即时交换动力学模型

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英文标题：
《Kinetic models of immediate exchange》
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作者：
Els Heinsalu and Marco Patriarca
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose a novel kinetic exchange model differing from previous ones in two main aspects. First, the basic dynamics is modified in order to represent economies where immediate wealth exchanges are carried out, instead of reshufflings or uni-directional movements of wealth. Such dynamics produces wealth distributions that describe more faithfully real data at small values of wealth. Secondly, a general probabilistic trading criterion is introduced, so that two economic units can decide independently whether to trade or not depending on their profit. It is found that the type of the equilibrium wealth distribution is the same for a large class of trading criteria formulated in a symmetrical way with respect to the two interacting units. This establishes unexpected links between and provides a microscopic foundations of various kinetic exchange models in which the existence of a saving propensity is postulated. We also study the generalized heterogeneous version of the model in which units use different trading criteria and show that suitable sets of diversified parameter values with a moderate level of heterogeneity can reproduce realistic wealth distributions with a Pareto power law.
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中文摘要：
我们提出了一个新的动力学交换模型，它在两个主要方面不同于以前的模型。首先，对基本动态进行了修改，以代表立即进行财富交换的经济体，而不是财富的重组或单向流动。这种动态产生的财富分布更真实地描述了财富价值较小的真实数据。其次，引入了一般的概率交易准则，使得两个经济单位可以根据各自的利润独立决定是否进行交易。研究发现，对于一大类以对称方式制定的关于两个相互作用单元的交易标准，均衡财富分布的类型是相同的。这在不同的动力学交换模型之间建立了意想不到的联系，并提供了微观基础，在这些模型中假设存在储蓄倾向。我们还研究了该模型的广义异质版本，其中单位使用不同的交易标准，并表明具有适度异质性的适当多样化参数值集可以按照帕累托幂律重现现实的财富分布。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
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2022-5-8 04:44:25 上传

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关键词：动力学 distribution Quantitative Applications QUANTITATIV

即时交换的动力学模型Eels Heinsalu（a，b）和Marco Patriac a（b）（a）Niels Bohr国际学院，Niels Bohr研究所，Blegdamsvej 17，丹麦哥本哈根DK-2100（b）NICPB–国家化学物理和生物物理学研究所，拉瓦拉10，塔林15042，爱沙尼亚邮件：els。heinsalu@kbfi.ee，马可。patriarca@kbfi.eeWe提出了一种新的动力学交换模型，该模型在两个主要方面与以前的模型有所不同。首先，对基本动态进行了修改，以代表立即进行财富交换的经济体，而不是财富的重新分配或定向流动。这样的动力学产生财富分布，以较小的财富价值更真实地描述真实数据。其次，引入了一个一般的概率交易准则，使得两个经济单位可以根据各自的利益独立决定是否进行交易。研究发现，对于一大类以对称方式针对两个相互作用的单位制定的交易准则，均衡财富分配的类型是相同的。这在两者之间建立了意想不到的联系，并为各种动力学交换模型提供了微观基础，其中假设存在储蓄倾向。我们还研究了该模型的广义异质性版本，其中单位使用不同的交易标准，并表明具有适度异质性的适当多样性参数值集可以按照帕累托幂律重现现实的财富分配。我

简介动力交换模型提供了经济单位（代表个人、家庭或公司）之间财富交换的最低描述，类似于由于碰撞而在流体分子之间转移能量的描述[1,2]。这些模型分别在社会科学[3-5]、经济学[6-8]和物理学[9-14]等不同领域引入。John Angle[3,4]最初基于盈余理论引入了这类模型，目的是描述财富不平等的起源。与其他基于主体的金融市场模型[15]相比，动态交换模型的结构非常简单：它们只描述经济单位之间的财富流动，而没有（明确）考虑市场动态的其他因素。然而，即使他们预测的财富分布形状也相当真实[16]。在动力学交换模型中，假设系统的总财富是守恒的，在每个单元-单元相互作用期间，财富守恒又是守恒的。可以通过以下更新规则在一个通用时间迭代中描述系统N个单元（j，k=1，…，N），x′j=xj+xjk，x′k=xk- xjk。（1） 这里的xjand xk（x′jand x′k）指的是变革前（之后）和变革后的贸易单位j和k的财富xjk=-xkjis是交换的财富金额。没有失去普遍性，在等式中。（1） 加号（减号）表示j（k）；谁赢谁输取决于胜利的迹象xjk。系统总财富的守恒导致均衡的财富分布，这与吉布斯能量分布在形式上是一致的。正如参考文献[1]中所讨论的，大多数动力学交换模型可以用统一的方式表示，其中交换财富的数量以等式表示。

