信用风险的监管资本模型

包含n个变量的信贷组合的条件独立模型∈ N在给定的风险度量范围[0，τ]内，τ>0，其形式为：（1）设δi∈ R是分配给债务人i的EAD，wi=δi/Pnj=1δjits e xpo确定权重。让我∈ [0,1]，γi∈ (-1,1）和π∈ （0，1）分别为LGD、资产相关性和无条件PD，分配给oblig或i。（2）假设潜在随机变量W，Wn是条件独立的，且管理代表性wi=γiY+q1- γiZi，（2.8）其中Z，zny和zny是相互独立的随机变量。系统风险因素Y对所有债务人来说都是共同的，而Z，ZN代表特殊的或义务特殊的风险。用F表示，Fn，G，G和H，W，…，的连续严格递增分布函数，Wn，Z，分别是Zn和Y。很明显，对于i=1，…，fide依赖于gian和H，N（3） 债务人i在时间间隔[0，τ]内违约的事件由setDi确定=Wi<F-1i（pi）（2.9）对于i=1，n、 投资组合损失百分比Ln由（2.3）计算，其中，对于一般情况，1定义了（2.9）定义的违约事件的指示函数。重新计算defaultindicator函数和条件概率函数（2.5）的参数（2.6）。对于一般情况，我们推导了以变现y为条件的投资组合损失百分比公式∈ 系统风险因素Y的R。本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.明确许可，WorldScientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管。

信用风险的监管资本模型5因此，假设Y=Y，定义2.2的条件独立模型下的投资组合损失百分比计算为：Ln=nXi=1wiηi{Zi<ζi（Y）}，（2.10），其中ζi（Y）=F-1i（pi）- γ-iyp1- γi=G-1ipi（y）, （2.11）和pi（y）=P（Di | y=y）=GiF-1i（pi）- γiyp1- 我！（2.12）对于i=1，n、 备注2.3。在已知条件PD、无条件PD和资产相关性，并寻求经济状态的抽象情况下，我们得出（2.12）的倒数。条件概率函数pi:R→ （2.12）给出的（0，1）是连续的，并且在y中严格下降——随着经济的改善（恶化），有条件的PD下降（分别上升）。因此，它的逆p-1i:（0,1）→ R也在急剧下降。尤其是y=p-1i（x）=F-1i（pi）-p1- γ免疫球蛋白-所有x的1i（x）γi（2.13）∈ (0, 1).备注2.4。设y=H-1(1-α） ，α在哪里∈ (0, 1). 那么，债务人i的违约概率可解释为债务人i的违约概率不大于PDi | Y=H-1(1-α)= 圆周率H-1(1-α)= GiF-1i（pi）- γ-iH-1(1-α） p1- 我！（2.14）在（α×100）%的经济情景中。2.3. 投资组合损失百分比的条件预期。IRB方法的模型设定计算了以变现为条件的投资组合信用损失预期∈ 系统风险因素Y的R。分别考虑（2.3）和（2.10）的预期，我们确定了预期的投资组合损失百分比asE[Ln]=nXi=1wiηipi，（2.15）和投资组合损失百分比asE[Ln | Y=Y]=nXi=1wiηipi（Y）的条件预期。（2.16）备注2.5。

