多人博弈未定权益的套利定价

对于每N，贴现支付满足以下关于Q的可积条件 M、 情商ess s ups∈sbVNθ（s）（s）< ∞.3.3.1 Hσ-第一类的可预测斯奈尔包络我们定义了Hσ-第一类的可预测斯奈尔包络，它直接基于对N期持有人在时间t之前的决策观察和截至时间t的市场数据。请注意-N对[0，T]的固定策略σ有着先验的充分了解，但她只观察到T时的结果h[0，T）（τ，σ）。定义3.3.对于MGCN（G）和固定σ的组合部分∈ s-N、 第一类的Hσ-可预测Snellenvelope是映射Uσ：Hσ×[0，T]×Ohm → R由Uσt（τ）=Uσt（h（τ，σ））：=ess supτ′给出∈SNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺. （3.3）备注3.1。我们注意到，Uσt（τ）的定义并不局限于事件{θ（τ，σ）≥ t} 。事实上，在事件{θ（τ，σ）<t}上，按照惯例，我们可以设置σt（τ）：=bVNθ（s）（τ，σ）≤ Uσθ（s）（τ）。回想一下，SNt（τ，σ）是由NT（τ，σ）定义的=τ′∈ SN:h[0，t）（τ′，σ）=h[0，t）（τ，σ）. （3.4）由于σ和τ在这里是x e d，因此类SNt（τ，σ）仅取决于h[0，t）（τ，σ）。因此，（3.3）中的右侧确实是输出h（τ，σ）的明确映射∈ Hσ，而不是策略（τ，σ）。尽管如此，为了简洁起见，我们更喜欢写Uσt（τ），而不是Uσt（h（τ，σ））。Uσ（τ）中的上标σ用于强调σ和τ在定义3.3中发挥不同的作用。具体地说，在任何日期t，我们假设知道发行人的策略σ超过[0，t]，但我们只假设持有人的策略τ在[0，t]上被观察到。下一个结果正式化了这一特征，直观地表明，对于所有t，Uσt（τ）=Uσt（τ[0，t]）∈ [0，T]，其中τ[0，T）是持有者策略τ对区间[0，T]的限制。引理3.1。

映射Uσ是Hσ-可预测的。证据从（3.3）中可以明显看出τ∈ snr和om变量Uσt（τ）是可测量的。对于Uσ的hσ可预测性，我们需要证明，对于所有的τ，τ′∈ SN，等式Uσ（τ）=Uσ（τ′）holdson[[0，ρ]]式中（见（2.1））ρ：=infT∈ [0，T]：ht（τ，σ）6=ht（τ′，σ）∧ T.（3.5）回想一下，根据假设2.3，Payoff映射VN（以及贴现Payoff bVN）是H适应的（尽管不一定是Hσ-可预测的）。无论如何∈ [0，T]，事件{T≤ ρ} 属于F区和s区bVNθ（eτ，σ）（eτ，σ）1{t≤ρ} ：eτ∈ SNt（τ，σ）和bVNθ（bτ，σ）（bτ，σ）1{t≤ρ} ：bτ∈ SNt（τ′，σ）I.由于SNt（τ，σ）和SNt（τ′，σ）的定义（见（3.4）），郭和M.鲁特科夫斯基11是相同的。因此，等式Uσt（τ）=Uσt（τ′）适用于{t≤ ρ} 假设每一个∑-Snell都有可预测的解释-N扮演战略角色∈ s-N的持有者执行策略τ时，非[0，T]∈ SNon[0，t）。nuσt（τ）是最大的预期收益，如时间t所示，它可以由n的持有者通过改变其在[t，t]上的策略来实现。因此，很自然地推测过程Uσt（τ）是（Q，F）-超鞅。证明这一小节中的主要结果（命题3.2）需要几个引理。引理3.2。修正t∈ [0，T]，N M和s∈ 然后，以下集合dt具有晶格属性dt:=nEQbVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺: τ′∈ SNt（τ，σ）o.证明。让我成为一个任意集，让Y:=（Yi）I∈Ibe是一组随机变量，带有eq（ess-supi∈I|Yi |）∞.

