多人博弈未定权益的套利定价

如果τlimplies在时间Tl处将分支i引入，那么从m（4.14）开始，我们得到Vil（τl，σ）*l） =Xil=πH（El（τl，σ）*l） ，Xl，pl）（pl）我≤ [πS（Xl，pl）（pl）]i=Vil（S*l） 。如果τl并不意味着将第一期贷款放在时间Tl上，那么从（4.10）、（4.13）和（4.14）中，我们得到了Vil（τl，σ）*l）=πH（El（τl，σ）*l） ，Xl，pl）（pl）我- Pil+EQVil+1（τl+1，σ）*l+1）| FTl≤ [πS（Xl，pl）（pl）]i- Pil+EQ（V）*il+1 | FTl）=Vil（s*l） 。为了验证保证支付不平等性，我们采用了一个任意的策略，我们使用了与上述类似的参数。Ifτ*limplies将第一批放在时间Tl，然后从（4.14）中，我们得到了（τ*l、 σl）=Xil=πH（El（τ）*l、 σl），Xl，pl）（pl）我≥ [πS（Xl，pl）（pl）]i=Vil（S*l） 。Ifτ*ldoes并不意味着将第一期贷款放在时间Tl，然后从（4.10）、（4.13）和（4.14）中，我们得到Vil（τ*l、 σl）=πH（El（τ）*l、 σl），Xl，pl）（pl）我- Pil+EQVil+1（τ）*l+1，σl+1）|FTl≥ [πS（Xl，pl）（pl）]i- Pil+EQ（V）*il+1 | FTl）=Vil（s*l） 。因此，我们已经证明（4.12）适用于每个i和所有策略τlandσl。这意味着*[Tl，Tn]和V上的一个最优等式*lis时间Tl时游戏的值。最后，时间0时游戏的值等于V*= 等式（V）*), 由于不允许在时间0处放置一部分。我们也可以考虑定义4.3游戏的简化版本，具体如下：我们假设向量Pn=（Pn，…，Pmn）是给定的，对于[0，Tn]上的任何策略文件，我们设置Vn（sn）：=πH（En（sn），Xn，Pn）（4.15），并且我们递归地定义Vl（sl），对于每l=1，N- 1，Vl（sl）：=πH（El（sl），Xl，pl）情商五、*l+1 |英尺V在哪里*在游戏中，Tl+1和Tl+1的值，N- 1由（4.7）给出，其中Pil:=等式五、*il+1 | FTl. 对于这个游戏，命题4.4仍然有效，其证明可以基本上得到证实。不太清楚以下游戏定义是否合适：我们认为向量Pn=（Pn。

，Pmn），对于[0，Tn]上的任何策略文件，我们假设（4.15）成立，并且我们设置，对于每l=1，N- 1，Vl（sl）：=πH（El（sl），Xl，\'pl（sl+1））情商Vl+1（sl+1）|FTl34多人博弈或有索赔，其中，每l=1，N- 1，\'pl（sl+1）：=mXi=1EQVil+1（sl+1）|FTl.不幸的是，这种更灵活的博弈不太可能在基因ral中实现最优平衡，因此它的规格应该由进一步的条件来补充。备注4.2。人们可能想知道，定义4.3中引入的多人游戏是否可以使用一个反映BSDE来解决，正如Cvitani\'c和Karatzas[5]对两个personDynkin游戏所证明的那样。这种情况是可以理解的，但它需要对边界处的多维BSDE的解的行为进行明智的说明。在[13]中，我们发现BSDEapproach可以在离散时间环境中应用，以解决所谓的多玩家游戏，其中包括定义4.3的游戏作为特例。感兴趣的读者还可以参考[29]，其中连续时间多人停止博弈是使用带斜反射的多维BSD求解的。确认Ivan Guo和Marek Rutkow ski的研究得到了澳大利亚研究委员会Discove ry项目资助计划（DP120100895）的支持。参考文献[1]Ayache，E.，Forsyth，P.和Vetzal，K.：信用衍生产品可转换债券的估值，2003年秋季。[2] Andersen，L.和Buffium，L.：可转换债券模型的校准和实施。J.计算机。《金融》第7期（2004），第1-34页。[3] Bielecki，T.R.，Cr\'epey，S.，Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.：适用于可转换债券的可违约博弈期权的套利定价。定量。《金融8》（2008），795-810。[4] Bielecki，T.R.和Rutkowski，M.：融资成本和抵押合同的估值和对冲。

