多人博弈未定权益的套利定价

更准确地说，我们从L（bS）中识别出任何过程，使得Z（0，t]φudbSu=Z（0，t]eφudbSu， T∈ [0，T]，在这种情况下，我们写φbS=eφ。由于It^o随机积分的局部性质，对于任意停止时间ρ∈ T[0，T]和一个ny过程φ∈ [0，ρ]]上的ifR（0，·]φudbSu=0，表示z（0，t∧ρ] φudbSu=0， T∈ [0，T]，然后在[0，ρ]]上φbS=0。在搜索超级决策策略时，我们需要根据H-可预测映射的定义2.2进行修改。定义3.5。A映射φ：H×[0，T]×Ohm → Rdis（bS，H）-可预测的ifφ（H）∈ L（bS）代表每个人∈ 而且，对于每一个H，H′∈ H、 等式φ（H）bS=φ（H′）在[[0，ρ]]上成立，其中ρ=ρ（H，H′）由（2.1）给出。在第3.5节中，我们在以下假设下工作，这是对消费3.1的补充。假设3.2。贴现股票价格bS=（bS，…，bSd）对于过滤F具有可预测的代表性，也就是说，对于任何（Q，F）-鞅M，都存在一个过程φ∈ L（bS）使得M=R（0，·]φudbSu.3.5.1右连续对策称Hσ-可预测的斯奈尔包络Uσ（τ）为任何固定（τ，σ）的（Q，F）-可补∈为了应用Doob-Me-yer分解定理，必须证明Uσ（τ）是（D）类的一个rcll上鞅。鉴于命题3.2中的第（ii）部分，因此仍需证明Uσ（τ）允许RCLL修改。为此，我们重新定义了经典的Doob正则化定理（参见Kallenberg[19]中的定理6.27）。I.郭和M.鲁特科夫斯基17定理3.2。A（Q，F）-当且仅当函数Q（Ut），t∈ [0，T]是右连续的。通过将这一结果应用到我们的案例中，我们发现，只要期望值EQ（Uσt（τ））是右连续的，上鞅Uσ（τ）就有一个RCLL修正。

还要注意的是，从引理3.4中第（i）部分的证明中，我们推导出eq（Uσt（τ））=supτ′∈SNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）. （3.16）通常不保证（3.16）给出的功能的正确连续性。因此，我们需要在鞅测度Q下对对策G施加额外的正则性条件。为了更具体，在本小节中，我们在以下假设下工作。假设3.3。连续时间对策G满足以下正确的连续性条件： M和任意s=（τ，σ）∈ s-N×SN，以下等式适用于每t∈ [0，T]，利木↓tsupτ′∈SNu（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）= supτ′∈SNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）, （3.17）利木↓tinfσ′∈s-Nu（τ，σ）EQbVNθ（τ，σ′）（τ，σ′）= infσ′∈s-Nt（τ，σ）等式bVNθ（τ，σ′）（τ，σ′）. （3.18）满足假设3.3的任何博弈G称为右连续博弈。该名称的动机源于这样一个事实，即假设3.3允许我们确定第一类Hσ-可预测斯奈尔包络e的RCLL修改的存在，如下结果所示。推论3.1。假设游戏G是右连续的。然后，对于任何固定值（τ，σ）∈ S、 过程Uσ（τ）有一个RCLL修正，它是（D）类的（Q，F）-上鞅。证据根据假设3.3，可以得出（3.16）中右侧给出的函数是右连续的。因此，这个断言是命题3.2和定理3.2的直接结果。引理3.7。假设映射cm:H×[0，T]×Ohm → 满足以下特性：（i）对于任何∈ S、 过程cM（S）=cM（h（S））是RCLL（Q，F）-鞅，（ii）cM是h-可预测的。然后存在一个（bS，H）-可预测映射φ，对于每个s∈ S、 交易策略的贴现财富φ（S）satifiebz（φ（S））=cM（S）。如果我们分别用Hσ和[T，T]替换H和[0，T]，则该语句仍然有效。证据

