比例交易成本下的市场生存性研究

此外，通过选择初始位置x=2α（n）M+a和时间间隔0≤ T≤ “τn，命题3.2导致C”τn（2α（n）M+a；S，λ）在概率收敛下是封闭的。因为我们现在假设vm收敛到V，P-a.s.，通过采用前凸组合和集合{kφk′τn:（φ，φ）∈ A2α（n）M+a（λ；S）}是概率有界的，在证明命题3.2的第一部分中使用了一个类似的参数，该参数使用有限变化过程的紧引理（参见[13]中的引理B.4），我们可以假设（最多选择一个前凸组合序列）序列（φ0，M，φ1，M）逐点收敛到一个可预测的有限变化过程（φ0，*, φ1,*) ∈ A2α（n）M+a.自C′τn（2α（n）M+a；S、 λ）在概率收敛下是闭合的，因此，Vliq，0′τn（φ0，m，φ1，m）收敛于P-a.S.到随机变量Vliq，0′τn（φ0，*, φ1,*). 而且|φ1，mt |≤ M表示固定水平M>0和0≤ T≤ τn，我们得到|φ1，*t|≤ M代表0≤ T≤ 因此，我们可以得出以下结论：≤ Vliq，0′τn（φ0，*, φ1,*), i、 e，V∈ C′τnM（2α（n）M+a；λ、 （S） C¨τNM完成了证明。引理3.5。如果交易成本为λ的股票价格过程S在稳健意义上满足NUPBR和NLABP条件，且买卖价差对较小（S′，λ′），则存在另一个满足假设2.1的买卖价差对（S，λ），该价差严格位于两个价差之间∈[0，T]（1+λt）St- （1+λ′t）S′t> 0，通知∈[0，T]（1+λt）St- （1+λt）St> 0，然后输入∈[0，T](1 - λ′t）S′t- (1 -λt）St> 0，通知∈[0，T](1 -λt）St- (1 - λt）St> 0，a.s。。（3.15）此外，股票价格过程∈[0，T]用交易成本（λT）T满足RNUPR条件和NLA B P条件∈[0，T]。证据假设该对（S，λ）满足NUPBR和NLABP条件，且具有较小的扩展对（S′，λ′）。

让我们定义过程的辅助对St，St+S′t，λt，λtSt+λ′tS′tSt+S′t∈ (0, 1), T∈ [0，T]。（3.16）很明显，新的一对（S，λ）满足假设2.1。我们认为，具有交易成本的股价过程满足了不平等性（3.15）。事实上，只要注意到这一点就足够了∈[0，T]（1+λt）St- （1+λ′t）S′t= 输入∈[0，T]（1+λt）St- （1+λt）St= 输入∈[0，T]（1+λt）St-（1+λ′t）S′t> 0，a.s。。同样，我们也有∈[0，T](1 - λ′t）S′t- (1 -λt）St= 输入∈[0，T](1 -λt）St- (1 - λt）St= 输入∈[0，T](1 - λ′t）S′t-(1 - λt）St> 0，a.s。。因此，验证了（3.15）中的不确定性。回想一下，交易成本λ′的股票价格过程s′满足NUPBR条件和NLABP条件。我们的目的是验证交易成本为λ的股票价格过程满足RNUPBR条件和NLABP条件。首先，很容易看出S满足R NUPBR条件，因为这对（S′，λ′）满足R NUPBR条件。另一方面，如果（φ，φ）是对该对（S，λ）的自补偿，使得（2.1）满足，那么（φ，φ）也是对该对（S′，λ′）的自补偿，因为（1）-λt）St<（1- λ′t）林分（1+λt）St>（1+λ′t）Sta。s、 ，t∈ [0，T]。此外，我们还得到了Vliq，x；S，λt（φ，φ）<Vliq，x；S′，λ′t（φ，φ）a.S.，t∈ [0，T]用于同一对自融资投资组合（φ，φ）。因此，Ax（λ；S） Ax（λ′；S′）。如果存在一个止损时间τ为P（τ<T）>0的套利机会和一个无止损的投资组合（φ，φ）∈ Abdx（λ；S），很明显，（φ，φ）也为这对组合（S′，λ′）带来了一个本地套利机会。换句话说，我们可以推断，如果股价过程满足交易成本λ′的NLABP条件，那么股价过程也满足交易成本λ的NLABP条件。

