多人博弈未定权益的套利定价

形式上，子组SNt（τ，σ） SNis g iven bySNt（τ，σ）：=τ′∈ SN:h[0，t）（τ′，σ）=h[0，t）（τ，σ）. （2.3）2.2多人游戏或有权益首先制定多人游戏合同的一般定义。合同的一个重要组成部分是终止合同的决定，我可以选择任何一方，当然，前提是这种可能性属于行动集Ai。在游戏声明的抽象表述中，通过以下定义引入终止映射的概念就足够了。假设2.2。终止映射Θ：H×[0，T]×Ohm → {0,1}满意度：（i）每小时∈ H、 过程Θ（H）是F适应的、不递减的和RCLL，（ii）映射Θ是H-a适应的。不管怎样∈ H、 终止日期由θ（H）=inf{t确定∈ [0，T]：ΘT（h）=1}。（2.4）注意θ（h）∈ 每小时T[0，T]∈ H、 其中T[0，T]代表所有F停止时间的类别，其值在[0，T]中。假设2.2中的条件（ii）意味着每h，h′∈ H、 如果H[0，t]=H′[0，t]和θ（H）=t，那么θ（H′）=t。给定策略文件和相关结果H（s），我们用θ（s）表示终止日期（H（s））。让Vθ（s）（s）=（Vθ（s）（s），Vmθ（s）（s））代表随机支付的向量，如果策略文件被执行，或同等地，如果实现了输出，则持有人在时间θ（s）收到随机支付。每个特定的支付将与合同的一个单独部分确定。6多人游戏或有权益消费2.3。支付映射V:H×[0，T]×Ohm → rmsaties：（i）每小时∈ H、 过程V（H），Vm（h）aref-适应和RCLL，（ii）映射V是h-适应的。在基弗[24]中定义的两人博弈期权的经典案例中，一人交易两部分，分别由持有人和发行人持有。

请注意，尽管被赋予了不同的名称，但它们的权限在这里是相同的。因此，应该强调的是，在多人博弈中，发行人的角色将与普通持有人的角色基本不同。我们使用符号G表示一个通用博弈，它支持多人或有权益的具体化。对于明确定义的多人随机停止博弈类，以及最优均衡的存在性，我们参考[11,12,13]。附录中还给出了最优平衡的定义和基本性质。定义2.5。多人博弈未定权益MGC（G）是发行人和最多m名持有人之间关于[0，T]的合同，该合同由m部分组成。在时间0时，第一牧场的预期持有人必须向发行人支付一些费用（可能是负数）才能签订合同；我们用πi（G）表示这个量。任何一方，包括发行人，都可以持有任何组合的份额。一旦合同生效，第一批债券持有人可以选择一种战略债券∈ Si和所有持有人的决定构成一个战略文件s=（s，…，sm）。本合同于时间θ终止∈ T[0，T]发行人向第一批持有人支付所有i=1，m、 在现实世界的金融合同中，所有现金流本质上都是零和的。由于博弈G不被假定为零和，发行人在MGC（G）中的关键作用是吸收0和θ的任何盈余或超过任何亏损。因此，mtranches持有人与发行人之间的净现金流始终为零。如果G恰好是零和，这意味着π∈MVθ（s）（s）=0表示所有s∈ S、 那么发行人就是多余的，因为持有人可以在时间0时在自己之间达成交易，然后在没有发行人同意的情况下在他们之间一次性支付报酬。

