卡拉扎斯和联阵的一个例子的变体

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英文标题：
《Variations on an example of Karatzas and Ruf》
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作者：
Robert Fernholz
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Markets composed of stocks with capitalization processes represented by positive continuous semimartingales are studied under the condition that the market excess growth rate is bounded away from zero. The following examples of these markets are given: i) a market with a singular covariance matrix and instantaneous relative arbitrage; ii) a market with a singular covariance matrix and no arbitrage; iii) a market with a nonsingular covariance matrix and no arbitrage; iv) a market with a nonsingular covariance matrix and relative arbitrage over an arbitrary time horizon.
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中文摘要：
在市场超额增长率远离零的条件下，研究了资本化过程为正连续半鞅的股票市场。给出了这些市场的以下例子：i）具有奇异协方差矩阵和瞬时相对套利的市场；ii）具有奇异协方差矩阵且无套利的市场；iii）具有非奇异协方差矩阵且无套利的市场；iv）在任意时间范围内具有非奇异协方差矩阵和相对套利的市场。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-9 15:13:02 上传

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关键词：Mathematical Quantitative mathematica represented QUANTITATIV

本文以Karatzas和Ruffert Fernholz2021年6月9日为例，在市场超额增长率远离零的条件下，研究了由正连续半鞅表示的资本化过程组成的抽象市场的变化。给出了这些市场的以下例子：i）具有奇异协方差矩阵和瞬时相对套利的市场；ii）具有奇异协方差矩阵且无套利的市场；iii）具有非奇异协方差矩阵且无套利的市场；iv）在任意时间范围内具有非奇异协方差矩阵和相对套利的市场。为了n∈ N和T∈ (0, ∞), 考虑一个由资本化过程为X的股票组成的市场，Xn由[0，T]上定义的正连续半鞅表示。Karatzas和Ruf（2015）给出了这样一个市场的例子，其中资本化过程是鞅，市场协方差矩阵是奇异的，超额增长率γ*市场投资组合的u从零开始。资本化过程是鞅的条件很有趣，因为在具有鞅资本化过程的市场中不可能进行套利（参见Karatzas和Shreve（1998））。条件是γ*u有界远离零是一个值得关注的问题，因为这意味着在足够长的时间范围内存在相对套利（见Fernholz和Karatzas（2005））。在这里，我们以卡拉扎斯和联阵（2015）为例，介绍了五种变体。

第一个变量是具有奇异协方差矩阵和瞬时相对套利的市场的一个例子；第二类是具有奇异协方差矩阵和鞅资本化过程的amarket；第三类是具有非奇异协方差矩阵和鞅资本化过程的市场；第四种是在任意时间范围内具有非奇异协方差矩阵和相对套利的市场。在这四个例子中，市场资本化过程是一个鞅；在第五个例子中，这个条件是宽松的。如果市场的协方差矩阵的特征值远离零，则市场是强非退化的。在这里我们考虑的所有例子中，市场都是多样的，即市场权重都是从一个方向限定的。在一个多样化、高度非退化的市场中，相对套利存在于任意的时间范围内（见Fernholz and Karatzas（2009）第8节），因此资本化过程不能是鞅。因此，在我们的第三个例子中，市场协方差矩阵的非奇异性不能增强为强非退化性，因为在具有鞅资本化过程的市场中，套利是不可能的。定义1。对于T>0，在[0，T]上定义的市场存在相对套利，如果存在投资组合ν和η，其价值过程Zν和Zη为Zν（T）/Zη（T）≥ Zν（0）/Zη（0）= 1，PZν（T）/Zη（T）>Zν（0）/Zη（0）> 0.定义2。对于T>0，如果存在具有价值过程Zν和Zη的投资组合ν和η，则定义在[0，T]上的市场具有瞬时相对套利∈ [0，T]与T<T，PZν（t）/Zη（t）>Zν（t）/Zη（t）= 1.新泽西州普林斯顿帕尔默广场一号英特奇08542。bob@bobfernholz.com.

