信用风险的监管资本模型

ASRF模型基于Gordy（2003）的观点，即投资组合损失百分比的条件预期分布的分位数可以替代投资组合损失分布的分位数。在这里，我们的理论贡献是从较弱的假设出发，为这一命题提供一个更简洁的证明，并将ASRF模型扩展到比usualGaussian案例更一般的环境中。我们继续利用审慎监管机构收集的银行内部数据，对ASRF模型进行实证分析。对这些数据的访问使我们的研究不同于关于IRB方法的其他实证研究。首先，我们证明Gordy提出的投资组合方案代表了澳大利亚各大银行的IRB信用风险敞口，并展示了其有效性。投资组合损失百分比的条件期望分布的分位数可通过分析ASRF模型轻松计算，而投资组合损失分布的分位数可通过高斯条件独立模型的计算密集型模拟确定。对于我们的代表性投资组合，ASRF模型和蒙特卡罗模拟得出的信贷风险资本估计值彼此相差一个基点。然后，我们根据义务人的数量，测量经验允许分布到渐近投资组合损失分布（即，代表细粒度投资组合的投资组合损失百分比的条件预期分布）的收敛速度。对于包含1,00名或以上债务人的投资组合，如果没有集中在少数几个名称上，而这些名称在投资组合的其余部分占主导地位，则投资组合损失百分比的条件预期提供了投资组合损失分布尾部的投资组合百分比损失的统计准确估计。

假设高斯条件独立模型准确地描述了违约依赖性，信贷组合表现出足够的粒度，我们为RB方法找到了实证支持。在偿付能力评估的背景下，我们实证评估了信用风险资本（在投资组合损失分布的尾部）对依赖结构的敏感性。IRB方法采用单因素高斯copula，其违约相关性由债务人资产价值之间的成对相关性矩阵描述。资产相关性的相对误差对信用风险资本的计算产生了类似的影响。假设资产价值服从对数正态分布，则投资组合损失分布由选择的copula函数确定，该函数用于组合其利润。信用风险资本对依赖结构的敏感性，如椭圆连接函数（包括高斯和Student t连接函数）所模拟的，可能比其对资产相关性的敏感性更高。本文提出了几个未来的研究方向。在一份相关研究报告中，鲁特科夫斯基和塔尔卡（2014年）从澳大利亚当前经济状况及其银行业资本化水平的ASRF模型中进行了测量。他们与宏观经济指标、金融统计和外部信用评级基本一致。鉴于自巴塞尔协议II实施以来，澳大利亚经历了从温和收缩到现代扩张的一系列经济条件，他们的经验发现支持对ASRF模型进行有利的评估，以便进行资本分配、绩效归因和风险监控。

为了进行偿付能力评估，评估ASRF模型时，将考虑从北大西洋银行管辖区获取数据，这些管辖区经历了本文isc的全面实施 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.的明确许可，World Scientic doe不允许在其他地方进一步复制/分发或托管本文。28 2007-09年金融危机的信贷风险监管资本模型，引发了自20世纪30年代大萧条以来最严重的全球衰退。大型银行的投资组合包含受众多潜在风险因素影响的金融工具。内部和外部风险控制人，如保诚监管机构，要求在不同风险类别的不同持有期内衡量风险（例如，市场风险为一天或十天，信用和运营风险为一年）。许多风险的路径依赖性，以及在不同时间范围内测量投资组合风险的要求，导致了多期或动态模拟。因此，在每个时间段模拟所有变量是可行的，包括默认值和生存值。为了一致地表示每个模拟周期内多变量违约时间之间的依赖关系，Brigo et al.（2013）使用具有多变量指数分布的连续时间马尔可夫链（即Marshall-Olkin copula）对违约时间进行建模。有效实施这一马尔可夫信用风险模型仍然是一个挑战，需要构建一个可行的多期模拟，以测量大规模投资组合中的风险。确认本研究是在澳大利亚审慎监管局（APRA）的支持下进行的。