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除了纳什均衡的性质外，每个参与者都可以在不知道其他参与者行为的情况下保证自己的最优均衡收益。此外，如下面的推论5.1所示，所有最优平衡都达到相同的值。最优均衡的概念也与博弈的极大极小值密切相关。最大价值是玩家k能保证的最大回报。定义5.3。最大值VkequalsVk:=ess s upsk∈Skess infs-K∈s-kVk（sk，s）-k） 。（5.5）玩家k的最大化策略是任何bsk策略∈ 这样就可以-K∈s-kVk（bsk，s-k） =Vk，也就是说，一个策略将（5.5）中的上确界化。最小最大值是其他玩家可以强制upo n玩家k定义5.4的最低支付。minimax valueVkequalsVk:=ess infs-K∈s-凯斯·厄普斯克∈SkVk（sk，s）-k） 。（5.6）玩家集M的极小极大策略文件-kis任何战略规划-K∈ s-这真是太好了∈SkVk（sk，bs）-k） =Vkholds，即bs-krealises in（5.6）中的最小值。I.Guo和M.Rutkowski 375.1一个游戏的值一般来说，最大值永远不会高于最小最大值，因为玩家来自setM-k不能强迫玩家k的报酬低于他可以保证的金额。对于这个原因，最大值（分别为最小最大值）也称为下限值（分别为上限值）。下面的命题总结了最优均衡的最基本性质。提议5.1。

（i） 不平等vk≥ Vk对所有k有效。（ii）如果σ是N灰平衡，则Vk（σ）≥Vk对于所有k.（iii）如果σ满足（5.2），那么对于所有k，Vk（σ）≤ Vk。（iv）如果σ是最优平衡，那么对于所有k，Vk（σ）=Vk=Vk。（v）如果σ是最优平衡，那么对于所有k，策略σk（策略文件σ）-k、 分别）玩家k的isa maximin策略（玩家集M的极小极大策略）-k、 分别）。证据（i） 每一个bsk∈ 斯科尔斯和bs-K∈ s-k、 我们有那个-k） ：=supsk∈SkVk（sk，bs）-（k）≥ Vk（bsk，bs-（k）≥ infs-K∈s-kVk（bsk，s-k） =:H（bsk）和G（s）-（k）≥ H（sk）表示每个sk和-k、 因此，Vk=infs-K∈s-ksupsk∈SkVk（sk，s）-k） =infs-K∈s-千克（s）-（k）≥ 苏普斯克∈SkH（sk）=supsk∈吝啬鬼-K∈s-kVk（sk，s）-k） =Vk。（ii）如果条件（5.1）保持vk（σk，σ-k） =supsk∈SkVk（sk，σ）-（k）≥ infs-K∈s-ksupsk∈SkVk（sk，s）-k） =Vk。（iii）如果条件（5.2）保持vk（σk，σ-k） =infs-K∈s-kVk（σk，s）-（k）≤ 苏普斯克∈吝啬鬼-K∈s-kVk（sk，s）-k） =Vk。（iv）如果（5.1）和（5.2）两个条件都成立，则通过（ii）和（iii）Vk≥ Vk（σ）≥Vk。鉴于（i），我们由此得到等式Vk（σ）=Vk=Vk。（v） 结合（iv）和条件（5.4），我们得到了Vk（σk，s）-（k）≥ Vk（σk，σ-k） =Vk， s-K∈ s-k、 Vk（sk，σ）-（k）≤ Vk（σk，σ-k） =Vk， sk∈ Sk。因此σ和σ-分别采用kare maximin和minimax策略。命题5.1激发了对游戏价值观的以下定义。定义5.5。如果等式vk=Vkholds，那么V*k:=Vk=Vk是玩家k的值。游戏V的值*是向量（V*1.五、*m） 由于命题5.1第（i）部分中不一定实现平等，因此无法保证价值的存在。然而，在本文的第（四）部分中，最优均衡的存在意味着博弈价值的存在，因此我们可以证明以下推论。38多人博弈或有索赔集合5.1。

（i） 如果游戏的价值*存在，那么它就是独一无二的。（ii）如果存在一个最优平衡σ，那么每个参与者的值都存在，并且V（σ）=（V）*1.五、*m） =V*.因此，每个最优平衡σ都达到相同的值。证据（i） 定义5.5和（ii）中隐含的，直接从命题5.1（iv）开始。最后（iii）紧随（i）和（ii）之后。5.2联盟价值通过简单地将k替换为N，就可以类似地为玩家集合M的任何适当子集N定义最大值和最小最大值，以及s策略文件 M、 我们表示VN（s）：=Pi∈NVi（s），我们写s=（sN，s）-N） 对于任何战略文件∈ 现在让我们关注一个0-S-um-ga-me的特例。值得注意的是，即使在零和博弈中，也不是所有的纳什均衡都是最优均衡。定义5.6。如果VM（s）：=Pi，则称为零和博弈∈MVi（s）=0表示所有s∈ 在零和博弈的情形下，可以得到最优均衡的进一步性质。提议5.2。假设博弈为零和，并用σ表示任何st策略文件。下面的陈述是等价的：（i）对于每个k∈ M、 Vk（σk，σ-（k）≤ Vk（σk，s）-k） 为了所有的人-K∈ s-k、 （ii）对于任何适当的子集N M、 VN（σN，σ-N）≥ VN（sN，σ）-N） 无论如何∈ SN。（iii）对于任何适当的子集N M、 VN（σN，σ-N）≤ VN（σN，s）-N） 为了所有的人-N∈ s-N.（iv）战略绩效σ是一个最优均衡。证据[（一）==> （ii）]直觉上，如果每个玩家∈ N不能通过使用σk来保证他的报酬，那么N的玩家可以通过使用σN来保证他们的总报酬-N∈ s-我们有（σN\\{k}，s-N）∈ s-k、 By（i），Vk（σN，σ-N） =Vk（σk，σN\\{k}，σ-N）≤ Vk（σk，σN\\{k}，s）-N） =Vk（σN，s）-N） 。

