多人博弈未定权益的套利定价

我们现在可以应用Doob-Meyer分解ˋUσ（τ）=Mσ（τ）-ˇAσ（τ），获得anHσ-可预测鞅映射cmσu（τ），u∈ [t，t]，它支配着[t，t]上的Uσ（τ），并将在[t，t]上的超级对冲投资组合的财富过程中发挥作用。值得注意的是，我们得到了（Q，F）-超马氏体s Uσ（τ）和Uσ（τ）Uσ（τ）=Mσ（τ）的以下分解-ˇAσ（τ）- Bσ（τ），eUσ（τ）=Mσ（τ）-ˇAσ（τ）-eBσ（τ）。回想一下，Uσt（τ）=Uσt（τ）。然后我们按照命题3.5的证明进行。I.Guo和M.Rutkowski 233.5.4连续时间内的无套利界下列定理给出了连续时间框架下组合批次价格πNt（G，s）的无套利界。根据实验，其结论与离散时间设置中的结论完全相同（见定理3.1）。定理3.3。假设连续时间博弈满足假设3.1。让我们来看看 曼德t∈ [0，T]，让我们考虑第MGCNt（G，s）部分。只有当贴现价格BπNt（G，S）=B时，（B，S，N）i才不存在套利-时间t满足s upτ时的1tπNt（G，s）∈SNt（s）ess infσ∈s-Nt（s）EQbVNθ（s）（τ，σ）英尺≤ bπNt（G，s）≤ inf-essσ∈s-Nt（s）ess s upτ∈SNt（s）EQbVNθ（s）（τ，σ）英尺. （3.32）证据。鉴于3.5和3.7的观点，定理3.3的证明中使用的参数与定理3.1的证明完全相同，因此我们省略了细节。3.6计数者——例如，与博弈期权上的两个单位不同，定义3.1的套利条件将价格限制在一个区间内，而不是产生一个单一的价值。这是因为我们正在考虑一个具有任意支付函数的一般对策G。在没有更具体的G的情况下，很难取得进一步的进展，例如，将注意力限制在零和G上。

值得强调的是，在非零的情况下，即使ine质量（3.32）是令人满意的，并且单个批次的平均价格是唯一确定的，但从v ie w的财务角度来看，它们可能仍然是有问题的。下面的例子说明了这种说法。例3.1。这个例子基于著名的囚徒困境。具体地说，假设G是一个有两个玩家的非终结性游戏，对于i=1，2，每个玩家的行动空间为Si={0，1}。Payo ff函数由v（τ，σ）τ=0τ=1σ=0（1，1）给出(-1, 2)σ = 1 (2, -1） （0，0）注意，在（τ）处有一个最佳等式*, σ*) = （1，1），因此唯一的值是（0，0）。考虑利率为零的市场模型中的合同MGC（G）。很容易看出，对于每个单独的部分，价格的上限和下限都是0美元。因此，每个分支的套利价格必须是π（G）=π（G）=0。但是当我们考虑M={1，2}的集合时，唯一的套利价格是πM（G）=ess sups∈sV（s）+V（s）= V（1，1）+V（1，1）=2。（3.33）特别注意π（G）+π（G）6=πM（G）。现在从发行人和即将签订MGC（G）合同的两名潜在持有人的角度来解释这一点。对于发行人而言，这两批债券的总售价不得低于2美元，因为没有任何东西可以阻止两位持有人合作获得2美元的组合收益。对于第一期的潜在持有人，购买价格不能超过0美元，因为没有任何东西可以阻止第二期的持有人玩第一期，并将第一期的支付限制在最多0美元。事实上，在所有情况下，2期债券持有人都要比0期债券持有人更好。可以对第2批债券的潜在持有人进行类似分析。因此，三方之间不可能达成任何协议。