它为在金融监管、风险建模和数据管理方面具有专业知识的专业人士提供了访问权限，同时还提供了从其监管机构获取澳大利亚审慎监管局提供的内部银行数据的权限。我们高兴地感谢澳大利亚审慎监管局执行总经理查尔斯·利特雷尔的支持和鼓励，以及他对本文初稿的建设性意见。信贷风险分析团队的安东尼·科尔曼（Anthony Cole man）和盖伊·伊斯特伍德（Guy Eastwood）在实证分析设计和结果审查方面提供了宝贵的意见。由Steve Davies领导的统计团队为实证分析提供了数据支持，并审查了论文是否符合一致性协议。最后，我们感谢由Bruce Arnold领导的研究团队，感谢他们在研究与审慎监管机构相关的课题方面做出的贡献。这项研究获得了澳大利亚研究生奖和由资本市场合作研究中心和澳大利亚审慎监管局赞助的奖学金形式的财政支持。附录A.命题2.9Gordy（2003，命题1）的证明证明，在单一系统风险因素的条件下，随着组合接近渐近粒度，组合损失百分比几乎肯定会收敛到其条件预期。提议2.9。假设一个渐近信用组合的条件独立模型。那么，林→∞自然对数-nXi=1wiηipi（Y）！=0，P-a.s.（2.20）证明。

它依赖于基于科尔莫戈罗夫收敛准则和克罗内克引理的强大数定律的变体（例如，见Grimmett and Stirzaker，2001，定理7.5.1）。对于包含n个债务人的信用证，wi=δi/nis债务人i的风险敞口权重。首先，观察∈ 系统ris k因子Y的R，条件方差满足∞Xi=1Varδiηi{Zi<ζi（y）}我=∞Xi=1δi我ηipi（y）（1）- pi（y））≤∞Xi=1δi我< ∞,本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.信用风险监管资本建模公司的明确许可，World Scientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管{Zi<ζi（y）}= pi（y）（1）-pi（y））。还记得吗{Zi<ζi（y）}= pi（y）和随机变量{δkηk{Zk<ζk（y）}/k} 是独立的，从c t到Py。然后∞Xi=1δiηi我{Zi<ζi（y）}- pi（y）（A.1）根据科尔莫戈罗夫的收敛准则（Gut，2005，定理6.5.2），Py几乎完全收敛。注意{δkηk（1{Zk<ζk（y）}- pk（y））}构成一个随机变量序列，以及实数序列{k} 是积极的，并且严格地增加到一致性。接下来，将Kronecker引理（Gut，2005，引理6.5.1）应用于有限序列（A.1）的产量nnXi=1δiηi{Zi<ζi（y）}- pi（y）a、 美国。-→ 0作为n→ ∞,这意味着Limn→∞自然对数-nXi=1wiηipi（y）！=0，Py几乎可以肯定∈ 因此，（2.20）几乎可以肯定地保持P。附录B.推论的证明2.15我们归纳了Vasicek（2002）关于渐近齐次投资组合损失分布函数的公式，该公式将违约相关性建模为多元高斯过程。推论2.15。假设一个渐进的、同质的信贷组合的条件独立模型。那么，林→∞Ln=ηp（Y），p-a.s。

