多人博弈未定权益的套利定价

因此，公式（4.5）紧随定理3.1和3.3，因为组合部分的套利价格必须与组合价值一致。缺乏即时转售套利是命题4.2和价格可加性的结果。4.4定理4.2中的可解多人博弈类（ii）具有重大意义，因为在研究多人博弈或有类时，它进一步证明了最优均衡作为解决方案概念的选择，因为它为单个部分产生了独特的套利价格。一般来说，如第3.6节所示，这不可能通过较弱的解决方案（如纳什均衡）实现。因此，让我们关注在唯一鞅测度Q下允许最优均衡的多人博弈。在这种情况下，多人博弈索赔单部分的唯一和可加套利价格的存在取决于条件（4.4）。因此，出现了以下自然问题：充分描述允许最优平衡并满足条件（4.4）的大类多人博弈。I.Guo和M.Rutkowski 29即使在两人非零和Dynkin对策的情况下，这也是sue感兴趣的，尽管可以公平地说，在大多数致力于Dynkin对策的现有文献中，作者关注的是Nash均衡的存在性（例如，见Hamad`ene和Hassani[14,15]，Hamad`ene和Zhang[16]，Laraki和Solan[28]，Peskir[32]或Ohtsubo[30]）。特别是在[16]中，作者对基于非零和Dynkin博弈的金融合同的差异定价进行了研究。

这应该与零和Dynkin博弈的情况形成对比，对于零和Dynkin博弈，套利估值理论可以以相对简单的方式应用，如Kifer[24]所示（关于这方面的相关结果，参见[6,7,20,21,25,26,27]）。对于带有m的多玩家游戏≥ 3.承认最优均衡的合理博弈的明确规定是一个具有挑战性的问题，最近的一些工作（见[12,13,29]）对此进行了研究。由于篇幅有限，我们在这里不详细讨论这个问题，而是局限于提供一些具有最优均衡满足条件的多人博弈的例子（4.4）。特别是在第4.5节中，我们解决了第1.1节中描述的具有可出售份额的多人合同的一个特殊估值问题。作为承认最优均衡的游戏的第一个例子，我们可以引用任何两个玩家的零和游戏，其中只有一个玩家可以做出有意义的决定，或者等效地，任何单人游戏。事实上，这类相对简单的随机博弈涵盖了大多数传统金融衍生品，在这些衍生品中，“iss ue r”无权对售出的合约做出任何决定。显然，我们在这里考虑的是普通的美式期权，对于这种期权，估值hingeson解决了一个最优止损问题，但也有更复杂的美式衍生品，具有一些“奇异”的特征，这可能允许持有人做出其他相关决策，而不仅仅是决策（例如，美式期权和选择期权）。满足定理4.2第（ii）部分假设的更复杂的多玩家游戏的原始示例收集在以下命题n.命题4.3中。

假设博弈G属于以下几类多重博弈中的任一类：（i）允许最优均衡的零和（或常和）博弈，（ii）多周期再分配博弈，表示为MRG（X，α），（iii）一个有效停止博弈，表示为ASG（X，G），具有非负列和的K+-矩阵G。然后G有一个最优平衡满足条件（4.4）的证明。（i） 这一部分相当明显，因为（4.4）中的两条边在零和（或常和）博弈中完全消失（或等于同一常数）。（ii）在[12]中研究了多周期再分配博弈MRG（X，α），其中表明这些零和（非零和，分别为根据定理2（分别为定理3），再分配博弈具有最优均衡。（iii）回想一下，K+-矩阵是一个平方e矩阵，具有非负行列式、正性质主次项和非正对角项（见[13]中的定义3.2]）。在定理3中建立了具有K+-矩阵G的完全停止对策ASG（X，G）的期望性质。[13]中的2。以定义一般或有权益的相同方式，可以基于多人游戏g定义多人游戏或有权益类别。当然，这种方法的一个经典示例是定义两人游戏权益，它对应于零和两人动态名称。然而，应该指出的是，在多时段（或连续时间）设置中，郭[10]和郭和鲁特科夫斯基[11,12,13]中引入的发行和一个游戏是粗略定义的，这意味着结算时的支付取决于结算日后继续使用的类似VirtualName的价值（这个概念让人想起了anAmerican或game索赔的继续价值）。