条件经验函数E[Ln | Y]：R→ 由（2.16）给出的（0，1）在y轴上是连续且严格下降的——随着经济的改善（恶化），资本损失的条件预期下降（分别上升）。支持新巴塞尔协议IRB方法模型规范的关键命题是针对渐进投资组合推导出来的，通常描述为完全细粒度，其中单一信贷支出在总投资组合中所占份额不超过任意小的份额。因此，我们对IRB方法模型规格的推导需要对渐近粒度进行更精确的数学定义。本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可，World Scientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管。6信贷风险定义监管资本建模2.6。允许 =P∞k=1δkbe一个有限级数，其项δk∈ R+代表分配给构成信贷组合的债务人的金额：（1）以下部分的总和： n阶的，定义为n∈ N asn=nXk=1δk.（2）渐近投资组合满足∞Xn=1δnN< ∞.备注2.7。Kro necker引理（Gut，2005，引理6.5.1）的一个应用表明，随着bligor数量的增加，构成渐近投资组合的信用敞口权重非常迅速：∞Xk=1δkK< ∞ ==>nnXk=1δk=nXk=1wk→ 0作为n→ ∞. （2.17）备注2.8。假设≤ δk≤ b其中0<a≤ b<∞ 尽管如此，k∈ 然后，n=nXk=1δk≥ 不→ ∞ 作为n→ ∞, （2.18）和∞Xn=1δnN=∞Xn=1δn（Pnk=1δk）≤∞Xn=1b（na）=ba∞Xn=1n<∞, （2.19），其中（2.19）通过p系列测试收敛（参见，例如，韦德，2004年，第6.13节）。

假设分配给个别债务人的EAD是有界的，这是一个完全没有争议的主张，渐近投资组合的总EAD会出现分歧，但（2.19）满足了渐近投资组合的定义（Bluhm et al.，2010，示例2.5.3）。Gordy（2003，命题1）确定，在单一系统风险因素的条件下，随着投资组合接近渐近粒度，投资组合损失百分比几乎肯定会收敛到其条件预期。提议2.9。假设一个渐近信用组合的条件独立模型。那么，林→∞自然对数-nXi=1wiηipi（Y）！=0，P-a.s.（2.20）证明。见附录A。备注2.10。序列{Ln}n∈它是有界的，但不是单调的。指示函数{Zi<ζi（y）}∈ {0,1}和ηi∈ [0,1]对于i=1，n、 对于所有n，Pni=1wi=1∈ N、 其中widepends on N.当按下wi=δi/Pnj=1δj时，暴露权重对债务人数量的依赖性很小。因此，Ln和hencePni=1wiηipi（y）可能不会收敛为N→ ∞.备注2.11。在一个渐进的投资组合中，特质风险被完全分散，因此投资组合的收益率仅取决于系统风险因子Y。本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可，WorldScientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管。信贷风险监管资本建模7备注2.12。实际上，大型银行的信贷组合通常接近定义2.6的渐进粒度。因此，假设Y=Y，（2.16）提供了一个包含大量信用的投资组合的损失百分比的统计准确估计值，而不是集中在少数几个占主导地位的投资组合中。2.4.

投资组合损失分配的限制形式。信贷组合的风险资本由其参数或经验损失分布确定。Vasicek（2002）在假设条件独立的前提下，给出了一个单一的系统风险因素，导出了渐近齐次信贷组合的参数损失分布函数。在第2.3节中，我们定义了一个渐进的投资组合，我们定义了一个同质的投资组合。定义2。13.假设信贷组合的条件独立模型。一个包含n个义务人的同质投资组合满足：（1）参数γi=γ，对于i=1，n表示（2.8）潜在随机变量sw，嗯。（2） 随机变量Z，zn来自连续且严格递增的分布函数G所描述的相同分布。同样，用F表示W的公共分布函数，嗯。（3） 债务人s被分配了相同的无条件PD和LGD，即pi=p和ηi=η，对于i=1，N备注2.14。根据同质信贷组合的性质，我们推断，对于i=1，n、 以及所有的现实∈ 系统风险因素Y的R。下面的结果是在一般情况下得出的，是命题2.9的推论。推论2.15。假设一个渐进的、同质的信贷组合的条件独立模型。那么，林→∞Ln=ηp（Y），p-a.s.（2.21），因此，投资组合损失分布满足要求→∞P（Ln）≤ l） =1- 高频-1（p）-p1- γG-1（l/η）γ！（2.22）对于所有l∈ (0, 1).证据见附录B。推论2.15推广了Vasicek（2002）对无症状同质投资组合损失分布函数的公式，该公式将违约相关性建模为一个多元高斯过程。2.5. Ris k的信用价值。在确定监管资本时，巴塞尔II IRB方法应用风险度量为随机信用损失分配一个数值。

