H不一定有界，通常只要求是可预测和可整合的。另一方面，我们的股价过程S不一定是半鞅，而流动价值过程缺乏超鞅性质，这是无摩擦市场中由局部鞅函数贴现的每个财富过程自然拥有的。对于N UPBR条件与无交易成本模型中局部鞅函数的存在性之间的等价性，[27]中的证明依赖于一个事实，即num’eraire投资组合过程是一个超鞅，num’eraire的变化幅度，而[18]中的证明基于半鞅价格过程的一些概率特征，这些结果不再适用于我们的环境。正如第5节所讨论的，我们不认为num’eraire投资组合流程是一种超级艺术。需要一些新的想法来支持定理2.1中等价性的证明。特别是，需要NUPBR和NLABP条件来保证我们的主要结果。3.定理2.1的证明分为几个步骤。我们首先介绍（2）=> （1） 在下一个重要命题中。3.1. 证明（2）=> (1).提议3.1。

如果存在SCLMS（~S，Zt）∈ Zsloc（λ），则股票价格过程满足稳健意义下交易成本λ的NUPBR和NLABP条件。证据由于存在一个SCLM（~S，Z），因此∈[0，T]λtSt- |圣-~St|> 0 a.s.，我们可以确定ξt=infs∈[0，t]λsSs- |党卫军-~Ss|得到ξt>0a.s.表示所有t∈ [0，T]。此外，我们还得到了（1）- λt）St+ξtλt1+λt<~St<（1+λt）St- ξtλt1+λta。sT∈ [0，T]，因为0<λt1+λT<1。因此，我们可以为所有t选择S′t=stt∈ [0，T]和λ′T=λT- ξtλt（1+λt）St.首先，很容易验证∈[0，T](1 - λ′t）S′t- (1 - λt）St> 0、a.s.和inft∈[0，T]（1+λt）St- （1+λ′t）S′t> 0，a.s.以及inft∈[0，T]λ′tS′t- |不是-~St|> 上午0点。。此外，我们还可以检查t的0<λ′t<1∈ [0，T]。为了看到这一点，我们可以证明0<ξt（1+λt）St<1a.s。T∈ [0，T]，这是（ξT）T定义的直接结果∈[0，T]。因此，较小的价差就足够了- λ′t）S′t，（1+λ′t）S′t]S用交易成本λ′满足NUPBR条件和NLABP条件。表示V（λ′；S′）1-容许自融资组合下的最终清算值集。我们首先证明了V（λ′；S′）在概率上是有界的。为此，我们首先验证Supvliq，1T∈V（λ′；S′）E[Vliq，1TZT]<∞. （3.1）根据SCLMS（~S，Z）的定义，我们得到~SZ是一个局部鞅。我们声称对任何人来说∈ A（λ′；S′），我们有vliq，1t（φ，φ）≤ 1+ZtφudSua。sT∈ [0，T]，（3.2），其中rtφudsui被解释为随机积分。为了看到这一点，我们重写了vliq，1t（φ，φ）=1+φt+φtS′t- λ′t |φt | S′t.8二汉·贝拉克塔尔和项羽利用分部积分（见[13]的命题A.16），我们得到了VLIQ，1t-1+ZtφudSu= φt+φtS′t- φt~St+Zt~Sudφu- λ′t |φt | S′t=φt+ZtSudφu+φt（S′t-~St）- λ′t |φt | S′t，（3.3），其中，t | Sudφuis是可预测的Stieltjes积分。通过（2.1）和事实（1- λ′t）S′t<St<（1+λ′t）S′ta。s

