比例交易成本下的市场生存性研究

在J0上，τnK由于^Qn=^Qn+1|F|τn这一事实。回顾（3.16）中S和λ的定义，我们得到了0≤ T≤ τn，inf0≤T≤\'τnSt（1+λt）-^Snt> inf0≤T≤\'τnSt（1+λt）+S′t（1+λ′t）-^Snt= inf0≤T≤\'τnSt（1+λt）-^Snt≥ 0，a.s。。同样，我们也可以检查≤T≤\'τn^Snt- St（1）- λt）> 0，a.s。。为了完成证明，我们将粘贴过程{^Sn}n∈Nup到整个视界[0，T]来得到过程S。我们声称，对于（3.19）中定义的局部鞅Z，过程SZ也是局部鞅。要看到这一点，对于任何停止时间τ，我们都有S=E^Qn[~S^τn∧τ] =E[Z\'τn^S\'τn∧τ] =E[Z′τn∧τ^S′τn∧τ] =E[Z′τn∧τ/Sτn∧τ] 为了所有人∈ N.它遵循这样的过程：SZ是一个具有相同局部化序列{τN}N的局部鞅∈未定义在（3.14）中。4.示例我们在本节中构造了两个示例，其中一个股票价格过程是连续的，另一个股票价格有跳跃，以证明SCLM的存在弱于CPS的存在。4.1. 连续股价的情况。本节中的示例主要是由于[23]中获得的一些结果。我们首先提供了SCLMS存在的充分条件，该条件将用于构建示例。为此，我们将首先在[23]中介绍非法套利（OA）的概念。定义4.1。让我们有连续的路径。如果α>0和[0，T]存在，我们说S允许OA∪ {+∞}-值停止时间σ≤ τ使得{σ<+∞} = {τ < +∞}, P（σ<+∞) > 0andSτSσ≥ 1+α，在{σ<+∞},orSτSσ≤1+α，在{σ<+∞}.（4.1）提案4.1。假设连续股价S不允许OA。然后存在任何交易成本为常数λ的SCLM∈ （0,1），即Zloc（λ）6= 对于任何常数λ∈ （0,1），因此Zsloc（λ）6=.证据

[23]中的命题1证明了存在一系列停止时间ρλnsuch，该停止时间Sρλnadmits是λ一致的价格系统（~Sn，Qn）。此外，根据它们的性能，一个具有级联特性，即在每个J0上，ρλn-1K，我们得到了Sntequals Sn-1和qn-1 | Fρλn-1=Qn | Fρλn-1.因此，对于每个n∈ N、 我们可以定义P-鞅ZnbyZnT，d（Qn | FρλN）d（P | FρλN）。很明显，Znt>0，进一步说，我们有Zn=Zn-1在随机区间J0上，ρλn-1K。因此，通过粘贴工艺（Zn）n∈N、 对于这样的局部鞅，可以∈ [0，T]。类似地，我们可以粘贴流程（~Sn）n∈N.由于根据每个Sn的构造，~snzn是一个P-UI鞅，因此很容易看出，~SZ是一个P-局部鞅。因此，我们证明了CLMS（~S，Z）的存在性。对于任何λ∈ （0,1），我们可以找到交易成本λ′较小的股票价格的CLM（~S′，Z′）∈ （0，λ）（根据上述参数）。显然，（S′，Z′）是股票价格S的一对sclm，交易成本λ和Zslo c6=. 备注4.1。我们想指出的是，无OA条件不是SCLM存在的必要条件。[22]中的以下示例说明了这一点：定义Xt，exp（Wt-t） ，t≥ 024 ERHAN BAYRAKTAR和项羽，其中WT是布朗运动和（Ft）t≥这是它的自然过滤。定义a.s.最终停止时间τ，inft:Xt=,和setSt=Xτ∧谭t，0≤ t<π；Sπ=。定义Gt=Ftan t，0≤ t<π且Gπ=F∞. 很明显，股票价格过程S通过设置σ=0和τ=π来允许异常套利。然而，这个过程仍然是Gt局部鞅，这一点已被[21]证明。我们可以看到，对于任何交易成本λ，（~S，Q），（S，P）是一对SCP∈ （0,1），因此为SCLMS。值得注意的是，本例中明显套利机会的存在与定义2.4中的NA条件并不矛盾。

