具有小交易成本的预期损失约束下的套期保值

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英文标题：
《Hedging under an expected loss constraint with small transaction costs》
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作者：
Bruno Bouchard (CEREMADE, CREST), Ludovic Moreau, Mete H. Soner
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We consider the problem of option hedging in a market with proportional transaction costs. Since super-replication is very costly in such markets, we replace perfect hedging with an expected loss constraint. Asymptotic analysis for small transactions is used to obtain a tractable model. A general expansion theory is developed using the dynamic programming approach. Explicit formulae are also obtained in the special cases of an exponential or power loss function. As a corollary, we retrieve the asymptotics for the exponential utility indifference price.
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中文摘要：
我们考虑了具有比例交易成本的市场中的期权套期保值问题。由于超级复制在这样的市场上非常昂贵，我们用预期损失约束取代了完美对冲。小交易的渐近分析用于获得一个可处理的模型。利用动态规划方法发展了一种通用的扩展理论。在指数或功率损失函数的特殊情况下，也得到了显式公式。作为推论，我们得到了指数效用无差异价格的渐近解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Hedging_under_an_expected_loss_constraint_with_small_transaction_costs.pdf (512.97 KB)

2022-5-4 22:25:43 上传

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关键词：交易成本 预期损失 套期保值 proportional Transactions

具有小交易成本的预期损失约束下的套期保值*Bruno Bouchard+Ludovic MoreauH.Mete Soner§2018年5月9日摘要我们考虑在具有比例交易成本的市场中进行期权套期保值的问题。由于超级复制在这样的市场上非常昂贵，我们用预期损失约束代替完美对冲。通过对小交易成本的渐近分析，得到了一个可处理的模型。用动态规划方法发展了一种广义展开理论。在指数和幂效用函数的特殊情况下，得到了显式公式。作为一个协整函数，我们得到了指数效用差异价格的渐近解。关键词：预期损失约束，套期保值，交易成本，渐近展开。AMS 2000实体分类60G42；91 B28；93E20；49L201简介众所周知，在一个没有摩擦的完整市场中，每一项未定权益都可以通过标的资产的连续交易来实现。然而，这些复制策略通常会产生无限变化的投资组合过程。因此，任何规模的交易成本都会使该投资组合产生有限的交易成本。事实上，已经证明，一般来说，最便宜的超级复制portolio是简单的购买和持有策略，这会导致高昂的成本[50、42、15、19、23、37、40、41]。从理论上讲，几乎可以肯定复制是一个吸引人的概念，这一概念在现代社会得到了广泛的研究。首先，它通过提供进入最大化的财富过程的精确描述，为效用最大化问题提供了初始构建块。此外，它提供了与所有其他方法一致的完全风险规避，并在不完全市场中产生了定价区间。当这个间隔很紧时，它也有实际用途。

然而，由于这不是具有交易成本的酪蛋白市场，因此必须考虑与投资者风险态度相关的预期损失标准。在无摩擦的Black-Scholes市场中，Follmer和Leucert[27,28]利用Neyman-Pearson引理（适用于一般完全市场）的深层联系，研究了分位数和预期短缺。更一般的方法*第一作者的研究部分得到了ANR Liquirisk和Labex ECODEC的支持。最后两位作者的研究部分得到了grant228053公司下属的欧洲研究理事会、ETH基金会和Swi ss金融研究所的支持。+Ceremake，巴黎多芬大学和CREST-ENSAE，bouchard@ceremade.dauphine.fr.苏黎世高等教育学院数学系，卢多维奇。moreau@math.ethz.ch.§苏黎世和瑞士金融学院数学系，hmsoner@ethz.chfor然后，在[12,9,44,13]中为不同的市场开发了马尔-科维安环境，包括跳跃和几个损失标准。这种方法的一个特殊应用是Hodges和Neuberger[34]引入的效用差异，其中通过一个人在不承担责任的情况下可能实现的最大效用给出了享乐约束。然而，在具有预期损失的套期保值的一般公式中，可以设置不止一个约束[16]，并考虑具有一般动态和摩擦的市场。在本文中，我们遵循[12]的问题公式，在交易成本很小的情况下，发展了一个用于套期保值问题的相干交感理论。渐近分析允许使用更易于处理的公式。我们的方法足够稳健，可以处理具有一般动力学和许多丢失信息的模型。为了对金融市场进行建模，我们遵循了开创性的论文[43,17]和[22,24,49]的严格数学方法。