尽管如此，t∈ [0，T]，我们有φT+RtSudφu≤ 0和φt（S′t）-~St）- λ′t|φt|S′t≤ 0，a.s。T∈ [0，T]，这意味着Vliq，1t（φ，φ）≤ 1+RtφudSua。s、 对于t∈ [0，T]。设Xt=1+Rtφud~Su。因为（~StZt）t∈[0，T]是一个局部鞅，应用分部积分，我们推导出ztxt=1+Zt（Xu-- φu~Su-)dZu+Ztφud（~SuZu）。由于Ansel-Stricker定理（见[1]），我们得到了ZtXtis是一个局部martin gale，和d sinceXt≥ Vliq，1t（φ，φ）≥ 0，我们推断ZTXT是一个超鞅。因此，它遵循[Vliq，1TZT]≤ E[XTZT]≤ XZ=1。由于右边的ide独立于Vliq 1T的选择，我们得到（3.1）是正确的。由（3.1）得出，zt对于所有t都是严格正的∈ [0，T]因此ZT>0，P-a.s.，引理3。[15]中的2表示集合V（λ′；S′）的概率有界。因此，我们可以得出这样的结论，即满足NUPBR条件。另一方面，要证明满足NLABP条件很简单。由于Z和Z是局部鞅，存在一个局部化序列{τn}n∈确认一下∧τnZt∧τ与Zt∧τ是真鞅。对于同一序列{τn}n∈N、 假设有人∈ N、 存在一类有界容许投资组合（φ，φ）∈ Abd（λ），使得（2.5）适用于停止时间τn。定义概率测度Q~ P bydQdP=Zτn。由此得出∧τ是Q下的鞅。此外，由于|φt |≤ M.a.s.对于某些M>0，stoch积分∧τnφudsui是Q下的真鞅。因此，我们可以推导出等式[Vliq，0τn（φ，φ）]≤ EQhZτnφudSui=0。然而，这与Q（Vliq，0τn（φ，φ）是矛盾的≥ 0）=1和Q（Vliq，0τn（φ，φ）>0）>0~ P以及（2.5）。因此，我们获得了满足定义2.3和满足NLABP条件的s打顶时间τnT序列。3.2. 证明（1）=> (2).证明这一方向需要更多的准备。

首先，需要注意的是setVx（λ）本身不是凸的。因此，我们将考虑由C（1）定义的实心外壳，{V∈ L+：V≤ Vliq，1T∈ V（λ）}。（3.4）C（x）={V∈ L+：V≤ Vliq，xT∈ Vx（λ）}=xC（1）和C（x）是凸的三维实体。引理3.1。如果股价过程（St）没有∈[0，T]满足交易成本（λT）T∈[0，T]，集合{kφkT:（φ，φ）∈ A（λ；S）}，其中我们用kφkT表示φ在[0，T]上的总变量，在概率上是有界的。证据设（λ′，S′）如定义2.5所示。对于任意φ=（φ，φ）∈ A（λ；S） A（λ′；S′），我们有0≤Vliq，1；S、 λt（φ，φ）≤ 1+Zt（1- λu）Sudφ1，↓U-Zt（1+λu）Sudφ1，↑u+φtSt- λt |φt | St=1+Zt（1- λ′u）S′udφ1，↓U-Zt（1+λ′u）S′udφ1，↑u+φtS′t- λ′t|φt|S′t-Zt(1 - λ′u）S′u- (1 - λu）Sudφ1，↓U-Zt（1+λu）Su- （1+λ′u）S′udφ1，↑u+φt（St- （S\'t）- |φt |（λtSt）- λ′tS′t）a.s。T∈ [0，T]。（3.5）让我们定义ξt=infs≤t（（1）- λ′s）s′s- (1 - λs）Ss）和ηt=infs≤t（（1+λs）Ss- （1+λ′s）s）。观察到φt（St- （S\'t）- |φt |（λtSt）- λ′tS′t）<0表示所有t∈ [0，T]，由（3.5）可知（ξT∧ ηT）kφkT≤ZT(1 - λ′u）S′u- (1 - λu）Sudφ1，↓u+ZT（1+λu）Su- （1+λ′u）S′udφ1，↑U≤1+ZT（1- λ′u）S′udφ1，↓U-ZT（1+λ′u）S′udφ1，↑u+φTS′T- λ′T|φT|S′T=Vliq，1；S′，λ′Ta。s由于[0，T]上的S满足RNUPBR条件，我们知道V（λ′；S′）的概率有界。通过假设ξT>0和ηT>0a.s。。现在使用[12]中的引理3.1，我们得到了集合{kφkT，φ∈ A（λ；S）}的概率有界。在第5节中，下列结果的证明对于确定效用最大化问题的最优解的存在性以及数量投资组合的存在性也是至关重要的。提议3.2。如果（St）t∈[0，T]满足交易成本（λT）T∈[0，T]，集合C（1）在概率收敛下闭。证据