发行人的要求总是高于潜在持有人愿意支付的金额。解决这种情况的唯一办法是三方中至少有两方同意共同努力，以某种方式分享他们的报酬。例如，两位持有人同意以2美元和play（0,0）的价格购买这两部分股份；或者，发行人同意以0美元的价格出售这些份额，但要求其中一名持有人玩1.24个多人游戏或有权益3。7无套利与超高收益我们在定理3.1和3.3中已经证明，当且仅当MGCNt（G，S）批的贴现价格满足πNt（G，S）时，市场（B，S，N）中不存在ar比特率≤ bπNt（G，s）≤πNt（G，s）（3.34），其中上价格πNt（G，s）和下价格πNt（G，s）由πNt（G，s）定义：=ess infσ∈s-Nt（s）ess s upτ∈SNt（s）bVNt（τ，σ），πNt（G，s）：=es s supτ∈SNt（s）ess infσ∈s-Nt（s）bVNt（τ，σ），其中bVNt（τ，σ）：=EQbVNθ（τ，σ）英尺.在定理3.1和3.3中，使用套利定价参数导出了价格的上限和下限。正如预期的那样，他们还对定义3.2中引入的超级对冲策略进行了解释。为此，我们需要以下财产。引理3.11。存在两种策略序列，（τn）n∈n来自SNt（s）和（σn）n∈NFROM-Nt（s），这样序列ess-s-upτ∈SNt（s）bVNt（τ，σn）N∈Nandinf-essσ∈s-Nt（s）bVNt（τn，σ）N∈奈尔几乎分别依赖于不增加和不减少。此外，它们会收敛到较高和较低的价格，特别是limn→∞ess-s-upτ∈SNt（s）bVNt（τ，σn）=infn∈s向上τ∈SNt（s）bVNt（τ，σn）=πNt（G，s），和limn→∞inf-essσ∈s-Nt（s）bVNt（τn，σ）=supn∈负性infσ∈s-Nt（s）bVNt（τn，σ）=πNt（G，s）。证据使用与引理3.2相同的参数ess-s-upτ∈SNt（s）bVNt（τ，σ）：σ∈ s-新界(s),inf-essσ∈s-Nt（s）bVNt（τ，σ）：τ∈ 新界北（s）（3.35）具有晶格性质。

因此，EMMA 3.3中的第（i）部分说明了所需序列的存在。假设发行人持有该部分-N并执行策略σ∈ s-当超级混合使用（φσ，σ）时，Nt（s）。价格上限πNt（G，s）是所有可能σ上的bZT（φσ）（贴现时间t值）的最大值∈ s-新界(s)。尽管不一定能达到最大值，引理3.11表明存在（σn）n序列∈Nsuch thatbZt（φσn）是非递增的，收敛于πNt（G，s）。直觉上，N期的买家在t时不愿意支付超过πNt（G，s）的款项。否则，他的预期贴现支付可能会被限制在低于支付价格的范围内，如理论3.1和3.3所示，这会导致发行人的套利。同样，N期的持有人也会采取策略τ∈ SNt（s）和super他使用（φτ，τ）对其支付的负数进行了计算。较低的价格πNt（G，s）是-所有可能τ上的bZt（φτ）∈ SNt（s）。同样，上确界不一定达到，但引理3.11表明存在（τn）n序列∈确认-bZt（φσn）不是n递减的，收敛于πNt（G，s）。直觉上，发行人不希望以低于πNt（G，s）的价格出售N批债券。否则，N批债券持有人将能够保证预期的折扣支付高于价格。正如orems 3.1和3.3中所述，这会导致持有人的套利行为。I.Guo和M.Rutkowski 254多人博弈索赔的定价在上一篇文章中，我们关注的是固定组合N批GCNT（G，s）的套利估值。在定理3.1和3.3中，我们已经证明，在市场模型（B，S，N）中没有套利的情况下（见定义3.1），时间t时的套利价格在上下价格之间，即（3.34）成立。

如果（B，S，N）中没有针对N档任何非空子集的套利 M，那么（3.34）实际上描述了总共2（2m）- 1） 一般来说，不容易处理的不平等。在本节中，我们将进一步探讨不同批次集合的价格如何相互关联。特别是，我们在本节中讨论了以下问题：o除了（3.34）之外，是否还有其他限制tr anches价格的因素合并部分的价格是否应等于构成合并部分的所有单一部分的价格之和在哪些假设下，对所有份额（因此是多人游戏索赔）进行一致估值是可行的？4.1较低价格的超可加性首先表明较低价格πNt（G，s）本质上是超可加性的。提议4.1。MGCNt（G，s）的较低价格，由πNt（G，s）=es s supτ定义∈SNt（s）ess infσ∈s-Nt（s）bVNt（τ，σ）具有以下超加性：如果N，N，N是N的一个划分，然后是πNt（G，s）≥kXi=1πNit（G，s）。证据根据L emma 3.11，对于每个s ets Ni，我们可以选择一个序列（τNin）n∈NfromSNit（s）使Sequencess infσ-镍∈s-北区(s)北区τNin，σ-镍, N∈ Nis不递减，收敛于πNit（G，s）。现在确定s策略τn∈ n的SNt（s）∈ N乘以τN:=（τNn，…，τNkn）。对于每个i=1。

