市场形态形成、统计均衡与中性演化

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英文标题：
《Market shape formation, statistical equilibrium and neutral evolution
  theory》
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作者：
Sergey Sosnovskiy
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Mathematical methods of population genetics and framework of exchangeability provide a Markov chain model for analysis and interpretation of stochastic behaviour of equity markets, explaining, in particular, market shape formation, statistical equilibrium and temporal stability of market weights.
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中文摘要：
人口遗传学的数学方法和可交换性框架为分析和解释股票市场的随机行为提供了马尔可夫链模型，特别是解释了市场形状的形成、统计均衡和市场权重的时间稳定性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Market_shape_formation,_statistical_equilibrium_and_neutral_evolution_theory.pdf (1.19 MB)

2022-5-8 10:24:53 上传

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关键词：Mathematical Quantitative mathematica equilibrium Statistical

市场形态形成、统计均衡和中性演化理论。sky@gmail.comJune2015年12月24日人口遗传学的数学方法和可交换性框架提供了一个马尔可夫链模型，用于分析和解释股票市场的随机行为，特别是解释市场形态形成、统计均衡和市场权重的时间稳定性。1简介按降序排列的规范化股票市场资本化的对数图称为资本分配曲线。例如，下面的图表显示了2014年三个日期纳斯达克市场的资本分布情况（数据来源为http://www.google.com/finance#stockscreener)。尽管纳斯达克市场在这段时间内的总市值发生了重大变化，但排名市场权重的波动相对较小。10 1000.000%0.000%0.001%0.010%0.100%1.000%10.000%1 10 100 1000 1000027-May24-Sep9-Dec8。000%10.000%0.000%0.000%0.001%27-May24-Sep9-Dec0。10%1.00%10.00%1 10 10027-5月24日-9月9日-DecFigure 1:NASDAQ资本分布曲线，所有股票（上图）和前100名股票（下图）arXiv:1506.07163v1[q-fin.MF]2015年6月23日本文的目的之一是提供一个可能的机制示例，通过Polya-Dirichlet-Markov链解释规范化股票资本化的时间稳定性和统计均衡，类似于中立进化论的赖特-费舍尔模型。经典和中性进化理论。达尔文理论的经典形式表明，自然选择的力量在物种进化中起着核心作用。木村提出的中性进化理论通过增加遗传维度补充了经典理论。

木村观察到，由于繁殖中的随机效应，在分子遗传水平上出现了性状差异，例如鸟类群体中喙或羽毛颜色的微小差异，并且这些差异中的大多数在适应性方面是中性的。根据中性理论，自然选择的力量仍然很重要，因为它可以清除有害的突变。然而，大多数存活的突变是中性的，可能只有少数是有利的。新世代的基因突变和随机组合会导致等位基因频率或基因漂移的变化。Wright-Fisher和Moran模型描述了遗传频率的随机演化和统计平衡函数，由具有平稳Dirichlet分布的扩散过程建模。进化论与金融。进化论思想在金融领域的应用有着悠久的历史，可以追溯到马尔萨斯、马歇尔和许多其他人。最近，埃夫斯蒂涅夫、亨斯和申克·霍普[4]开发了进化金融的描述模型，该模型利用自然选择原理对资产定价动态进行建模，并对投资策略进行分析。Kirman[14]在对蚂蚁寻找食物来源的行为进行经济学解释的背景下，考虑了带有突变的Wright Fisher模型。他观察到，蚂蚁选择其中一个可能的食物通道的比例最好用马尔可夫链的平稳分布来描述，而不是用单点平衡来描述。他提出，金融市场上的“羊群”行为也可以用随机均衡来描述，而不是用单一或多重均衡来描述。形成市场极限形态。Arthur等人[1]使用Polya过程的标准和非线性版本来说明市场结构的外观。

Polya格式具有以下有趣的性质：球的比例收敛到某个极限值，但这些极限是随机的，由Dirichlet分布描述。马尔可夫格与可逆性。状态空间定义在有序整数划分格上的Polya-Dirichlet-Markov链为市场权重的随机均衡分析和建模提供了框架。用Kerov[13]、Fulman[8]、Borodin和Olshanski[2]以及Petrov[16]提出的随机up-和dn-算子描述了分区格上的跃迁。历史上，Costantini、Garibaldi等人在[3]、[9]中首次研究了Polya模型中具有dn/上转换的马尔可夫链。可交换性和随机波动。有限的可交换性意味着存在向上和向上的随机跃迁，连接整数成分的相邻水平。第4节表明，这些跃迁的概率满足可逆性条件，因此产生了马尔可夫链格。该晶格上的随机跃迁对应于市场权重或等位基因频率的统计均衡行为，不仅针对固定的，而且针对不同的市场或人口规模。中性理论和金融市场。Polya-Dirichlet-Markov格对应于具有突变的Wright-Fisher过程的离散化，并提供了均衡市场行为的玩具模型在快速扩张的初始阶段之后，就像Polya方案中球的比例收敛到随机极限一样，市场权重稳定下来，形成资本分配曲线总市值的上升和下降会导致市场权重的随机漂移，在资本分布曲线给出的极限值附近的随机均衡中波动。

