网络传播中的定价和推荐

在下一节中，我们将介绍一个平均场模型来研究这个博弈。3游戏的平均场版本我们现在描述一个更易于解决的动态收养游戏的近似：平均场游戏。这可以被认为是对模型进行对称化，以便代理对其邻居的行为有相似的信念，这使得游戏易于处理，并在大型网络中保持极限。我们在附录中检查了几种特殊情况下近似值的准确性，这些情况下的计算是可行的。我们动态博弈的平均场均衡抓住了一个标准概念，即代理对其行为引起的分布做出最佳反应。度分布由概率f（d）表示≥ 1，任何给定节点都有d度。请注意，0度的代理面临琐碎的决策（因为他们不玩游戏），因此我们忽略这些节点，并规范化度分布，使F（0）=0。代理通过度分布以一种简单的方式对图形结构进行推理：平均场假设1。每个代理都推测，他或她的邻居的度数是根据边缘透视度数分布绘制的i.i.d.~f（d）=f（d）dPdf（d）d。我们的平衡概念足够普遍，允许我们对代理邻居的度数进行任何假设。为了使事情具体化，我们考虑f（d），因为它与度分布f（d）一致。然而，从技术上讲，f（d）可以被邻居互动层面上的任何信念所取代。第二个平均场假设阐述了代理人如何解释其邻居的收养行为：平均场假设2。

每个agent i推测，他或她的每个邻居都以概率α在t=0时独立地跨邻居：特别是，一个d度agent推测，在t=0时采用的邻居数Xi，0是一个多项式（d，α）随机变量。在平衡状态下，根据边缘透视度分布，α与来自群体的随机抽取的预期行为相匹配。平均场平衡是Galeotti等人（2010）的一个变化。在本文中，我们使用短语度分布来表示度的密度函数。当提到累积分布函数（CDF）时，我们将明确地这样做。这一假设比需要的更有力。也可以引入度的相关性，但要谨慎，以确保它不是过于分类，从而在接下来的内容中保留激励结构。有关这方面的更多信息，请参见Galeotti等人（2010）。3.1 t=0时的最佳反应鉴于平均场结构，作为α的函数，一个代理应该遵循什么策略？注意，对于Xi，0的任何实现，代理i在t=1时的最佳响应由备注1表征。因此，我们关注t=0时代理的最优策略。定义1。平均场策略u：N+→ [0,1]具体而言，对于每一个d>0，d级代理在t=0时采用的概率。我们用M表示所有平均场策略的集合。在t=0时采用作为α函数的d级代理人的预期报酬由∏采用（α，d）=p（AH+AH）+（1）给出- p） AL+ηp（1）- α） d.（1）该表达式的推导如下。第一项和第二项是该代理从采用前p项下的技术中获得的直接预期报酬。第三项是对在t=1时采用而在t=0时未采用的任何邻居的η的铁奖励；有一个预期的d（1- α） 这样的邻居可能会领养。

由注1可知，当且仅当质量良好，即θ=H时，该指数才采用；这件事有可能发生。另一方面，如果她在t=0时不领养，那么这样的代理人的报酬是多少？在这种情况下，给定的代理只有在至少一个邻居采用时才采用t=1，而且技术是好的。该预期收益为∏延迟（α，d）=pAH（1- (1 - α） d）。（2） 显然，如果∏adopt（α，d），代理人严格地倾向于提前采用-π延迟（α，d）>0；严格地说，如果∏采用（α，d），则不喜欢- π延迟（α，d）<0；当两种预期效用相等时，它们是不同的（并且愿意混合）。设BRd（α） [0，1]表示给定α的d级代理的最佳响应集。LetBR（α） M表示给定α的平均场最佳响应空间；i、 e.，BR（α）=Yd≥1BRd（α）。3.2平均场平衡我们现在定义一个平衡。给定u，任何给定邻居在第一个周期内采用的概率，现在表示为函数α（u），确定如下：α（u）=Xd≥1f（d）u（d）。（3） 注意，α（u）位于[0,1]，因为u（d）∈ [0, 1].由于α（u）对应于任意一个代理将被随机挑选的邻居告知技术质量的概率，因此它自然被解释为代理的“社会信息”因此，我们将α（u）称为策略u提供的信息访问。定义2（平均场平衡）。平均场策略*构成技术采用博弈的平均平衡，如果：*∈ BR（α（u）*)).请注意，平均场平衡是我们最初的有限网络游戏的一个易于处理的变化。特别是，代理人不需要对其邻居的收养行为持有复杂的信念，战略描述也相对简单。这使我们能够获得许多关于平衡结构的有用结果。