在实践中，发行人的角色被简化为清算所或中介机构。备注2.1。人们也可以将发行人重新解释为发行人份额的所有者，这样MGC（G）就变成了与m+1份额的零和博弈合同，其中（m+1）份额的持有者不允许采取任何行动。这相当于[13]中的虚拟玩家的概念。从形式上讲，博弈分析将简化为零和情况。备注2.2。定义2.5中引入的合同特别扩展了Kifer[24]中引入的经典游戏选项，该选项与两名玩家之间的Dynkin停止游戏相关。“持有人”拥有交易，允许“行使”，而第二持有人（称为“发行人”）保留允许“取消”的份额。在经典游戏选项中，没有必要引入定义2.5意义上的发行人，因为经典游戏选项与azero和停止游戏相关。除了游戏中的两个角色外，我们还可以通过分析游戏中的两个角色来限制游戏中的两个角色。2.3适应性交易策略let MGCt（G，s）表示策略文件[0，t]之后[t，t]的多人博弈或有权益∈ 严格地说，MGCt（G，S）只取决于历史h[0，t）（S），这意味着如果等式h[0，t）（S）=h[0，t）（S′）成立，其中S′是任何策略文件，那么游戏规则MGCt（G，S）和MGCt（G，S′）实际上是相同的。为了简化表述，我们在事件{977s（S）下隐式工作≥ t} 在处理MGCt（G，s）时。

换句话说，我们只考虑MGCt（G，s）在时间t之前尚未终止的情况。表示每个单独的第一期∈ M由MGCi（G）和单个tr分支的集合N M，被MGCN（G）称为联合N期。我们只会在没有歧义的情况下使用“分期付款”一词。每一次我∈ M和N M、 让MGCit（G，s）和MGCNt（G，s）分别表示时间t处的分支i和分支N。I.Guo和M.Rutkowski 7现在让我们描述一下合同生效后的交易安排。在交割时间之前的任何时间t，MGCt（G，s）的所有份额均可自由转让，以便该份额的持有人可以将其出售给新的持有人。然后，新持有者继续与其他当前持有者的游戏，并有能力选择策略τ∈ 从时间t开始坐下。表示第一期（第N期）的时间t价格通过πit（G，s）（分别为πNt（G，s））。我们需要强调的是，任何人，包括发行人，都可以在任何时候持有任意数量的交易记录。游戏期权的定价取决于无ar比特率参数和支付的复制（或超边缘化）。在当前框架下，各方（发行人和持有人）可以持有股票和债券的一对投资组合，以对冲其未来负债。由于G是一种有效的信息博弈，在这种博弈中，行动先于θ（s），并被各方观察到，因此发行人和持有人自然会根据其当前和过去的观察结果调整其交易策略。特别是，如果一个战略文件∈ 交易策略应与可观察结果h（S）具有非预期依赖性∈ H

这导致了以下定义，其中简单地假设给定市场模型（B，S）的可接受（尤其是自我融资）交易策略类别已经明确（例如，通过关注贴现财富为a（Q，F）-martinga le的交易策略）。定义2.6。H-可预测交易策略是一个映射φ：H×[0，T]×Ohm → Rd+1满足以下条件：（i）每小时∈ H、 φ（H）是一个可容许的转移策略，（ii）φ是一个H-可预测映射。所有H-可预测交易策略φ的类别用Φ（H）表示。对任何人来说∈ Φ（H），corres-ponding财富映射Z:H×[0，T]×Ohm → R、 由等式zt（φ（h））=dXl=0φlt（h）Slt给出， T∈ [0，T]也是H-可预测的。我们需要进一步扩展定义2.6。对于固定的σ∈ s-N、 我们用Hσ来表示当策略yσ发挥作用时，所有可达到的结果集，即Hσ：=H∈ H:H=H（τ，σ），τ∈ 锡. （2.5）在某些情况下，如果可能的结果被假定为b延伸至Hσ，我们可能只对具有相同约束条件的交易策略感兴趣，且仅限于区间[t，t]。定义2.7。对于任何σ∈ s-Nand t∈ [0，T]，我们用ΦT（Hσ）表示所有Hσ-可预测交易策略的类别φ：Hσ×[T，T]×Ohm → Rd+1。类Hτ和Φt（Hτ）以类似方式定义。直观地说，定义2.7有以下解释：当一个战略文件σ固定时，对于每一个∈ [t，t]和τ，τ′∈ SN，等式h[0，u）（τ，σ）=h[0，u）（τ′，σ）意味着Zu（φ（τ，σ））=Zu（φ（τ′，σ））。因此，可以非正式地为每个τ写Zu（φ（τ，σ））=Zu（φ（τ[0，u），σ））∈ 斯南杜∈ [t，t]。

