基于Autopulas的半参数时间序列建模

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英文标题：
《Semi-parametric time series modelling with autocopulas》
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作者：
Antony Ware, Ilnaz Asadzadeh
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we present an application of the use of autocopulas for modelling financial time series showing serial dependencies that are not necessarily linear. The approach presented here is semi-parametric in that it is characterized by a non-parametric autocopula and parametric marginals. One advantage of using autocopulas is that they provide a general representation of the auto-dependency of the time series, in particular making it possible to study the interdependence of values of the series at different extremes separately. The specific time series that is studied here comes from daily cash flows involving the product of daily natural gas price and daily temperature deviations from normal levels. Seasonality is captured by using a time dependent normal inverse Gaussian (NIG) distribution fitted to the raw values.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一个应用程序的使用自动拟合金融时间序列建模显示序列依赖性，不一定是线性的。这里介绍的方法是半参数的，因为它的特点是非参数自动填充和参数边缘。使用autocopulas的一个优点是，它们提供了时间序列自相关性的一般表示，特别是使人们能够分别研究不同极端情况下序列值的相互依赖性。本文研究的具体时间序列来自每日现金流，涉及每日天然气价格和每日温度偏离正常水平的乘积。季节性是通过使用与时间相关的正态逆高斯（NIG）分布拟合原始值来捕捉的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Semi-parametric_time_series_modelling_with_autocopulas.pdf (1.17 MB)

2022-5-8 14:01:10 上传

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关键词：opula 时间序列 Auto Top Aut

半参数时间序列建模与Autopopulantony Ware，Ilnaz AsadzadehAbstract在本文中，我们介绍了使用Autopopulas对金融时间序列建模的应用，该金融时间序列显示的序列相关性不一定是线性的。本文提出的方法是半参数的，因为它的特点是非参数自动填充和参数边缘。使用autocopulas的一个优点是，它们提供了时间序列自相关性的一般表示，特别是使人们能够分别研究不同极端情况下序列值的相互依赖性。所研究的特定时间序列来自每日现金流，涉及每日天然气价格和每日温度偏离正常水平的乘积。季节性是通过使用与时间相关的正态逆高斯（NIG）分布来捕捉的，该分布与原始值相匹配。1简介在这项研究中，自动填充用于描述标量马尔可夫链的连续观测之间的联合分布。copula将多元分布与其边缘连接起来，其存在性由Sklar定理Sklar[1959]保证。特别是，一个具有任何给定单变量边际的一阶马尔可夫链可以由一个二变量copula构造而成。Darsow等人[1992]给出了使用Coplas模拟时间序列的理论框架，他提出了基于copula的时间序列是马尔科夫过程的必要条件和充分条件，但不一定是平稳的。他们提出了一个具体的定理。卡尔加里沃鲁大学，卡尔加里大学大道西北2500号，AB T2N 1N4，电子邮件：aware@ucalgary.caI.

加利福尼亚州卡尔加里西北大学大道2500号，卡尔加里阿萨德大学AB T2N 1N4电子邮件：iasadzad@ucalgary.ca2Antony Ware，Ilnaz Asadzadehwhen使用时变边际分布和copulasare马尔可夫过程生成时间序列。Joe[1997]提出了一类基于参数连接函数和参数边际分布的参数平稳马尔可夫模型。Chenand Fan[2006]研究了半参数平稳马尔可夫模型的估计，使用带有参数连接的非参数边际分布来生成平稳马尔可夫过程。Rakonczai等人[2012]首次使用术语“自动填充”来描述单变量时间序列的单位滞后自相关结构，我们在这里采用了终结法。我们利用Darsow等人[1992]提出的框架来产生马尔可夫过程，使得边际分布随时间变化。在单变量时间序列建模中使用autocopulas的主要好处是，研究人员能够将Xt的无条件（边际）分布与Xt的时间序列相关性分开（Patton[2009]）。我们采用了一种半参数方法，该方法的特点是经验自协方差和参数时变边际分布。这使我们能够以自然的方式捕捉季节变化。这是我们模型的一个重要特征，其动机是许多金融和经济时间序列表现出季节性，尤其是能源和大宗商品市场的季节性。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了数据；第3节描述了该模型，包括对连接函数和正态逆高斯分布的回顾。

本节还包括校准和模拟程序的详细信息，最后一节给出了一些结果。2数据本项目的动机来自于开发一个节省模型的愿望，该模型可以捕获所谓的负载跟踪（或摆动）风险。这是能源零售商财务不确定性的主要来源之一，来源于零售客户消费（量）不确定性和价格不确定性的组合。数量（V）和价格（P）在很大程度上都受天气的影响。特别是，日平均温度是北美各市场天然气日消耗量的主要驱动因素之一：这反过来又通过供需过程驱动市场价格。一些风险敞口之后的负荷可以使用天然气远期和温度衍生品进行对冲。不易对冲的最重要部分直接与每日产品有关，介于天气偏离正常值和每日价格偏离预期的事前远期价格之间。为了更具体地说明这一点，让P表示最近一次交易的远期月度指数价格，V表示预期的月度平均成交量。零售商的现金流取决于产品PV，该数量的不确定性可以写入（P+ P） （V+V）-PV=PV+V P+ PV.使用Autopulas 3的半参数时间序列建模我们假设体积和天气偏差之间存在线性关系，因此V=βW+ε，其中β是消耗对天气的敏感性，可根据不同地区的负荷数据确定。然后，天气和天然气市场中的远期工具可用于对冲与termsP相对应的风险V和V P