进行序列VnT∈ C（1）使VnT→^VTin概率，通过传递到su序列，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设VnT→^VTa。s我们需要核实一下∈ C（1）。现在考虑序列Xn∈ 满意的VnT≤ 新塔。s根据V的定义，存在一个序列（φ0，n，φ1，n）∈ A和Xnt=1+φ0，nt+φ1，ntSt- λt |φ1，nt |所有t∈ [0，T]。引理3.1指出集合{kφkT:（φ，φ）∈ A} 概率是有限的。多亏了[13]中的toLemma B.4，我们可以推断出存在一系列正凸组合θn∈ conv（φ1，n，φ1，n+1，…）这样θn点向收敛到一个可预测且有限的变量过程^φ，这样序列kθnk也点向收敛到k^φk。后一种收敛性意味着序列（kθnkt）n∈n每t收敛到k^φktin概率∈ [0，T]这导致了集合{kθnkt}n∈每个t的概率有界∈ [0，T]。与[12]中的艾玛4.3的职业选手二汉·贝拉克塔尔和项羽相似，我们可以为他提供指导→∞kθnkt>Mo=nlim infn→∞kθnkt>Mo=[k\\n≥k{kθnkt>M}它给出了p林尚→∞nkt>kθ= P[k\\n≥k{kθnkt>M}≤ supnP（kθnkt>M）。每个t∈ [0，T]，因为集合{kθnkt}n∈如果概率有界，我们就可以得到它→∞P林尚→∞kθnkt>M= 0，这意味着lim supn→∞kθnkt<∞ a、 因此supn≥1kθnkt<∞ a、 s代表t∈ [0，T]。因此，我们可以应用[13]中定理A.9的断言（iii），得到可预测Stieltjes积分的点态收敛性→∞ZtSudθnu=ZtSud^φu，（3.6），适用于任何c`adl`ag过程。在定义θn时使用相同的凸组合序列，在不丧失通用性的情况下，我们可以考虑在前凸组合之后的结果过程。类似地，wede fineθ0，n=conv（φ0，n，φ0，n+1，…）遵循相同的凸组合。接下来就是XNT≤ 1+θ0，nt+θntSt- λt |θnt | St，a.s。

T∈ [0，T]。因此，我们得到了thatXnt≤ 1+Zt（1- λu）Sudθn，↓U-Zt（1+λu）Sudθn，↑u+θntSt- λt |θnt | St=1+ZtSudθnu-ZtλuSudkθnku+θntSt- λt |θnt | St，a.s。T∈ [0，T]。（3.7）我们有以下下半连续性质yztsudk^φku≤ 林恩芬→∞ZtSudkθnku，a.s。T∈ [0，T]，（3.8）多亏了[13]中第A.9条第（iv）款。让n→ ∞ 在（3.7）中，使用（3.6）和（3.8），我们可以→∞Xnt≤ 1+ZtSud^φu-ZtλuSudk^φku+^φtSt- λt |φt | St=1+Zt（1- λu）Sud^φ1，↓U-Zt（1+λu）Sud^φ1，↑u+^φtSt- λt|^φt|St=1+^φt+^φtSt- λt |φt | St，a.s.代表t∈ [0，T]，其中我们定义φT，Rt（1- λs）Ssd^φ1，↓s-Rt（1+λs）Ssd^φ1，↑稳定部队∈ [0，T]。Bydefinition（^φ，^φ）是一种自我融资的投资组合。此外，自Xnt以来≥ 0 a.s.f或所有t∈ [0，T]与n∈ N、 我们可以看到（φ，φ）∈ A.自VnT以来→^VTa。s、 这就是≤^XT∈ 五、 a.s.式中，^Xt，1+^φt+^φtSt- λt |φt | St，T∈ [0，T]。因此^V∈ C（1），这就完成了证明。为了证明接下来的几个结果，我们将考虑从零初始头寸和x可容许投资组合开始的停止清算值，x≥ 0.对于任何停止时间τ，让我们定义凸集和实集τ（x），{V∈ L:V≤ Vliq，0τ（φ，φ）f或（φ，φ）∈ Ax}，（3.9）和cτ=[x≥0Cτ（x）。（3.10）此外，给定初始位置（x，0），对于每个自融资投资组合（φ，φ），我们将过程成本x（φ，φ）称为成本值，以进入投资组合位置（φ，φ），其中我们定义了成本，xt（φ，φ），x+φt+（φt）+（1+λt）St- （φt）-(1 - λt）St，t∈ [0，T]。（3.11）对于同一对自融资投资组合过程（φ，φ），vcost，xt（φ，φ）=Vliq，xt（φ，φ）+2λtSt |φt |，t∈ [0，T]。（3.12）备注3.1。为了理解成本-价值过程Vcost，x的财务解释，让我们考虑两个投资者A和B。

