信用风险的监管资本模型

（2.31）此外，如果H是连续的，那么对于每个实现y∈ 里姆→∞Fngn（y）= H（y）（2.32）当函数严格递增时→∞Fngn（y）= 1.- 函数严格递减时的H（y）（2.33）。证据随机变量是某些概率空间上的实值函数，所以（2.31）是引理2.22的中间结果。（2.31）中结论的有效条件几乎可以确定的共同收敛意味着g的分布函数序列的逐点收敛（见Wade，2004，定义7.1）-1n（Xn）是Y在H的每个连续点上的分布函数。如果His是连续的，那么每个实现Y都会收敛∈ Y的R。它遵循（2.31）中假设的必要条件G-1n（Xn）≤ Y= PXn≤ gn（y）= Fngn（y）收敛到P（Y）≤ y） =H（y）as n→ ∞ 如果函数严格递增，则建立（2.3.2）。同样，PG-1n（Xn）≤ Y= PXn≥ gn（y）= 1.- PXn≤ gn（y）= 1.- Fngn（y）收敛到P（Y）≤ y） =H（y）as n→ ∞ 如果函数严格递减，则建立（2.3）。本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可，World Scientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管。信用风险监管资本建模11引理2.24。设Y是一个随机变量，具有连续且严格递增的分布函数H，设g:R→ R是严格单调函数。然后，g（Y）的分布函数的α分位数是qα（g（Y））=gH-1(α)（2.34）如果g严格增加，qα（g（Y））=gH-1(1 - α)（2.35）如果g严格递减。证据根据定义2.16，g（Y）的α分位数为qα（g（Y））=infg（y）∈ R:Pg（Y）≤ g（y）≥ α.

（2.36）由于H是连续的，且严格按照假设递增，因此Y的分布的α分位数由qα（Y）=H给出-1（α），（2.37），其中H-1（α）是在α处计算的逆分布函数（备注2.17）。注意，如果g严格递增，那么g（Y）≤ g（qα（Y））= Pg（Y）≤ g（H）-1(α))= PY≤ H-1(α)= α、 其中，第一个等式是（2.37）的结果，第二个等式是反函数g的应用结果-1.因此，（2.34）由（2.36）派生而来。通过一个平行的参数，如果g是严格递减的，那么pg（Y）≤ g（q1）-α（Y））= Pg（Y）≤ g（H）-1(1-α))= PY≥ H-1(1-α)= 1.- PY≤ H-1(1-α)= α、 这建立了（2.35）。命题2.19的证明。修正α∈ （0,1），设置φn（y）=qα（φn（y）），并用fn表示Ln的分布函数。通过引用推论2.23和引理2.24得出的严格递减函数φn的结果，观察到limn→∞Fnqα（φn（Y））= 画→∞Fn~nn（H）-1(1-α))= 画→∞Fn~nn（q1）-α（Y））= 1.- Hq1-α（Y）= 1.- HH-1(1-α)= α. （2.38）第一个等式来自（2.35），第二个等式来自（2.37），第三个等式来自（2.33），第四个等式来自（2.37）。请注意，如果φnis严格增加，δ（ε）>0，如果φnis严格减少，δ（ε）<0。根据备注2.5，νn（y）=E[Ln | y]严格递减，因此满足条件（1）。然后，在（2.38）的基础上，根据条件（4），分别推导了ln的α分位数的上下界：limn→∞Fn~nn（q1）-α（Y）- δ(ε))= 1.- Hq1-α（Y）+δ(ε)< α、 安德林→∞Fn~nn（q1）-α（Y）+δ（ε））= 1.- Hq1-α（Y）-δ(ε)> α、 可以用asqα（Ln）表示∈~nnq1-α（Y）- δ(ε), ~nnq1-α（Y）+δ（ε）.本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。