选择的风险度量是风险价值（VaR），这是风险管理中使用最广泛的度量之一。变量是损失或利润和损失分布的一个极端分位数，很少超过这个分位数。首先，我们定义了分布的分位数。定义2.16。设X为随机变量，设α∈ (0, 1). 那么X分布的α分位数是qα（X）=inf{X∈ R:P（X）≤ 十）≥ α}. （2.23）本条 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.8信贷风险监管资本模型备注2.17的明确许可，World Scientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管。如果X具有连续且严格递增的分布函数F，则X的分布的α分位数由qα（X）=F给出-1（α），（2.24），其中F-1（α）是在α处计算的逆分布函数，它是数量qα（X）∈ 例如F（qα（X））=α。采用损失为正数的惯例，我们现在定义信用风险定义2.18。信用等级α的信用风险值∈ （0，1）在给定的风险度量中，Thrizon是最大的投资组合损失百分比l，使得损失的概率Ln最多超过lis（1-α） ：VaRα（Ln）=inf{l∈ R:P（Ln>l）≤ 1.-α}. （2.25）就概率而言，VaRα（Ln）只是投资组合损失分布的α分位数。尽管计算成本很高，但蒙特卡罗模拟通常用于生成货币损失分布并确定信贷组合的VaR。假设我们通过模拟由（2.11）参数化的（2.10）生成由n个债务人组成的信贷组合的损失分布。让蒙特卡罗模拟进行模拟。

对于每个迭代，我们从各自的分布中提取代表系统风险的随机变量Y，以及r和M变量Z，ZN代表特定的ris ks。然后，以实现yk为条件∈ 在描述经济情景的系统风险因子Y中，ris k测量范围内的投资组合损失百分比计算为Ln，k=nXi=1wiηi{Zi，k<ζi（yk）}（2.26），迭代k=1，N蒙特卡罗模拟计算N个投资组合的损失百分比，构成由函数描述的经验损失分布（Bluhm等人，2010年，第30-32页）：F（l）=NNXk=1{0≤Ln，k≤l} 。（2.27）VaRα（Ln）是经验损失分布的α分位数，是给定风险度量范围内α信心水平下的最大信用损失。预期损失是通过计算模拟中N个阶段的平均投资组合百分比损失来估计的：E[Ln]=NNXk=1Ln，k.（2.28）另一方面，投资组合损失分布的分析模型有助于快速计算信用风险值。在渐近齐次信用投资组合的极限情况下，VaRα（Ln）可通过分布函数（2.22）解析确定。然而，推论2.15的假设对于现实世界的信贷组合来说过于严格。Gordy（2003）提出的基于评级的资本费用风险因素模型放松了同质性消费。他的分析假设：（1）投资组合的粒度非常细，因此特殊风险被完全分散。（2） 一个单一的系统性风险因素解释了债务人之间的依赖性。在这些较弱的假设下，根据附加的技术条件，Gordy确定投资组合损失百分比的条件预期分布的分位数可以替代投资组合损失分布的分位数。

这篇文章的陈述和主题是 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可，World Scientic doe不允许在其他地方进一步复制/分发或托管本文。Go rdy（2003）的信贷风险监管资本建模9提案5（导致信贷风险价值的分析近似值）被归入附录c，我们预先发送了这个命题的一个版本，它放松了戈迪强加的额外技术条件，从而产生了一个更紧凑或更节省的证明。提案2.19。假设一个由n个债务人组成的信贷组合的条件独立模型。用φn（y）表示条件期望函数E[Ln | y]：R→ （0，1）givenby（2.16），并假设序列{~nn}n∈Nof实值函数满足：（1）每n∈ N、 函数是严格单调的。（2） 每一次∈ R和ε>0t这里是δ（ε）∈ R\\{0}和N（δ，ε）∈ N>N（δ，ε）意味着~nn（y）- ε、 νn（y）+ε~nnY-δ(ε), ~nny+δ（ε）,其中δ取决于ε，N通常取决于δ和ε。ε依赖于ε，而δ也依赖于ε<δ(ε)< ξ、 也就是说，随着ε趋于零，δ（ε）趋于零。（4） 每一次∈ R和ε>0t这里是δ（ε）∈ R\\{0}和N（δ，ε）∈ N>N（δ，ε）意味着~nnY- δ(ε), ~nny+δ（ε）~nn（y）- ε、 νn（y）+ε,其中δ与n无关，那么limn→∞自然对数- ^1n（y）= 0，P-a.s。=> 画→∞qα（Ln）- ~nn（q1）-α（Y））= 所有α值均为0（2.29）∈ (0, 1).备注2.20。我们认为，命题2.19中的条件（1）-（4）对于现实世界的信贷组合是相当合理的假设。