从初始时间开始，投资者A持有两个账户的初始头寸（x，0），并在时间范围内开始跟踪投资组合选择（φ，φ）。另一方面，投资者B直到中间时间才跟随市场。在时间t时，投资者B希望A在两个账户中持有相同的头寸（φt，φt）。过程Vcost，Xt代表B在时间t进入该头寸对所需的总现金量。值得注意的是，不仅B需要现金来填充银行账户和股票账户中的面值，还需要考虑交易成本，以便用半鞅股价过程S复制无摩擦市场中的头寸φt，可以放宽自融资投资组合的条件，使其具有可预测性和S-可积性。在这种情况下，清算价值过程（Vliq，xt）的定义∈[0，T]和成本价值过程的定义（Vcost，xt）T∈[0，T]重合，它们都相当于投资组合财富过程（Xt）T的定义∈[0，T]=（x+（φ·S）T）T∈[0，T]。对于固定水平M>0和停止时间τ≤ T，让我们考虑由CτM（x）定义的setCτ（x）的子集CτM（x），{V:V≤ Vliq，0τ（φ，φ），其中（φ，φ）∈ Axand |φt |≤ M、 关于J0，τK}.12的P-a.s.二汉贝拉克塔尔和项玉伟也定义了CτM，Sx≥0CτM（x）。很明显，集合CτMis不是空的，因为constantzero是一个元素。对于足够大的M，[13]中给出（φ，φ）局部有界的命题A.11意味着集合CτM包含一些非零元素。引理3.2。假设股票价格过程（St）t∈[0，T]用交易成本（λT）T满足NLABP条件∈[0，T]。在定义2.3中，给出足够大的n固定水平M>0，并且每个n的稳定时间τnT序列相同∈ N、 对于任意x>0和任意x可容许投资组合（φ，φ）∈ 带|φt |≤ M、 P-a.s。

关于J0，τnK，我们有vliq，0τn（φ，φ）≥ -a.s。=> Vcost，0t（φ，φ）≥ -a、 a.s。T≤ τn，（3.13）对于任何0<a<x证明。假设不是，也就是说，对于一些n∈ N和相应的s打顶时间τN，存在一个>0和一对固定的x-容许组合（φ，φ）∈ ax使得|φt |≤ M代表0≤ T≤ τnandVliq，0τn（φ，φ）∈ CτnM（x）和vliq，0τn（φ，φ）≥ -a、 a.s.，但对于一些停止时间s.t.P（s<τn）=1，我们有P（Vliq，0s（φ，φ）+2λsSs |φs |<-a） >0。表示集合D，{Vliq，0s（φ，φ）+2λsSs |φs |<-a} 。在固定有界对（φ，φ）的基础上，我们将构造一对新的自融资投资组合（φ，φ）∈ 对于某些x′>0的情况，初始位置为（x′，0）的Ax′。为此，鉴于之前的τ与s，新的一对投资组合（‘φ，’φ）由‘φt、φtKs、τnKD和‘φt’定义，（φt）- Vcost，0s（φ，φ））1Ks，τnK+（Vliq，0τn（φ，φ）- Vcost，0s（φ，φ））1Kτn，tkD.为了检查（‘φ，’φ）是否为自我融资，我们观察到：△\'\'φt=△φ1,↑t=△φ1,↓t=0，0≤ T≤ 沙△+\'\'φt=△+φ1,↑t=△+φ1,↓t=0，0≤ 在时间s时，我们已经△+φ1,↑s=（φs）+d△+φ1,↓s=（φs）-D.至于φ，我们可以推导出△+\'\'φs=φs- φs- （1+λs）Ss（φs）+（1）- λs）Ss（φs）-D=-（1+λs）Ss（φs）+（1）- λs）Ss（φs）-D=- （1+λs）Ss△+φ1,↑s+（1）- λs）Ss△+φ1,↓s、 对于随机区间Ks，τnJ，很明显d′φt=dφt，d′φt=dφt。因此（\'φ，\'φ）在Ks，τnJ上是自融资的，因为我们知道（φ，φ）在Ks，τnJ上是自融资的。最后，在停止时间τn处，很明显△+φ1,↑τn=（φτn）-丹德△+φ1,↓τn=（φτn）+D，因此我们也有△+φτn=Vliq，0τn（φ，φ）- Vcost，0s（φ，φ）- （φτn）- Vcost，0s（φ，φ））D=Vliq，0τn（φ，φ）- φτnD=(1 - λτn）Sτn（φτn）+- （1+λτn）Sτn（φτn）-D=（1）- λτn）Sτn△+φ1,↓s- （1+λτn）Sτn△+φ1,↑对于随机区间Kτn，tk，我们清楚地知道d′φT=d′φT=0。把所有部分放在一起，我们得出结论，这对投资组合（\'φ，\'φ）是自我融资的。