有关交易成本下效用最大化的更多信息，请读者参阅本书[38]及其参考文献。在技术方面，我们基于在经典效用最大化的情况下开发的类似理论。对于这个问题，从[49]的附录开始，现在有了一个广泛的理论。现在有许多严格的结果[1,3,6,7,32,35,45,48,53]以及有趣的形式推导[2,33,54]。我们使用的偏微分方程（PDE）技术起源于最近的一篇论文[53]。它是基于粘度均匀化的理论[26]。这种方法考虑了一种灵活的渐进理论，适用于具有多种资产[48]、固定交易成本[1]和因子模型中的市场影响[45]的市场。对具有不同时间尺度的随机波动率模型[30,31]和效用最大化渐近性[29]进行了相关的符号分析。他们也使用粘度解决方案工具，但他们的方法不同。利用基于价格的预期损失的偏微分方程特征，直接导出了渐近展开式。该方程源自[12]中的随机目标公式和受控预期损失。在无摩擦的情况下，第2.2小节中描述的问题是π（t，s，p）：=infnz∈ R:EhψZt，s，z，θT- g（圣，圣）我≥ p代表一些人∈ U（t，s，z）o，其中ψ是给定的预期损失函数，p是给定的期望阈值，g是期权支付函数，U（t，s，z）是可接受的控制集，过程Zt，s，z，θ是具有初始股票价值s，初始财富价值z和控制过程θ的投资组合的价值。下文第2节给出了Zt、s、z、θ的不同类型动力学，以及可受理类别U（t、s、z）的确切描述。

然后，借助鞅表示，[12]将这个问题转化为[51,52]中介绍的标准随机目标问题。第2.1节介绍了具有交易成本的模型，相应的动态规划方程是一个拟变分不等式（2.7）。本文的主要结果（见第3节）是渐近展开式（3.1）。这一点在第3.7条定理的假设下得到了证明，并指出摩擦造成的损失与比例交易成本的2/3次方成正比，并且描述了扩张中第一项的系数。虽然我们的结果被证明适用于单一风险标准，但完全按照[16]中的步骤可以将其基因化为多标准。这种扩展自然会增加相应PDE的尺寸，但不会带来任何额外的技术困难。在指数效用函数和幂效用函数的计算中，ψ的显式公式是可用的。我们在第4节中收集了它们。在第7节中，我们还将解释如何构建最佳策略。特别是，如果选择阈值p作为具有交易成本但不承担任何责任的同一性最大化问题的值函数，则可以恢复效用与不同价格及其渐近性。在这种情况下，该价格首先由[21]研究。在指数效用的情况下，他们得到的价格是两个函数的差值。这些函数与两个类似问题的最大效用有关，这两个问题的解是通过一个具有梯度约束的非线性方程来描述的。相关的渐近公式适用于mally-derivedin[54]，直到最近才被Bichuch[5]严格证明。后来[46]使用了类似于我们的方法来解决这个问题。

