微观经济结构决定宏观经济动态。青木败北

13.od中的随机游动≤ 2维是经常出现的。也就是说，随着therandom walk的持续时间缩短到最后，每个代理a都会将有限的时间返回到其原始位置在这些对其起源地x的“家”访问期间，每个a对K（x，t）期望值贡献一个指数因子。o因此，每一个起源于x的a对K（x，t）的期望都有一个乘法贡献，该贡献随时间呈指数增长因此，如果一开始在一个地点x上有足够多的a剂a（x，0），那么它们的指数增长贡献的产物将能够以固定的负增长率击败/补偿任何指数衰减，而负增长率源自k的死亡（由于δ）和k的迁移（由于DK）即使上述情况要求a的初始值a（x，0）非常大，最初在现场x:a（x，0）>>a平均值，这也有一个有限（即使非常小）的概率P（a（x，0））。事实上，我们可以用等式13的泊松公式来计算如果系统的容量（站点数量x）为V>>1/P（A（x，0）），则最初拥有多个代理A（x，0）或更多代理的站点数量x的预期数量大于1在这些点上，K（x，t）的期望值呈指数增长因此，即使在所有其他点K（y，t）崩溃，由于这些特殊/奇点，总K（t）呈指数增长K（t）的预期增长是时间的指数，其系数t由系统中最大的a（x，0）max决定。

特别是对于有限系统，K（t）的预期增长速度比任何指数都快[26]。因此，在下一节中，我们首先描述thea完全不离开原始站点（DA=0）的情况，然后将分析扩展到DA>0的情况，同时考虑a偶尔返回原始站点的情况。4.自催化多智能体系统的异常弹性如果我们看看系统方程。1，2微观上，从单个代理的角度来看，即使每个a的位置是从空间上均匀的概率分布中选择的，结果将是系统的每个实现都将遵守泊松分布。尤其是在任意位置x的每个有限（但任意大）A（x，t）值都有一个有限（但可能非常小）的实现概率。忽略A（x，t）最大的最罕见事件会导致幼稚（且过于严格）的标准Eqs。对于K（t）的生存和生长：A>δ/s（11）这当然是一个太强的条件：对于K（t）的总数K（t）的增长来说，K（x，t）不必在大多数位点x和乘以t上增长。x空间的（非零测度）子集s（t）中K（x，t）的增长足以确保K（t）作为一个整体的最终增长。它是如何发生的一个暗示是认识到，由于指数函数的凸性，指数的平均值大于平均值的指数。在我们的例子中，平均增长因子例如（x，t）xis总是大于平均增长率<g（x，t）>x:Deg（x，t）Ex>e<g（x，t）>x=eg（12）的指数，因此，即使增长率g的平均值为负值（等式7），在由等式定义的实际随机离散系统中，朴素等式3的解等式5呈指数衰减。

1和2 A（x，t）的微观粒度足以确保在非常广泛的条件下，系统k（t）中k的总数增加。4.1非分歧a的情况：DA=0为了第一次熟悉论点，让我们暂时忽略a代理人的分歧，取DA=0。假设每个代理a在x空间中的任何位置都有相同的概率。这种概率分布当然以泊松分布的名义被广泛研究。虽然在宏观尺度上，泊松分布尽可能均匀，但微观粒度允许A（x，t）与平均值A存在任意大的局部偏差。事实上，在任何位置x，agentsa的数量为A（x，t）的概率由泊松公式给出：P（A（x，t））=AA（x，t）e-A/A（x，t）！（13） 因此，对于任何x，A，δ，s，存在A（x，t）>δ/s的非消失（尽管可能非常小）概率。因此，对于足够大的x空间，当位置数n>1/P（A（x，t））时，A占用率A（x，t）超过1的预期位置数x。一般来说，这意味着在x空间中存在一组非消失测度S（t），其局部增长率g（x，t）为正：g（x，t）=sA（x，t）- δ > 0; 为了x∈ 这足以确保K（t）=K（0）ZxeRtg（x，t）dtdx→ ∞. （15） 公式15成立，因为即使对于其余的x位置，积分消失，在集合S（t）上积分发散：K（x，t）=eg（x，t）t；为了x∈ S（t）（16）（因为如果DA=0，g（x，t）以及A（x，t）和S（t）在时间上实际上是常数）。莱克（t）~Xx∈S（t）etg（x，t）>etgmax→ ∞. （17） 其中Gmax是整个系统中g（x，t）的最大值。

