多人博弈未定权益的套利定价

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英文标题：
《Arbitrage Pricing of Multi-person Game Contingent Claims》
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作者：
Ivan Guo and Marek Rutkowski
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We introduce a class of financial contracts involving several parties by extending the notion of a two-person game option (see Kifer (2000)) to a contract in which an arbitrary number of parties is involved and each of them is allowed to make a wide array of decisions at any time, not restricted to simply `exercising the option\'. The collection of decisions by all parties then determines the contract\'s settlement date as well as the terminal payoff for each party. We provide sufficient conditions under which a multi-person game option has a unique arbitrage price, which is additive with respect to any partition of the contract.
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中文摘要：
我们引入了一类涉及多方的金融合同，将两人博弈期权的概念（见Kifer（2000））扩展到一个合同中，其中涉及任意数量的方，并且每个方都可以在任何时候做出广泛的决策，而不仅仅限于“行使期权”。然后，各方决定的集合决定了合同的结算日期以及各方的最终支付。我们给出了多人博弈期权具有唯一套利价格的充分条件，该价格相对于合同的任何分割都是可加的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Arbitrage_Pricing_of_Multi-person_Game_Contingent_Claims.pdf (524.51 KB)

2022-5-6 05:23:48 上传

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关键词：套利定价 Quantitative Mathematical mathematica QUANTITATIV

多人博弈的套利定价*澳大利亚悉尼新南威尔士大学数学与统计学院，2006年，2014年4月6日摘要我们引入了一类涉及多方的金融合同，将两人博弈期权的概念扩展到一个合同中，其中涉及任意数量的方，每个方都可以在任何时候做出广泛的决策，不局限于“行使选择权”。然后，各方决定的集合决定了合同的终止日期以及各方的最终支付。我们提供充分的条件，在此条件下，多人博弈选择具有唯一的套利价格，该价格与合同的任何分割有关。关键词：多人博弈索赔、套利价格、斯奈尔包络、最优均衡数学主题分类（2010）：91A06、91A15、60G40*Ivan Guo和Marek Rutkowski的研究得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（DP120100895）的支持。2多人游戏或有索赔1在金融市场中，几乎所有交易的衍生品实际上只涉及两方，即发行人和持有人。此外，在大多数情况下，唯一有意义的决定在于持有人行使合同的形式。一些例外情况包括基弗[24]引入的双人游戏选项，发行人在其中也有决策权（另见多林斯基和基弗[6]、多林斯基等人[7]、卡尔森和科恩[20]、科恩e t等人[26]、基普里亚努[27]和基弗[25]的一篇评论文章）。从实用角度来看，人们可以将可转换债券称为现实世界中的金融衍生工具，这是由两人博弈期权的一般概念所发现的（例如，见Ayache等人[1]，Andersen and Buffium[2]，Bielecki e t.等人）。

[3] ，或卡尔森和库恩[21]）。难怪现有的金融衍生品定价数学理论主要与双边交易有关。相比之下，我们的目标是通过设计一个扩展框架来开辟一条新的途径，在这个框架中，我们可以定义和评估涉及多方的未定权益。在这项工作中介绍的多人连续索赔的一般版本中，涉及多个当事方，每个当事方都被允许在任何时候做出广泛的决定，而不是被限制为简单地“行使选择权”。然后，各方的决定决定了索赔的解决时间，以及各自的最终支付。由于在郭和鲁特科夫斯基[11,12,13]中研究的多人金融合同机制和一般随机博弈机制之间可能存在等价关系，我们提出了多人博弈目标或多人博弈选项的名称。我们一直在离散或连续时间无套利市场模型中工作，目的是将多人博弈未定权益添加到该市场中。本文提出的广义框架并不局限于一个特定问题，而是有几个目的。首先，它允许创建和评估涉及多方的新复杂衍生工具。其次，它为现有外来衍生品的估值提供了新的见解。最后，该框架可以作为在外部因素存在的情况下对金融衍生品进行建模的统一方法的起点，例如：信用风险、融资成本和保证金账户（例如，见[4,31]）。例如，有人可能会问，外部出资人能够根据自身利益做出有意义的决定，这一事实可能会如何影响两个或多个交易对手之间合同的估值。本文的组织结构如下。

在第2节中，我们给出了一个多人博弈或有权益的定义，它与一个完全信息的多人随机博弈有关。该索赔涉及合同部分（称为部分）的几名持有人及其发行人。由于每一方都能够观察到其他方的行为，因此这些信息反映在其决策和对冲组合中。因此，可接受的交易策略被重新定义为H-可预测交易策略，也包括对各方可观察行为的反应。进入和持有套利被自然地定义为通过Holdingtrances和H-predic表交易策略获得保证利润的机会，直到索赔得到解决。第3节重点讨论特定组合部分的定价，即固定集合部分。为了确定合并交易的无套利界限，必须考虑该部分的持有人，并假设发行人持有合同的所有剩余部分。本节的主要结果分别是离散时间和连续时间情况下的定理3.1和3.3。它们表明，在某些合理的支付条件下，如果且仅当固定组合份额的价格在特定区间内时，就不可能进行进入和持有套利。然后用超级对冲策略来解释这个区间的界限。在第4节中，我们还考虑了不同组合部分之间的相互作用。