因此，通过反向归纳法或通过求解多维反射BSDE（见Nie和Rutkowski[29]）获得最佳平衡。后一种方法依赖于Cvitani\'c和K aratzas[5]中研究的Dynkin博弈的一维双反射BSDE的多维扩展。30多人博弈或有索赔4。5可出售债券的多人合同定价我们通过研究可出售债券的多人合同的套利定价来完成这项工作。回想一下，第1.1节概述了本合同的机制。其核心思想是将估值问题简化为在基础市场模型的唯一鞅测度下，寻找相关多参与者仓促博弈的最优均衡。然后，我们应用之前论文[11,12]中的结果来找到游戏的解决方案。事实上，由于[12]中研究的再分配博弈被正式假定为在至少一个参与者决定行使（即停止博弈）时终止，因此[12]的结果需要稍微延长，而在第1.1节中，我们引入了一个合同，该合同始终持续到到期日T=Tn+1。请注意，我们在这里使用离散或连续时间设置。让我们考虑一下日期Tn。假设基础市场模型，比如CRR二项模型或Black and Scholes模型，存在唯一的martinga-le测度Q。为了简单起见，我们假设利率为空（否则，我们将使用贴现值）。然后价格，在所有各方在Tnweremade作出决定之前，Tn时的Pmnof部分（称为Tn时的延续值）是欧洲或美国期权的价格，因此它们可以通过通常的套利定价方法独立地为每个部分找到。

例如，如果欧洲未定权益的最终支付为Xn+1，Xmn+1，然后我们得到每个i的等式Pin=EQ（Xin+1 | FTn），其中F=（Ft）t∈[0，T]是基础过滤。[0，Tn]上第一批持有人的策略用si表示。在当前的设置中，它包括在每个日期T，Tn.这些决定由tr anche i的当前持有人随着时间的推移做出，由于合同的性质，该持有人可能不是同一个人。让我们用s表示通用战略文件，用sl表示对[Tl，Tn]的限制。可以方便地表示战略文件SLA sl=（τl，σl），其中τl=sil（σl=s-伊利诺伊州）是玩家i的策略（所有其他玩家的策略文件）在[Tl，Tn]上。我们用El（sl）来表示在[Tl，Tn]上播放策略文件时决定放入该部分的一组玩家。为了更进一步，我们需要引入一些符号，它改编自[12]。对于任意X=（X，…，Xm）∈ Rmand任意子集E M、 我们定义了超平面（E、X、c）：=十、∈ Rm:mXi=1xi=c，xi=xi， 我∈ E和s implex（X，c）：=十、∈ Rm：mXi=1xi=c和xi≥ xi 我∈ M.让一个FTl可测量的随机变量（Cl，…，Cml）和一个FTl可测量的子集Elof m开始。然后我们定义了随机FTl可测量超平面H（El，Xl，cl）和随机FTl可测量单纯形S（Xl，cl），其中cl:=Pmi=1Cil。最后，让我们观察一下，因为对于均匀分布，我们有αi=m对于所有i，[12]中等式（3.9）给出的内积还原为欧几里德内积，因此[12]中定理3.12中使用的投影π是通常的或正交的投影；从今以后，它将被表示为π。