作者感谢Ren\'e Carmona、IoannisKaratzas和Johannes Ruf对这项研究提出的宝贵意见和建议。例1。这里我们给出一个γ市场的例子*u有界远离零和奇异协方差矩阵。在本例中，市场权重过程被限定为一个圆圈，这会产生瞬时相对收益率。让我们∈ （0，1/3）是一个实常数，考虑时间范围[0，T]。设（W，θ）为二维布朗运动，具有通常的过滤系数F，设（X，X，X）为xi（t）=eW（t）定义的市场-t/2+ a因为θ（t）+（i）- 1)2π/3, 0≤ T≤ T、 对于i=1，2，3。市值过程X由X（t）=X（t）+X（t）+X（t）+X（t）=eW（t）给出-t/2，因此市场权重为ui（t）=Xi（t）X（t）=+a cosθ（t）+（i）- 1)2π/3, （1） 对于i=1，2，3。因此，当i=1、2、3时，0<ui（t）<2/3，且市场多样。因为所有的x∈ R、 Xi=1英寸x+（i）- 1)2π/3=Xi=1cosx+（i）- 1)2π/3=. （2） 我们有u（t）+u（t）+u（t）=+3a<，（3）所以点（u（t），u（t），u（t））∈ 平面x+x+x=1与以原点为中心的半径球体P1/3+3a/2相交时的Rlie。该交点是以（1/3，1/3，1/3）为中心的半径为3A/2<p1/6的圆，该圆位于（开放）单纯形中,十、∈ R:x+x+x=1，xi>0.从（1）中我们可以看到，对于i=1，2，3，dui（t）=-罪过θ（t）+（i）- 1)2π/3dθ（t）-acosθ（t）+（i）- 1)2π/3dt，a.s.，sodhuiit=asinθ（t）+（i）- 1)2π/3dt、a.s.和τii（t）=ui（t）dhuiitdt=asinθ（t）+（i）- 1)2π/3ui（t），a.s.（4）考虑投资组合生成函数（x）=x+x+x1/2.该函数生成具有权重πi（t）=ui（t）u（t）+u（t）+u（t）=ui（t）1/3+3a/2（5）的投资组合π，以及满足以下条件的价值函数ZπZπ（t）/Zu（t）= d对数S（u（t））- γ*π（t）dt，a.s.，其中Zu是市场价值过程（见Fernholz（2002），示例3.1.9）。

因为（3）意味着S（u（t））是恒定的，所以这减少了tod logZπ（t）/Zu（t）= -γ*π（t）dt，a.s.（6）因为它没有随机分量，所以所有t的相对方差τπ（t）都为零∈ [0，T]，所以γ*π（t）=Xi=1πi（t）τii（t）- τππ（t）=Xi=1πi（t）τii（t）=a2/3+3aXi=1sinθ（t）+（i）- 1)2π/3=3a4/3+6a>0，（7）乘以（2）、（4）和（5）。从（6）和（7）可以看出，在这个市场中存在瞬时相对套利。另一方面，从（4）我们有ui（t）τii（t）=asinθ（t）+（i）- 1)2π/3ui（t）>3asinθ（t）+（i）- 1)2π/3, a、 对于i=1,2,3，因为0<ui（t）<2/3，所以（2）意味着γ*u（t）=Xi=1ui（t）τii（t）>9a，a.s.，对于t∈ [0，T]。在推动这一市场的两个过程中，θ在平面上产生圆周运动关于这一点（1/3，1/3，1/3）∈ R、 W从正角原点产生径向运动。由W引起的运动不在平面内, 因此，市场协方差矩阵的秩为2。在下一个例子中，我们将展示与本例相同的条件，即γ*从零到秩2的市场协方差矩阵，可以产生无套利的市场。例2。这里我们给出一个γ市场的例子*u有界远离零、奇异协方差矩阵和鞅资本化过程。在这个例子中，市场权重过程被定义为一个扩张的循环，类似于Karatzas和Ruf（2015），其中市场权重过程被定义为一个扩张的环空。在这个例子中，没有套利，因为在一个有鞅资本化过程的市场中，套利是不可能的。让我们∈ （0，1/3）是一个实常数，考虑时间范围[0，T]和T<-2日志（3a）。设（W，θ）是一个二维布朗运动，具有通常的过滤F，设（X，X，X）是市场定义xi（t）=eW（t）-t/2+ aet/2cosθ（t）+（i）- 1)2π/3, 0≤ T≤ T、 对于i=1，2，3。