对于任何固定的∈ S、 根据B S关于F的假定可预测表示性质（见假设3.2），存在F-可预测、Rd值、可积过程φ（S），例如Cmt（S）=cM（S）+dXj=1Ztφju（S）Dbju，t∈ [0，T]。检查φ（s）是否确实是BZ（φ（s））=cM（s）的可容许交易策略是常规做法。对于任何s，s′∈ S、 我们定义了随机时间（见（2.1））ρ（S，S′）：=infT∈ [0，T]：ht（s）6=ht（s′）∧ T.（3.19）那么ρ（s，s′）是F-停止时间，对于每个T∈ [0，T]，事件{h[0，T）（s）=h[0，T）（s′）与{T]重合≤ ρ（s，s′）}。根据mappingcM的H-可预测性，鞅Cm（s）-cM（s′）在[[0，ρ]]上消失，因此，我们再次得出φ（s）- 在[0，ρ]]上φ（s′）bS=0。这表明映射φ是（bS，H）-可预测的。18多人博弈或有主张下面的命题n，根据命题3.3成立，是命题3.4的连续时间类比。我们在这里定义了t，因此所有的映射都是在[t，t]上考虑的，而不是[0，t]。提案3.5。固定σ∈ s-Nand t∈ [0，T]。存在一个映射φσ：Hσ×[t，t]×Ohm → R、 在[t，t]上是（bS，Hσ）-可预测的，因此对于每个τ∈ SN，关于事件{θ（τ，σ）≥ t} ，则pair（φσ（τ），σ）是发行人的超级对冲策略，其在t时刻的贴现财富等于第一类Hσ-可预测斯奈尔包络的值Uσt（τ），因此bzt（φσ（τ））=Uσt（τ）=ess supτ′∈SNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺, （3.20）和bzθ（s）（φσ（τ））≥ Uσθ（s）（τ）≥bVNθ（s）（τ，σ）。（3.21）证据。这个证明类似于命题3.4的证明。从命题3.1中，我们知道，对于任何τ∈ SN，Snell包络Uσ（τ）是（D）类的RCLL Q-super鞅。

根据Doob-Meyer分解定理，存在一个连续的一致可积（Q，F）鞅Mσ（τ）和一个满足Uσ（τ）=Mσ（τ）的递增的F-可预测过程aσ（τ）-Aσ（τ），Aσ（τ）=0，这个分解是唯一的。我们通过设置Cmσu（τ）=Mσu（τ）来确定dis countedwealth过程的候选者- Aσt（τ）表示所有u∈ [t，t]。很明显，对于任何固定τ∈ SN，过程bzσ（τ）是一致可积（Q，F）-鞅。我们将证明mappingcMσ在[t，t]上是Hσ-可预测的。为此，我们取任意值s=（τ，σ），s′=（τ′，σ），并使用方程（3.13）定义F-停止时间ρ=ρ（τ，τ′）。由于Uσ是Hσ-可预测的，我们在[0，ρ]]上有Uσ（τ）=Uσ（τ′）。从DoobMeyer分解的唯一性出发，我们由此在[[0，ρ]]上得到Mσ（τ）=Mσ（τ′）和Aσ（τ）=Aσ（τ′）。我们很容易推导出[t，ρ]]上的cMσ（τ）=cMσ（τ′），从而建立了[t，t]上cMσ的Hσ-可预测性。根据引理3.7，我们推导出了一个映射φσ：Hσ×[t，t]×的存在性Ohm → R、 这是（bS，Hσ）可预测的，并且等式bz（φσ（τ））=cMσ（τ）保持[t，t]。现在需要检查（3.20）和（3.21）是否有效。对于[t，t]中的任何F-停止时间θ（s）取值，我们得到，关于事件{θ（s）≥ t} ，bZθ（s）（φσ（τ））=cMθ（s）（φσ（τ））=Mσ（s）（τ）- Aσt（τ）=Uσθ（s）（τ）+Aσθ（s）（τ）- Aσt（τ）≥ Uσθ（s）（τ）在事件{θ（s）=t}上保持相等。这就完成了定理的证明。3.5.2一般游戏消费3.3的功能太强，因为它很容易生成无法保存的游戏示例。所以，这个假设现在将被放宽，我们将证明，仍然可以建立COLLARY 3.1的对应项（参见COLLARY 3.2）。