那么说Y具有latt-ice属性，如果，对于所有i，j∈ 一、 这里有k，l∈ 我就是这样≥ 易∨ Yj，Yl≤ 易∧ Yj。在我们的例子中，集合dt可以表示为{Yτ′：τ′∈ SNt（s）}其中每个Yτ′都是可测量的，根据假设3.1，等式（ess supτ′）∈SNt（s）| Yτ′|）∞.我们首先表明，它具有以下特性：对于任何事件∈ F和任意τ′，τ′′的∈ SNt（s）τ′A=τ′A==> Yτ′A=Yτ′A.（3.6）考虑到结算时间θ和贴现收益bVNθ（τ，σ）的H-适应性，质量τ′A=τ′目标为bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）1A=bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）1A。由于1aft是可测量的，我们得到Yτ′A=Yτ′A，从而建立（3.6）。现在让我们检查一下Dt的属性。对于任意τ′，τ′\'∈ SNt（s），我们通过设置τ=1{Yτ′来定义策略τ，τ≥Yτ′}τ′+1{Yτ′<Yτ′}τ′，τ=1{Yτ′≥Yτ′}τ′+1{Yτ′<Yτ′}τ′。自{Yτ′事件以来≥ Yτ′}是Ft可测的，很明显，τ，τ是F-a适应的，H可预测的映射，满足H[0，t）（τ，σ）=H[0，t）（τ，σ）=H[0，t）（τ′，σ）=H[0，t）（τ′，σ）=H[0，t）（τ′，σ）=H[0，u）（s）， σ ∈ s-新界(s)。因此，τ和τ属于SNt（s）。利用条件（3.6），我们还得到了Yτ=Yτ′∨ Yτ′安迪τ=Yτ′∧ Yτ′。这就建立了集合Dt的晶格性质。以下结果是[9]中定理a.32的一个小扩展（有关证明，请参见[10]中的引理7.18）。引理3.3。让我∈Ibe一类具有格性质的Fu可测随机变量，使得E（ess supi∈I|Yi |）∞. 那么下面的陈述是有效的：（i）n中存在两个序列∈N、 （jn）N∈Nof指数使得序列（Yin）n∈Nand(-Yjn）n∈纳雷几乎肯定是非递减的安第斯山脉upi∈IYi=supn∈尼因=林→∞尹，ess infj∈IYj=infn∈NYjn=limn→∞Yjn，（ii）对于任何t≤ u、 我们有尤比∈艾伊英尺= 苏皮女士∈IE易|英尺, 情商ess infj∈IYj英尺= ess infj∈IEYj |英尺.12多人游戏或有索赔3.4。

（i） 以下等式适用于任何t≤ u、 情商UσU（τ）英尺= ess supτ′∈SNu（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺. （3.7）（ii）对于任何τ∈ SN，过程Uσ（τ）在Q证明下是非均匀可积的。（i） 让我们考虑一下t≤ u、 根据引理3.2，我们推导出，对于固定σ∈ s-Nandτ∈ SN，setDu=nEQbVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）傅: τ′∈ SNu（τ，σ）o（3.8）具有晶格性质。使用引理3.3中的第（ii）部分和调节的塔属性，wethus获得UσU（τ）英尺= 情商ess-s-upτ′∈SNu（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）傅英尺= ess supτ′∈SNu（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺所以（3.7）是有效的。（ii）根据假设3.1，过程M由Mt=EQ（Mt | Ft）给出，其中Mt:=ess s ups∈sbVNθ（s）（s）,是一个非负且一致可积（Q，F）-鞅。利用条件Fatou引理，我们得到，对于任何t∈ [0，T]，Uσt（τ）=ess-s-upτ′∈SNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺≤ ess supτ′∈SNt（τ，σ）等式|bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）|英尺≤ 情商ess-s-upτ′∈SNt（τ，σ）bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺≤ 情商ess s ups∈sbVNθ（s）（s）英尺= 因此，过程Uσ（τ）在Q命题3.2下是一致可积的。（i） 对于任何τ∈ SN，过程Uσ（τ）是（Q，F）-超鞅。（ii）在连续时间的情况下，如果过程Uσ（τ）有一个RCLL修正，那么它是（D）类的（Q，F）超鞅。证据（i） 显然，Uσ（τ）是一个F-适应过程。Uσ（τ）的超常性质直接来自引理3.4中的第（i）部分和明显的夹杂物SNu（τ，σ） 所有t的SNt（τ，σ）≤ u、 从那时起UσU（τ）英尺= ess supτ′∈SNu（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺≤ ess supτ′∈SNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺= Uσt（τ）。（ii）回想一下，如果过程X是RCLL且族{Xρ：ρ，则称其为（D）类∈ 随机变量的T[0，T]}是一致可积的。我们假设σU。让M是鞅M的RCLL版本。