，k和所有σ∈ s-我们有bvnt（τn，σ）=kXi=1bVNit（τn，σ）≥kXi=1ess infσ-镍∈s-北区(s)北区τNin，σ-镍.因为这对所有人都适用∈ s-Nt（s），上述不平等意味着tess infσ∈s-Nt（s）bVNt（τn，σ）≥kXi=1ess infσ-镍∈s-北区(s)北区τNin，σ-镍因此πNt（G，s）=ess supτ∈SNt（s）ess infσ∈s-Nt（s）bVNt（τ，σ）≥ 苏普∈负性infσ∈s-Nt（s）bVNt（τn，σ）≥ 苏普∈NkXi=1ess infσ-镍∈s-北区(s)北区τNin，σ-镍=kXi=1πNit（G，s），完成了这个过程。26多人博弈或有主张4.1的超可加性可以很容易地解释如下。首先要注意的是，根据引理3.11，任何一笔贷款的持有人都可以选择一种策略来保证预期的贴现支付，该贴现支付任意接近其较低的价格。因此，通过在一批债券集合中使用这些策略，可以保证预期的总贴现收益任意接近单个较低价格的总和，而这反过来又不大于债券集合的较低价格。不幸的是，对于较高的价格πNt（G，s），不存在类似的加性性质。此外，从目前的分析来看，价格πNt（G，s）本身也没有理由满足任何可加性性质。这是否意味着（3.34）a所描述的界限是对博弈未定权益进行定价时唯一重要的约束条件？4.2如例3.1所示，价格的可加性，即使（3.34）的界限成立（因此定义3.1的无套利性质得到满足），也不一定会导致合同的合理定价。有两个主要原因导致了这种光盘损坏。首先，任何一方都不能排除其他人串通的可能性。这种明显的共谋可能性也可以解释为对其他持有人身份的不确定性，也就是说，多个持有人（或发行人）实际上可能是法人。

其次，例3.1中的套利价格不满足价格可加性的自然要求。定义4.1。我们说只要πNt（G，s）=Xk，价格可加性就成立∈Nπkt（G，s）， N M.通常情况下，示例3.1中突出的问题在以下条件下发生。假设有k个潜在买家，他们打算购买第N批，Nk，而发行人决定保留该部分-N=-（N）∪· · · ∪Nk）。如果N期ex c的较低价格需要Ni期的较高价格之和，kXi=1πNit（G，s）<πNt（G，s），则不可能达成价格协议==>kXi=1πNit（G，s）<πNt（G，s）。（4.1）事实上，发行人将始终要求超过持有人愿意支付的金额。然而，如果价格相加性成立，那么严格的不平等（4.1）就不会发生。例3.1解释了为什么价格的可加性是一个理想的条件。为了进一步巩固这一信念，我们将引入第二种套利形式，称为即时销售套利。在上一节中，定理3.1和3.3阻止进入并持有套利机会（根据定义3.1），该套利机会通过从时间t到结算时间持有固定的份额集合来执行。即时转售套利只涉及在时间t购买部分股份，然后以不同的配置立即转售，以获得更高的总价格。我们将对此进行正式定义。定义4.2。考虑时间t的博弈未定权益MGCt（G，s）。对于each N M、 用πNt（G，s）表示N档的价格。即时转售套利由某些子集N的两个不同分区组成 M、 N=N∪ · · · ∪ Nk=N′∪ · · · ∪ N′l，使得不等式kxi=1πNit（G，s）<lXj=1πN′jt（G，s）适用于具有正概率的Ft可测事件A。I.郭和M。