（2.21）因此，投资组合损失分布满足要求→∞P（Ln）≤ l） =1- 高频-1（p）-p1- γG-1（l/η）γ！（2.22）对于所有l∈ (0, 1).证据对于定义为2.13的均质情况，设ζ（y）=F-1（p）- γyp1- γ=G-1.p（y）.然后，以实现y为条件∈ 系统风险因子Y的R，计算的投资组合损失百分比为ln=nXi=1wiη1{Zi<ζ（Y）}，（B.1），其中1{Zi<ζ（Y）}是独立同分布的随机变量，具有确定性和方差。根据强大的大数定律（例如，见Grimmett a and Stirzaker，2001，定理7.5.1），1{Zi<ζ（y）}收敛到其条件期望p（y）为n→ ∞, 几乎可以肯定∈ R.观察所有n的Pni=1wi=1∈ N、 和η∈ [0,1]，（2.21）几乎可以肯定。由（2.21）可知，给定Y=Y，limn→∞Ln=ηp（y），这是一个确定的量。因此，林→∞P（Ln）≤ l | Y=Y）=1{0<ηp（Y）≤l} =1{p-1（升/η）≤y<∞}.本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.明确许可，WorldScientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管。

Ltd.30信用风险的监管资本建模然后，将超系统风险因子Y与密度函数h（Y）相结合，得出投资组合损失分布的极限形式：limn→∞P（Ln）≤ l） =林→∞Z∞-∞P（Ln）≤ l、 Y=Y）dy=limn→∞Z∞-∞P（Ln）≤ l | Y=Y）h（Y）dy=Z∞-∞画→∞P（Ln）≤ l | Y=Y）h（Y）dy=Z∞-∞{p-1（升/η）≤y<∞}h（y）dy=Z∞P-1（l/η）h（y）dy=1-Zp-1（升/η）-∞h（y）dy=1- HP-1（升/η）= 1.- 高频-1（p）-p1- γG-1（l/η）γ！。极限收敛定理（例如，见Shreve，2004，定理1.4.9）提供了一个条件，即函数序列的积分极限是极限函数的积分。它只是第三个等式，而最后一个等式来自（2.13）。附录C.Gordy（2003）的提议巴塞尔协议II内部评级法基于Gordy（2003）的提议5，即投资组合资产损失的条件预期分布的分位数可以替代投资组合损失分布的分位数。第2.5节我们给出了这个命题的一个版本，即重新考虑Gordy施加的技术条件，从而得到一个更紧凑、更简洁的证明。在这里，命题C.1的陈述和证明与Gordy（2003）的陈述和证明密切相关。提案C.1。考虑一个由n个债务人组成的信贷组合，用投资组合损失百分比Ln表示。设Y是一个随机变量，具有连续且严格递增的分布函数H，并用φn（Y）表示投资组合百分比损失的条件期望E[Ln | Y]。

假设以下条件成立：（1）limn→∞自然对数-nXi=1~nn（Y）！=0，P-a.s.（2）存在一个包含H的开放区间I-1(1-α), α ∈ （0,1）和N∈ N使得当N>N投资组合损失百分比的条件预期时，φN（y）=E[Ln | y=y]在y中严格减少，在I上可区分。（3）存在一个N∈ 当N>N时，- ∞ < -Θ ≤ ~n′n（y）≤ -θ<0（C.1）表示所有y∈ 一、 θ>0且Θ>0独立于n，其中，Θ′n（y）表示E[Ln|y=y]相对于y的导数→∞P自然对数≤ ~nnH-1(1-α)= α、 （C.2）安德林→∞VaRα（Ln）- ~nnH-1(1-α)= 0.（C.3）备注C.2。命题C.1通常比定义2.2的条件独立模型更适用。然而，我们不知道条件预测函数nsatis条件（1）适用的竞争模型。本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.信用风险监管资本建模第31C.3条的明确许可，World Scientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管。命题C.1的条件（1）假设，当投资组合接近渐近粒度时，投资组合损失百分比几乎肯定会收敛到其条件表达式。命题C.1的证明只要求概率收敛，但我们假设几乎肯定收敛与命题2.9一致。对于渐近信贷组合（定义2.6），定义2.2的条件独立性模型满足命题2.9的条件（1）。条件（2）和（3）在本质上更具技术性。