然后| Uσρ（τ）≤ 对于任何停止时间ρ，Mρ∈ T[0，T]其中{Mρ：ρ∈ T[0，T]}是一致可积的。因此{Uσρ（τ）：ρ族∈ T[0，T]}是一致可积的，因此Uσ（τ）是（D）类的上鞅。I.Guo和M.Rutkowski 133.3.2 Hσ调整后的斯奈尔包络线在时间t的第3.4条运营定义取决于所有各方在时间t的决策已经已知的假设。换言之，现在假定，在时间t时-N观察截至时间t的市场数据，以及结果h[0，t]（τ，σ）。因此，很明显，Hσ适应的斯奈尔包络线并不直接适用于超级套期保值目的。然而，它将作为在连续时间设置中引入第二类Hσ-可预测斯奈尔包络的关键工具（见第3.5.2节）。定义3.4。对于合并的MGCN（G）和固定σ∈ s-N、 我们定义了Hσ-适应的snell包络uσ：Hσ×[0，T]×Ohm → R通过设置eUσ（τ）=eUσt（h（τ，σ））：=ess supτ′∈eSNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺（3.9）其中子测试（τ，σ） SNI由ESNT（τ，σ）给出：=τ′∈ SN:h[0，t]（τ′，σ）=h[0，t]（τ，σ）. （3.10）引理3.5。（i） 映射euσ是Hσ自适应的。（ii）修复t∈ [0，T]，N M和s∈ S.那么下面的S etedt具有晶格性质yedt:=nEQbVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺: τ′∈eSNt（τ，σ）o.证明。第（i）部分（第（ii）部分）的证明类似于引理3.1的证明（分别是引理3.2）因此它被省略了。提议3.3。（i） 以下等式适用于任何t≤ u、 情商eUσu（τ）英尺= ess supτ′∈eSNu（τ，σ）EQbVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺.（ii）过程uσ（τ）在Q下是不均匀可积的女服务员∈[0，T]eUσt（τ）< ∞.（iii）对于任何τ∈ SN，过程uσ（τ）是（Q，F）-上鞅。证据

根据引理3.5，所有陈述都可以类似于映射Uσ（τ）的类似陈述的方式建立（见引理3.4和命题3.2的证明）。3.4离散时间案例我们现在假设一个具有有限潜在概率空间的离散时间无套利完整市场模型（B，S）Ohm. 因此，对于任何到期日为T的欧洲未定权益，存在一种自融资交易策略∈ [0，T]，Zt（φ）：=dXi=0φitSit=EQ（XT | Ft）。注意，投资组合是在时间t建立的- 1，所以它是Ft-1-可测量，意味着过程sφ是F-可预测的，φt可能取决于结果h[0，t-1]. 在时间t时，投资组合从φtφt+1修改为dXi=0φitSit=dXi=0φit+1Sit，14个多人博弈或有权益φt+1是可测的，它可能依赖于h[0，t]。由于该模型是无套利的，所有复制X的交易策略都有相同的财富过程。然而，复制策略的唯一性并不能保证，因为整个市场（B，S）可能仍然存在冗余。我们回到本节开头提出的问题，也就是说，对于某一固定价格的πNt（g，s）的可能价格，对于一个活跃期Nwe sear ch∈ [0，T]和s∈ 避免套利（B，S，N）。我们将首先关注离散时间的情况，然后再讨论连续时间的情况。回想一下公约[0，t）=[0，t- 1] ：={0，…，t- 1} 每t=1，2，T我们用Bz（φ）表示贴现后的财富，即Bz（φ）=B-1Z（φ）。我们需要下面的引理。引理3.6。