在连续时间框架中，后一个属性将支持（bS，H）-可预测映射φ的定义（见第3.5节）。3组合批次的套利边界在多人博弈或有权益中的一个重要概念是持有一组批次的能力 M.例如，同时持有i和j档的人可能比两个单独持有i和j档而没有共谋的人有更大的支付潜力。这是因为第一期和第j期持有人可以协调策略SIA和SJ，以提高第六期和第七期的综合收益。因此，N={i，j}8多人博弈或有索赔组合的价格不一定等于个人价格之和，即使从实际角度来看，这种可加性属性似乎是可取的。第4节将进一步探讨所有部分的价格可加性和一致估值问题。在本节中，我们将重点放在一些公司的预定组合分支MGCNt（G，s）的定价上∈ [0，T]和战略文件∈ 我们解决以下问题，在这个问题中，我们隐式地处理{θ（S）事件≥ t} （因为如果不是这样，这个问题将毫无意义）：o考虑游戏或有索赔MGC（G），假设策略文件s[0，t]一直玩到时间t。在时间t，新持有人以πNt（G，s）a的价格从其前持有人处购买N批，并计划将其持有到结算时间。

如果发行人和持有人在（B，s，N）中的套利都不可能发生，那么cπNt（G，s）的可能估值是多少？3.1套利机会我们首先从固定组合份额持有人以及假设持有所有剩余单一份额（即组合份额）的发行人的角度定义套利机会-N回想一下符号sN=（si，i）∈ N）和VNθ（s）（s）=Pi∈任何子项的NViθ（s）（s） M.我们强调，在本节的其余部分中，通过h[0，t）（s）生成历史的数据t、组合N批和策略文件是固定的。我们在本节中的目标是推导固定组合N批的套利边界t时间t。尽管如此，该集合中的支付规范-N仍然很重要，因为股东的决定-N可能会影响N的分期付款。在下一个定义中，我们将∈ [0，T]我们假设游戏契约mgct（G，s）的N部分在时间T以πNt（G，s）的价格进行交易。为了简化符号，如果不出现混淆，我们将简单地编写（B，S，N）而不是更精确的符号（B，S，πNt（G，S））。定义3.1。（B，s，N）中的持有人套利是一对（φτ，τ）∈ 存在事件A的Φt（Hτ）×SNt（s）∈ Ft的正概率为：Zt（φτ（s））<-πNt（G，s），Zθ（s）（φτ（s））≥ -VNθ（s）（τ，σ）， σ ∈ s-新界(s)。发行人在（B，s，N）中的套利是一对（φσ，σ）∈ Φt（Hσ）×S-存在事件A的Nt（s）∈ 在a:Zt（φσ（s））<πNt（G，s），Zθ（s）（φσ（s））上≥ VNθ（s）（τ，σ）， τ ∈ SNt（s）。如果（B，S，N）中既不存在发行人的套利，也不存在持有人的套利，那么（B，S，N）中就不存在套利。注：定义3.1取决于一个隐含的假设，即交易在所有各方重新选择的时间t之前的时间t进行。

换言之，在时间t发生交易之前，各方只观察到历史h[0，t）和σ-场FTA。持有人套利指的是[t，θ（s）]上N批买方的担保利润。t时的价格应足够高，因此，潜在持有人不应通过将买入并持有策略与一些聪明的行动和由交易的主要资产组成的动态组合相结合，从而在没有风险的情况下获得资产。同样，发行人的套利是指MGC（G）发行人在t时出售N批债券并持有该批债券的担保利润-N到时间θ。从这个角度来看，价格应该足够低，这样就可以防止发行人在没有风险的情况下进行盈利，即使他可以对该批债券做出决定-N当发行人不持有该份额时-N，我们可以将发行人的套利行为解释为N批持有人的担保损失。很明显，根据定义3.1，N批债券的估值问题可以正式简化为研究N批债券持有人和发行人之间的两人零和博弈，发行人也持有N批债券-NI.郭和M.Rutkowski 9定义3.1中引入的风险取决于进入和持有策略，即从时间t到结算时间保持份额。当然，套利机会的其他定义也是可能的。在第4节中，我们将用额外的条件来补充定义3.1，这些条件将确保所有批次具有财务意义的独特价格的存在和唯一性。3.2超级对冲策略对于欧洲未定权益，可通过允许的投资组合频繁复制最终支付。在博弈或有索赔的情况下，由于不可能预测其他方的行动，复制通常是不可能的。