下一个定义仅取决于[12]中的EMMA 3.1，它提供了零和单期再分配博弈中有效（或修改）支付的明确特征（4.6）。我们用V表示*t+1子游戏的价值始于Tt+1，因此游戏的定义是递归的（其正确性由命题4.4正式支持，其中建立了价值过程的存在性和唯一性）。定义4.3。假设一个适应F的进程Xl=（Xl，…，Xml），l=1，n和时间tn的连续值Pn=（Pn，…，Pmn）。让Vil（sl）表示当前第一批持有人在Tl时的FTl条件预期风险中性支付，考虑到策略利润在[Tl，Tn]上发挥作用。在可推杆的多人游戏中，对于任何策略文件，Vl（sl）通过以下表达式确定，每l=1，n和i=1，m、 Vil（sl）：=Xil{θi（sl）=l}+πH（El（sl），Xl，pl）（pl）我- Pil+EQVil+1（sl+1）|FTl{θi（sl）>l}（4.6）i.郭和M.鲁特科夫斯基31，其中等式θi（sl）=l（不等式θi（sl）>l，resp.）意味着持票人决定出售（分别决定不出售）在时间Tlandpl:=mXi=1Pil（4.7），其中Pil:=EQ六、*l+1 |英尺对于每一个i=1，m和l=1，N- 1.此外，我们设置V（s）=EQ（V（s）），因为不允许在时间0处放置分期付款。请注意，第一期贷款在TL时的持续价值为s Pil=EQ（Vi*l+1 | FTl）表示每一个i。在等式（4.6）中，术语xil表示第一批持有人在决定在时间Tl投入时收到的付款，而指标1{i>l}前面的数量表示持有人决定不投入该批时的预期付款。

求和后，我们可以将（4.6）中的右手边表示为如下所示：Xiθi（sl）+θi（sl）-1Xt=lhπH（Et（st），Xt，pt）情商五、*t+1 | FTt- 情商五、*t+1 | FTt二、超光速（4.8）其中θi（sl）表示指数，使得随机时间Tθi（sl）≥ 这是我第一次进入牧场。因此，（4.8）报告中的求和项表示，由于其他持有人在[Tl，Tθi（sl）]期间将其份额投入，累计分配持有人i需要支付。应该注意的是，定义4.3中描述的游戏只不过是[12]中定义4.1中游戏的一个适当变体。唯一的区别是，在[12]中，当至少有一名玩家决定将自己的部分放入游戏时，多人游戏就会停止。在这种情况下，预期的支付是通过特别是从这一重大事件中进行的虚拟游戏的价值过程来确定的。因此，[12]中的定义4.1实际上是指任何日期开始的嵌入式游戏系列；当有人“行使”时（即持票人使用目前的术语将其份额投入），每一笔交易都会结束。相比之下，在定义4.3中，我们正式指定了一个游戏，该游戏一直玩到到期日T，但在其他方面与[12]中研究的游戏相同。因此，我们很自然地推测，这两个博弈具有相同的价值过程和最优均衡。这个猜想的有效性将在命题4.4中得到证实。该结果的证明使用了[11]中的定理1（另见[12]中的定理3.12）。我们承认，定义4.3中引入的游戏偏离了经典Dynkin游戏的多个逐子扩展的通常定义方式（例如，见Hamad`ene and Hassani[14,15]或Karatzas and Li[22]），因为我们认为，当时的预期收益不仅取决于外部的支付过程X。

，Xm，但也取决于Tl开始的嵌入博弈的价值。在博弈论的背景下，这种定义博弈的方式可能显得不同寻常，但它与竞争性证券的套利定价和市场价值的概念完全一致，投资者的未来决策需要考虑在内。此外，在两人博弈选项的情况下，仅使用支付过程（如X和X）正式定义相应的Dynkin博弈。然而，使用过程X的n等价公式≥ X和合同的延续值P（或者，相当于关联的Dynkin博弈）也是可能的，事实上，它提供了对agame期权竞争特征的更好理解。然而，由于一方的收益与另一方的损失相匹配，再分配的琐碎机制已经隐含在双人游戏中。当然，当m=2时，定义4.3的游戏将简化为经典的Dynkin游戏，具有可推杆部分的多人合同将成为两人游戏选项。由于发行人有可能在同一时间同时持有多个份额，因此价格可加性（定义4.1）成为一个重要因素。因此，我们需要检查V值的亚零条件*. 最方便的解决方案是强制执行（4.9）等限制，这样所有持有者都不会同时下注，因此合同将是持有者之间的azero和博弈。32多人游戏或有权益为确保第1.1节所述合同中的财产，应选择打击K，Km，s类期权（看涨期权或看跌期权），以及看跌期权支付Xl，Xml，l=1。