在这种情况下，eW（t）-t/2和et/2cosθ（t）+（i）- 1)2π/3它们是独立的F-鞅，所以它们也是F-鞅。因此，套利在这个市场中不可能存在。市值过程X由X（t）=X（t）+X（t）+X（t）+X（t）=eW（t）给出-因此，市场权重为ui（t）=Xi（t）X（t）=+aet/2cosθ（t）+（i）- 1)2π/3,对于i=1，2，3。在这种情况下，dui（t）=-aet/2sinθ（t）+（i）- 1)2π/3dθ（t），a.s.，所以μi是F-鞅。如例1所示，我们有0<ui（t）≤ 1/3+aet/2<2/3，因为i=1,2,3，所以市场是多样化的。由（2）可知，u（t）+u（t）+u（t）=+3et<，0≤ T≤ T、 所以点（u（T），u（T），u（T））∈ 平面x+x+x=1与半径球体P1/3+3et/2以原点为中心的交点上的Rlie。该交点是以（1/3，1/3，1/3）为中心的半径为3集/2<p1/6的圆，该圆位于单纯形中.与（4）类似，对于i=1，2，3，我们有τii（t）=aetsinθ（t）+（i）- 1)2π/3ui（t），a.s.，（8）soui（t）τii（t）=aetsinθ（t）+（i）- 1)2π/3ui（t）>3etsinθ（t）+（i）- 1)2π/3, a、 自0<ui（t）<2/3以来。因此，从（2）可以得出γ*u（t）=Xi=1ui（t）τii（t）>9aet≥9a，a.s.，代表t∈ [0，T]。在推动这一市场的两个鞅中，θ在运动平面上产生圆周运动关于这一点（1/3，1/3，1/3）∈ R、 W从正角原点产生径向运动。由W引起的运动不在平面内, 因此，市场协方差矩阵的秩为2。在下一个例子中，我们将在平面内径向扰动当前模型, 这将产生一个非奇异的市场协方差矩阵。这种扰动不会改变资本化过程的鞅结构，因此由此产生的市场仍然不允许套利。例3。这里我们给出一个γ市场的例子*u有界远离零、非奇异协方差矩阵和鞅资本化过程。

在这个例子中，市场权重过程被定义为一个不断扩大的环空，如Karatzas和Ruf（2015）所述，其中市场协方差矩阵是奇异的。尽管本例中的市场协方差矩阵是非奇异的，但市场不可能是强非退化的，因为多样化市场中的强非退化性意味着在套利时间范围内存在相对套利（见Fernholz and Karatzas（2009）第8节），而在鞅资本化过程中，套利是不可能的。让我们∈ （0，1/9）是一个实常数，考虑时间范围[0，T]和T<-2日志（9a）。设（W，θ，B）为具有通常过滤F的三维布朗运动，设（X，X，X）为市场定义xi（t）=eW（t）-t/2+ ~n（t）et/2cosθ（t）+（i）- 1)2π/3, 0≤ T≤ T、 对于i=1，2，3，其中φ是由B驱动的连续F-鞅，使得a<φ（T）<3a。我们将建立以下流程的精确结构。自eW（t）-t/2，et/2cosθ（t）+（i）- 1)2π/3, 和ψ都是独立的F-鞅，XI也将是F-鞅。因此，套利在这个市场中不可能存在。市值过程X由X（t）=X（t）+X（t）+X（t）+X（t）=eW（t）给出-t/2，且市场权重为ui（t）=Xi（t）X（t）=+~n（t）et/2cosθ（t）+（i）- 1)2π/3,对于i=1，2，3。在这种情况下，dui（t）=-~n（t）et/2sinθ（t）+（i）- 1)2π/3dθ（t）+et/2cosθ（t）+（i）- 1)2π/3所以μi都是F-鞅。如例1和例2所示，对于i=1,2,3，我们有0<ui（t）<1/3+3aet/2<2/3，a.s.，因此市场是a.s.多样化的。由（2）可知，u（t）+u（t）+u（t）=+3u（t）et<，a.s.，0≤ T≤ T、 所以点（u（T），u（T），u（T））∈ 平面x+x+x=1与以原点为中心的半径球体P1/3+3~n（t）et/2相交处的Rlie。

该交点是一个以（1/3，1/3，1/3）为中心的半径为p3~n（t）et/2<p1/6的圆，该圆位于单纯形中.现在，通过φ（t）=2a+ψ（t），（9）定义过程φ，其中ψ（t）=ZtA.- ψ（s）dB（s），（10）代表t∈ [0，T]，B是上面介绍的布朗运动。在这种情况下，ψ是一个连续的F-鞅- a<ψ（t）<a，t∈ [0，T]= 1.（11）过程ψ由Ioannis Karatzas提出。这一过程的结构细节可以通过inKaratzas和Shreve（1991）、命题5.5.22（d）和定理5.5.29进行验证。这个过程ψ是一个与状态空间的线性微分(-a、 a）以正概率访问任何给定的社区 (-a、 a）在任何时间间隔（0，δ）内，δ>0（见Karatzas和Ruf（2016）以及Bruggeman和Ruf（2015）的定理4.8）。由此可知，ψ也是一个连续的F-鞅，其a<ψ（t）<3a，a.s.，且dh~nIt=dhψIt=A.- ψ（t）dt，a.s.（12）与（4）和（8）类似，对于i=1，2，3，τii（t）=φ（t）etsinθ（t）+（i）- 1)2π/3+ 埃特克斯θ（t）+（i）- 1)2π/3A.- ψ（t）ui（t），a.s.，（13）soui（t）τii（t）=ψ（t）etsinθ（t）+（i）- 1)2π/3+ 埃特克斯θ（t）+（i）- 1)2π/3A.- ψ（t）ui（t）>3u（t）etsinθ（t）+（i）- 1)2π/3+ 3etcosθ（t）+（i）- 1)2π/3A.- ψ（t）, a、 自0<ui（t）<2/3以来。因此，从（2）我们得到γ*u（t）=Xi=1ui（t）τii（t）>9u（t）et+9etA.- ψ（t）>9a，a.s.，代表t∈ [0，T]。在推动这一市场的三个鞅中，θ在运动平面上产生圆周运动关于这一点（1/3，1/3，1/3）∈ R、 从平面内的点（1/3,1/3,1/3）产生径向运动,W从正角原点产生径向运动。