为此，我们将介绍Hσ-可预测斯奈尔包络的另一种定义（见定义3.6），因此我们首先需要分析斯奈尔包络Uσ和Uσ之间的一些基本关系。从第3.3节，我们已经知道过程Uσ（τ）和Uσ（τ）是（Q，F）-超鞅，因此它们的期望值是时间的递减函数。引理3.8。（i） 对于任何τ∈ sn和t<u，我们有σt（τ）≥eUσt（τ）≥ 情商UσU（τ）英尺≥ 情商eUσu（τ）英尺. （3.22）（ii）以下集合bσ（τ）是可数的bσ（τ）：=T∈ [0，T]：EQ（UσT（τ））>EQ（eUσT（τ））.（iii）如果t/∈ bσ（τ），当Uσt（τ）=eUσt（τ）。I.郭和M.鲁特科夫斯基。（i） 所断言的不等式来自引理3.4中的第（i）部分，以下明显包括引理sNu（τ，σ） SNu（τ，σ）eSNt（τ，σ） SNt（τ，σ）。（ii）我们首先注意到不等式EQ（Uσt（τ））≥ 等式（eUσt（τ））适用于所有t。对于任何（τ，σ），我们定义了不等式严格的日期集bσ（τ）。从（3.22）中可以看出，对于每个t，dec reasing函数EQ（Uσt（τ））和EQ（eUσt（τ））具有相同的右极限和左极限。因此，对于至少一个连续的t，它们在任何t上都是相等的。为了总结第（二）部分的证明，我们观察到递减函数的不连续点集是可数的。（iii）我们观察到如果/∈ bσ（τ）然后EQ（Uσt（τ））=EQ（eUσt（τ））。因此，该断言是不等式Uσt（τ）的直接结果≥eUσt（τ）（见第（i）部分）。我们定义了映射s Bσ和Bσ，通过设置，捕捉所有t∈ [0，T]和τ∈ SN，Bσt（τ）：=Xu∈bσt（τ）UσU（τ）-eUσu（τ），eBσt（τ）：=Xu∈ebσt（τ）UσU（τ）-eUσu（τ），其中我们表示bσt（τ）=[0，t）∩ bσ（τ）和bσt（τ）=[0，t]∩ bσ（τ），我们应用通常的约定，即空和等于零。

鉴于Le mma 3.8中的第（iii）部分，我们将Bσt（τ）=eBσt（τ）作为每一个t/∈ bσ（τ）。引理3.9。（i） 过程Bσ（τ）和Bσ（τ）是非负的，且是递增的。（ii）映射Bσ（eBσ，resp.）Hσ是可预测的（分别是Hσ自适应的）吗。（iii）任何≤ u<v≤ 我们有不平等eBσv（τ）-eBσu（τ）英尺≤ 情商eUσu（τ）-eUσv（τ）英尺.证据（i） 根据引理3.8的第（ii）部分，集合bσ（τ）是可数的，因此不等式Uσt（τ）≥eUσt（τ）适用于所有t∈ bσ（τ），概率为1。因此，Bσ（τ）和Bσ（τ）都是非负增长过程。（ii）为了证明Bσ是Hσ-可预测的，需要检查[0，ρ]]上的Bσ（τ）=Bσ（τ′），其中ρ=ρ（τ，τ′）由（3.13）给出。因为，根据引理3.8的第（iii）部分，等式Uσt（τ）=eUσt（τ）适用于t/∈ bσ（τ），我们得到bσt（τ）=Xu∈bσt（τ）∪bσt（τ′）UσU（τ）-eUσu（τ），Bσt（τ′）=Xu∈bσt（τ）∪bσt（τ′）UσU（τ′）-eUσu（τ′）。这两个总和现在都在同一个可数指标集上，因此Bσ的Hσ-可预测性来自Bσt（τ）和Bσt（τ′）的定义，由于Uσ和Uσ的Hσ-适应性意味着Uσ（τ）=Uσ（τ′）和Uσ（τ）=eUσ（τ′）在[0，ρ]）上。bσ的Hσ-适应性可以用类似的参数来表示。（iii）引理3.8中的第（i）部分和第（ii）部分，以下一组可数随机区间n情商eUσw（τ）英尺, 情商Uσw（τ）英尺: W∈ （u，v）∩ 两对不相交随机区间的bσ（τ）o统计量eUσv（τ）英尺, 情商eUσu（τ）英尺i、 20个多人游戏，最有把握。因此，非负随机变量ebσv（τ）-eBσu（τ）满足性eBσv（τ）-eBσu（τ）英尺=Xw∈（u，v）∩bσ（τ）等式Uσw（τ）英尺- 情商eUσw（τ）英尺≤ 情商eUσu（τ）-eUσv（τ）英尺等式来源于富比尼定理，不等式eBσT（τ）< ∞ 接下来，过程bσ（τ）是Q-可积的。下面的引理建立了正确的连续性条件，可以看作是假设3.3的替代。引理3.10。