如上所述，我们研究的问题m相当于对期权进行套期保值，而不是完全套期保值，而是以规定的预期损失进行套期保值。因此，我们在第4节中描述的结果得出了[5]的渐近公式。这篇文章是有组织的。下一节描述了该模型及其无摩擦对应物。在第三节中，我们陈述了主要定理和我们的推论。在第4节中，我们用指数和电力公用事业的例子来说明这个结果。第5节致力于证明主要定理，第7节验证示例中的假设。在第6节中，我们证明了几个技术估计。注释：给定O Rk与光滑函数φ：（t，x，…，xk）∈ [0，T]×o7→ R、 我们写出关于t和xi的偏导数的φ和φxi。二阶导数用φxixj表示，以此类推。。。我们使用符号Dа和Dа来表示梯度和关于空间分量（x，…，xk）的海森矩阵。如果我们想根据一个亚家族来定义它们，比如（x，···，xi），我们写D（x，··，xi）和D（x，··，xi）~n。当φ仅取决于一个变量时，我们简单地写出一阶和二阶导数的φ′和φ′。Rkis的任何元素都被视为列向量，并且表示换位。对于元素ζ∈ 当r>0时，以ζ为中心半径r>0的开球用Br（ζ）表示。我们让\'B和Int（B）表示B的闭包和内部。涉及随机变量的断言必须在a.s.中理解。

从某种意义上说，如果没有其他规定。2在通常的预期损失约束和定价等式下的部分对冲，我们让(Ohm, F、 P）是支持一维布朗运动W，F:=（Ft）t的完全概率空间≤T由W和T>0生成的连续八次过滤是固定的时间范围。2.1按比例交易成本的控制损失定价我们考虑一个金融市场，该市场包含单一风险资产，称为股票。为了便于注释，我们假设无风险利率为0。给定初始数据（t，s）∈ [0，T]×（0，∞), 我们让St，Sd描述该资产的演变，我们假设它遵循动态St，s=s+Z·tSt，sτu（τ，St，sτ）dτ+Z·tSt，sτσ（τ，St，sτ）dWτ，（2.1），其中（t，s）∈ [0，T]×（0，∞) 7.→ （su（t，s），sσ（t，s））∈ （0×），∞) （2.2）在s中是Lipschitz连续的，在t中是连续的。后一个条件意味着强解的存在唯一性。该市场上的交易受到参数>0所描述的比例成本的影响。我们使用符号是因为我们会对渐近感兴趣→ 0.缩放只是为了便于标注，稍后会很清楚。通常，在存在交易成本的情况下，投资组合过程必须用二维过程（Y，X）来描述，其中Y表示现金账户，X表示投资股票的金额。因此我们称之为（y，x）∈ 如果y是现金头寸，x是在t时投资于股票的金额，则财务策略是一个有界变化的适应过程L。量Lτ- 书信电报-必须解释为在时间间隔[t，τ]上从ca sh账户转移到投资于股票的ac账户的累计金额。它允许正则分解为两个非减量自适应过程L=L+- L-.

我们用L表示交易策略的集合。假设在时间t时初始捐赠（y，x），则与策略y相关的投资组合过程（y，y，，L，Xt，x，s，L）∈ 根据y，y，，L=y-Z·t（1+）dL+τ+Z·t（1）- ）dL-τ、 Xt，x，s，L=x+Z·tXt，x，s，LτdSt，sτSt，sτ+Z·tdL+τ-Z·tdL-τ.为了排除任何可能的套利行为，我们将可接受的策略集限制为L的元素，这样投资组合的清算价值从下方有界，即L∈ 如果存在cL，则L是可容许的≥ 0例如，y，，L+l（Xt、x、s、L）≥ -克隆[t，t]，（2.3）其中l：r∈ R7→ R- | r |。我们用L（t，s，y，x）表示与时间t的初始数据（s，y，x）相关的一组可接受策略。我们现在考虑一个交易员，其目标是用支付函数g:r对冲普通欧式期权∈ (0, ∞) 7.→ g（r）∈ R.此后，假设g是连续线性增长的。一般来说，存在比例交易成本的超级套期保值成本太高，在实践中没有意义，请参见[20,42,50]和[15]了解多变量设置。因此，我们引入了一个风险标准，在该标准下，期权的定价和对冲将被执行。它是通过一个映射ψ：r指定的∈R7→ ψ（r）∈ (-∞, 0]，我们称之为损失函数。我们假设ψ在其域上是凹的、非减量的、连续的，即Im（ψ）：={ψ（r），r∈ R s。t、 ψ（r）>-∞} 伊索彭和那Ψ(-g（St，St））> -∞ 为所有人（t，s）∈ [0，T]×（0，∞).套期保值价格与损失函数ψ和阈值p有关∈ Im（ψ）由v（t，s，p，x）定义：=infny∈ R: L∈ L（t，s，y，x）s.t.Ehψ，Lt，s，y，x我≥ po，（2.4）在哪里，Lt，s，y，x:=Yt，y，，Lt+l（Xt，x，s，LT）- g（圣，圣）。关于按比例交易成本模型的一般介绍，请参见[38]。我们做出这一假设是为了获得提案2.2中的表述。

