比例交易成本下的市场生存性研究

将函数fn（x）定义为log（x）1{x≤n} +gn（x）1{x>n}，其中gni有界，凹，使得fn是两次连续可微的，满足theInada条件，g′是小于x的凸函数。显然，fn（x）→ 把（x）记为n→ ∞ 对于allx>0。根据我们的定理5.1，如果S在鲁棒意义上满足NUPBR和NLABP条件，则存在唯一的最优解V*,nof以下效用最大化问题supvliqt∈C（1）E[fn（VliqT）]。通过选择前凸组合Vn∈ conv{V*,n、 五*,n+1，…}如果必要的话，我们可以假设，vn几乎肯定会收敛到某个V*. 此外，由于C（1）在概率上是封闭且有界的，我们有V*∈ C（1）和d V*< +∞ a、 s。。注意f′n（x）≤x和f′n（x）→x对于所有x.我们得到了“VliqTV”*T#≤ 林恩芬→∞EhVliqTf′n（~VnT）i.假设VliqTis有界。忆及▽Vn=P∞k=nθkV*,k、 我们得到了vliqtf′n（~VnT）i≤E“VliqT∞Xk=nθkf′n（V*,kT）#=E“VliqT∞Xk=nθkf′k（V*,kT）#+E“VliqT∞Xk=nθk（f′n（V*,（kT）- f′k（V）*,kT）#。对于第一项，很容易从定理5.1的证明中看出∞Xk=nθkf′k（V*,（kT）#=∞Xk=nθkEhVliqTf′k（V*,kT）i≤∞Xk=nθkEhV*,kTf′k（V）*,kT）i≤ 1.因此，ehvliqtf′n（~VnT）i≤1+E“VliqT∞Xk=nθk（f′n（V*,（kT）- f′k（V）*,kT）#=1+E“VliqT∞Xk=nθk（f′n（V*,（kT）- f′k（V）*,kT）1{V*,kT≥n}#≤1+E“VliqT∞Xk=nθkV*,kT{V*,kT≥n}#≤ 1+EhVliqTin，从中可以得出EVliqTV*T≤ 1.当VliqT没有界时，我们可以证明vliq的相同结果，MT=VliqT∧ 然后应用单调收敛定理得到了同样的结论。因此，我们证明了num’eraire组合Vnum=V的存在性*和VnumT<+∞a、 s。。证明（2）=> (3). 然后应用詹森不等式，通过设置vgop=Vnum，我们得到“logVliqTVgopT#≤ 日志E“VliqTVgopT#≤ 0.证明（3）=> (2).

vgOpt的存在意味着≤ E[log VgopT- 日志VliqT]，用于所有VliqT∈ V.对于每个固定的VliqT∈ 五、 定义VT=（1）- ）VgopT+VliqT∈ C（1）。自1+对数（x）≤ x、 我们得到了≤ E[log VgopT- 日志VT]≤ EVgopT- VTVT= E“VgopT- VliqTVT#。因此，我们推导出“VliqTVT”#≤ EVgopTVT. （5.10）注意到对于<，我们有- VgopTVT≥ -2，我们将Fatou引理应用于（5.10）obtainE“VliqTVgopT”#≤ 1.证据（2）=> (4). 让VnumT∈ Vbe使supVliqT∈VEVliqTVnumT≤ 1和VnumT<+∞ a、 s。。显然，VnumT>0 a.s。。因此，很明显，Vis在概率上是有限制的，因此交易成本λ是令人满意的。在附加假设下，u（x）<∞ 即U（x）=logx，证明（2）<=> （5） 在证明[4]的第4.3条之后，几乎没有变化。6.附加讨论6。1.关于无套利条件的讨论。基于我们在第3节中的证明，我们打算简短地讨论具有交易成本的市场模型中不同类型的套利机会，并将其与无摩擦情况下的套利机会进行比较。首先，为了区分我们的论文与无摩擦市场中市场生存能力的文献之间的主要差异，值得注意的是[18]中的NUPBR条件暗示了无交易市场模型中的LABP条件。也就是说，众所周知，NupBr条件等价于局部鞅的存在性。给定局部化序列{τn}n∈对于Y，我们得到了等价的局部鞅测度Qnon-J0，τnK。[10]中的资产定价基础理论认为，市场模型满足局部条件，即每个J0，τnK。因此，我们总是拥有（NUPBR）=>（NLA）=> （NLABP）。然而，在我们的环境中，定义2.2中的NUPBR条件和定义2.3中的NLABP条件可能并不相互暗示。