每N M和s=（τ，σ）∈ s-N×SN，以下等式适用于t∈ [0，T]，利木↓tsupτ′∈eSNu（τ，σ）EQbVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）= supτ′∈eSNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）, （3.23）利木↓tinfσ′∈锿-Nu（τ，σ）EQbVNθ（τ，σ′）（τ，σ′）= infσ′∈锿-Nt（τ，σ）等式bVNθ（τ，σ′）（τ，σ′）. （3.24）证据。根据对称性，只需证明第一个等式。从命题3.3的（i）部分，我们得到了等式EqeUσt（τ）= supτ′∈eSNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）,所以（3.23）相当于函数EQ的右连续性eUσt（τ）, T∈ [0，T]。自fort<w以来，我们得到了nW（τ，σ）eSNt（τ，σ），因此函数eUσt（τ）正在减少。因此出现了右手极限↓特克eUσw（τ）定义良好，并在EQ上进行了限定eUσt（τ）.显然，要建立等式（3.23），即函数EQ的正确连续性eUσ（τ）, 这足以证明情商eUσt（τ）≤ 利姆↓特克eUσw（τ）尽管如此，t∈ [0，T]。为此，我们∈eSNt（τ，σ），我们考虑由ρ：=ρ（τ，eτ）=inf给出的停止时间ρU∈ [0，T]：hu（τ，σ）6=hu（σ，eτ）∧ 自τ∈eSNt（τ，σ），我们必须有h[0，t]（τ，σ）=h[0，t]（eτ，σ）a，因此ρ>t。考虑这个过程eUσw（τ）-eVNw（eτ，σ）{w<ρ}，对于w∈ （t，t），w其中evnw（eτ，σ）：=EQbVNθ（eτ，σ）（eτ，σ）Fw.假设2.1和作用集的完整性产生{w<ρ}={h[0，w]（τ，σ）=h[0，w]（σ，eτ）}。因此，我们得到了evnw（eτ，σ）1{w<ρ}≤ ess supτ′∈eSNw（τ，σ）eVNw（τ′，σ）1{w<ρ}=eUσw（τ）1{w<ρ}，这反过来意味着eUσw（τ）-eVNw（eτ，σ）{w<ρ}≥ 0.（3.25）观察EVN（eτ，σ）是一个（Q，F）-鞅，因此，根据定理3.2，它允许RCLL修改。我们也知道euσ（τ）是（Q，F）-超鞅（见命题3.3的第（iii）部分），但它的右连续性尚未建立。Doob的正则化定理em（例如，参见Kallenberg[19]中的定理6.27）指出，对于R+上的任何子鞅X，在集合onI上有限制Y。郭和M。

Rutkowski 21正有理数Q+，过程Y+t:=limw↓t、 w∈QYW是一个RCLL，它在某个固定的Q-空集之外进行处理。通过稍微修改这个定理的性质，我们可以并且确实假设，在不丧失普遍性的情况下，可数集i（τ，σ）：=T∈ [0，T]：EQ（UσT（τ））>limw↓tEQ（eUσw（τ））,包含在R+的可数稠密子组Q+中。因此，我们可以确定，尽管如此∈eQ+，eUσt+（τ）：=limw↓t、 w∈eQ+eUσw（τ）。一方面，支配收敛定理（我们在假设3.1下工作的rec all）产生了所有t∈eQ+，limw↓特克eUσw（τ）= 利姆↓t、 w∈情商+情商eUσw（τ）= 情商eUσt+（τ）. （3.26）另一方面，通过将支配收敛定理应用于（3.25），我们得到了0≤ 利姆↓t、 w∈情商+情商eUσw（τ）-eVNw（eτ，σ）{w<ρ}= 情商eUσt+（τ）-eVNt（eτ，σ）（3.27）自过程1{w<ρ}以来，w∈ [t，t]是有界的，具有右连续采样路径，且1{t<ρ}=1。通过结合（3.26）和（3.27），我们得出结论↓特克eUσw（τ）= 情商eUσt+（τ）≥ 情商eVNt（eτ，σ）= 情商bVNθ（eτ，σ）（eτ，σ）. （3.28）因为（3.28）适用于所有eτ∈eSNt（τ，σ），我们必须有∈eQ+，limw↓特克eUσw（τ）≥ supτ′∈eSNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）= 情商eUσt（τ）.鉴于集合I（τ，σ）的定义eQ+，这就完成了引理的证明。推论3.2。对于任何（τ，σ）∈ s-N×SN，我们得到（i）过程uσ（τ）有一个RCLL修正，这是一个（Q，F）-类（D）的超艺术单声道。（ii）过程bσ（τ）有一个RCLL修改，它是（D）类的（Q，F）-子鞅。证据（i） 鉴于命题3.3中的第（iii）部分，过程uσ（τ）是一个（Q，F）-超鞅。此外，通过引理3.10中的等式（3.23），它的期望值eUσt（τ）是一个右连续函数。因此，定理3.2给出了uσ（τ）的RCLL修正的存在性。

