比例交易成本下的市场生存性研究

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英文标题：
《On the Market Viability under Proportional Transaction Costs》
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作者：
Erhan Bayraktar and Xiang Yu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper studies the market viability with proportional transaction costs. Instead of requiring the existence of strictly consistent price systems (SCPS) as in the literature, we show that strictly consistent local martingale systems (SCLMS) can successfully serve as the dual elements such that the market viability can be verified. We introduce two weaker notions of no arbitrage conditions on market models named no unbounded profit with bounded risk (NUPBR) and no local arbitrage with bounded portfolios (NLABP). In particular, we show that the NUPBR and NLABP conditions in the robust sense for the smaller bid-ask spreads is the equivalent characterization of the existence of SCLMS for general market models. We also discuss the implications for the utility maximization problem.
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中文摘要：
本文研究了具有比例交易成本的市场生存能力。我们证明了严格一致的局部鞅系统（SCLM）可以成功地充当对偶元素，从而验证市场的生存能力，而不是像文献中那样要求存在严格一致的价格系统（SCPS）。我们在市场模型中引入了两个较弱的无套利条件的概念，即无无限利润有界风险（NUPBR）和无局部套利有界投资组合（NLABP）。特别是，我们证明了对于较小的买卖价差，鲁棒意义下的NUPBR和NLABP条件是一般市场模型SCLM存在的等价表征。我们还讨论了效用最大化问题的含义。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> On_the_Market_Viability_under_Proportional_Transaction_Costs.pdf (416.95 KB)

2022-5-5 07:12:13 上传

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关键词：交易成本 生存性 Optimization proportional Differential

比例交易成本下的市场生存能力。本文研究了具有比例交易成本的市场生存能力。而不是像文献中那样要求存在严格一致的价格体系（SCP），我们证明了严格一致的局部鞅系统（SCLM）可以成功地充当对偶元素，从而验证市场的生存能力。我们在市场模型中引入了两个较弱的无套利条件概念，分别是无无无界有界风险的无界利润（NU PBR）和无界投资组合的局部套利（NLABP）。特别是，我们证明了对于较小的买卖价差，鲁棒意义上的NUPBR和NLA BPR条件是一般市场模型存在SCLM的等价表征。我们还讨论了效用最大化问题的含义。1.引言在具有比例交易成本的资产定价基本定理中，由[16]和[9]引入的一致价格系统（consistentprice systems，CPS）发挥了对偶元素的作用，而不是等效（局部）鞅测度。CPS（~S，Q）定义如下：定义1.1。考虑到股价（St）t∈[0，T]具有交易成本（λT）T∈[0，T]使得所有T的0<λT<1 a.s∈ [0，T]，如果（1），我们称这对（S，Q）为CPS- λt）St≤~St≤ （1+λt）St，P-a.s。T∈ [0，T]，其中（~St）T∈[0，T]是Q和Q下的局部鞅~ 此外，如果我们∈[0，T]λtSt- |圣-~St|> 0，P-a.s.，这对（~s，Q）被认为是一个严格一致的价格体系（SCPS）。我们需要注意的是，在上述定义中，s是否需要是一个局部鞅或一个真正的鞅取决于自融资投资组合的数量和基于数量的可接受性；详见[23]和[26]第5节。

文献中广泛研究了具有严格正连续路径的股票价格过程存在CPS的充分条件。一个众所周知的例子是[14]提出的条件完全支持条件。其他相关日期：2018年8月12日。关键词和短语。比例交易成本，（稳健）无无界利润有界风险，严格一致的局部鞅系统，（稳健）无局部套利有界投资组合，效用最大化，市场生存能力，投资组合数。E.Bayraktar由国家科学基金会在DMS-1613170和Su sanM的资助下提供部分支持。史密斯教授职位。十、 Yu获得香港理工大学创业基金拨款1-ZE5A的支持。[2]、[20]和[25]中讨论了二汉-贝拉克塔尔和项玉素的有效条件。最近，对于连续价格过程，[23]建立了对于任何小的恒定交易成本λ>0，无套利与一般策略之间的等价关系，以及对于任何小的交易成本λ>0，存在CPS之间的等价关系。后来，[13]研究了一般的c`adl`ag过程，并将两个等价的断言联系起来，即robustno free午餐与简单策略的r isk消失和SCP的存在。另一方面，在没有交易成本的市场中，现有文献分析的市场模型不能满足资产定价基本定理的所有严格要求。与[10]最初定义的终端财富上没有带消失风险的免费午餐（NFLVR）条件相比，一个较弱的条件，即[18]中称为带有界风险的无界午餐（NUPBR）条件，可以作为一个合理的替代品，使用它仍然可以解决经典的期权套期保值和效用最大化问题。