这一由交易成本引起的特征是本文的主要动机。另一方面，作为一些有趣的观察结果，我们想使用（3.11）中定义的成本-价值过程Vcost比较[11]中的一些结论。特别是，与[11]中引理3.1中讨论的两种套利不同，在我们的交易成本设定中存在不同种类的套利。为了比较套利机会，实际上很难在定义2.3中使用我们的NLABP条件，该条件要求NA或一系列的止损时间。换句话说，NLABP的反面太过抽象，无法描述。为此，我们将考虑以下对套利概念的定义。定义6.1。如果存在一个停止时间τ（本文中我们只考虑在[0，T]中取值的停止时间），且p（τ<T）>0，且存在一个可容许的投资组合（φ，φ），则S允许交易成本为λ的局部套利（LA）∈ A（λ）使得，PVliq，0τ（φ，φ）≥ 0= 1和PVliq，0τ（φ，φ）>0τ<T> 0.（6.1）如果我们不能找到这样一个停止时间和一对投资组合，我们说股票价格过程满足交易成本λ下的强NLA条件。因此，强NLA意味着定义2.3中的NLABP条件。在接下来的讨论中，让我们回顾一下[11]中引理3.1（稍作修改的版本），从有限期到有限期。引理6.1。

如果c`adl`ag半鞅S允许关于一般可容许被积函数的套利，则存在满足以下任一条件的S-可积策略H：（i）（H·S）是非负的，套利是可伸缩的。（ii）H是1-容许的，存在>0和一个停止时间τ，P（τ<T）>0，使得H=H1Kτ，T和（H·S）T≥ 集合{τ<T}上的。根据[11]中的证明，情况（ii）对应于过程（H·S）以正概率变为负的情景。很明显，案例（i）中的可扩展套利是anUPBR，而案例（ii）描述了一种更传统的套利形式。在第（二）种情况下，可能会发生局部套利。案例（i）中的一个特殊示例称为直接仲裁，定义如下（另见[11]中的定义3.2]）。定义6.2。在无摩擦市场模型中，我们说，如果存在一个S-可积策略H=H1Kτ，T和（H·S）T>0，则半鞅S在停止时间τ允许立即套利，其中P（τ<T）>0。。很容易看出，即时套利（IA）意味着终端财富的UPBR，因为H是可伸缩的，序列Hn，nH代表n∈ N导致一个向上的错误。因此，34号二汉BAYRAKTAR和项羽即时套利（NIA）条件与[18]无侵权市场中定义的NUPBR条件密切相关。在存在交易成本的情况下，即时套利的概念变得更加微妙，因为当投资者想要利用这一套利机会，首先在时间τ进入投资组合头寸，并在时间τ后立即平仓时，必须支付交易成本2λτSτ|φτ|。因此，我们不能仅在流动价值过程是否为非负的情况下定义即时套利。

事实上，我们需要对液体价值过程和成本价值过程都有条件。定义6.3。我们说，如果P（τ<T）>0，S在停止时间τ允许立即套利，并且存在一个投资组合（φ，φ），使得Vcost，0τ（φ，φ）<Vliq，0t（φ，φ）在Kτ，tk上。因此，对于立即套利的出现，在停止时间τ，e必须是至少2λτSτ|φτ|的跳跃大小。以下结果是基于定义6.3的简单观察结果。与引理6.1中的讨论不同，引理6.1简单地基于arb-itrage财富过程是否为负，我们考虑的套利类型取决于清算价值过程和成本价值过程之间的微妙比较。对于任何可接受的套利投资组合（φ，φ）（在定义2.4的意义上），以下情况之一成立：（1）我们有Vliq，0t（φ，φ）≥ 0代表所有t∈ [0，T]。（2） <φT>0，存在这样的时间。可能出现两个子类：（a）存在一些[0，T]值的停止时间s，开关P（s<s<T）>0，例如Vcost，0s（φ，φ）≤ 集合{s<s<T}上的Vliq，0s（φ，φ）和P（Vcost，0s（φ，φ）<Vliq，0s（φ，φ）|s<s<T）>0。（b） 对于任何[0，T]值的停止时间s，当P（s<s<T）>0时，我们在集合{s<s<T}上有P（Vcost，0s（φ，φ）>Vliq，0s（φ，φ）|s<s<T）>0或Vcost，0s（φ，φ）=Vliq，0s（φ，φ）。我们根据Liq，0和Vcost，0之间的比较，得到了关于套利机会类型的后续引理。引理6.2。