（1）表示为：xjk=~ωjkxk- ωkjxj。（2） 这里，ωjk和ωkjare（0，1）是两个合适的随机变量，在每次交易中提取，分别代表交易中涉及的单位k和单位j的财富的分数。动力学交换模型的各个方面都已被量化。第一个反对意见涉及财富保护。也就是说，有人指出，财富完全守恒的假设与现实系统中财富不守恒的事实是不相容的，一个最相关的原因是生产-消费过程的存在。事实上，动力学交换模型可以解释为具有同质生产和消费的模型。为了解释这一点，我们可以使用一个动力学交换模型的修正形式，其中生产和消费已明确添加到动力学中。从Eqs开始很方便。（1） 和（2）并写出一般单位j在时间步长δt内的总财富变化，定义为所有单位k（k6=j），x′j上一次蒙特卡罗交换对应的时间间隔- xjδt≈Xk（k6=j）[jkkxk- Jkjxj]+（p- c） xj。（3） 这里添加了同质生产和消费术语，分别为生产率和消费率p和c；Jjk=＠ωjk/δt（并对Jkj进行了分析）。在连续时间限制下，（x′j- xj）/δt≈ dxj（t）/dt，可以引入辅助变量sxj（t）=xj（t）expZdt[p（t）- c（t）]，（4）其中考虑了p和c的可能时间依赖性。新变量Xjdo中的方程（3）不再包含生产和消费项，并转化为不含生产和消费的Corres-ponding模型的方程，其中财富守恒成立。

然而，在强烈的异质性情况下，这是无效的，在这种情况下，每个单元的消费和生产过程必须单独考虑。另一位对动态交换模型的批评者认为，它们所模拟的贸易动态类型很难描述实际的经济贸易。事实上，传统的经济学方法假设，进行交易的决策是由理性主体或有限理性的经济主体根据系统的全部或部分可用信息做出的。相反，由于其随机动力学，动力学交换模型可能更像是一个危险博弈[17,18]。很明显，由于它们的统计性质，动力学交换模型肯定不能直接描述它们应该描述的经济变化或交换活动。到目前为止，还没有一张令人满意的显微镜照片和模型的正确性。他们的辩护本质上是务实的，因为它依赖于成功预测财富分配的真实情况。一个值得注意的例外是参考文献[19]中报告的调查，其中提出了与微观经济学的直接联系。本文的主要目标是为动态财富交换模型的微观基础迈出一步。这是沿着两条路径进行的。作为拟议重新制定的第一个要素，第节介绍了一种新颖的“即时交换”动力学。II为了表示实际的商品交换，而不是随机的物质交换或相互作用单元财富的单向流动，这是其他动力学交换模型的特征。这种新的动力学被证明产生了均衡财富分布，更好地描述了在非常小的财富范围内的经验数据。第二，在宗派。

我们引入了一个概率标准，每个经济单位都使用这个标准来决定是否进行交换。只有在双方都同意的情况下，才能进行交换。例如，验收标准描述了一个单位在每次交易中的决策过程，并可以进行适当的定制，以表示交易中一个单位可获得的部分信息的类型和数量。在目前的工作中，我们采用了一种微观的方法，考虑到验收标准仅基于与正在进行的贸易有关的信息，这是两个相互作用的经济单元直接可用的。据我们所知，在参考文献的微观经济模型中引入了一种基于产品质量和价格（部分）可用信息的概率方法。[20,21]，但许多代理模型中使用的概率标准通常遵循基于效用函数的方法[22]。作为对真实数据的重要检查，新模型的异构版本在第节中进行了研究。四、 结果表明，类似于，例如。在ChakrabartiChakraborti动力学交换模型中，列出了一组合适的多样化参数，这些参数在所有尺度上再现了现实的财富分布，包括观察到帕累托权力定律的大财富范围。结论部分讨论了研究结果和未来可能的研究方向。二、即时交换模式A。

即时交换模型的制定本节提出了一个动态交换模型，该模型描述了单位之间的相遇伴随着即时交换的市场。例如，“即时交换”指的是以物易物为特征的交换类型，即货物在不使用交换媒介的情况下直接交换，或货物立即或按照一定的时间表与货币交换的市场经济。即时交换与“延迟交换”形成对比，后者以礼物经济为特征[23]，因为文化原因，贵重物品在没有明确约定立即或未来奖励的情况下被给予。在后一种情况下，我们可以谈论单向交易。单向交易也可以用来描述，例如保险业务。为了清晰起见，我们首先考虑abarter模型，在该模型中，人们可以将每个单元i（i=1，2，…，N）视为拥有一些他愿意在某一点上为其他东西而改变的项目；这些项目的总价值为xi。在每次迭代中，随机抽取两个单位j和k，从而演化出模型。这两个单位分别与值jxjandkxk交换某物，其中jandkare是区间内两个独立的均匀随机数（0，1），在每次迭代中都有所不同。这些数量的随机性描述了这样一种情况：当一个人试图做一笔交易时，它可能是他所拥有的所有东西中的一个不同的对象，并且愿意交换其他东西。请注意，该模型没有区分不同类型的商品，只关注与之相应的财富单位之间的矛盾；因此，其中一种go ods可能被用作当前使用的货币。