[18] [4]、[8]、[15]和[7]证明了NUPBR条件、严格正局部鞅扩散过程的存在性、效用最大化问题最优解的存在性和数量投资组合的存在性之间的等价性。基于这些在无摩擦市场中得到的结果，我们的目标是确定一个类似的最小条件，在这个条件下，效用最大化问题仍然是非最优解。然而，由于交易成本的特殊性，工作组合的自我融资和可容许性的定义不同于半鞅的通常随机被积函数。本文揭示，对于某些严格较小的买卖价差，我们需要股票价格过程S满足两个较弱的假设，即在清算价值过程中同时满足无无界有界风险利润（NUPBR）和无局部有界投资组合套利（NLABP）条件。值得注意的是，我们的NUPBR和NLABP条件仍然弱于[13]中的NFLVR要求，即使满足了NUPBR和NLABP条件，市场上仍可能存在套利机会。本文的主要贡献是在鲁棒意义下NUPBR和NLABP条件之间的等价性，以及SCLM（~S，Z）的存在性，定义如下。定义1.2。考虑到股价（St）t∈[0，T]交易成本λT∈ （0.1）allt的a.s∈ [0，T]，我们称一对（~S，Z）为相容的局部鞅系统（CLMS）IF~S是满足（1）的半鞅系统- λt）St≤~St≤ （1+λt）St，P-a.s。，T∈ [0，T]，并且存在一个严格正的局部鞅ztz=1，使得stzt是一个局部鞅。我们将用交易成本（λt）t表示所有CLM的集合Zloc（λ）∈[0，T]。

此外，如果∈[0，T]λtSt- |圣-~St|> 0，P-a.s.，我们将这对（~s，Z）称为SCLM，并用Zsloc（λ）表示所有SCLM的集合。很明显，CLMS的定义是经典CPS的推广，即任何一对CPS都是CLMS，但事实并非如此，因为Z可以是严格的局部鞅。在第4节中，给出了一些市场模型的例子，这些例子表明，即使我们不存在CPS，SCL MS也可能存在。本文的第二个贡献是，结果表明，鲁棒系统中的NUPBR和NLABP条件保证了基于终端清算值定义的效用最大化问题的解的存在性。我们还讨论了作为推论的投资组合的存在性。因此，rob ust意义上的NUPBR和NLABP条件在最优投资组合问题允许解的意义上为市场生存能力提供了充分条件。同时，本文还指出，这种市场生存能力意味着相应的S满足NUPBR条件，尽管不是在稳健的sens中，这说明我们的市场假设在一定程度上是最小条件。为了强调我们的设置和文献中无摩擦市场模型之间的数学差异，我们讨论了不同类型的套利机会和交易成本。特别是，我们应该指出，主定理中的NLABP条件是首次出现的一个新特征。在我们的交易成本环境中，套利机会的构造是独特的，因为无摩擦市场模型中的财富过程实际上有两个对应过程，即清算价值过程（见（2.2））和成本价值过程（见（3.11））。