事实上，为了利用明显的风险机会，人们会选择在时间t=0时卖空股票S，并等待时间τ买入股票以平仓。然而，根据上述S和X的定义，由于清算价值过程可能会发生变化，对于任何初始位置X>0，该简单分类是不允许的-∞ 在某个停止时间t<τ。因此，这个市场模型的例子仍然满足定义2.4中的通常条件，并且存在一对SCP。作为命题4.1的应用，我们将证明SCLM可能存在，即使CPS可能不存在。例4.1。让（Wt）t≥0是关于(Ohm, F、 P）和defi neXt=exp（Wt-t） 。确定停车时间的顺序（ρn）∞n=1byρ=0，ρ=inf{t≥ 0:Xt=-2或2}对于n≥ 1，设ρn+1=ρn{Xρn6=2-2n}+σn+1{Xρn=2-2n}，其中σn+1=inf{t≥ 0:Xt=2-2n+1或2-n+1}。确定停止时间τ=min{ρn:Xρn=2-n+2}股票价格过程S由t=Xt定义∧τ, 0 ≤ t<∞. （4.2）接下来，定义F bydPdP的概率P=∞Xn=1-nP（τ=ρn）{τ=ρn}。市场模型由概率P下的价格过程S组成（人们可以从[0+∞] 到[0，T]将其转化为有限的地平线模型。）[23]的命题7证明了（St）0≤T≤Tsatis证实了提案4.1中的假设。因此，存在一个具有恒定交易成本λ的SCLM（≈S，Z）∈ (0, 1). 然而，他们也表明，对于相同的交易成本λ，不存在一致的价格体系∈ (0, 1). 他们通过一个矛盾的论点做到了这一点：这里P的构造使得P（τ=∞) = 0.然而，如果CPS（~S，Q）存在，则必须是Q（τ=∞) > 0，这会产生矛盾。4.2. 跳转过程的例子。我们将依靠[24]的结果来构建我们的示例。例4.2。

设Y是强度β=T的补偿P-Poisson过程≤ 1从1开始，当它达到零或第一次跳跃时停止。用τ表示零的第一次击中时间，用ρ表示第一次跳跃时间。设置S=Y，并考虑恒定交易成本λ∈ (0, 1). 那么，我们有P（YT=0）=exp(-1). 假设初始财富为x=1- 经验(-1） 并确定投资组合*= (φ0,*, φ1,*) φ1，*t=e-1+βt{t≤τ∧ρ}, φ0,*t=-Zt（1+λ）Stdφ1，*t、 定义φ*= (φ0,*, φ1,*) 是自我融资。此外，我们有vliq，xT（φ0，*, φ1,*) =Vliq，xτ∧ρ(φ0,*, φ1,*) = x+φ0，*τ∧ρ+ φ1,*τ∧ρSτ∧ρ- λ|φ1,*τ∧ρ| Sτ∧ρ=x+φ1，*S+Zτ∧ρφ1,*tdSt- λZτ∧ρStdφ1，*T- λφ1,*τ∧ρSτ∧ρ=x+e-1+e-1+βρ{ρ≤τ}- βZτ∧ρe-1+β-tdt- λZτ∧ρStβe-1+βtdt+λ（2）- βρ）e-1+βρ{ρ≤τ}- λe-1+β(τ ∧ρ） Sτ∧ρ≥x+e-1+（1+λ）e-1+βρ{ρ≤τ} +（e）-1.- E-1+β(τ ∧ρ） ）+2λ（e-1.- E-1+β(τ ∧ρ)) - 2λe-1+β(τ ∧ρ） =x+h（2+2λ）e-1.- 3λe-1+βρi{ρ≤τ}+（2+2λ）e-1.- (1 + 4λ){τ<ρ}.自上世纪90年代以来，第一个不平等现象一直存在≤ 任何t都是2∈ [0，T]和βρ≤ 关于{ρ≤ τ}，最后一个等式成立，因为{τ}事件的βτ=1≤ ρ}. 让我们选择λ>0小的e，使得x+（2+2λ）e-1.- (1 + 4λ) ≥ 0，这就是λ≤4e-2.那么我们总是x+（2+2λ）e-1.- (1 + 4λ){τ<ρ}≥ 0.既然我们有βρ≤ 关于{ρ≤ τ }. 选择λ≤4e-2，很容易验证{ρ≤ τ} 我们有x+（2+2λ）e-1.- 3λe-1+βρ≥ 1.如果λ≤4e-2，然后是Vliq，xT（φ0，*, φ1,*) ≥ 1{ρ≤τ} =1{YT>0}，a.s。。此外，对于任何t<τ∧ ρ、 很容易看出Vliq，xt（φ0，*, φ1,*) = 十、-Zt（1+λ）（1）- βs）βe-1+β-sds+（1- λ） e-1+βt（1- βt）≥ 十、- （1+λ）tβe≥ 十、- （1+λ）e>0 a.s.，26二汉贝拉克塔尔和项玉自（1-βt）e-1+βt在t和1中减少-E-（1+λ）e>0如果λ≤4e-2.