因此，该模型可以解释为基于货币的市场模型。在基于货币的交易中，价值对象Xji与一些货币xk进行交换，随机数描述了价格和货币价值的内在变化。提出的模型c的动力学可由以下等式确定：x′j=（1- j）xj+kxk，x′k=（1）- k）xk+jxj，（5）可以用等式的相同形式重写。（1） 与xjk=kxk- jxj。（6） 因为j，k>0，那么从等式。（1） 与（6）一起，很明显，任何时候都不可能出现xi=X（即一个单位拥有该系统的所有财富）或xi=0（即一个单位完全贫穷）的情况。事实上，数值模拟表明，财富的均衡分布是一个Γ分布，fα，β（x）=βΓ（α）（βx）α-1exp(-βx），（7），α=β=2。在下文中，利用hxi=α/β且平均财富是常数的事实，并且由于初始条件xi=1，这里的平均财富总是设为hxi=1，我们得到了α=β，并且使用简化的参数形式fα（x）很方便≡ [fα，α/hxi（x）]hxi=1，即fα（x）=αxα-1Γ（α）exp(-αx）。（8） 根据即时交换模式l的拟合发现，与形状参数α=2的值相对应的均衡财富分布c为f（x）=4x exp(-2x）。因此，当财富为零时，财富分布为零，f（0）=0，并且在较大时呈指数衰减。需要注意的是，α的值≈ 2是表征实际分布的值的范围（2，2.5），例如Salemand Mount[3，24]分析的家庭收入。

该值是使用简单的即时交换动力学获得的，没有进一步的假设，例如引入明确的解释性倾向，限制进入交换的财富量，如在Chakraborti Chakrabartimodel中。作为技术说明，上述考虑对均匀分布在（0，1）中的随机数有效。使用具有不同分布的随机数将相应地产生均衡财富分布的修正形状。有关运动学交换模型模拟中使用的数值算法的详细信息，请参见参考文献[2]。我们还注意到，动力学由等式描述。（5） 正是基于动力学交换模型的精神，它比其他动力学交换模型更能反映财富流动与分子间能量交换的统计相似性。事实上，根据动力学理论，在两个分子之间碰撞时改变的能量ex和k的形式为eq.（6）。在分子混沌假设中，变量jandkdepe然后在摩尔曲率的初始方向上，被认为是独立的随机数。有关更多详细信息，请参阅参考文献[25]。B.即时交换与单向交换模型上述即时交换模型在形式上与Dragulescu和Yakovenko[9]提出的模型非常相似，后者由Eqs描述。（1） 与xjk=xk- (1 - ）xj，（9）其中是（0，1）中的一个随机数。通过比较等式（6）和（9），我们可以看到，虽然在Dragulescu和Yakovenko模型的动力学中只存在一个随机数，但上面介绍的模型包含两个随机数，并通过设置j=1简化为Firstone- k.然而，在财富交换的背景下，很难理解jandkis之间如此强烈的相关性。

事实上，通过重写更新关系asx′j=（xj+xk），x′k=（1），可以更好地理解Dragulescu和Yakovenko模型的动态- ）（xj+xk），（10）表示两个相互作用单元之间的总初始量xj+xk在单个时间内的随机响应。两个独立随机数jandkversus的存在——单个随机数可能看起来是一个技术细节，但它意味着基本上不同的解释。重要的是，agulescu和Yakovenko博士的模型导致了指数均衡的财富分配，描述了一个社会，其中大多数人都非常贫穷，分配模式为“x=0”。相反，所提出的模型得出了形状参数α=2的Γ-分布fα（x），该分布对应于一个社会，其中大多数人的财富大约在平均值hxi=1（假设最初每个单位的财富x=1）附近，模式x=1/2，没有人的财富x=0。Chakraborti和Chakrabarti[13]对Dragulescu和Yakovenko的模型进行了修改，假设这不是两个相互作用单元之间随机产生的总初始量xj+XK，而只是分开（1）- λ） （xj+xk），而把分数λ放在一边。Corres-ponding交换规则reads:x′j=λxj+（1）- λ） （xj+xk），x′k=λxk+（1）- )(1 - λ） （xj+xk）。（11） 后一个方程相当于等式。（1） 与xjk=（1）- λ)[(1 - ）xj+xk]。（12） 在这个模型中，财富的均衡分布由α>1的Γ-分布很好地描述，givenby[26–29]α=1+2λ1- λ（13）如果hxi=1。这意味着f（x=0）=0，如果λ>0，则模式¨x>0。因此，Dragulescu和Yakovenko模型均衡财富分布的指数形状是因为在给定的交互过程中，一个单位原则上可能会失去所有财富，而这些财富将转移到其他单位。考虑等式。