注意，条件期望函数φn，givenby（2.16）是连续的，并且在注释2.5中严格递减。因此，它满足条件（1），这也是引理2.22和推论2.23的条件，这两个条件都用于命题2.19的证明。在条件（2）-（4）保持不变的情况下，在q1附近，曲线o f~nn不能有水平或垂直段-α（Y）。这由约束δ（ε）保证∈ R\\{0}，0<δ(ε)< ξ、 和δ（ε）∈ R\\{0}。通过对（2.12）的检查，如果计划γi偏离零，且i=1，…，则满足条件（2）-（4），n、 否则，~nn将不再依赖于y，从而违反条件（1）。实际上，如果Pi等于零，那么信用证i的资本费用将为零；如果Pi等于1，则分配给债务人i的EAD和LGD的乘积将计入利润和损失。备注2.21。如果在某个包含q1的开放区间I上-α（Y），νn在I上也是可区分的，那么条件（2）-（4）将被视为-∞ < -Θ ≤ ~n′n（y）≤ -θ<0表示所有y∈ 一、 θ>0和Θ>0与n无关。事实上，命题C.1（Gordy，2003，命题5）假设该条件在包含q1的n个开放区间I上成立-α（Y）。回想一下VaRα（Ln）=qα（Ln）。因此，命题2.19a断言，E[Ln | Y]分布的α分位数，与（1）相关-α） Y分布的分位数可替代Ln分布的α分位数（即给定风险度量范围内α密度水平的信用风险值）。IRB方法基于提案2.19。下面给出的证明依赖于以下引理和推论。请注意，在本节中，F。

，fn表示一系列分布函数，与第2.2节采用的符号不同。本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可，World Scientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管。10信贷风险监管资本建模Lemma 2.22。让{gn}n∈Nbe实值函数序列gn:R→ R满足提案2.19的条件（1）-（3）。然后，每b∈ R、 林恩→∞一- gn（b）= 0=> 画→∞G-1n（an）=b（2.30）证明。（2.30）中结论的充分条件表明，对于每一个ε>0，都有anN（ε）∈ N>N（ε）意味着一- gn（b）≤ ε、 它可以表示为∈ [gn（b）- ε、 gn（b）+ε]gnB-δ(ε), gnb+δ（ε）,当条件（2）满足时，子集关系成立。注意，由于GNI对每n严格单调∈ N根据假设，GNI为1，g为-1ngn（b）= b、 此外，如果GNI严格增加，δ（ε）>0，如果GNI严格减少，δ（ε）<0。然后，给出了逆函数g的一个应用-1nyieldsg-1n（安）∈B-δ(ε), b+δ(ε) [b]- ξ、 b+ξ]，当满足条件（3）时，子集关系成立。选择N（δ，ε）=N（ε），使ξ任意接近零，建立了假设N（2.30）的必要条件。推论2.23。设x和Y分别是分布函数为fn和H的公共概率空间上定义的随机变量。如果序列{gn}n∈Nof实值函数gn:R→ 提案2.19的R满足条件（1）-（3），然后是Limn→∞Xn- gn（y）= 0，P-a.s。=> 画→∞G-1n（Xn）=Y。