这种差异导致了关于不存在套利的不同论点和证据。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了具有交易成本的市场模型，并定义了期末结算价值的NUPBR条件和NLABP条件。我们在本节末尾陈述了在严格意义上NUPBR和NLABP条件之间的等价性以及SCLM的存在。第三节给出了主要理论的证明。在第4节中，我们讨论了连续过程和跳跃过程的市场模型的具体示例，在这两个过程中，CPS不存在，但我们可以找到SCLM。第五节讨论了机器意义下NUPBR和NLABP条件下的效用最大化问题。第6节第一部分对各种类型的套利机会进行了讨论，并与无摩擦市场模型进行了比较。在本节的第二部分，我们将讨论我们的受理标准。2.设置和主要结果金融市场由一个无风险债券B（标准化为1）和一个风险资产S组成。我们将使用概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）满足右连续性和完整性的一般条件。金融机构被认为是微不足道的。以下是一个持续的假设，将在本文的其余部分得到证实：假设2.1。（St）t∈[0，T]适用于（Ft）T∈[0，T]具有严格正且局部有界的c`adl`ag路径。交易成本过程（λt）t∈[0，T]适用于（Ft）T∈[0，T]具有λT这样的c`adl`ag路径∈ （0,1）a.s.适用于所有t∈ [0，T]。我们采用[26]：定义2.1中定义的自我融资可接受策略的概念。

从零开始的自我融资交易策略是一对可预测的细分过程（φt，φt）t∈[0，T]使得（1）φ=φ=0,4二汉贝拉克塔尔和项羽（2）表示φT=φ0，↑T- φ0,↓tandφt=φ1，↑T- φ1,↓t、 φ和φ的正则分解为两个递增过程的差，从φ0开始，↑= φ0,↓= φ1,↑= φ1,↓= 0，这些过程满足φ0，↑T≤Zt（1）- λu）Sudφ1，↓u、 φ0，↓T≥Zt（1+λu）Sudφ1，↑u、 0分a.s≤ T≤ T、 （2.1）其中（2.1）中的两个积分定义为可预测的Stieltjes积分和Zts（1）- λu）Sudφ1，↓u、 Zts（1）- λu）Sudφ1，↓,cu+Xs<u≤t（1）- λu-)苏-△φ1,↓u+X≤u<t（1）- λu）Su△+φ1,↓u、 andZts（1+λu）Sudφ1，↑u、 Zts（1+λu）Sudφ1，↑,cu+Xs<u≤t（1+λu）-)苏-△φ1,↑u+X≤u<t（1+λu）Su△+φ1,↑u、 这里我们指△φt，φt-φt-和△+φt，φt+-φt.如[26]所述，由于S是c`adl`ag，我们需要考虑投资组合过程φ的左跳和右跳。一般来说，三个v值φτ-, φτ和φτ+可以不同。如果停止时间τ完全不可接近，φ的可预测性意味着△φτ几乎可以确定为0。但如果停止时间τ是可预测的，则两者都可能发生△φτ6=0和△+φτ6= 0.一般来说，对于任何c`adl`ag过程X和可预测有限变分过程φ，上述可预测Stieltjes积分可以重写为ZtXudφu=ZtXudφu--Xs≤t（φs）- φs-)△Xs。（有关可预测Stieltjes积分的详细讨论，请参见[13]的附录A。）在初始时间，我们假设投资者从给定n常数x的债券和股票资产头寸（x，0）开始≥ 0.交易策略φ=（φ，φ）称为x-容许，如果流动值Vliq，xtsatis fies Vliq，xt（φ，φ），x+φt+（φt）+（1- λt）St- （φt）-（1+λt）St≥ 0，（2.2）t的P-a.s∈ [0，T]。我们将把Ax（λ）（简称Ax）表示为交易成本为（λt）t的所有x-容许组合的集合∈[0，T]并设A=Sx≥0Ax。