而且|φ|≤ M在Ks，τnK上，可以得出（\'φ，\'φ）在意义上也是有界的，th在|φt |≤ M，P-a.s.，t∈ [0，T]对于某些M>0。为了证明（‘φ，’φ）也是允许的，我们首先定义常数x′=x- 注意，对于随机区间J0，sK，Vliq，x′t（\'φ，\'φ）=x′>0，a.s。。现在，在随机区间Ks，τnJ上，我们有vliq，x′t（\'φ，\'φ）=x′+\'φt+（1）- λt）St（°φt）+- （1+λt）St（°φt）-= x′+Vliq，0t（φ，φ）- Vcost，0s（φ，φ）D≥ x′+(-x+a）1D≥ x′- x+a=0，a.s.我们记得（φ，φ）∈ 阿卜杜勒。类似地，在随机区间Jτn，tk上，我们有vliq，x′T（\'φ，\'φ）=x′+\'φT+（1）- λt）St（°φt）+- （1+λt）St（°φt）-= x′+Vliq，0τn（φ，φ）- Vcost，0s（φ，φ）D> x′+(-a+a）1D=x′，a.s。。特别地，我们有Vliq，x′τn（‘φ，’φ）>x′a.s.，由此得出有界投资组合（‘φ，’φ）∈ Abdx′在停止时间τn处为清算价值过程带来了局部套利机会。我们在定义2.3中得到了与NLABP条件相矛盾的结果。因此，这个暗示（3.13）成立。引理3.3。假设股票价格过程（St）t∈[0，T]用交易成本（λT）T满足NLABP条件∈[0，T]。在定义2.3中，给出足够大的n固定水平M>0和相同的停止时间序列τnT，每个n∈ N、 我们有CτnM∩ L∞+= {0}.证据根据CτnM的定义，等价于证明CτnM（x）∩ L∞+= {0}表示anyx>0。假设上述主张不成立。那么对于一些人来说∈ N和相应的14二汉BAYRAKTAR和项羽停止时间τN，存在一对投资组合（φ，φ）∈ ax对于某些x>0，使得|φt |≤ Mfor 0≤ T≤ τnandP（Vliq，0τn（φ，φ）≥ 0）=1，P（Vliq，0τn（φ，φ）>0）>0。显然，这与完成证明的NLABP定义相矛盾。

因为股价（St）t∈[0，T]是局部有界的，常数α（n）的序列是递增的+∞ 停止时间ρnT的增加顺序使得≤ α（n）在绝热区间J0上，ρnK。给定停止时间序列{τn}n∈在定义2.3时，让我们考虑新的停止时间序列‘τ，0，’τn，τn∧ ρn，表示n∈ N.（3.14）备注3.2。很容易验证引理3.2和3.3中的陈述是否适用于停止时间序列（¨τn）n∈由（3.14）定义，股票价格过程的范围为‘τnfon∈ 引理3.4。假设股票价格过程满足RNUPR条件和LABP条件，交易成本λ。给定足够大的固定水平M>0和停止时间序列{τn}n∈未定义在（3.14）中，每n∈ N、 我们有一个C′τnM是封闭的，也就是说，如果存在一个序列（Vm）m∈Nin C′τnM使Vm≥ -a对于一些a>0和vm收敛到一些F′τn-可测的随机变量V，P-a.s，那么我们就得到了V∈ C′τnM。证据考虑到序列ce（Vm）m∈N C′τnM，对于每m，存在一个投资组合（φ0，m，φ1，m）∈ 对于某些x（m）>0（我们写x（m）是为了强调x对m的依赖性）和|φ1，mt |≤ M表示固定的界水平M和停止时间τ≤ Vliq，0′τn（φ0，m，φ1，m）。引理3.2和备注3.2保证Vliq，0′τn（φ0，m，φ1，m）≥ -a表示Vcost，0t（φ0，m，φ1，m）≥ -0的a≤ T≤ 特别是，对于每一个m>0，我们得到Vliq，0t（φ0，m，φ1，m）≥ -2λtSt |φ1，mt |- A.≥ -2α（n）M- a、 0分a.s≤ T≤ 因此，我们可以将引理3.1应用于初始位置x=2α（n）M+a，并得到集合{kφk』τn:（φ，φ）∈ A2α（n）M+a（λ；S）}在概率上也是有界的。