Rutkowski 27在欧洲和美国的期权定价模型中，即时转售套利由于一价定律而被隐含无效。在多人博弈或有索赔中，购买份额集合的能力重新引入了这种可能性。然而，很容易看出，只要价格相加性成立，就可以避免立即出售套利。以下结果是定义4.2的中间顺序。提议4.2。当且仅当价格的可加性降低时，不存在立即转售套利。换句话说，πNt（G，s）=Xk∈Nπkt（G，s）， N M.通过将命题4.2与定理3.1和3.3相结合，我们得到了避免上述两种套利的以下价格特征。像往常一样，我们考虑一个多人的临时方案，其支付满足适当的条件（离散时间设置的假设3.1和连续时间设置的假设3.1）。定理4.1。每N M、 设bπNt（G，s）为MGCNt（G，s）中结合态N的折扣时间t价格。那么（B，S，N）中对所有N都没有套利 如果满足以下两个条件：（i）如果满足∈Nbπkt（G，s）对所有N都成立 M、 （ii）随机向量（bπt（G，s），bπmt（G，s））位于Rm的以下

有时，如果所有人事先知道持有人的身份（或串通的可能性），这种情况可能会得到补救，但在这些情况下，MGC（G）相当于与lesstranches签订的（更简单的）合同。另一个解决方案是改变套利的定义，并削弱一些定价界限。无论如何，必须承认条件（4.2）并不方便，因此我们将在下面的定理4.2中给出更明确的条件。4.3最优均衡和任意价格从纯博弈论的角度来看，上下价格也是G on[t，t]子博弈中联盟N的极小极大值和极大极小值。请注意，在这种情况下使用鞅测度Q下的预期折扣支付。如第3.7节所示，极小极大和极大极小策略的性质可以用超几何参数来解释。一般来说，不一定能达到价格上限和价格下限的上限。但如果已知G有一个最优平衡点s*然后，根据推论5.1，每个参与者的最大值和最小最大值（或等效地，个人份额的上下价格）由bvt（s）实现*), i、 e.游戏的独特价值。因此，单个交易的价格向量必须与博弈的独特价值一致。如例3.1所示，最优均衡的存在仍然不影响可加价格。然而，附录中的命题5.3表明，如果博弈G是28个已知满足某些进一步条件（如零和）的多人博弈或有索赔，那么联盟值s是唯一的，并且满足可加性性质。在这种情况下，合并部分的价格也是唯一的，且价格可加性保持不变。我们在下面的定理中总结了这些结果。

注意日期t∈ [0，T）是x e d，但是任意的。我们在我们的长期假设下工作，即离散时间情况下的假设3.1和连续时间情况下的假设3.1。定理4.2。考虑一个博弈G和相关的博弈未定权益MGC（G）。假设策略文件s[0，T）∈ 在时间t和θ（S）之前选择S[0，t）≥ t、 设唯一鞅测度Q下的期望折扣edpayoff用bvt（τ，σ）=EQ表示bVθ（τ，σ）英尺.假设时间区间[t，t]上的子对策有一个最优平衡点s*= (τ*, σ*) ∈St（s），意思是bvkT（τ*, σ*) = inf-essσ∈s-kt（s）bVkt（τ）*, σ） =ess supτ∈Skt（s）bVkt（τ，σ）*),  K∈ M.（4.3）（i）那么，对于任何k∈ M，在（B，S，k）中不存在套利当且仅当单个k批的贴现时间t价格满足πkt（G，S）=bVkt（S）*).（ii）此外，假设最优平衡*满足以下条件xk∈MbVkt（s）*) = ess sups\'∈St（s）Xk∈MbVkt（s′）。（4.4）那么，对于任何N∈ M、 （B，S，N）中不存在套利，当且仅当组合N部分的贴现时间t价格具有以下可加性性质ybπNt（G，S）=Xk∈NbVkt（s）*) =bVNt（s）*). （4.5）此外，当且仅当（4.5）满足所有N M.证明。（i） 附录中的推论5.1表明，所有最优平衡点同时达到极小极大值和极大极小值。由于我们从定理3.1和3.3中知道，ar比特率价格必须介于上下价格之间，这与极小极大值和极大极小值相同，因此套利价格实际上必须与任何最优均衡所获得的唯一值一致。（ii）附录中的命题5.3指出，根据（4.4），联盟价值观存在并享有可加性。