未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可，World Scientic doe不允许在其他地方进一步复制/分发或托管本文。12信贷风险监管资本建模最后，根据条件（4），每ε>0，就有一个δ（ε）∈ R和N（δ，ε）∈ N>N（δ，ε）表示qα（Ln）∈~nnq1-α（Y）- ε、 ~nnq1-α（Y）+ ε,这为（2.29）中的假设建立了必要的条件。3.建立违约相关性模型的Copula方法在生成投资组合损失分布时，我们实际上是将组成部分cr的边际损失分布组合成一个多元分布，捕捉投资者之间的违约相关性。Li（2000）提出的一种建模默认相关性的方法，使用了copulafunctions——一种将边际分布与具有选定相关性结构的多元分布相结合的统计技术。3.1. 单因素共同作用模型。考虑一个由n个债务人组成的信用风险投资组合，并让（2.9）定义债务人i违约的事件。对于第2.2节中介绍的一般情况，我们可以表示债务人i的无条件PD，asP（Di）=PWi<F-1i（pi）, （3.1）和联合违约概率D=1，1Dn=1= PW<F-1（p），Wn<F-1n（pn）. （3.2）在续集中，R表示扩展实数线[-∞, ∞]. 设（u，…，un）=（p，…，pn）是[0，1]n中的向量，（W，…，Wn）是具有连续且严格递增分布函数F，…，的潜在随机变量向量，分别为Fn。假设F是一个有边界的无因次分布函数，Fn。然后，根据Sklar定理（参见，例如，Nelsen，2006，定理2.10.9），存在唯一的n-copula C，对于所有（w，…，wn）∈Rn，F（w，…，wn）=CF（w），Fn（西九龙）. （3.3）现在，对于任何（u，…，un）∈ [0,1]n，C（u。

n=FF-1（u），F-1n（联合国）= PW<F-1（u），Wn<F-1n（联合国）, （3.4）通过Sklar定理的推论（参见Nelsen，2006，推论2.10.10）。假设违约是有条件独立的，考虑到系统风险因素、后随机变量W，Wn可表示为（2.8）：Wi=γiY+q1- γiZi，其中Z，ZNY是一个相互独立的随机变量，具有连续且严格递增的分布函数G，分别为G和H，以及γi∈ (-1，1）对于i=1，n、 引理3.1。假设一个由n个债务人组成的信用组合的条件独立模型。然后，默认依赖性可以通过与（W，…，Wn）：C（u，…，un）=Z相关联的单因子copula函数来描述∞-∞nYi=1GiF-1i（用户界面）- γ-iyp1- 我！！dH（y）（3.5）适用于任何（u，…，un）∈ [0，1]n.证据。见附录D。本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可，WorldScientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管。信贷风险监管资本建模13备注3.2。蒙特卡罗模拟计算了大量变现的投资组合损失百分比∈ 系统风险因素Y的R。对于每个变现y，我们使用（2.10）来确定违约数量k，并通过将违约信用的风险敞口权重和LGD的乘积相加来计算投资组合百分比损失。第6节详细讨论了该模拟程序。在通过模拟（2.26）生成信贷组合的经验损失分布时，我们使用蒙特卡罗方法隐式应用了单因素c opula模型。3.2. 单因子高斯Copula。