Kesten[26]利用IneQuality 17证明，对于一个非常大的系统（在有限数量的X个站点中），K（t）的数量的增长甚至比任何指数更快。因此，A（x，t）>δ/s构成奇异生长中心的极为罕见的微观事件，在这里，k的密度k（x，t）发生自动催化放大，并导致在其附近出现大量增长的k集体/群/岛/山，k（x，t）呈指数增长。需要注意的是，对于DA6=0，a的结构会因其差异而不断变化，生长集s（t）也是如此。因此，K（t）生存和生长的关键问题是K‘牧群’/‘岛屿’/‘山脉’是否能够跟踪A（x，t）>δ/s区域s（t）的变化、出现、消失和移动。实际上，在DA=0的情况下，S（t）不随时间变化。但对于下一种情况DA6=0，S（t）的变化将至关重要。4.2分歧a的情况：DA6=0上一段中的问题可以通过处理由等式定义的基于空间扩展剂的模型来严格、分析和定量地确定。1，2使用Masanao的组合技术或by Fild理论重整化群技术[25]，或分支随机游走技术[26]。答案是，在一般情况下，当我们认为a的扩散DA>0时，K（t）不消失的实际条件是t→ ∞ is:s/DA>1- P old，（18）其中P old是a的差分使用的d维空间中的Polya常数。通过定义，Polya常数P old是指给定足够的时间，随机行走的a将返回其初始位置的概率。因为d≤ 2空间维度P old=1，对于足够大的系统K（t）不会衰减为0，因为参考等式。

18条件变为s/DA>0，这始终适用于s>0。注意等式18的生存/生长条件与天真标准有多大不同。11：条件等式18表示K（x，t）适应和生存A（x，t）变化的能力，而条件等式11仅对A和K的数量采取全局、静态、平均、代表性的观点。属性P old=1表示d≤ 2表示随机行走者a在d中≤ 二维空间几乎从不从其原始位置移动到有限距离。这导致了d区随机步行者的一种相当反常的行为≤ 2维，在某种意义上，随机行走的人永远不会离开他们最初的社区，一次又一次地永远回到那里。这使得a聚居区创造的大型k“牧群”/“山脉”/“岛屿”能够被最初创造它们的a不断地重新访问和加强。因此在d中≤ 2维，k即使在最恶劣的条件下也能存活：集体k对象几乎总是有机会和时间来调整自己的位置，以适应P old=1关系所暗示的结构中非常轻微和缓慢的变化[27]。这一点都不典型：事实上，对于d>3，a很可能永远不会回到原点。事实上，只有大约1/3的人这样做了，其余的人则失去了“完整性”。k‘牧群’/‘岛屿’/‘山脉’生存率的条件公式18非常重要：s/DA>0.659563（19）。注意，虽然公式19的结果没有d<2系统的绝对弹性那么令人震惊，但该结果仍然与天真的连续统条件公式完全不一致。11.综上所述，系统方程。

1，2远不是标量式的特征。3表现出非凡的弹性，与k的增长点在A的数量超过平均A的地方自发出现有关。a的结果是指数增长。人们注意到，物种选择生活在二维环境中，即使它们在原则上确实可以选择在k畜群中的三维空间[28]变化，这些变化通常达到宏观或至少微观尺寸。反过来，这些因素又导致了K（t）的大时间波动。因此，为了理解宏观动力学，首先必须理解涌现的集体物体所代表的微观和微观粒度的本质。最终，k群体跟随生长中心位置变化的可能性取决于k的增殖率s、a的扩散率Da以及a和k移动的空间几何的Polya常数。苏塞克。15表达了这样一个事实，即k形成集体物体——“岛屿”、“集群”、“畜群”——它们自适应地识别、跟随并利用媒介的偶然性。由完全机械的k’s自发出现的适应性、集体性的物体是系统Eq的呈现方式。1，2异常的客户。由增殖个体k组成的适应性集体集群，跟随并利用偶然的临时聚集a[29]提供的增益/增长机会，对整个系统的时间变化特征具有重要影响。这种集体物体的出现和消失是系统中拉格农自平均波动的原因。

有关定理以及这些结果适用的确切条件，请参见[25]、[27]、[19]。这种影响与全球化经济的兴衰有关[30]、[31]、[32]、[19]。在接下来的章节中，我们将看到，当从资本动力学的角度进行解释时，这意味着经济的不同部分具有非常异质的内在增长率，整个体系具有非常出色的弹性。事实上，我们可以说，一个经济体或生态系统在缺乏异质性的情况下是不可能存在的。在许多自动催化（增殖）元素的系统中，集体适应性对象的自发出现对它们的生存至关重要。这样的集体目标（大量财富积累、畜群、高科技综合劳动社区）确保了整个系统的弹性。它们是“进化”动力学的载体和化身，在创造、毁灭、生长和衰败的过程中，它们从不处于平衡状态，不断变化。5返回原点的概率、系统惯性和分形间歇性行走第4.2节研究了随机行走者返回原始位置的概率。这是一种从包含随机序列的随机模型中提取定量预测的有效方法。此外，它允许在各种动力学状态之间进行定性区分：o正常（高斯“微观”波动）、o分形（Levy[7]，“尺度波动”）和o间歇性（Zel\'dovich[8]，灾难性波动/极端事件）。在接下来的小节中，我们将使用这些度量，以便将固定时间内K（x，t）分布的粒度与其聚合的时间波动联系起来。