如果存在定义2.4意义上的套利，则存在满足以下条件之一的自融资投资组合（φ，φ）：（i）Vliq，0t（φ，φ）≥ 0代表t∈ [0，T]（因此套利是可伸缩的）。（ii）存在两个[0，T]值的停止时间τ和τ，P（τ<τ<T）>0，使得φ支撑在Kτ上，τK，P（Vliq，0τ（φ，φ）>0 |τ<T）>0和P（Vliq，0τ（φ，φ）≥ 0）=1（因此这是一种局部套利）。（iii）对于任何[0，T]值的停止时间τ，使得P（τ<T）>0，我们要么有P（Vliq，0τ（φ，φ）<0 |τ<T）>0，要么在集{τ<T}上有Vliq，0τ（φ，φ）=0（因此它既不是可标度套利，也不是局部套利）。证据显然（1）和（i）是等价的。当（2）（a）保持时，存在一些停止时间s，P（s<s<T）>0，使得vcost，0s（φ，φ）≤ 集合{s<s<T}上的Vliq，0s（φ，φ）和P（Vcost，0s（φ，φ）<Vliq，0s（φ，φ）|s<s<T）>0。确定停止时间τ，sandτ，s。我们考虑以下组合^φt=φtKτ，τK，^φt=（φt- Vcost，0τ（φ，φ））1Kτ，τK+（Vliq，0τ（φ，φ）- Vcost，0τ（φ，φ））1Kτ，tk.（6.2）很容易检查（φ，φ）是否满足（ii）。当（2）（b）成立且存在局部套利时，我们得到了当s=0和Vcost，0（φ，φ）=0时的矛盾。因此（iii）是令人满意的。备注6.1。很容易观察到，案例（i）中的可伸缩套利（SA）是UPBR。（ii）对应于本地套利（LA）机会。让我们将（TA）表示为套利机会的类型，只发生在语句（iii）中的终端时间T。因此，我们确定（套利）=（SA）∪ （洛杉矶）∪ （TA）。因此，我们有（NA）=（NSA）∩ （强NLA）∩ （NTA）和（NUPBR）=> NSA，以及（强NLA）=> NLABP。与引理6.1相比，我们揭示了本文和[11]之间套利类型（包括即时套利的定义）的一些有趣差异。

回想一下NFLVR=NA+NUBPRand，在没有交易成本的情况下，NUBPR足以存在局部鞅变量（参见[18]）。由于套利机会的特殊性和更复杂的结构，在我们的主要结果中需要N-LABP条件。此外，|φ|的交易规模对投资者需要支付的总交易金额有重要影响，因此，在我们的环境中，套利论据在很大程度上取决于|φ|是否有界的条件。（关于这背后的数学原因，请参见引理3.4。）最后，如第3节所述，CLMS的e xi模式在鲁棒意义上等同于NUPBR和NLABP条件。6.2. 关于效用最大化问题的可容许性。在本节中，让我们回到第5节中关于效用最大化问题的讨论。我们想简要地讨论为什么我们应该选择（2.2）中的x-容许投资组合，并要求NUPBR和NLABP条件，只使用x-容许投资组合。实际上，对于更大范围的可接受投资组合，效用最大化问题仍然可以很好地定义。定义6.4。对于任何x≥ 如果清算价值过程满足Vliq，xT（φ，φ），x+φT+（φT）+（1），则自融资投资组合（φ，φ）称为可容忍- λT）ST- （φT）-（1+λT）ST≥ 0.36 ERHAN BAYRAKTAR和XIANG YULet Atolx表示所有x-容许投资组合的集合，Atol=Sx≥0Atolx。很明显，斧头 阿托克斯。我们定义了可容忍投资组合，因为对于任何初始财富x>0，非负终端清算值上的效用最大化问题在集合x上都得到了很好的定义，即使投资组合（φ，φ）可能不是x-容许的。考虑w（x）=sup（φ，φ）∈AtolxE[U（Vliq，xT（φ，φ））]。（6.3）w（x）有可能∞ 对于某些x>0的情况，优化问题（6.3）包含一个唯一的最优解。