市场权重的平稳分布可以通过up-和dn-马尔可夫链建模总的来说，市值的增加会强化市场结构，而市值的减少会导致结构的弱化和更高的波动性，这为市场重塑创造了机会。这种机制类似于Ohta[15]提出的所谓近中性进化理论，在该理论中，较小的种群具有更快的分子遗传进化和适应速度该理论将市场危机解释为市场对不断变化的经济条件的自适应，资本化减少会导致市场重塑，并更快地适应新的经济金融环境套利机会可以被视为与有害突变相对应，被自然选择的力量所消除。力学、经济学和可逆平衡。正如加里波第（Garibaldi）和斯卡拉斯（Scalas）[11]所指出的，经济学和金融学中的均衡建模是在静态或经典力学思想的强烈影响下发展起来的。另一种方法是由随机平衡和可逆性条件的框架提供的，它们来源于玻尔兹曼在统计力学方面的工作。《加里波第和斯卡拉书》[10]从可交换性的角度对经济物理学进行了详尽的论述。Kelly的经典著作[12]对可逆平衡的框架进行了极好的解释。2具有向下/向上转换的Polya过程在Polya过程的经典形式中，彩色球被放入一个概率与现有颜色球的权重成比例的盒子中。

该过程提供了Dirichlet分布的离散对应项，因为如果向量（α，…，αm）表示每种颜色的球的初始/先前权重，则Polya方案中权重比例的极限值具有具有相同参数Dm（α，…，αm）向量的Dirichlet分布。修改后的Polya过程（也可以移除球）说明了o排名比例的外观和时间稳定性，以及o这些权重的随机平衡的重要思想。让我们来考虑一个艺术股票市场，其中有数量有限的股票，由m种不同的颜色表示。最初，盒子中有m个不同颜色的“Previor”球，重量α相同，因此所有球的总重量θ=mα。换句话说，所有股票都以相同的初始条件开始，颜色（或股票代码）用于区分股票。向量n=（n，…，nm）表示股票资本化，等于阶段n=n+…+中每种颜色的放置球的数量所以在初始阶段，这个向量是n=（0，…，0）。所有可能的总资本为n的市场配置都由整数单形Xn中的组合（有序分区）表示=n=（n，…，纳米）镍∈ N、 Pni=N在第一步中，以概率α/θ=1/m绘制一个之前的球。球与一个相同颜色和单位重量的球一起放回箱子中。在第n阶段，添加一个颜色为i isp的球的概率=α+niθ+n，其中n表示盒子中颜色为i的球的数量。

例如，当m=3种颜色时，比如红色、绿色和蓝色，在这个特定序列中绘制3个红色球、2个绿色球和1个蓝色球的概率为isp（rrrggb）=α（α+1）（α+2）θ（θ+1）（θ+2）·α（α+1）（θ+3）（θ+4）·αθ+5=α[3]α[2]α[1]θ[6]，其升序或升序阶乘功率定义为α[k]=α（α+1）·α+k）- 1） =Γ（α+k）Γ（α）通过组合参数n=（n，…，nm）在阶段n isp（n）=nn。。。，纳米Qmi=1α[ni]θ[n]=n！θ[n]α[n]n！··α[nm]nm！（1） 对于每一级n，这个公式建立了单纯形Cn中的概率分布，而且这个分布是可交换的或对称的，从某种意义上说，任何序列的概率都不取决于ballsdrawn的顺序，而只取决于每种颜色的球的数量。使用渐近αnn！nα-1Γ（α）p（n）Γ（θ）nθ-1nα-1Γ(α). . .nα-1mΓ（α）=Γ（θ）（Γ（α））mmYi=1宁α-1·NM-对应于对称狄里克莱分布的密度fα（x）dx=Γ（θ）（Γ（α））mxα-1··xα-1mdx·dxm-1up和dn转换。在标准Polya型号中，每个阶段的球数都会增加，因此配置n=（n，…，nm）∈ Cn组分i随条件概率uI增加1，n=α+niθ+n（2）。这可以被认为是从单纯形Cn到Cn+1的随机上转换。在财务方面，上升与对特定股票的投资和资本增加相对应。显然，这些转变的随机动力学属于优先依附型，因为股票增长的条件概率（2）与其资本化成正比。如下图所示，向上移动保持概率分布（1）在单体Cn上。事实证明，向上移动也隐含着定义dn转换，它随机地将配置从单纯形Cnto Cn向后移动-1.这些dn变换还保留了单形上的概率结构。