他是我的朋友*是x-可容许的，即φ*∈ 斧头。让我们定义概率P bydPdP=YT。该过程是P（YT>0）=1的正P-严格局部鞅；参见[6]中的定理2.1。现在，由于这个过程是一个P-局部鞅，sy=1是一个P-鞅（~S，Z）=（S，Y）isan SCLMS。我们将通过一个矛盾论证来证明CPS的不存在。让（~S，Q）成为CPS。对于固定x=1- E-1对于任何φ=（φ，φ）∈ 在命题3.1的证明中，我们有0≤ Vliq，xT（φ，φ）≤ x+ZTφtdSt，P-a.s。。现在，因为S是Q下的局部鞅，所以x+RTφtd仍然是同一测度下的超鞅。因此q[Vliq，xT（φ，φ）]≤ 对于任意φ，x<1∈ 这与Vliq，xT（φ0，*, φ1,*) ≥ 1{YT>0}=1，P-a.s.（因此Q-a.s.）。效用最大化问题在本节中，我们将通过展示SCLM的存在、基于最终清算价值确定的效用最大化问题的最优解的存在以及num’eraire投资组合的存在之间的关系来讨论市场的可行性，本节其余部分将对此进行假设。5.1. 效用最大化问题。我们首先提出，稳健意义上的NUPBR和NLABP条件是市场模型对市场生存能力的有效条件，通常比现有文献中的通常条件弱。我们首先需要一些关于效用偏好的标准条件。假设5.1。效用函数U（·）定义在（0，∞ ) U（·）是连续可微的，严格递增的，严格凹的。我们还假设(∞) > 0，它不损失g的一般性。

我们进一步假设效用函数满足INDA条件和合理的渐近弹性，即U′（0）=+∞, U′(∞) = 0，AE[U]=lim supx→∞许′（x）U（x）<1。终端清算价值过程中的效用最大化问题由u（x）=sup（φ，φ）定义∈Ax（λ）E[U（Vliq，xT（φ，φ））]=supVliq，xT∈Vx（λ）E[U（Vliq，xT）]。（5.1）由于函数U（·）的单调性，因此U（x）=supVT∈C（x）E[U（VT）]。其中凸立体集C（x）在（3.4）中定义。下一个定理是本文的第二个主要结果。定理5.1。假设存在一些x>0，使得u（x）<+∞ （因此allx>0）。考虑以下三种断言：（1）在稳健意义下，S满足交易成本λ的NUPBR和NLABP条件。（2） 对于任何初始财富x>0，存在唯一的最优投资组合（φ0，*, φ1,*) ∈ Ax（λ），即V*,xT∈ Vx（λ）使得U（x）=E[U（V*,xT）]。（3） S以交易成本λ满足NUPBR条件。我们有以下含义：（1）=> (2) => (3).备注5.1。如第3节所述，在交易成本λ满足NUPBR和NLABP条件的假设下，我们可能仍有定义2.4意义上的套利机会。定理5.1（1）=> （2） 声明只要这些套利机会不会导致违反NLABP条件的上升，最优投资组合问题仍然是明确的。受效用偏好影响的投资者不喜欢某些类型的套利，或者某些类型的套利太小或不可扩展，无法产生巨大的财富。证据：证明（2）=> (3). 为此，让我们首先证明S满足NUPBR条件。假设效用最大化问题（5.1）在股票价格过程S和交易成本λ的市场模型上有一个最优解。