条件（2）假设，随着经济对与投资组合损失分布尾部相关的一系列经济状态的确定，投资组合损失百分比的条件预期“平稳”上升，这是风险评估的关注点。关于定义2.2的条件独立性模型，我们相当合理地假设条件期望函数为条件（2）。通过对（2.12）的检查，我们观察到，如果平面γi偏离零，且i=1，…，则条件（3）成立，n、 下面给出的命题C.1的证明需要Petrov（1995）给出的结果，我们继续陈述。注意，在引理C.4中，变量X和Z以及函数F和G表示任意随机变量和分布函数，而在命题C.1中，Fn和Gn表示不同于第2.2节中采用的符号的分布函数。引理C.4。设X和Z分别是分布函数为F和G的公共概率空间上定义的随机变量。尽管如此∈ R和ε>0，F（a）- G（a）≤ P|十、-Z |>ε+ max{G（a+ε）-G（a），G（a）- G（a）-ε)}. （C.4）证据。见Petrov（1995，引理1.8）。命题C.1的证明。用Fn和Gn分别表示Ln和φn（Y）的分布函数。首先，通过引理C.4，我们证明Fn^1n（y）- Gn^1n（y）→ 0作为n→ ∞,尽管如此∈ 一、 并推导（C.2）。在引理C.4中设置X=Ln，Z=~nn（Y）和a=~nn（Y）。然后，对于任何ε>0，Fn^1n（y）- Gn^1n（y）≤ P自然对数- ~nn（Y）> ε+ 最大值Gnνn（y）+ε- Gn^1n（y）, Gn^1n（y）- Gn~nn（y）- ε. （C.5）条件（1）所断言的几乎确定收敛意味着概率收敛（Grimmett和Stirzaker，2001，定理7.2.3）。

根据概率收敛的定义（Grimmett和Stirzaker，2001，定义7.2.1），对于任何ξ>0和ε>0，选择一个N∈ N（通常取决于ε和ξ）使得N>NimpliesP自然对数- E[Ln|Y]> ε<ξ（C.6）表示所有y∈ I.Gnin的收敛性H-1(1-α)不会立即遵循аn（y）对I不可分的假设。通过假设，аn（y）对I不可分，且а′n（y）有一个n上界-当n>n时，I上的θ。对于满足（y）的任何ε>0，通过平均值theo-rem（参见，例如，Wade，2004，定理4.15）- ε/θ，y+ε/θ） 一、 没有办法*∈ （y）- ε/θ，y），使得- ε/θ) - ~nn（y）=~n′n（y）*)(-ε/θ) ≥ -θ(-ε/θ）=ε表示n>n。类似地，也有y*∈ （y，y+ε/θ）使得- ~nn（y+ε/θ）=~n′n（y）*)(-ε/θ）≥ -θ(-ε/θ）=ε本文为 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可，World Scientic doe不允许在未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可的情况下进一步复制/分发或托管本文。32信贷风险的监管资本模型为n>n。根据假设，每当n>n时，在I上，n（y）严格减少y，这意味着≤ ~nn（y）当且仅当y≥ y、 最后，H是连续的，严格地说是递增的。因此，Gn^1n（y）= P（Y）≥ y） =1- H（y）。（C.7）因此，Gnνn（y）+ε≤ Gn~nn（y）- ε/θ)= P（Y）≥ Y- ε/θ）和gn~nn（y）- ε≥ Gnνn（y+ε/θ）= P（Y）≥ 对于n>n，y+ε/θ）。因此，H（y）在I上的连续性意味着收敛。也就是说，对于任何ξ>0和ε>0，都有一个N∈ N（通常取决于ε和ξ）使得N>NimpliesmaxGnνn（y）+ε- Gn^1n（y）, Gn^1n（y）- Gn~nn（y）- ε≤ max{P（Y）≥ Y- ε/θ) - P（Y）≥ y） ，P（y）≥ y）- P（Y）≥ y+ε/θ）}=max{H（y）- H（y）- ε/θ），H（y+ε/θ）- H（y）}<ξ（C.8）对于任何y∈ 我