Polya的dn-move模型的中间部分对应于随机移除一个颜色的球，从财务角度来看，它解释了其中一只股票的资本减少了一个单位。可交换概率分布的结构在连接up-和dn-跃迁中起着重要作用，它们是相互对偶的。为了便于说明，让我们考虑两种股票的情况，用两种颜色标记。单形C，C，C。。。m=2时，如下所示，其中pk，n-Kdenotes与第一种颜色的k个球和n的配置概率- k第二种颜色的球。p2,0p1,0p0,0p1,1p0,1p0,2让我们考虑Cn级之间的概率流-1和Cn表示n+n=npn+1，n-1pn，n-1α+n-1θ+n-1，pn，npn-1，n，，α+n-1θ+n-1pn-1，n+1例如，配置（n，n- 1） 可以迁移到状态（n+1，n- 1） 概率α+nθ+n-1或以概率α+n的形式表示（n，n）-1θ+n-1.因此，贡献率或远期概率会流向配置（n，n）ispf（n，n-1)→（n，n）=pn，n-1α+n- 1θ+n- 1同样地，可以证明概率从状态（n）流出- 1，n）到状态（n，n）ispf（n-1，n）→（n，n）=pn-1，nα+n- 1θ+n- 1很容易看出上移保留了simplexes上的概率度量（1）。例如，进入状态（n，n）的总概率是N-1nα[n]α[n]-1] θ[n-1] ·α+n-1θ+n-1+N-1n-1.α[n]-1] α[n]θ[n-1] ·α+n-1θ+n-1=N-1n+N-1n-1.α[n]α[n]θ[n]=nn，nα[n]α[n]θ[n]换句话说，分数N-1n，n-1..nn，n=概率pn的nn，配置的ncomes（n，n- 1） 和分数N-1n-1，n/nn，n=nn来自配置（n- 1，n）。

这意味着，给定状态pn的概率，n反向概率流可以解释为p=ni/n：（n，n）的一个球的随机移除-1） n，n）nnllnnrr（n）-1，n）一般来说，随机下跃迁将构型n=（n，…，nm）从单纯形CNT移动到Cn-1，在Polya模型中，它移除了一个颜色为i的球，概率为di，n=nin（3）。很容易证明dn移动也保留了概率测度（1）。就艺术市场模型而言，向上和向上转换对应于股票资本化（买入/卖出）增加和减少一个单位的货币。3市场形态形成经典的Polya方案（带向上转换）提供了一个模拟市场增长的模型。结果表明，在这个模型中，即使所有股票的初始条件相同，在一定时间内，或在达到一定市值后，幂律形状的市场结构开始出现。下图显示了艺术市场上资本分配曲线的形状。图的左侧包含市场权重的实现，通过向上转换建模，右侧显示最终阶段排名权重的对数图。

所有股票都有相同的初始条件，由相等的先验α来模拟。在经历了“大爆炸”式的快速无序扩张后，市场权重开始稳定下来，在第1500步之后没有显著变化。0 500 1000 1500 200000.020.040.060.080.1市场权重演变1e+0 1e+1 1e+21e-21e-1资本分布曲线图2：市场权重和资本分布的动力学，20只股票（α=5，θ=100）下一个图说明，参数α值越小，市场权重的变化越大。参数α=1的特殊选择对应于均匀断棒生态位模型。0 500 1000 1500 200000.050.10.150.2市场权重演变1e+0 1e+1 1e+21e-41e-31e-21e-11e+0资本分布曲线图3：市场权重和资本分布的动态，20个种群（α=1，θ=20）4统计平衡和Polya-Dirichlet-Markov过程中性进化理论的中心思想之一是，群体中的基因比例（等位基因频率）经历随机漂移，换句话说，它们会围绕某个值变化。重要的是，种群大小可能增加或减少（在合理的数量内），但等位基因频率保持大致相同。在金融市场上也观察到了同样的现象：尽管总资本发生了重大变化，但由资本分布曲线组成的排名股权资本化显示出显著的时间稳定性。Wright Fisher模型（WF）及其推广为随机均衡中基因比例的进化建模提供了框架。有限形式的m-等位基因WF模型基于马尔可夫链，状态空间是由m个元素组成的有序整数分区（组合）。