，在某种程度上，所有持有人在某个日期同时将其份额返还给发行人并非“最优”（在份额价值最大化的意义上）。第4.4条提案。假设零和条件mxi=1Xil≤mXi=1Pil（4.9）对于l=1，…，递归满足，n、 然后，可推杆的多人博弈采用最优均衡*以及一个独特的价值过程V*= V（s）*).证据在第一步中，我们考虑倒数第二个日期Tn，然后是连续值Pn，p通过使用标准套利定价方法计算所有份额在时间t的连续值获得。因此，具有可推杆部分的多人博弈可以在时间tn时简化为一个单周期零和再分配game ZRG（Xn，Pn，α），αi=mfor all i（参见[12]中的定义3.1和3.10]）。因此，存在一个最优平衡点*n=（τ）*n、 σ*n） （因此也有一个独特的价值）*对于时间Tn）的游戏，遵循[11]中的定理1（另见[12]中的定理3.12）。具体而言，每一笔分期付款的唯一价值*n=V（s）*n） =πS（Xn，pn）（pn），前提是mxi=1Xin≤ pn=mXi=1Pin，也就是说，并非所有玩家都能在时间Tn时进入恍惚状态。我们现在进行向后诱导。我们假设l=1，N- 1，我们假设时间Tl+1的值为V*l+1=Vl+1（s）*l+1）战略文件*l+1是博弈在时间间隔[Tl+1，Tn]上的最优均衡，这意味着以下不等式适用于每个i和所有策略τl+1和σl+1Vil+1（τ*l+1，σl+1）≥ 五、*il+1≥ Vil+1（τl+1，σ）*l+1）。（4.10）回想一下，时间tl的连续值向量由Pil:=EQ（V）给出*il+1 | FTl）表示所有i。然后假设值V*在时间Tl+1时，游戏的l+1，以及由此产生的持续值Pl。

，在玩家做出决定之前的Pmlof部分。我们定义了战略规划*lon[Tl，Tn]通过假设：（i）在TlequalsEl（s*l）=我∈ {1，…，m}：πS（Xl，pl）（pl）i=Xil（4.11）和（ii）s*L限制为[Tl+1，Tn]与s一致*l+1。利用（4.8）-（4.7）和性质（ii），我们得到了*l） =πH（El（s）*l） ，Xl，pl）（pl）- Pl+EQVl+1（s）*l+1）| FTl= πH（El（s）*l） ，Xl，pl）（pl），其中*l） 由（4.11）给出，由（4.7）给出。我们的目标是证明该战略文件*[Tl，Tn]和V上的最佳平衡*l:=Vl（s）*l） 是timeTl的游戏价值。为此，我们需要证明，对于每个i，Vil（τ*l、 σl）≥ 维尔（s）*l） =Vil（τ）*l、 σ*l）≥ Vil（τl，σ）*l） （4.12）对于套利策略，τlandσlon[Tl，Tn]不一定与τ一致*l+1和σ*l+1on[Tl+1，Tn]。I.Guo和M.Rutkowski 33根据[11]中的定理1（或[12]中的定理3.12），已知条件（I）在单周期博弈ZRG（Xl，Pl，α）和thusVl（s*l） =πH（El（s）*l） ，Xl，pl）（pl）=πS（Xl，pl）（pl）（4.13），前提是pmi=1Xil≤ pl.更具体地说，每i=1，m和所有策略τlandσlsuchτl+1=τ*l+1和σl+1=σ*l+1，我们有‘Vil（τ’*l、 σl）=πH（El（τ）*l、 σl），Xl，pl）（pl）我≥ [πS（Xl，pl）（pl）]i（4.14）≥πH（El（τl，σ）*l） ，Xl，pl）（pl）i=\'Vil（τl，σ）*l） 在这里，我们写下“Vil”，而不是Vil，以强调我们在这里处理的是[Tl，Tl+1]上的单周期博弈，这是通过假设上述公式中出现的所有策略文件必须与*l+1on[Tl+1，Tn]。显示s的Na-sh平衡性质*lat time TL对于定义4.3中给出的多人游戏，让我们为第一批持有人提供一份ny策略文件。