我们需要检查setV（λ）在概率上是有界的。因为AE[U]<1和U(∞) > 存在常数α>0和γ>0（见[19]），使得所有x的U（α）>0和xu′（x）<γU（x）≥ α. （5.2）对于任何Vliq，1T∈ V（λ），很明显，Vliq，1T+α∈ V1+α（λ），因为我们可以在无风险资产中始终保持现金α>0。现在，让我们考虑初始财富为1+α的投资者，假设*,1+α是效用最大化问题的最优解supvliq，1+αT∈V1+α（λ）E[U（Vliq，1+αT）]=E[U（V*,1+αT）]∞.对于任何Vliq，1T∈ V（λ），我们声称（Vliq，1T+α-五、*,1+αT）U′（V*,1+αT）是可积的，尤其是Eh（Vliq，1T+α）- 五、*,1+αT）U′（V*,1+αT）i≤ 0.（5.3）我们将首先证明该索赔。为此，对于任何固定的∈ （0，），我们定义VT=（1-）V*,1+αT+（Vliq，1T+α）。由于集合Cλ（1+α）的凸性，我们有VT∈ Cλ（1+α）。V的可选性*,1+αt与U（x）的凹度一致意味着0≥EhU（VT）- U（V）*,1+αT）i≥Eh（VT- 五、*,1+αT）U′（VT）i=Eh（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）U′（VT）i，（5.4）28 ERHAN BAYRAKTAR和项羽如果我们有（VT）- 五、*,α（T）是可积的。在这里，（5.4）中的第二个术语是自-∞ < U（α）≤ E[U（VT）]<E[U（V*,1+αT）]∞. 对于第三项，U（x）的凹度给出了上界（VT）-五、*,1+αT）U′（VT）≤ U（VT）- U（V）*,1+αT）。因此，（5.4）如果我们能验证下限-（VT- 五、*,1+αT）-U′（VT）也是可积的。我们在家庭中显示下一个th（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）-U′（VT），∈ （0，）ois由可积随机变量控制。

让我们写（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）-U′（VT）=（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）-U′（VT）1{V*,1+αT≤α} +（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）-U′（VT）1{V*,1+αT≥2α}+（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）-U′（VT）1{α<V*,1+αT<2α}。（5.5）对于（5.5）中的第一项，我们可以看到（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）-U′（VT）1{V*,1+αT≤α} =0，a.s。。对于（5.5）中的第二项，我们通过U′（x）和U（x）以及（5.2）的单调性得到了一个估计：（Vliq，1T+α）- 五、*,1+αT）-U′（VT）1{V*,1+αT≥2α}≤（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）-U′（（1）- ）V*,1+αT）1{V*,1+αT≥2α}≤（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）-U′（V）*,1+αT）1{V*,1+αT≥2α}≤γV*,1+α电视*,1+αTU（V）*,1+αT）1{V*,1+αT≥2α}≤2γU+（V）*,1+αT）≤ 2γU+（V）*,1+αT）。右手边是可积的，因为我们知道u（1+α）=E[u（V*,1+αT）]∞.对于（5.5）中的最后一项，同样通过U′（x）的单调性，我们得到（Vliq，1T+α）- 五、*,1+αT）-U′（VT）1{α<V*,1+αT<2α}≤（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）-U′（V）*,1+αT）1{α<V*,1+αT<2α}≤五、*,1+αTU′（V）*,1+αT）1{α<V*,1+αT<2α}≤2αU′（α）<∞.因此，我们可以得出如下结论：n（Vliq，1T+α-五、*,1+αT）-U′（VT），∈ （0，）ois由一个非负可积随机变量所限定，我们将用Γ表示，因此Eh（VT）- 五、*,1+αT）U′（VT）i>-∞ 应用Fatou的L emmaEh（Vliq，1T+α）验证了不等式（5.4）- 五、*,1+αT）U′（V*,1+αT）i≤ lim inf→0Eh（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）U′（VT）i≤ 0，我们使用了（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）U′（VT）≥ -（Vliq，1T+α- 五、*,1+αT）-U′（VT）≥ -Γ和Γ是一个非负可积随机变量。因此（5.3）成立。自（Vliq，1T+α）- 五、*,1+αT）U′（V*,1+αT）对任何Vliq，1T都是可积的，通过特殊情况Vliq，1T=0，因为我们可以扔掉现金，我们得出结论（V*,1+αT- α） U′（V）*,1+αT）也是可积分的。因此，根据（5.3）和U thatsupVliq的凹度1T得出∈V（λ）EhVliq，1TU′（V*,1+αT）i≤呃(V)*,1+αT- α） U′（V）*,1+αT）i≤E[U（V*,1+αT）]- U（α）<∞.如果我们能显示U′（V*,1+αT）>0a.s.，然后通过[15]中的引理3.2，我们可以得出setV（λ）处的th在概率上是有界的。