下面的结果是证明蕴涵的最后一个重要准备（1）=> （2） 在定理2.1中；参见[13]中的Lemm a 6.3及其证明。引理3.6。让（Xt）t∈[0，T]和（Yt）T∈[0，T]是两个c`adl`ag有界过程。下列条件是等价的：（i）存在一个c`adl`ag鞅（Mt）t∈[0，T]如此≤ M≤ Y、 a.s。。（ii）对于所有停止时间σ，τ，使得0≤ σ ≤ τ ≤ 我们有[Xτ| Fσ]≤ Yσ和E[Yτ| Fσ]≥ Xσa.s。。现在我们开始完成定理2.1的证明。证明（1）=> （2） 定理2.1。如果股票价格过程在交易成本λ的稳健意义上满足NUPBR和NLABP条件，引理3.5保证了辅助过程对（S，λ）的存在，使得S在交易成本λ的情况下满足RNUPR条件和NLABP条件。在接下来的几个步骤中，让我们考虑股票价格过程和交易成本λ的市场模型。如果我们用辅助对（S，λ）替换过程对（S，λ），那么从引理3.1到引理3.4的所有结论仍然适用（S，λ）。对于某些固定的大能级M>0，考虑设置CτnM（S，λ）。结合CτnM（S，λ）∩ L∞Fatou是封闭的（由于引理3.4）和cτnM（S，λ）∩L∞+= {0}（感谢引理3.3），其中stoppin g乘以{τn}n∈如（3.14）所述，存在一个与P等价的概率测度qn，使得对于任何V∈ C′τnM（S，λ）∩ L∞, 我们有EQn[V]≤ 0，其中我们使用了[17]中的引理5.5.2（它将Fatou闭度与弱恒星闭度联系起来）和Kreps-Yan分离定理（参见。

[13]中的定理B.3。特别是，对于每个n∈ N、 让我们只考虑子集“C”τnM（s，λ）的情况，即投资组合过程φ是J0上的非正过程或非负过程，即“τnK”和“φ”τN=0，即在最终时间“τN”在股票中的位置将被清算，\'C\'τnM（s，λ），nV:V≤ Vliq，0′τn（φ，φ）∈ 其中φ是非正或非负过程φ′τn=0和|φt|≤ M、 P-a.s.在J0上，\'\'τnKowith M足够大，我们有方程[V]≤ 0代表所有V∈\'C\'τnM（S，λ）∩ L∞ C′τnM（S，λ）∩ L∞.让我们回顾一下St≤ t的2α（n）≤ \'\'τn初始股价过程St≤ α（n）堡≤ τn.我们考虑由S驱动的市场中投资组合的以下p air，交易成本为λ，φ，h（1-λη）SηKη，σJ（t）+(1 -λη）Sη- （1+λσ）SσJσ，τnKiA，φ，-1Kη，σJ（t）1A，（3.17）对于任何停止时间η≤ σ ≤ τ与α∈ Fη。与引理3.2的证明类似，不难检查（＠φ，＠φ）是否是自融资的。类似地，我们考虑投资组合^φ，h-（1+λη）SηKη，σJ（t）+- （1+λη）Sη+（1）-λσ）SσJσ，τnKiA，^φ，1Kη，σJ（t）1A，对于任何停止时间η≤ σ ≤ τ与α∈ Fη。同样地，我们也可以判断（φ，φ）是否也是自筹资金。也很容易证明Vliq，0′τn（～φ，～φ）∈\'C\'τnM（S，λ）∩ L∞和Vliq，0′τn（φ，φ）∈\'C\'τnM（S，λ）∩ L∞因为φ是非正的，φ是非负的，而φ、φ和S都一致有界于J0，τnK。特别是，我们有vliq，0′τn（＠φ，＠φ）=＠φ′τn+（＠φ′τn）+（1-λ′τn）S′τn- φτ-（1+λ′τn）S′τn=(1 -λη）Sη- （1+λσ）SσAandVliq，0′τn（^φ，^φ）=710φ′τn+（^φ′τn）+（1-λ′τn）S′τn- （φ′τn）-（1+λ′τn）S′τn=-（1+λη）Sη+（1）-λσ）SσABy不等式EQn[Vliq，0′τn（～φ，～φ）]≤ 0和EQn[Vliq，0′τn（^φ，^φ）]≤ 0，很容易得到等式n[Sσ（1+λσ）|Fη]≥Sη（1-λη）和[Sσ（1-λσ）|Fη]≤Sη（1+λη）。根据引理3.6，存在一个c\'adl\'ag鞅Snunder Qnsuch，它St（1-λt）≤■Snt≤St（1+λt），a.s.代表0≤ T≤ τn。