正如标题所暗示的，在本节中，我们将注意力限制在一种特殊情况上，在这种情况下，违约依赖被建模为一个多变量的高斯过程。考虑由n个债务人组成的信贷组合。将反标准高斯分布函数代入（3.1）和（3.2），ibec omesP（Di）=P的无条件PDWi<Φ-1（pi）, （3.6）联合违约概率由byP给出D=1，1Dn=1= PW<Φ-1（p），Wn<Φ-1（pn）. （3.7）设（u，…，un）=（p，…，pn）为[0,1]n中的向量，并选择由相关矩阵Γ描述的依赖结构。然后，与（W，…，Wn）相关联的唯一高斯copula是（3.4）的特定ca-se:CΓ（u，…，un）=ΦΓΦ-1（u），Φ-1（联合国）（3.8）=PW<Φ-1（u），Wn<Φ-1（联合国）,对于任何（u，…，un）∈ [0,1]n，其中ΦΓ是具有相关矩阵Γ的多元标准高斯分布函数。现在假设违约是有条件独立的，甚至是单一的系统风险因素。然后，通过相关矩阵BΓ描述缺省依赖=√ρρ···√ρn√ρρ1 ···√ρρn。。。。。。。。。。。。√ρn√ρρn··1, （3.9）在哪里√ρiρj=Corr（Wi，Wj）是债务人资产价值（Remark2.1）和√ρii（2.4）中债务人i对系统风险因素Y的敞口。高斯copula的这种特殊情况就是所谓的单因子高斯copula，它是信用风险建模中最常用的一种copula函数（MacKenzie and Spears，2012）。下面的结果是引理3.1的一个循环，它提供了一个单因子高斯copula的表达式。推论3.3。Assum e是一个信贷组合的高斯条件独立模型，由n个债务人组成，其资产相关性由矩阵（3.9）定义。然后，默认依赖项可以用与（W，…，Wn）：CbΓ（u，…）相关联的单因子高斯copula来描述。

，un）=ΦbΓΦ-1（u），Φ-1（联合国）=Z∞-∞nYi=1ΦΦ-1（用户界面）-√ρiy√1.- ρi!φ（y）dy（3.10）表示任何（u，…，un）∈ [0，1]n.证据。见附录D。本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可，World Scientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管。14信贷风险监管资本建模备注3.4。根据命题2.19，B asel II IRB a方法应用单因子高斯copula计算E[Ln | Y]分布的α分位数，这是Ln分布的α分位数的分析近似值，或VaRα（Ln）。3.3。椭圆连接词。在应用单因素Gaussia n copula计算信贷风险指数k的监管资本时，IRB方法隐含地表明，多元高斯分布准确地模拟了信贷组合的尾部风险。但是，人们普遍认为，假设金融数据服从高斯分布的模型往往低估了风险。首先，Gauss-ian copulas不表现出时间依赖性——所有随机变量的极端观测（即信用违约）同时发生的趋势。在高斯分布下，默认值在uppe r尾部是渐近独立的（Embrechts e t al.，2002）。第7.2节通过测量信贷风险资本对依赖结构的敏感性来检验尾部依赖性的影响，该依赖结构由椭圆连接函数（包括高斯连接函数和学生t连接函数）建模。我们用t连接函数缩写Latter。设（X，…，Xn）是一个潜在随机变量向量，它模拟了由n个义务人组成的对开发票的实际依赖性。

我们接着说明了各种椭圆连接函数引起的依赖性，并概述了从结果的多元分布中随机产生观测的过程（Bluhm e t al.，2010，第106-108页）：o单因子高斯连接函数。观察结果X，Xnare由Xi生成=√ρiY+p1- ρiZi，（3.11）其中随机变量Z，zn和Y是标准的、相互独立的、相关参数ρ，ρn∈ (0, 1). 也就是说，我们用相关矩阵（3.9）从高斯copula（3.8）引起的分布中采样（X，…，Xn）。请注意，（3.11）只是（2.4）中表示的条件独立表示具有高斯边距的乘积copula。乘积copula生成独立的、因此不相关的标准高斯随机变量（Embrechts et al.，2003，定理8.2.5）。所以，观察X，Xnare独立于standar dGaussian分布的awn博士。也就是说，我们从高斯copula（3.8）诱导的分布中采样（X，…，Xn），相关矩阵为n×n单位矩阵具有ν自由度和t分布边界的t-copula。观察结果X，Xnare以xi=rνV的形式大量生成√ρiY+p1- ρiZi, （3.12）其中Z，锌和钇~ N（0，1），V~ χ（ν），和Z，锌、Y和V相互依赖。用pν/V标度（2.4）将标准高斯随机变量转换为t-分布的随机变量，具有ν度的自由度。向量（X，…，Xn）继承了相关矩阵（3.9）。o具有ν自由度和高斯边界的t-copula。观察X。