假设映射cm:H×[0，T]×Ohm → 满足以下特性：（i）对于任何∈ S、 过程cM（S）=cM（h（S））是（Q，F）-鞅，（ii）cM是h-可预测的。这里存在一个H-可预测映射φ，对于每一个s∈ S、 折旧策略的贴现财富φ（S）满足bz（φ（S））=cM（S）。证据对于任何人来说∈ S、 我们只是将φ定义为索赔BTcMT的复制品（因此必须允许）交易策略。因此，φ（s）的存在紧随着离散时间市场模型（B，s）的假设完整性和Cmt（s）的Q-可积性。很难证明可以选择映射φ的H-可预测版本（有关详细信息，请参阅郭[10]中的第7.2.2节）。备注3.2。注意，如果我们分别用Hσ和[T，T]替换H和[0，T]，引理的陈述仍然成立。下一个结果表明，对于任何固定的（τ，σ）∈ 科技∈ [0，T]，存在发行人在[T，T]上的超边际策略（φσ，σ），其在T时的贴现财富与第一类Hσ-可预测斯奈尔包络的值UσT（τ）一致。该性质是确定orem 3.1中上限的基本工具。提议3.4。拿一个任意的例子∈ s-Nand t∈ [0，T]。如果策略τ∈ 持牌人在[0，t]上玩SNI- 1] 然后存在一个交易策略φσ（τ）∈ Φt（Hσ），使得（φσ（τ），σ）是Anisuer在[t，t]上的超级套期保值定价策略，其贴现时间t财富等于第一类Hσ-可预测斯奈尔包络的值Uσt（τ）。更明确地说，贴现财富过程bzu（φσ（τ））：=B-1uZu（φσ（τ）），u∈ [t，t]，关于事件{θ（τ，σ）的满意度≥ t} ，bZt（φσ（τ））=Uσt（τ）（3.11）和bzθ（τ，σ）（φσ（τ））≥ Uσθ（τ，σ）（τ）≥bVNθ（τ，σ）（τ，σ）。（3.12）证据。我们确定σ∈ s-Nandτ∈ SN。

回想一下，斯奈尔包络Uσ是Hσ-可预测的，根据命题3.2，对于任何τ∈ SN，过程Uσ（τ）是（Q，F）-超鞅。通过应用doob分解定理，我们得到了唯一的分解Uσ（τ）=Mσ（τ）- Aσ（τ），其中mσ（τ）是（Q，F）-鞅，Aσ（τ）是一个递增的、可积的、F-可预测的过程，如tAσ（τ）=0。让我们取任意τ，τ′∈ S让我们定义F停止时间ρ=ρ（τ，τ′）：=infU∈ [0，T]：hu（τ，σ）6=hu（τ′，σ）∧ T.（3.13）由于映射Uσ是Hσ-可预测的，等式Uσ（τ）=Uσ（τ′）保持[[0，ρ]]，这意味着Uσ·∧ρ（τ）=Uσ·∧ρ(τ′). 通过Doo-b分解的唯一性，我们得到了mσ·∧ρ（τ）=Mσ·∧ρ（τ′），Aσ·∧ρ（τ）=Aσ·∧ρ（τ′），（3.14）I.Guo和M.Rutkowski 15对于固定t，我们定义过程Cmσu（τ）：=Mσu（τ）-Aσt（τ），u∈ [t，t]，这是一个（Q，F）-鞅。然后我们从（3.14）推导出，[[t，ρ]]上的cMσ（τ）=cMσ（τ′）。我们得出结论，ma ppingcMσ：Hσ×[t，t]×Ohm → R是Hσ-可预测的，因此它满足引理3.6对[t，t]的假设（另见备注3.2）。让我们来看看∈ Φt（Hσ）是emma 3.6和备注3.2给出的映射Cmσ。为了确定（3.11）和（3.12），我们观察到∈ [t，t]，bZu（φσ（τ））=cMσu（τ）=Mσu（τ）- Aσt（τ）=UσU（τ）+AσU（τ）- Aσt（τ）≥ UσU（τ），其中当U=t时不等式变为等式。这表明（3.12）中的所有不等式都是有效的。3.4.1 Di screte TimeProposition 3.4中的无套利界限有以下解释。假设发行人也持有该部分-Nand选择策略σ。假设我们在时间t，并且N档的持有者在[0，t]上玩了迷路τ- 1].