（5.7）对k求和（5.7）∈ N，我们有vn（σN，σ-N） =Xk∈NVk（σN，σ-N）≤Xk∈NVk（σN，s）-N） =VN（σN，s）-N） ，视需要而定。[（二）==> （i） ]这是通过设置N={k}立即实现的。[（二）<==> （iii）]由于游戏是零和游戏，VN=-五、-N（s）代表所有s∈ S.HenceVN（σN，σ-N）≤ VN（σN，s）-N） ,， s-N∈ s-N<==> -五、-N（σN，σ-N）≤ -五、-N（σN，s）-N） ,， s-N∈ s-N<==> 五、-N（σN，σ-N）≥ 五、-N（σN，s）-N） ,， s-N∈ s-N.（5.8）重新标记-N（5.8）中的N给出了期望的结果。[（i）和（iii）==> （iv）]根据定义5.2，即最优平衡的定义，可以有效地检查（5.1）Vk（σk，σ-（k）≥ Vk（sk，σ）-k） ,， sk∈ Skand（5.2）Vk（σk，s-（k）≥ Vk（σk，σ-k） ,， s-K∈ s-k、 这一点很清楚，因为（i）与（5.1）相同，而（iii）在设置N={k}后减少到（5.2）。[（四）<==> （i） ]这是从定义5.2中的（5.2）开始的。I.Guo和M.Rutkowski 39指出，提案5.2（I）和（ii）之间的等价性没有使用博弈是零和的事实。命题5.2（iii）暗示了纳什均衡条件（5.1），但相反的情况并不成立。到目前为止，价值的定义是指游戏对每个玩家的价值。但是假设一些参与者N的子集 M是一个联盟，其目标是最大限度地提高联盟的收益：∈NVi（s）。游戏价值的定义可以扩展如下。定义5.7。价值V*N个玩家的联盟被赋予了byV*N:=supsN∈狙击手-N∈s-NVN（序列号，s）-N） =infs-N∈s-NsupsN∈SNVN（sN，s）-N） ，假设第二个等式成立。一般来说，V值*N（如果定义良好）不一定满足可加性性质*N=Pi∈内华达州*i、 然而，如以下命题所示，如果零和博弈中存在最优均衡，那么这个性质对于M命题5.3的任何子集N都是满足的。假设博弈有一个最优均衡σ∈ S的值为V*= V（σ）。

如果（i）游戏是零s um或（ii）VM（σ）=ess sups∈SVM（s），然后针对所有子集N M、 我们有vn（σ）=Xi∈内华达州*i=V*N=supsN∈狙击手-N∈s-NVN（序列号，s）-N） =infs-N∈s-NsupsN∈SNVN（sN，s）-N） 。特别是，对于任何联盟N的玩家，游戏的值等于N证明中玩家的值之和。由于案例（ii）包括零和案例（i），因此仅需确定案例（ii）的结果。因为σ是一个最优平衡，所以每个区域∈ 也就是说，σVi=payor-我∈s-iVi（σi，s）-i） 。因此，来自N的玩家可以通过玩σN，VN（σ）=Xi来玩gua rantee VN（σ）∈笨蛋-我∈s-iVi（σi，s）-（一）≤xi∈NVi（σN，s）-N） =VN（σN，s）-N） ,， s-N∈ s-N.HenceVN（σ）≤ infs-N∈s-NVN（σN，s）-N）≤ supsN∈狙击手-N∈s-NVN（序列号，s）-N） 。（5.9）将相同的参数应用于播放器集-N.他们还可以保证他们的报酬-N（σ），V-N（σ）≤ 五、-N（sN，σ）-N） ,， 锡∈ SN。现在根据条件（ii）VM（σ）=sups∈我们必须有支持向量机∈ SN，VN（σ）=VM（σ）- 五、-N（σ）≥ VM（序号，σ-N）- 五、-N（sN，σ）-N） =VN（sN，σ）-N） 。HenceVN（σ）≥ supsN∈SNVN（sN，σ）-N）≥ infs-N∈s-NsupsN∈SNVN（sN，s）-N） 。（5.10）最后，将（5.9）和（5.10）与以下事实（见5.1（i））结合，立即得出要求的结果，infs-N∈s-NsupsN∈SNVN（sN，s）-N）≥ supsN∈狙击手-N∈s-NVN（序列号，s）-N） ，完成证明。