，Xn以xi=Φ的形式生成-1.ΦνrνV√ρiY+p1- ρiZi, （3.13）其中：-1是反标准高斯分布函数，而Φν是自由度为ν的学生分布函数。图1中的双变量散点图说明了上述椭圆连接函数引起的依赖性。对于每个copula，除了乘积copula，我们设置ρ=ρ=0.170，即第5节中描述的代表性信贷组合的敞口加权资产相关性。本文是isc 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可，WorldScientic doe不得允许本文在其他地方进一步复制/分发或托管。信贷风险监管资本建模15图1。双变量散点图说明了由各种椭圆连接函数引起的依赖性。每个点对应一个有序对（X，X）。

除了X和X不相关的产品copula，ρ=ρ=0.170，第5节中描述的代表性信贷组合的敞口加权平均ass e t c相关-4.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.0-4.0-3.0-2.0-1.0 0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Xt-copula，ν=10且为高斯分布4.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-3.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-3.0 0 0-3.0 0 0 0-3.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-5.0-4.0-3.0-2.0-1.0 0 0.0 2.0 3.0 4.0 5.0Xt-copula，带ν=10和t分布边3.5. 与生成不相关标准高斯随机变量的乘积copula相比，单因子高斯copula表现出的相关性变得明显。与高斯copula不同，t-copula承认尾部依赖，更少的自由度产生更强的依赖性。当t-copula分别用于组合高斯分布边缘和t-分布边缘时，前者的分布更紧密。假设sset值服从对数正态分布，则（X，…，Xn）的分布由选择用于组合其裕度的copula函数确定。第2.5节概述了通过模拟（2.10）生成信用贷款债务人服务水平分布的程序。在单因子高斯copula的实现中，（2.10）的默认指示函数由（2.6）参数化。

蒙特卡罗模拟执行N次迭代，（2.26）计算每次迭代的投资组合损失百分比，并（2.27）描述经验损失分布。关于具有高斯利润率的t-copula，我们继续假设，按照特定风险度量范围进行缩放的无条件概率被发布为市场数据。将（3.12）替换为（2.9），我们通过se tDi定义债务人i在风险度量期内违约的事件=rνV√ρiY+p1- ρiZi< Φ-1ν（π）. （3.14）本条 本版本已获得世界科学出版和许可，请登录www。arxiv。组织。未经WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.明确许可，World Scientic doe不允许在其他地方进一步复制/分发或托管本文。16信贷风险监管资本模型那么，义务人i在Y=Y和V=V条件下的PD是可推断的（Bluhm et al.，2010，第109-111页）：pi（Y，V）=PrνV√ρiY+p1- ρiZi< Φ-1ν（pi）|Y=Y，V=V= PZi<pv/νΦ-1ν（π）-√ρiy√1.- ρi！=Φpv/νΦ-1ν（π）-√ρiy√1.- ρi！。（3.15）设ζi（y，v）=pv/νΦ-1ν（π）-√ρiy√1.- ρi（3.16）对于i=1，N现在，给定Y=Y和V=V，投资组合损失百分比计算为ln=nXi=1wiηi{Zi<ζi（Y，V）}。（3.17）假设我们通过模拟（3.17）生成了一个由n个债务人组成的投资组合的损失分布，这是一个具有高斯边缘的t-copula的实现。让蒙特卡罗模拟来进行模拟。对于每个迭代，我们从标准高斯分布随机变量Z，zn和Y，以及自由度随机变量V的卡方分布。然后，给定Y=yk和V=vk，计算ris k测量范围内的投资组合损失百分比为ln，k=nXi=1wiηi{Zi，k<ζi（yk，vk）}（3.18），迭代k=1，N