特别是，我们证明了多人套利期权的单批价格必须是可加的，以避免第二类套利，即即时转售套利。我们证明了价格的可加性也消除了双方之间的价格分歧。定理4.1给出了两类套利机会均不存在的充分必要条件。定理4.2证明，如果关联多人博弈存在最优均衡，那么博弈合约的所有单独部分都有唯一的ar比特价格，这与博弈的价值相匹配。此外，如果支付满足次零和条件，I.Guo和M.Rutkowski 3则每个组合交易都有一个唯一的套利价格，该价格也是可加的。为了方便读者，附录中收集了博弈论的一些定义和结果。1.1具有可出售份额的多人合同为具体起见，让我们考虑一个单一股票的连续时间完整市场模型，例如Black-Scholes模型。我们的目标是研究涉及多方的合同套利定价。其中一位被称为发行人的人扮演着特殊的角色——他发起（“出售”）合同，并根据下文规定的规则进行结算。所有其他m方被称为合同部分的持有人。下面我们举一个发行人和m持有人之间简单合同的例子。在第4.5节中，我们将展示如何使用无风险原则对本合同进行估价。1.1.1两期设置我们考虑日期0<T<T=T，并假设在时间0时，每个持有人购买一部分，正式代表为欧洲或美国风格的看涨期权或看跌期权。期权可能具有不同的行使权，但它们具有相同的到期日T，并且不能在T日之前行使。

在时间T时，每个持有人都有权向发行人返还（即，投入）交易凭证。如果第i位持有人决定将其持有的份额出售，则他将从发行人处获得合同中规定的可计量金额。我们用E表示这类持有人的集合。如果所有持有人决定在时间T将该份额交给发行人，那么他只需支付所有金额X，给持有者。然而，如果至少有一名持有人决定保留其份额，则合同规定，发行人在时间T计算其总偏差（“总损失”），如Sumpi所示∈E（Xi）- Pi）式中，Pi是时间T时第i个期权的价格，发行人的总损失由决定保留其份额的股东承担。为简单起见，我们假设重新分配在决定保留该份额的持有人之间平均分配，以便他们每个人都应向发行人支付KPI金额∈E（Xi）- Pi）其中k=m- |E |是持有该等股份的人数，但也可以实施更一般的再分配规则（见[11,12,13]）。我们注意到可以选择K，Km，期权类别（看涨期权或看跌期权），以及金额X，XM确保所有持有人在T时将其份额交给发行人不是“最佳”的。具体而言，金额X，XM可能被选择得足够小，以便至少存在一个持有人，该持有人可能不太适合将其份额出售，即使所有其他持有人都愿意这样做。在这种情况下，发行人的“总估值”问题将归结为单个期权的估值，这是很自然的，因为持有人当时的决定不会影响发行人。这意味着时间0时“部分”的价格之和应等于期权价格之和。

然而，由于T.1.1.2多期设置时的支付分配，一批债券在时间0时的价格不一定与相应期权的价格一致。现在让我们考虑日期0<T<T<··<Tn<Tn+1=T。每位持有人购买一份在T到期的期权，该期权不能在Tn之前行使。为了描述合同的机制，让我们假设一些l=1，2，n、 在Tl时，每个当前持有人都有权将该部分股份转让给发行人。如果第i个持有人决定这样做，那么他将收到预先确定的FTl可测量金额Xil。我们用El来表示这类持有者的集合。如果所有款项在Tl时返还给发行人，则发行人支付所有款项Xl，给持有者。如果至少一名持有人决定保留其份额，则发行人计算其在Tl时的“总损失”，由sumPi给出∈El（Xil）- Pil），其中Pil是Tl时ITH批的市场价格（续存价值）。第一批的价格Pilof的计算假设Tl时未发生任何批的出售（换句话说，在Tl时重新宣布持有人决定之前）。发行r的总损失由决定保留其份额的持有人承担。重新分配是4个多人博弈或有索赔，在决定保留a t Tl份额的持有人之间平均分配，这意味着他们每个人通过在时间Tl向发行人支付KPI金额来补偿发行人∈El（Xil）- 式中m=k- |El |是此类持有人的数量。在重新分配阶段完成后，我们将进入下一个日期Tl+1，发行人将成为所有i期的i期新持有人∈ 艾尔。然后，他可以在Tl+1开始时做出第一批持有人可以做出的任何决定。他还可以将这些交易的部分或全部出售给新的持有者，从而放弃相应的决策能力。