（3.18）到目前为止，每n∈ N、 我们得到了J0上的（Qn，~Sn）对，τnK使得＠Sn在Qn和＠Sn下是一个martin gales，在排列[（1-λ）S，（1+λ）S]。然而，一般来说，我们可能没有两个测度Qn和Qn的级联性质-1因此Qn | F |τn-1=Qn-1 | F|τn-1.因此，我们不能简单地粘贴进程{Sn}n∈计算整个间隔[0，T]以获得所需的过程。为了验证，我们需要使用我们已经掌握的元素（Qn，~Sn）进行进一步的步骤。对于每个Qn，让我们考虑密度过程和相应的随机指数表示znt，EdQndP英尺, T∈ [0，T]，Et（Yn），Znt∧τn，t∈ [0，T]，其中yn是一个局部鞅。18 ERHAN BAYRAKTAR和XIANG Yu类似于[7]中引理3.5的证明，我们使用随机积分定义随机过程，∞Xn=1K′τn-1，τnK·Yn。很容易看出（Yt）t∈[0，T]是一个局部鞅，初始值Y=0，因为∧τn=nXk=1Kτk-1，τkK·Yk！这是一个真正的鞅。因此，随机指数E（Y）是局部鞅。表示{νn}n∈对于局部鞅E（Y）的局部化序列，我们将考虑新的局部化序列{νn∧ τn}n∈n收敛于T。为了模拟这个符号，让usstill用{τn}n表示停止时间的顺序∈N.注意所有N的E（Yn）>0∈ N，因为这是QNDP的密度过程。因此，E（Y）>0，因为1+△Y=1+△K′τK上的Yn>0-1，τkK，n∈ N.我们将关注正局部鞅，E（Y）（3.19），并考虑由d^QndP，Z′τN=E（Y）′τN=E（Y′τN）引起的概率序列。显然，新的概率测度序列{^Qn}n∈Nsatis定义了所需的连接属性。

我们现在宣称，对于任何V∈\'C\'τnM（S，λ）∩ L∞, 不等式E^Qn[V]≤ 0仍然有效。为了证明这个说法，我们回顾了（φ，φ）的存在∈ AXX≥ φ1240和φ1240是非正过程≤ M，P-a.s.在J0上，τnK等V≤ Vliq，0′τn（φ，φ）。案例1：投资组合过程φ是J0上的非正过程，τnK。对于每个固定的n选项∈ N、 我们首先考虑1的有效股价过程≤ K≤ N首先是0≤ T≤ τ，让我们定义股票过程St，~St，它是qan下的鞅，并且保持在价差中[（1-λ）S，（1+λ）S]。下一步，为所有‘τ≤ T≤ τ，我们考虑两个辅助过程x′t，ess supτ∈OtEQ“Sτ1+”Sτ-SτSτλτλτ！Ft#，Y′t，ess infτ∈OtEQhSτ（1+λτ）Fti，其中ott表示所有停止时间τ的集合，其值为≤ τ ≤ τ. 为了0≤ T≤ “τ，我们将定义过程xt，EQ[X′τ| Ft]，Yt，EQ[Y′τ| Ft]。接下来，对于‘τ≤ T≤ 我们定义了Xt，X′和Yt，Y′t。类似于[13]中引理6.3的证明，我们得到（X）t∧τ是一个超鞅和（Y）t∧τ是Q下的子鞅。此外，因为我们有（1-λ′τ）S′τ≤\'S\'τ=~S\'τ≤ （1+λ′τ）S′τ，我们可以得出以下结论：-λt）St≤St1+\'S\'τ-SτSτλτλt！≤ （1+λt）Stfor allτ≤ T≤ τ. 在此之前，根据[13]中的引理6.2，存在一个m artin gale-Munder qsuchxt≤ Mt≤ YT0≤ T≤ τ. 特别是，我们有（1）-λt）St≤ Mt≤ （1+λt）Stforτ≤ T≤ τ和alsoMτ≥S’τ1+‘S’τ-SτSτλτλτ=\'S\'τ，Q-a.S。。我们现在可以定义0的股价过程≤ T≤ τ乘以St，（~St，表示0≤ t<τ，max（~St，Mt），对于τ≤ T≤ τ.很容易证明（\'S）t∧τ是Qsince-Sand-Mare鞅在qfor0下的子鞅≤ T≤ τ.