此外，我们还将Vx（λ）表示为可容许投资组合（φ，φ）下的最终清算值vliqtun的集合∈ Ax（λ）。与无摩擦市场类似，弱无套利条件可以通过L的某些目标子集概率性质的有界性来定义。以下NUPBR的定义与[18]的定义平行。定义2.2。我们说，如果存在一系列可容许的投资组合（φ0，n，φ1，n）n，则S允许交易成本λ为有界风险（UPBR）的无界收益∈nina（λ）和相应的终端清算值（Vliq，1T（φ0，n，φ1，n））n∈Nis在概率上是无界的，即limm→∞苏普∈NPVliq，1T（φ0，n，φ1，n）≥ M> 0.（2.3）如果不存在这样的序列，我们说股票价格过程满足交易成本λ下的NUPBR条件。为了给出SCLM存在的充分必要条件，我们还引入了另一个弱无套利条件。为此，让Abdx（λ）（简称Abdx）表示x-可容许有界投资组合，使得股票中的头寸一致有界于某个常数M>0，意义如下：Abdx（λ），{（φ，φ）：|φt |≤ M、 P-a.s.，t∈ [0，T]对于一些M>0w的情况（φ，φ）∈ Ax（λ）}。（2.4）此外，我们表示Abd=Sx≥0Abdx。定义2.3。我们认为，如果存在一系列停止时间τnT为n，则交易成本λ为有界投资组合的局部套利（NLABP）不满足→ ∞ 每n∈ N、 我们无法找到（φ0，N，φ1，N）∈ Abd（λ）满足以下条件：Vliq，0τn（φ0，n，φ1，n）≥ 0= 1和PVliq，0τn（φ0，n，φ1，n）>0> 0.（2.5）值得注意的是，对于固定的x>0，对于实例x=1，NUPBR条件是在集合轴上定义的，这与效用最大化问题的定义是一致的，初始位置是固定的。NLABP条件定义为集合A上所有可接受的投资组合。

然而，这两个定义是一致的，因为如果我们有一系列导致toUPBR的投资组合，通过重新缩放，我们也可以获得任何Ax的UPBR，x>0。为了论文的完整性以及不同概念之间的比较，我们还将介绍清算价值的标准无套利条件。定义2.4。我们说，如果存在允许的投资组合（φ，φ），S允许交易成本λ的套利∈ A（λ）使得Vliq，0（φ，φ）=0，P（Vliq，0T（φ，φ）≥ 0）=1和P（Vliq，0T（φ，φ）>0）。如果不存在这样的投资组合，我们说股票价格过程满足交易成本λ下的NA条件。备注2.1。比较定义2.3和定义2.4，我们的NLABP显然与局部序列{τn}n有界投资组合的NA条件等价∈注意（不适用）=> 然而，（NLABP）一般并不意味着（NA）。在无摩擦市场中，参见[7]第3节中的讨论和示例3.1，NA可以在本地持有，但在全球持有。此外，NUPBR条件和NLABP条件可能并不相互暗示。假设满足NUPBR和NLABP条件，我们在时间T使用一些u边界x-容许投资组合（φ，φ）时仍可能有任意地理机会∈ 斧头。[13]中的NFLVR条件清楚地暗示了我们环境中的NUPBR和NLABP条件，因此，我们声称我们的条件比现有文献中的通常条件更弱于市场模型的假设。6二汉·贝拉克塔尔和项羽为本文的主要结果需要一些稍强的条件。定义2.5。

我们认为，如果存在另一个股票价格过程（S’t）t，则S满足NUPBR和NLABP条件，交易成本λ为稳健意义上的∈[0，T]和交易成本过程（λ′T）T∈[0，T]满足假设2.1∈[0，T]（1+λt）St- （1+λ′t）S′t> 0 a.s.和inft∈[0，T](1 - λ′t）S′t- (1 - λt）St> 0、a.s.和股票价格过程s’在交易成本λ′的同时满足NUPBR条件和NLABP条件。特别是，如果我们只考虑股票价格过程S’以交易成本λ′满足NUPBR条件的情况，我们说S’以交易成本λ满足RobustNo无界有界风险（RNUPBR）条件。作为本文的主要结果，以下定理提供了鲁棒意义下的NUPBRand NLABP条件与SCLM存在性之间的等价性。其证据将在下一节中提供。定理2.1。以下两个断言是等价的。（1） S满足NUPBR和NLABP条件，交易成本λ在定义2.5的稳健意义上。（2） 对于交易成本为λ的市场，存在一个SCLMS（~S，Z），即Zsloc（λ）6=.备注2.2。与无摩擦市场相比，我们在终端财富的UPBR条件和局部鞅的存在之间具有等价性，参见[18]，我们在有交易成本的市场中的等价性描述涉及两个条件，即：。，NUPBR和NLABP。与无摩擦市场相比，我们框架中的自我融资和可接受性条件更具限制性，在两种不同的环境中，分别需要不同类型的趋同。