我们将用一个矛盾论点和假设（U′（V））来证明这一点*,1+αT）=0）>0。考虑两种情况：情况1：如果(∞) = ∞.很容易得到P（U（V）*,1+αT）=∞) > 自U′起0(∞) = 我们得到了一个与u（1+α）=E[u（V）相反的结果*,1+αT）]∞.案例2：如果0<U(∞) < ∞.对于A，{V，我们只得到P（A）>0*,1+αT=∞}. 利用（5.2），我们得到[U′（V*,1+αT）1A]<γE“U（V*,1+αT）V*,1+αTA#。但是自从你(∞) = 很明显，E[U′（V*,1+αT）1A]=0。对于右手侧，我们知道0<U(∞) < ∞ 因此U（V）*,1+αT）V*,1+αTA= 这与严格不等式是矛盾的。总之，我们推导出P（U′（V*,1+αT）>0）=1完成了蕴涵（2）的证明=> （3） ，即S满足交易成本λ的NUPBR条件。证明（1）=> （2） ：我们首先建立集合C（x）的双极性结果。让我们首先定义这个集合的极性：Y（Y）=（C（x））o= {YT∈ L+：Y=Y和E[VTYT]≤ xy，及物动词∈ C（x）}。（5.6）由于S满足NUPBR和NLABP条件，且交易成本λ在稳健意义上，定理2.1给出了SCLM（~S，Z）的存在性。根据（3.1）对（S，λ）而不是（S′，λ′）的逐字证明，我们可以得到supvliq，xT∈Vx（λ；S）E[Vliq，xTZT]≤ x、 （5.7）这意味着m，{ZT∈ L+：（S，Z）∈ Zslo c} Y（1）。因此我们得出结论，Y（1）不是空的，因为M不是空的。显然，我们有Y（Y）=yY（1）和Y（1）=（C（1））o. 此外，由于C（1）在概率收敛下是凸的、实的和闭的（得益于命题3.2），我们得到了C（1）=（Y（1））o, Y（1）=（C（1））o, （5.8）根据[5]的双极性定理，30 ERHAN BAYRAKTAR和项羽。由于（5.7），我们也有C（1）概率有界，因为Vis概率有界，并且它包含常数1。因此，很明显，常数x∈ C（x）和Y（Y） L

现在我们可以应用[19]中的定理3.1和定理3.2得出结论，对于每个y>0，都存在一个最优解y*T（y）到对偶优化问题v（y）=infY∈Y（Y）E[V（YT）]。（5.9）在原始值函数和对偶值函数sv（y）=supx>0[u（x）之间有一个共轭对偶性- xy]，y>0；u（x）=infy>0[v（y）+xy]，x>0。此外，唯一最优解V*,效用最大化问题的解由byV给出*,xT=I（Y）*T（y）），其中y=u′（x）和E[V*,xTY*T（y）]=xy。5.2. 存在Num’eraire投资组合。在这里，我们将简要地讨论num’eraire投资组合的存在性以及一些其他相关概念，作为定理5.1和命题3.2的推论。我们首先定义了一些相关概念。定义5.1。清算价值程序∈ V（λ）被称为（i）一个数字组合，用Vnum，ifE“Vliq，1TVT表示#≤ 1.（ii）对数最优，用Vlog表示，ifE[log（Vliq，1T）]≤ E[日志（VT）]；（iii）增长最优或相对对数最优的投资组合，用Vgop表示，ifE“logVliq，1TVT#≤ 0;对于所有Vliq，1∈ V（λ）推论5.1。考虑以下断言：（1）S满足NUPBR和NLABP条件，交易成本λ。（2） 交易成本为λ且VnumT<+∞ a、 s。。（3） 交易成本为λ且VgopT<S的增长最优投资组合vgopf+∞a、 s。。（4） S以交易成本λ满足NUPBR条件。（5） 交易成本为λ的对数最优投资组合vlogs存在。我们有影响（1）=> (2) <=> (3) => (4). 此外，如果u（x）<∞ 在（5.1）中，U（x）=log（x），我们得到了等式（2）<=> (3) <=> （5） VlogT=VgopT=VnumT。证据证明（1）=> (2). 该证明遵循了[8]中第5.1条的证明中提出的论点。我们提供这些是为了完整性。