我们将发现，表征K（x，t）粒度的大型畜群的粒度分布决定了K（t）函数的粒度分布[12]、[13]、[15]、[33]。本节开发了解释这种联系的语言和工具。5.1返回原点的概率、系统惯性和分形/间歇行走波利亚常数的P old=1值与Porigin（2t）=P（x=0，2t）有关。在2t时间步后，在原点发现代理a在原点开始随机行走的可能性。更准确地说：P old=1 iff XtPorigin（2t）=∞. （20） 对于d=1，2，情况就是这样：Porigin（2t）=（tπ）-d/2；d=1，2（21）和thusxtp原点（2t）=Xt（tπ）-d/2→ ∞; d=1，2。（22）我们从公式20中了解到，数量Porigin（t）非常重要，不仅是为了确定随机游动过程中小函数的性质，而且主要是为了表征超大函数——这些函数可以使系统任意远离其起源。因此，我们将在附录X中看到，并在接下来的章节中使用，表征系统大波动的最佳方法是研究原点（t）：o理论上，其时间标度指数如等式21所示，与K（t）中单个时间步的规模标度有关，并通过它们与集群的标度特性有关，畜群和其他组成系统的集体物体。o实际上，它允许进行高精度、高可靠性的测量，从而避免了困扰从原点直接测量大流量的精度和可靠性的统计和有限尺寸问题[34]。在正方形格子上，奇数个时间步后的返回概率为P（x=0，2t+1）=0。见G.劳勒和L。

科伊尔：当代概率论和概率论的主题http://stat.math.uregina.ca/~kozdron/Research/Talks/duke_polya。pdf5。2簇、k群和Levy过程性质上一节介绍的数量Porigin（t）在刻画随机系统的分形/间歇/循环性质方面起着关键作用。正如附录中所证明的，这个数量介于涌现的集体幻视物体的颗粒结构（系统的微观成分在其中自组织）和整个系统的时间演化之间。更准确地说，考虑一个通用系统，其中：。系统大小K（t）是i个集合对象的大小Ki（t）之和：K（t）=XiKi（t）。（23）因此，该装置开始工作在K（t）的时间演化中，K（t）是单位步长单个Ki的Ki（假设动态是异步的，即Ki’没有在完全相同的时间更新/‘同步’）。由于微观自催化动力学（例如，方程式1、2），当根据其等级（最大Ki First）排序（降序）时，组分的尺寸遵循帕累托-齐普夫幂律：Ki~ 我-α. (24)3. 由于微观动力学具有相同的自催化特性，短时间变化Ki/Ki的分布遵循相同的帕累托-齐普夫幂律。就一步的概率而言，这可以等效于等式24Kito大于某个步长值：P robP areto(Ki>步长）~ （步长）-α（25）考虑到等式23，这意味着K（t）的时间演化是一个Levy flights过程；即

具有帕累托幂律分布步长的随机游动：P robP areto(K>步长）~ （步长）-α（26）在这些条件（1-3）中，根据Levy和Mandelbrot分析[7]（有关论证的详细信息，请参见附录），K（t）在t步时间间隔内的时间变化是Levy分布Lα(K、 t）宽度随时间扩展为：(K、 （t）~ t1/α；对于α<2（27），其（如上所述）在其中心峰值的时间标度中反映为：PLevy(K（t）=0，t）=Porigin Levy（t）~ 1/4.征费(K、 （t）~ T-1/α; 因此，对于α<2（28），K（t）Levy flights过程的行为取决于α的实际价值，即决定单个步骤规模分布的基本对象（大量个人资本、大型企业、投资者群体、生产部门、高产地理位置）的规模对于α>2，则恢复高斯结果对于1<α<2，波动是分形的（Levy稳定），并达到更大的尺度（但仍受最大单个物体的有限尺寸限制）。与高斯情形相比，系统在一个时间t后处于初始状态的概率下降得更快。更准确地说，系统偏离原始值的速度由表征步长分布等式24（附录中的等式56）的同一指数α决定，并由等式28（附录中的等式60）的中心峰值衰减速度测量。图1通过比较公式24中的指数（最大投资者的财富规模）和公式24中的指数，展示了理论预测和经验数据之间的显著一致性。