然后，该表示法用于验证假设。因此，如果假设得到验证，主要结果适用于一般损失函数。价值v（t，s，p，x）是最低初始价格，在该价格下，带支付（St，St）的期权应按顺序出售，以确保通过ψ评估的预期损失，不低于阈值p。请注意，假设ψ从上方有界是很自然的，因为我们在这里考虑了一个风险标准，即不应该有通过无限收益补偿损失es的可能性。从数学的角度来看，它可以放宽到额外的可积条件，以确保相应的优化问题最大E[ψ(，Lt，s，y，x）]∈ L（t，s，y，x）是适定的，参见例。[8] 以及其中的参考文献。还要注意的是，即使在退化的情况下，这个表m也是有意义的≡ 0.那么，v代表现金账户不应达到的阈值，以便终端财富满足（2.4）中的要求。该阈值是分析风险约束下最优投资问题的基础，见[10,14]。问题（2.4）是一个s-tochastic目标问题，用[12]的术语来说是可控损失。为了获得pde特征，其分析的第一步包括增加状态空间和控制集的维数，或将（2.4）中受控损失下的目标问题m转化为具有P-a.s.终端约束的目标问题，形式为[51,52]。也就是说，v承认等价公式v（t，s，p，x）=infny∈ R: （L，α）∈ L（t，s，y，x）×A s.t.ψ，Lt，s，y，x≥ Pt，p，α到（2.5），其中A表示A.s.平方可积可预测过程的集合，使得Pt，p，α：=p+Z·tατdWτ是[t，t]上的鞅。

（2.6）一个方向遵循期望，另一个方向只是应用于ψ的马丁格尔表示定理的结果(，Lt，s，y，x）。由于Im（ψ）是凸的，通过其域上ψ的连续性，不难看出我们甚至可以限制马氏体Pt，p，α取Im（ψ）中的值，参见[12,44]。请注意，这种重新表述是自然的。事实上，（2.4）中的预期必须被理解为一个条件预期，给定起始点t处的（琐碎）信息。条件预期随着时间的推移而发展，没有理由超过初始阈值p。鞅过程Pt，p，α在这里考虑了这种演变，并将问题转化为一个时间相关的问题：它描述了ψ的条件期望的演变(，Lt，s，y，x）。[51,52]首次获得了形式（2.5）问题的几何动态规划原理。在目前的框架中，控制是有界变化的，因此[9]对其进行了进一步研究。从[9]中的分析可以看出，v是D×Rofmaxn的（不连续）粘度溶液-LSX~n-^LP|SX k，-+1+x，-- D<T×R，ψ（ψ+x）上的（1+ψx）o=0- | x |- g） =p在DT×R上，（2.7），其中我们使用符号sd<T:=[0，T）×（0，∞) ×Im（ψ），DT:={T}×（0，∞) ×Im（ψ），D:=D<T∪ DT和lap | SX k：=a（‘σa+’σ）D|p，^LP|SX|：=inf{LaP|SX|：a∈ R s.t.“σ”aD~n=0}，LSX~n：=int+\'uD~n+TrσσD~n,式中，给定点（t，s，x，a）的偏导数的导数的向量∈ [0，T]×（0，∞) ×R×R，\'u（t，s，x）：=su（t，s）xu（t，s）和σa（t，s，x）：=sσ（t，s）xσ（t，s）a. （2.8）定理2.1。假设v是局部有界的。然后，它是（2.7）的不连续粘性解。可以利用上述特征来计算定价函数v。