然后，通过实施Hσ调整的交易策略φσ（τ），发行人为所有美国投资者对冲其头寸∈ [t，t]，这样他的投资组合中的财富Zu（φσ（τ））将始终覆盖N档持有人所需的支付，无论N档持有人决定如何使用[t，t]。通过构造，φσ（τ）也是最便宜的（截至时间t）超高收益交易策略，用于预定σ，且发行r的投资组合在时间t的贴现财富等于第一类Hσ-可预测斯奈尔包络的值Uσt（τ）。根据命题3.1，当N批债券的价格高于任何发行人的超级对冲策略的价值时，发行人的套利被排除。这意味着Uσt（τ）是时间t的贴现套利价格的上界。在定理3.1中，我们证明了通过取Uσt（τ）在σ的所有可能选择上的最大值来获得最佳上界∈ s-新界。定理3.1。让我们来看看 M，让我们考虑第MGCNt（G，s）部分。当且仅当折扣价格BπNt（G，S）=B时，在时间t的（B，S，N）中不存在任意性-1tπNt（G，s）满足度s upτ∈SNt（s）ess infσ∈s-Nt（s）EQbVNθ（s）（τ，σ）英尺≤ bπNt（G，s）≤ ess infσ∈s-Nt（s）ess s upτ∈SNt（s）EQbVNθ（s）（τ，σ）英尺其中Q是市场模型（B，S）的唯一鞅测度。证据我们将证明，当且仅当不存在发行人的套利时，上界成立。关于下限的陈述可以通过将类似的论据应用于博弈未定权益MGC（eG）以及EV定义的支付来建立-N（τ，σ）=-VN（τ，σ）。注意，上界可以重写为bπNt（G，s）≤ inf-essσ∈s-Nt（s）Uσt（τ）。（3.15）第一步。我们首先表明，如果在时间t没有iss ue r的套利，那么（3.15）成立。

从3.4的位置，我们推断出对于任何固定的σ∈ s-N、 在[t，t]上存在发行人的辅助套期保值策略（φσ（τ），σ），且t时刻的贴现值等于Uσt（τ）。因此，通过P位置3。1，如果在时间t不存在问题r的套利，那么bπNt（G，s）≤ Uσt（τ）。上界（3.15）如下所示，因为我们可以将此论点应用于每个σ∈ s-新界(s)。第二步。现在我们将证明，如果一个发行人的套利行为存在一个t时间t，那么（3.15）就不能成立。假设（φσ，σ）在定义3.1的意义上是卖方套利。然后有一个事件∈ Ft具有正概率P（a）（或相当于Q（a）），在事件a上，bZt（φσ）<bπNt（G，s），bZθ（s）（φσ）≥bVNθ（s）（τ，σ）， τ ∈ SNt（s）.16多人对策或有索赔bz（φσ）是一个（Q，F）-鞅，根据我们得到的可选抽样定理，在事件a上，bZt（φσ）=EQbZθ（s）（φσ）英尺≥ 情商bVNθ（s）（τ，σ）英尺,  τ ∈ SNt（s）。因此，通过定义本质上确界，我们得到了关于AbπNt（G，s）>bZt（φσ）≥ ess supτ∈SNt（s）EQbVNθ（s）（τ，σ）英尺= Uσt（τ）≥ inf-essσ∈s-Nt（s）Uσt（τ）。因此，QbπNt（G，s）>ess-infσ∈s-Nt（s）Uσt（τ）> 因此（3.15）无法保持。3.5连续时间在本节中，我们考虑一个具有唯一鞅测度Q的无套利完全市场模型，例如多维Black-Scholes模型（见Karatzas和Shreve[23]）。我们强调，在连续时间设置中，过滤F假设满足Q-c完全性和右连续性的通常条件。对于i=1，d、 贴现股票价格处理B，bSdare（Q，F）-局部鞅。让我们用L（bS）表示[0，T]上可积的所有Rd值F-可预测过程的类。