除了体积-天气关系中的误差项ε（我们假设它相对较小），可以看出PW成为这些现金流中未对冲风险的主要驱动力。一种方法是为天气和天然气价格（包括每日价格和远期价格）开发单独的模型。然而，由于对节俭的渴望，我们转而寻求一个模型，使我们能够研究时间序列Xt=(PW）t，以便在复杂的零售负荷水平上估计可能结果的范围和概率。在这里，我们研究北美市场，重点关注天气数据的阿尔冈琴位置。数据涵盖了2003年1月1日至2014年6月31日的每日数据，如图1所示。图中最引人注目的特征是出现了间歇性的峰值群，在此期间，天然气价格从其近似的平均日价格上升，同时温度急剧上升或下降。这些变化大多发生在冬季，尽管一年中的其他时间也会出现较大的偏差。同样清楚的是，这些观测值的边缘密度不能很好地用正态分布表示。图1天气和天然气价格偏差的产品( PW）在阿尔冈琴超过200314年。峰值对应于高天气偏离正常值和高现货价格偏离下个月的组合。3模型在这里，我们更详细地介绍了模拟模型，简要回顾了连接函数，以及我们用于边缘密度的正态逆高斯分布。4.安东尼·威尔，伊尔纳兹·阿萨扎德3。1 Copulas和autocopulasA Copulas是一个定义在单位立方[0,1]n上的多元分布函数，具有均匀分布的边缘。

在下文中，我们将连接函数用于时间序列的相互依赖结构，为了简单起见，以及我们对一阶滞后相互依赖感兴趣的事实，我们将重点放在二元情况下，尽管该方法可用于捕捉对高阶滞后的依赖。设F（x，y）是随机变量x和y的联合分布函数，其中的边际分布函数是连续的。Sklar定理说明存在唯一的copula函数C（u，v）=F（F-1（u），F-1（v））通过F（x，y）=C（F（x，y））将F（x，y）连接到F（x）和F（y）。联合分布F（x，y）中的信息被分解为边际分布中的信息和copula函数中的信息，copula函数捕捉x和y之间的依赖结构。各种各样的参数copula被广泛使用（例如高斯、克莱顿、乔、甘贝尔copula）。在时间序列设置中，我们使用copula（或autocopula）来捕捉连续观测之间的依赖结构。更一般地说，我们有以下定义（Rakonczai等人[2012]）。定义1（Autopula）。给定一个时间序列Xtl={li∈ Z+，i=1，。。。，d} 一组滞后，即自动填充CX，被定义为d+1维随机向量（Xt，Xt）的copula-LXt-ld）。如果一个时间序列Xt是用一个具有单位滞后的自动填充模型建模的，自动填充函数C（u，v）=CX，1（u，v）和（时间相关的）边际CDF Ft（x），那么对于每个t，给定XTXT的条件密度的CDF-1可以用FXT | Xt表示-1（x）=C U英尺-1（Xt）-1） ，英尺（x）. （1） 我们将在下面讨论与校准和模拟相关的问题。Autopula模型将许多熟悉的时间序列作为特例。

例如，很容易证明AR（1）过程，yt=αyt-1+β+σε（t），可以使用Autopula框架和边际分布F进行建模∞（y） =ΦY-β /(1-α)√σ/(1-α)（其中Φ表示标准正态CDF）和平均u=β/（1）的高斯copula-α） 协方差σ1-α1 αα 1.在时间序列建模中使用自动填充的部分动机是，虽然相关系数衡量依赖的总体强度，但它们没有提供依赖强度在分布中如何变化的信息。例如，在我们这里考虑的数据集中，有证据表明存在尾相关性，即分布尾部附近的相关性更高。我们可以使用以下定义对其进行量化（Joe[1997]第2.1.10节）。有关连接函数理论和具体示例的更多讨论，请参见Nelsen[2007]。具有自动填充5定义2（上下尾相关）的半参数时间序列建模。如果二元copula C是limu→1C（u，u）/（1）-u） =λUexists，其中C（u，u）=1-C（1，u）-C（u，1）+C（u，u），如果λu，则C具有上尾依赖性∈（0,1]且如果λU=0，则无上尾依赖性。类似地，如果limu→0C（u，u）/（u）=λ词汇量，C对λL的尾部依赖性较低∈ （0,1]且如果λL=0，则无较低的尾部相关性。在图2中，我们给出了数量C（u，u）/（u）和C（u，u）/（1）的估计值-u） ，这里我们使用时间序列Xt=( PW）t生成copula函数C的初步经验代理。从图中可以清楚地看出，在极限u中，两组值都不趋向于零→ 0或u→ 1，我们得出结论，数据表现出非零尾依赖性。无花果