此外，通过它的构造，我们得到了差价之间的稳定，即（1）-λt）St≤圣≤ （1+λt）st0≤ T≤ “τ”以及比较“S”τ≥\'S\'τQ-a.S。。通过重复这个结构，2≤ K≤ n、 我们首先可以得到0的qkf下鞅mk的存在性≤ T≤ “τkwhich satifies（1-λt）St≤ Mkt≤ （1+λt）Stforτk-1.≤ T≤ τkandMkτk-1.≥“Sk-1′τk-1Qk-a.s。。然后让我们为0定义“Skt”（“Skt”）≤ t<τk-1，对于τk，最大值（~Skt，Mkt）-1.≤ T≤ τk.我们得到了一个过程序列{Sk}1≤K≤确保在QK和满足差价限制（1-λt）St≤“Skt≤ （1+λt）st0≤ T≤ τk，在每个停止时间，我们有不等式Skτk-1.≥“Sk-1′τk-1，Qk-a.s。。（3.20）为了将来的目的，我们在≥ \'τkby设置\'Skt=\'Sk\'τk，t≥ τk，对于k=1，N让我们考虑定义为的有效半鞅股价过程t、 （\'Skt，代表\'τk-1.≤ t<τk，k=1，n\'Sn\'τn，对于t≥ τn.很明显（1- λt）St≤ sT≤ （1+λt）st0≤ T≤ 与命题3的证明类似。1，我们可以推断出Vliq，0t∧τn（φ，φ）≤ （φ·S）)T∧τn=nXk=1φ·（1J′τk）-1，\'τkJ\'Sk）T∧\'τn.20 ERHAN BAYRAKTAR和XIANG YUWe旨在证明E^Qn“nXk=1φ·（1J′τk）-1，\'τkJ\'Sk）τn#=nXk=1EE（Y′τn）φ·（1J′τk）-1，\'τkJ\'Sk）\'τn≤ 0.（3.21）为1≤ K≤ n、 利用分部积分，我们可以推断φ·（1J′τk）-1，\'τkJ\'Sk）τn=φK′τK-1，\'τkK·\'Skτn+φ′τk-1“Sk”τk-1.- φ′τk′Sk′τk.因此，证明（3.21）等同于证明以下等式：E（Y′τn）nXk=1φK′τK-1，\'τkK·\'Skτn+E（Yτn）nXk=1φ′τk-1“Sk”τk-1.- φ′τk′Sk′τk#≤ 0.（3.22）对于（3.22）中的第一部分，我们声称E（Y）t∧τnφK′τK-1，\'τkK·\'SkT∧“τ”是一个本地超级艺术家P。

类似于[7]中引理3.5的证明，It^o引理得出它等价于provethatK′τK-1，\'τkKφ·\'Sk+1K\'τk-1，\'τkKφ·[\'Sk，Y]T∧τ是P下的局部上鞅，初始值为0。然而，Ythat的定义清楚地表明了这一点K′τK-1，\'τkKφ·\'Sk+1K\'τk-1，\'τkKφ·[\'Sk，Y]t=K′τK-1，\'τkKφ·\'Sk+1K\'τk-1，\'τkKφ·[\'Sk，Yk]t、 注意，在Qk下，Skis是一个ubs鞅。因此E（Yk）t∧“τn”Skt∧“τ”是次鞅底。我们声称（\'Sk+[\'Sk，Yk]）t∧τ也是P下的子鞅。要查看索赔，我们可以使用乘积规则并获得d（E（Yk）t¨Skt）=SkdE（Yk）t+E（Yk）d\'Sk+[\'Sk，Yk]t、 右边的第一项是[0，\'τn]上的真马丁盖尔，因为（\'Sk）t∧τ为统一边界。因此，我们得到了E（Yk）·\'Sk+[\'Sk，Yk]T∧τ是次鞅。让我们考虑过程的半鞅分解（\'Sk+[\'Sk，Yk]）∧τn=Mt+At，其中Mtisa局部鞅和Atis是一个局部变化过程。通过子鞅分解E（Yk）·\'Sk+[\'Sk，Yk]T∧τn，我们得出结论，有限的变化过程∧“τnE（Yk）udaue是t≤ τn.让我们写出它的乔丹分解at=A的项↑T- A.↓tand kAkt=A↑t+A↓t、 那么很容易看出∧τnE（Yk）udA↑乌安德特∧τnE（Yk）udA↓uare递增过程与KZT∧τnE（Yk）udAuk=Zt∧τnE（Yk）udkAku=Zt∧τnE（Yk）udA↑u+Zt∧τnE（Yk）udA↓u、 因此，积分∧τnE（Yk）udauzt有一个Jordan分解∧τnE（Yk）udAu=Zt∧τnE（Yk）udA↑U-Zt∧τnE（Yk）udA↓u、 另一方面，Rt∧τnE（Yk）udau是从Jordan分解的唯一性（直到恒定差异）开始的一个增长过程，我们有∧τnE（Yk）udA↓u=0。自那时起（Yk）t∧τn>0p-a.s.对于所有t，我们得到a↓t=0表示所有t。因此，有限变量过程是一个递增过程。