为了证明它是（Q，F）-类（D）的超鞅，我们在命题3.3中使用了第（iii）部分，并且我们认为这是命题3.2中第（ii）部分的证明。（ii）为了证明EBσ（τ）具有RCLL修正，需要检查函数EQeBσt（τ）是连续的，或者更明确地说，是limu↓热膨胀阀∈ （t，u）∩bσ（τ）EQ（Uσv（τ））- EQ（eUσv（τ））=0。因为函数EQUσt（τ）≥ 情商eUσt（τ）是递减的，等式Uσt（τ）= 情商eUσt（τ）坚持到底/∈ bσ（τ），我们得到0≤十五∈ （t，u）∩bσ（τ）EQ（Uσv（τ））- EQ（eUσv（τ））≤ EQ（eUσt（τ））- EQ（eUσu（τ）），其中，当u↓ t因为，从第（i）部分，函数eUσt（τ）是连续的。22多人游戏或有索赔3。5.3 Hσ-可预测的第二种斯奈尔包络我们可以引入另一种版本的Hσ-可预测斯奈尔包络的co nc pt，这将在搜索发行人的超级混合策略时作为一个方便的工具。定义3.6。对于合并的MGCN（G）和固定σ∈ s-N、 第二类Hσ-可预测Snellenvelope\'Uσ：Hσ×[0，T]×Ohm → R由Uσt（τ）决定：=eUσt（τ）+eBσt（τ）=Uσt（τ）+Bσt（τ）（3.29），其中第二个等式来自引理3.8中的第（iii）部分。直观地说，差异ebσt（τ）=Uσt（τ）-eUσt（τ）代表过程eUσ（τ）的累积调整，该过程需要确保不等式Uσt（τ）≥ Uσt（τ）适用于所有t。然而，公平地说，\'Uσ（τ）并不像Uσ（τ）那样具有很好的解释力，因此它应该仅仅被视为一种技术工具，以得出预期的结果，即命题3.6和命题3.7。提议3.6。对于任何σ∈ s-N：（i）映射Uσ是Hσ-可预测的，（ii）对于任何τ∈ SN，过程Uσ（τ）是（D）类的RCLL（Q，F）-su置换。证据

（i） 需要注意的是，（3.29）中的第二个等式产生“Uσ=Uσ+Bσ，其中Uσ和Bσ分别是Hσ，可由引理3.1和3.9预测。（iii）（3.29）中的第一个等式为“Uσ（τ）=eUσ（τ）+eBσ（τ）。因此，从引理3.9中的par t（ii）来看，过程Uσ（τ）是（Q，F）-超鞅。接下来，根据推论3.2，可以得出“Uσ（τ）有一个RCLL修改，属于clas（D）。现在我们将证明[t，t]上存在一个超级对冲策略。值得注意的是，对于任何固定t，我们希望在这里使用以下参数：（i）过程UσU（τ），U∈ [t，t]是（D）类的一个RCLL（Q，F）-上鞅，（ii）我们可以并且确实假设，在没有失去普遍性的情况下，等式Uσt（τ）=Uσt（τ）成立，例如，通过将公式（3.29）中的过程bσ（τ）替换为ebσ（τ）1[t，t]，也就是说，通过忽略对[0，t]上的Uσ（τ）的最后调整∈ [0，T]，对于上述特征（i）和（ii），定义辅助过程ˇUσU（τ）=UσU（τ）就足够了- 英国电信∈ [t，t]，它显然满足ˇUσt（τ）=Uσt（τ），并且是（D）类的RCLL（Q，F）-上鞅。提案3.7。固定σ∈ s-Nand t∈ [0，T]。存在一个映射φσ：Hσ×[t，t]×Ohm → R、 在[t，t]上是（bS，Hσ）-可预测的，因此对于每个τ∈ SN，关于事件{θ（τ，σ）≥ t} ，则pair（φσ（τ），σ）是发行人的超级对冲策略，其在t时的贴现财富等于第二类Hσ-可预测斯奈尔包络的值Uσt（τ），因此bzt（φσ（τ））=ˇUσt（τ）=Uσt（τ）=ess supτ′∈SNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺, （3.30）和bzθ（s）（φσ（τ））≥ˇUσθ（s）（τ）≥ Uσθ（s）（τ）≥bVNθ（s）（τ，σ）。（3.31）证据。该证明与命题3.5的证明思路相同，只是做了一些小的修改。