由（11）和（12）可知，dh k It/dt>0，a.s.，因此这三个运动跨越R，市场协方差矩阵将是非奇异的。然而，自从A.- ψ（t）可以任意小，市场不会强烈非退化。在下一个例子中，我们将展示与本例相同的条件，即γ*u从零和非奇异市场协方差矩阵有界，可能导致在任意时间范围内存在相对套利的市场。例4。这里我们给出一个γ市场的例子*u有界远离零和非奇异协方差矩阵。在这个例子中，市场权重过程在一个固定的环空范围内变化，这个时间同质性在任意的时间范围内产生相对套利。让我们∈ （0，1/9）是一个实常数，考虑时间范围[0，T]。设（W，θ，B）是一个三维布朗运动，具有通常的过滤系数F，设（X，X，X）是由xi（t）=eW（t）定义的市场-t/2+ ~n（t）cosθ（t）+（i）- 1)2π/3, 0≤ T≤ T、 对于i=1、2、3，其中φ是（9）和（10）中定义的鞅，a<φ（T）<3a，a.s.市值过程X由X（T）=X（T）+X（T）+X（T）+X（T）=eW（T）给出-t/2，且市场权重为ui（t）=Xi（t）X（t）=+~n（t）cosθ（t）+（i）- 1)2π/3, （14） 对于i=1，2，3。在这种情况下，dui（t）=-~n（t）sinθ（t）+（i）- 1)2π/3dθ（t）+cosθ（t）+（i）- 1)2π/3d~n（t）-~n（t）sinθ（t）+（i）- 1)2π/3dt，a.s.如例1、2和3所示，对于i=1、2、3，我们有0<ui（t）<1/3+3a<2/3，a.s.，因此市场是a.s.多样的。由（2）可知，u（t）+u（t）+u（t）=+3u（t），0≤ T≤ T、 所以+3a<u（T）+u（T）+u（T）<+27a<，a.s.，所以点（u（T），u（T），u（T））∈ Rlie在x+x+x=1的平面上，位于以原点为中心的半径为P1/3+3a/2和P1/3+27a/2的球体之间。

这一套是美国的=（x，x，x）∈ : 3a/2<（x- 1/3）+（x- 1/3）+（x- 1/3）<27a/2, （15） 位于以（1/3，1/3，1/3）为中心的半径为3A/2和3p3a/2<p1/6的圆之间，两者都位于单纯形内.与（13）类似，对于i=1，2，3，τii（t）=φ（t）sinθ（t）+（i）- 1)2π/3+ 余弦θ（t）+（i）- 1)2π/3A.- ψ（t）ui（t），a.s.，soui（t）τii（t）=u（t）sinθ（t）+（i）- 1)2π/3+ 余弦θ（t）+（i）- 1)2π/3A.- ψ（t）ui（t）>3u（t）sinθ（t）+（i）- 1)2π/3+ 3个原因θ（t）+（i）- 1)2π/3A.- ψ（t）, a、 自0<ui（t）<2/3以来。因此，从（2）我们得到γ*u（t）=Xi=1ui（t）τii（t）>9u（t）+9A.- ψ（t）>9a，a.s.，代表t∈ [0，T]。在推动这一市场的三个过程中，θ在平面上产生圆周运动关于这一点（1/3，1/3，1/3）∈ R、 从平面内的点（1/3,1/3,1/3）产生径向运动,W从正角原点产生径向运动。由（11）和（12）可知，dh k It/dt>0，a.s.，因此这三个运动跨越R，市场协方差矩阵将是非奇异的。然而，自从A.- ψ（t）可以任意小，市场不会强烈非退化。（14）中给出的市场权重结构导致t>0的时间同质性，并在（任意）时间范围内产生相对套利[0，t]。如果 是否为（15）中规定的环空，则对于任何t∈ （0，T]，Pu（t）∈ A.= 1，对于任何开子集U A、 Pu（t）∈ U> 0（参见卡拉扎斯和联阵（2016年）以及布鲁格曼和联阵（2015年）的定理4.8）。