因此，我们得到（\'Sk+[\'Sk，Yk]）t∧τn=Mt+Atis是一个子鞅。回顾φ是一个非正过程，我们得出随机积分K′τK-1，\'τkKφ·\'Sk+1K\'τk-1，\'τkKφ·[\'Sk，Yk]T∧τ是P下的一个局部超鞅。因此，我们得到了E（Yt）∧τn）K′τK-1，\'τkKφ·\'SkT∧“‘τnisa local supermaningale在P.中回顾了以下事实：K′τK-1，\'τkKφ·\'SkT∧如果τ小于某个常数，我们可以得出E（Yt∧τn）K′τK-1，\'τkKφ·\'SkT∧τn在鞅（Yt）下有界∧τn）。法图引理得到了E（Yt∧τn）K′τK-1，\'τkKφ·\'SkT∧“τ”是p下的一个超鞅，它意味着E“E（Y”τn）nXk=1φK′τK-1，\'τkK·\'Skτn#≤ 0.对于（3.22）中的第二部分，我们可以求和并写入xk=1（φ′τk）-1“Sk”τk-1.- φ′τk′Sk′τk）=nXk=1φ′τk-1（\'Sk\'τk）-1.-“Sk-1′τk-1） ，由于φ′τn=0的条件以及φ′τ=φ=0的长期假设。从“Sk”的构造中，我们已经知道了“Sk”τk-1.-“Sk-1′τk-1.≥ 0，Qk-a.s.，因此^Qk-a.s.fr om（3.20）。再次使用φ为非正的假设，我们立即得到E（Y′τn）nXk=1φ′τk-1“Sk”τk-1.- φ′τk′Sk′τk#≤ 0，这意味着（3.22）成立，因此（3.21）得到验证。案例2：投资组合过程φ是J0上的非负过程，τnK。该证明遵循案例1中的类似论点，进行了一些小的修改。我们之前只在本案中引用了简明的证据。我们将模仿案例1中的想法来构建有效的股价过程。首先是0≤ T≤ τ，我们可以定义τ≤ T≤ τ，我们首先考虑两个辅助过程x′t，ess supτ∈OtEQhSτ（1）-λτ)Fti，Y′t，ess-infτ∈OtEQ“Sτ1+¨S”τ-SτSτλτλτ！Ft#，其中ott表示所有停车时间τ的集合，其值为t≤ τ ≤ τ. 我们可以进一步定义，等式[X′\'τ| Ft]，Yt，等式[Y′\'τ| Ft]。对于τ≤ T≤ τ，我们定义Xt，X′和Yt，Y′t。

然后我们得到（X）t∧τ是一个超artin和（Y）t∧τ是Q下的次鞅。此外，与情形1类似，存在一个鞅22 ERHAN BAYRAKTAR和XIANG YU–Munder Qand Xt≤¨Mt≤ YT0≤ T≤ τ和（1）-λt）St≤¨Mt≤ （1+λt）Stforτ≤ T≤ “τ”和“M”τ≤¨S¨τ，Q-a.S。。让我们定义0的辅助股价过程≤ T≤ \'τas¨表示0≤ t<τ，min（~St，¨Mt），表示τ≤ T≤ τ.很容易检查–是Qfor 0下的s超鞅≤ T≤ τ和（1）-λt）St≤¨St≤ （1+λt）st0≤ T≤ \'τ和¨S\'τ≤¨S¨τ。通过重复这个过程，我们得到了一系列au x伊利亚过程{Sk}1≤K≤在Qkand（1）下跳过一个上乘的滑雪道-λt）St≤¨Skt≤ （1+λt）st0≤ T≤ τk。此外，我们还有不等式-Skτk-1.≤¨Sk-1′τk-1，Qk-a.s。。我们将考虑有效半鞅股价过程t、 （¨Skt，用于¨τk-1.≤ t<τk，k=1，n¨Sn¨τn，代表t≥ 最后，类似于案例1中的证明，我们需要证明e^Qnh（φ·S）)τni=E“E（Yτn）nXk=1φK′τK-1、‘τkK·¨Skτn+E（Yτn）nXk=1φ′τk-1¨Sk¨τk-1.- φ′τk¨Sk′τk#≤ 0.（3.23）但（3.23）中的不等式可以用（3.22）的相同证明来验证，方法是用上鞅