自然的问题是，我们是否可以讨论使用x-可容忍投资组合定义的效用最大化问题的市场可能性。答案是否定的。虽然值函数w（x）<∞ 明确地说，为了利用双重表征获得市场可行性，适当的原始集和双重集之间的两极关系以及原始集的封闭性是至关重要的。这些属性可能不适用于x-容许投资组合。事实上，如果我们不要求投资组合清算过程对所有t∈ [0，T]在定义6.4中，我们使用放大的集合Atolx来修改NUPBR和NLABP条件，实际上我们对市场模型做出了更有力的假设，因为我们具有明显的含义SNUPBR- 阿托克斯=> NUPBR- Axand NLABP- 环礁=> NLABP- A.此外，S CLMS甚至SCP不再是清算价值过程初始集的必要双重元素。要看到这一点，让（~S，Q）是一对SCP，我们已经知道了thatVliq，xT（φ，φ）≤ZTφtdSt，P-a.s.针对一些自融资投资组合（φ，φ）。假设（φ，φ）∈ Atolx，我们得到了Mt，x+Rtφudsui是Q下的局部鞅。我们只知道Mt≥ 因此，局部鞅mtn不一定是超鞅，很难验证重要的对偶刻画eq[Vliq，xT]≤ 均衡器[MT]≤ x、 为了保证x-容许投资组合的市场可行性，我们必须引入一些特殊的对偶元素Y，例如E[Vliq，xT（φ，φ）YT]≤ 十、(φ, φ) ∈ 阿托克斯。不幸的是，通常很难提供艺术双元素的概率特征。因此，不可能做出合理的假设来保证Y的存在和x-可容忍投资组合的市场可行性。

协调这一点的一种方法是将集合限制为一组合理的工作组合，以便SCLM和SPC仍然可以充当双重元素。例如，我们可以允许清算值过程被一些随机过程而不是统一常数限制在下面。参见[3]和[28]中交易成本市场模型中X可接受投资组合的定义。综上所述，尽管对于x-容许投资组合，效用最大化问题可能得到了很好的定义，但为了使市场的生存能力在数学上可跟踪，我们有理由像在前面章节中所做的那样，将自己限制在较小的x-容许投资组合集合中。致谢：我们感谢两位匿名推荐人和副主编的仔细评论，这导致了一篇经过高度认可的论文。参考文献[1]J.P.Ansel和C.Stricker，《应急行动与最高大奖赛》，安。研究所H.Poincar\'e Probab。统计学家。30（1994），第2303-315号。[2] E.Bayraktar和H.Sayit，关于粘性属性，Quant。《金融10》（2010），第10期，1109-1112页。[3] E.Bayraktar和X.Yu，《具有随机捐赠和交易成本的最优投资：对偶理论和影子价格》，预印本arXiv:1504.00310（2015）。[4] D.Becher，无界半鞅的计价组合，金融学Stoch。5（2001），第3327-341号。[5] W.Brannath和W.Schachermayer，L+(Ohm, F，P），S\'eminaire de Probabilit\'es，第三十三卷，数学课堂讲稿。，第1709卷，柏林斯普林格，1999年，第349-354页。1768009先生（2001d:46019）[6]P.Carr，T.Fisher和J.Ruf，关于汇率爆炸时期权的对冲，Finance Stoch。18（2014），第115-144号。[7] T.Choulli，J.Deng和J.Ma，《无套利、生存能力和投资组合之间的关系》，金融与随机19（2015），第4719-741号。[8] 克里斯滕森和K。

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