2数量C（u，u）/（u）和C（u，u）/（1）的估计值-u） 在观察到的PW.3.2时变边际分布如上所述，我们时间序列的边际密度将不正常。我们发现，正态逆高斯（NIG）分布提供了更令人满意的结果。有关该分布及其应用的更多信息，可在Barndorff Nielsen等人[2012]中找到。这里我们回顾一下它的定义和性质。3.2.1 NIG分布的定义和性质非负随机变量Y具有参数α>0和β>0的逆高斯分布，如果其密度函数的形式为（Y；α，β）=αp2πβY-3/2exp-(α -βy）2βy, 对于y>0。随机变量X具有参数α、β、u和δifX | Y=Y的NIG分布~ N（u+βy，y）和y~ IG（δγ，γ），6 Antony Ware，Ilnaz Asadzadehwh，γ：=pα-β, 0 ≤ |β|<α和δ>0。然后我们写X~ NIG（α，β，u，δ）。通过K表示第二类修正贝塞尔函数，密度给定为yfyfnig（x；α，β，u，δ）=δαexpδγ+β（x-u)πpδ+（x-u）Kαqδ+（x-u).NIG分布参数与数据的平均值、方差、偏度和峰度之间存在一对一的映射关系。我们首先使用矩匹配来确定参数的初始估计；然后，我们使用这些值作为MLE估计中的初始估计。表1显示了假设分布随时间不变的NIG分布的估计参数。图3显示了与数据相对应的密度，其中还显示了最适合的正态密度。可以看出晚上很不错。然而，从图1可以明显看出，时间序列具有很强的季节性。通过使NIG分布的参数δ与时间相关，我们试图通过边缘密度捕捉这种季节性。

这是通过假设δ在每个月保持不变，并最大化整个数据集的联合可能性来实现的。结果如图4所示，原始数据中明显的季节模式在这里再次明显。表1：与0.3244 0.0231 0.0210 2.7129MLE 0.0980 0.0131 0.0122 2.3799匹配的非时间相关NIG估计uαβδ矩的结果图。3观测数据直方图(PW） ，具有fittednormal分布和nigdributionConfig。4.自相似性半参数时间序列建模与Autopulas 7的结合得出的δ校准月值如图4所示，δ值在冬季更高，在冬季更低。时间序列的价值观似乎是均值回复与季节均值和方差。我们使用季节性均值回复过程对时间序列进行建模=√δt:νt+1=aνt+b（t）+σ（t）zt+1。（2） 均值和方差是使用周期函数估计的，周期从一年到三个月不等。δ皮重的模拟值和估计值如图5所示。使用（2）模拟20000条路径，每个月使用一组值来确定等式，然后使用这些等式来创建图中所示的彩色斑块。较暗的斑块对应于更接近分布中心的分位数，较亮的斑块对应于更接近极值的分位数。图5δ的校准月值，以及模拟路径的示例，以及大量模拟路径的分位数的彩色轮廓图。一旦我们得到δt的值，我们就可以得到时变累积分布函数和时变密度函数。

NIG累积分布函数没有封闭形式的解，因此我们可以使用高斯求积计算CDF，以计算以下积分。F（xt；α，β，u，δ）=Zxt-∞fNIG（Xt；α，β，u，δt）dXt（3）在下一节中，我们将解释计算经验自协方差和模拟现金流的程序。3.3估算经验自组织密度在估算了与时间相关的NIG密度后，我们使用这些来产生一个时间序列，其值为Vt=Ft（Xt）∈[0, 1]. 如果边缘密度是精确的，这些密度将均匀分布在[0,1]上。在实践中，它们只是近似一致的，我们生成了一个额外的经验边际密度和一个经验（自动）copula来捕捉（Vt，Vt）的联合密度-1） .8 Antony Ware，Ilnaz Asadzadehtc通过首先估计（Vt，Vt）的经验联合密度来估计经验自密度-1） 以分段双线性的严格递增连续函数Φ（·，·）的形式。域[0,1]被划分为矩形，包含大致相似的样本数（Vt）-1，Vt），取Φ为这些矩形的指示函数之和的累积积分，按每个矩形中的样本数缩放。Φ然后用于创建严格递增的分段线性边缘密度Φ和Φ。因此，这些密度的倒数也是分段线性的，当与Φ组合时，它们生成一个分段双线性copula函数C（u，u）=ΦΦ-1（u），Φ-1（u）.这个过程如图6所示。在图6a中，我们绘制了转换值对Φ（Vt）-1） ，Φ（Vt）, 以及用于生成分段双线性函数C的矩形轮廓。