相反，相关各方可能会试图对自己的头寸进行超级对冲。超级对冲交易策略的定义与双人期权的定义非常相似。如前所述，我们考虑了时间t对策。我们关注的是N批债券持有人和发行人，他们也持有该批债券-N回想一下，我们表示s=（τ，σ）a，我们将自己置于时间t∈ [0，T]。定义3.2。持有者的超级对冲策略是一对（φτ，τ）∈ Φt（Hτ）×SNt（s）使得zθ（s）（φτ）≥ -VNθ（s）（τ，σ）， σ ∈ s-新界(s)。发行人的超级对冲策略是一对（φσ，σ）∈ Φt（Hσ）×S-Nt（s）使zθ（s）（φσ）≥ VNθ（s）（τ，σ）， τ ∈ SNt（s）。如前所述，超hedg策略与博弈未定权益交易价格的套利边界密切相关。提议3.1。假设游戏合约MGCt（G，s）的N部分以πNt（G，s）的价格进行交易。如果不存在发行人在（B，s，N）中的套利行为，那么对于任何发行人的超级套利策略（φσ，σ）∈ Φt（Hσ）×S-Nt（s）我们有ZT（φσ）≥ πNt（G，s）。（3.1）如果（B，s，N）中不存在持有人的套利，那么对于任何持有人的超级对冲策略（φτ，τ）∈Φt（Hτ）×SNt（s）我们有zt（φτ）≥ -πNt（G，s）。（3.2）证据。让我们证明，如果违反了上限（3.1），则存在发行人的rbitrage。我们可以用一个类似的论点来检验违反下限（3.2）会导致霍尔德套利。出于矛盾的考虑，让我们假设（3.1）的上界不满足。

关于这件事πNt（G，s）>Zt（φσ）, 通过定义发行人的超级套期保值策略，我们可以得到zt（φσ）<πNt（G，s），Zθ（s）（φσ）≥ VNθ（s）（τ，σ）， τ ∈ SNt（s）。因此（φσ，σ）是发行人在（B，s，N）中的套利，这与我们的假设相矛盾。3.3 Hσ——可预测的斯奈尔包络[33]首次引入斯奈尔包络的概念，是评估美式期权和博弈期权的重要工具。对于给定的随机过程Y，斯奈尔包络是smalles t RCLL supermartingale支配的Y。在时间t时，斯奈尔包络线不相等于s upτ∈T[T，T]E（Yτ| Ft），因此它代表Yτ在所有停止时间τ的选择上的Ft条件期望的绝对上确界∈ T[T，T]。本文将在多人游戏MGC（G）的背景下发展一个类似的r概念。它将取决于在所有可能的策略集合上最大化一个期望值，而不是所有停止时间的10个多人博弈或有索赔。回想一下，子集N∈ M现在已经确定，我们处理的是一个组合牧场，具体来说，是一个针对所有i的单一i期集合∈ N除非另有说明，否则我们定义了Astraegy pro fi file s=（τ，σ）∈ τ在哪里∈ SNandσ∈ s-N.回想一下，我们始终在离散时间（或连续时间）市场模型的唯一鞅测度Q下工作，该模型在通常情况下被假定为完全且无套利。LetbVθ（s）（s）=B-1θ（s）Vθ（s）（s）是折扣支付，letbVNθ（s）（s）=Pi∈NbViθ（s）（s）。在这项工作的剩余部分中，我们在以下假设下工作。假设3.1。