我们重复这些步骤，直到完成决策和再分配。此时，这些份额将恢复到原来的选项。2多人博弈选项以下所有定义均指潜在概率空间(Ohm, F、 P），这与过滤F={Ft:t有关∈ [0，T]}代表所有市场参与者观察到的信息流。在连续时间设置中，过滤F也被假定为满足支持随机演算的“通常条件”。我们用B，S，SDF适应过程代表主要交易资产的价格。为了简单起见，我们假设基础市场模型（基本上没有具体说明）是无摩擦、无套利且完整的。因此，根据FTAP的经典版本，唯一的鞅测度可用Q表示。有关离散时间情况（连续时间情况等）的详细说明，werefer to Jacod和Shiryaev[17]（Jeanblanc等人[18]，resp.）。关于连续时间模型的进一步技术假设将在第3.5.2.1节“行动、结果和战略”中说明。考虑一个任意游戏G，玩家集M={1,2，…，M}，行动空间SA=Qi∈市场关注度指数。我们假设每个AI都是一个有限的（或有限的，但可计数的）集合，可随时供玩家i使用。除非另有说明，定义涵盖离散时间和连续时间两种情况。特别地，[t，u]表示研究离散时间框架时的set{t，…，u}。还要注意约定[0，t）=[0，t- 1] ：={0，…，t- 1} 在这种情况下，t=1，2，T定义2.1。第一方的结果是F-ada pted过程hi=（点击：t∈ [0，T]），具有Ai中的值。它代表了一方长期以来的行为。

第一方的成果空间由Hi表示。我们写h=（h，…，hm）和h=Qi∈MHito分别表示结果的m元组及其空间。我们将经常考虑一系列行动，包括一定时间内的行动≤ T对于任何结果，h∈ H、 时间t之前的历史是H对时间间隔[0，t]的限制。我们用H[0，t]来表示它，我们写H[0，t）来表示这种历史的空间。此外，我们以类似的方式定义H[0，t]和H[0，t]。以下技术假设仅适用于连续时间情况，在这种情况下，这一假设确实至关重要。假设2.1。每一个结果嗨∈ 每一次我∈ M是一个正确的连续过程。一场比赛的许多方面只取决于过去的历史。为了量化这个概念，让我们考虑一个映射f:H×[0，T]×Ohm → 在某个空间C中具有值s的C。对于任何h，h′∈ H、 我们定义了随机时间ρ（H，H′）：=infT∈ [0，T]：ht6=h′T∧ T.（2.1）那么ρ（h，h′）是F-停止时间，因为结果h和h′是F-适应的。显然，对每个人来说∈ [0，T]，事件{h[0，T）=h′[0，T}与{T]重合≤ ρ（h，h′）}。定义2.2。一个映射f:H×[0，T]×Ohm → C是H适应的（分别是H可预测的）如果每一个，h′∈ H、 等式f（H）=f（H′）分别适用于随机区间[[0，ρ]（分别适用于[[0，ρ]]）当reρ=ρ（h，h′）时。I.Guo和M.Rutkowski 5显然，如果映射f是H-可预测的，那么它也是H-适应的。直观地说，映射F是H适应的（分别是H可预测的）如果，为了一个小t∈ [0，T]，值ft（h）仅取决于h[0，T]（onh[0，T），分别）。

非正式地说，对于H适应（H可预测，分别）因此，映射f可以为每个h分别写eft（h）=ft（h[0，t]）（ft（h）=ft（h[0，t]）∈ H和t∈ [0，T]。玩家i的策略规定了她应该如何应对其他方的可观察行为。它从结果的空间H映射到一组变量，这也考虑了过滤定义2.3所代表的信息流。第一方的策略是F适应和H可预测的映射si:H×[0，T]×Ohm → 人工智能。策略s=（s，…，sm）的m元组称为策略文件。我们用Si（S，resp.）第一方所有可能战略的spa c e（分别为战略文件）。我们定义了映射s[0，t）∈ S[0，t）和si[0，t）∈ Si[0，t）以一种明显的方式。还要注意的是，无论上标i∈ M似乎可以用任意子集N代替d M来描述与N有关的相应概念。此外-N是M\\N的简写符号。写入=（τ，σ）=（sN，s）通常会很方便-N）∈ SN×S-N.（2.2）定义2.4。对于任何战略文件∈ S、 我们用h（S）来表示∈ H与tos相关的结果，即在[0，T]上播放策略文件时获得的唯一结果。通过首先指定每个玩家可用的所有策略的类别，然后将Hia和H定义为与所有可能策略相关的所有结果集，这是很自然的∈ 该规范支持下文所述的所有定义和结果。现在让我们考虑时间t的博弈。我们假设在任何时间t，所有各方都观察到历史h[0，t）（s）（但不是用于生成该样本路径的映射s[0，t]）的样本路径。对于任何固定的s=（τ，σ）∈ S和N M、 在策略文件s[0，t]之后，我们定义了在时间t时可从集合N中获得的策略集SNt∈ S[0，t]被播放。