我们从以下定理中陈述的两个背景结果开始。定理1（存在性）。技术采用博弈存在平均场均衡。此外，如果*和u0*平均场平衡是α（u*) = α(u0*).3.3描述平均场平衡我们现在描述平均场平衡。为了说明我们的主要结果，我们需要以下定义。定义3（双关策略）。如果存在dL、dU，则平均场策略u是双阈值策略∈NS{∞}, 这样：d<dL==> u（d）=1；dL<d<dU==> u（d）=0；d>dU==> u（d）=1。我们称DLA为下限阈值，DUA为上限阈值。注意，如果dL=0和/或dU=∞ 然后，该策略实际上是一个单阈值策略或一个恒定策略。在双门限策略中，代理每年都会在高、低两个级别上采用该技术，在这两个级别之间，他们会通过等待邻居的学习来免费使用。定义未对阈值和职责范围内的战略设置任何限制；因为这些阈值可能存在差异和随机性。以下定理证明，每个平均场平衡都涉及一个本质上唯一的双阈值策略。定理2（双门限平衡）。如果u*是一个平均场平衡，那么（i）它是一个双阈值策略，并且（ii）上下阈值本质上是唯一的：存在一对（d）*五十、 d*U） 这是每个平均场平衡的有效阈值。请注意，同一双阈值策略可以有多个表示形式；例如，如果u是双阈值策略，其中u（1）=1、u（2）=1和u（3）=0，则较低的阈值可以是dL=2或dL=3。

该定理断言，存在一对上下限，对所有可能的平均场平衡都有效。请注意，在双阈值均衡中，高和低程度的代理因不同的原因而提前采取行动。由于信息免费的好处不足以证明延迟采用所造成的预期消费损失的合理性，所以低学历的代理很早就采用了。另一方面，由于预期的推荐奖励足够高，足以克服信息搭便车带来的好处，所以高学历代理很早就采用了。从效用函数可以很容易地看出平均场平衡背后的原因。d级代理采用早期与晚期的预期效用差异为：π（α，d）=采用∏（α，d）- π延迟（α，d）（4）=p（AH+AH）+（1）- p） AL+ηp（1）- α） d- p（1）- (1 - α） d）啊。我们看到了早期采用的两个相互竞争的好处——d线性增加的推荐好处：ηp（1- α） d，以及因搭便车而失去的好处，这种好处会减少交通量：-p（1）- (1 - α） d）啊。然后（最多）交叉两次，达到双阈值。以下命题证明，在某些条件下，平均平衡只涉及一个阈值。提议1。设最大度大于1，使得f（d）>0当且仅当0<d时≤ d、 存在正η，η等于1。如果η<η，那么每个平均场平衡都可以用d来表示*U> d，2。如果η>η，那么每个平均场平衡都可以用d来表示*L=0和3。如果η<η<η，则每个平均场平衡可以用一些d*L≥ 1和D*U≤ d、 平衡不是通过η完全有序的，因为上下限阈值之间存在相互作用。

例如，随着越来越多的低学历代理在第一阶段采用，高学历代理尽早采用的吸引力就会降低。因此，命题1指出，对于足够低的转诊激励η，均衡有效地是一种较低的阈值策略，在这种策略下，只有较低学历的代理人会提前采取。对于足够高的转诊激励η，均衡实际上是一种上限策略，在这种策略下，只有高学历的代理人才会提前采取。对于η的中间值，则平衡是一种双阈值策略，早期采用者既有低的，也有高的。3.4比较静力学该模型允许在边缘透视度分布f（d）中进行比较静力学。我们记得，这只是一个邻居学位的分布。以下命题表明，根据η的值，边缘透视度分布中的一阶随机优势转移可能会对均衡中产生的预期采用产生相反的影响。让η（~f）和η（~f）表示η和η，使命题1成立，注意对分布的依赖性。让我们*在边缘透视度分布f下为任何平均场平衡，并设f6=f为度分布，使得相应的边缘透视度分布f一阶随机支配f。此外，对于每个度分布f，让η（~f）和η（~f）为命题1保证的阈值如果η<η（~f），则任何平均场平衡u0*相对于fsatiesα（u0*) ≤ α(u*).o 如果η>η（~f），则任何平均场平衡u0*相对于fsatiesα（u0*) ≥ α(u*).上述命题的第一部分指出，如果*如果在f下是一个较低的阈值策略，那么f中的一阶随机优势转移将导致一个新的较低的保留平衡u0*具有较少信息访问权限α（u0*).

直觉是，新的FP对延迟采用的邻居施加了更大的压力，从而降低了信息访问率。第二部分说明当平衡点*是f下的上阈值策略，则f中的一阶随机优势转移会导致新的上阈值平衡u0*具有更多信息访问权限α（u0*). 现在的直觉是，新的FP更加重视早期收养的邻居，从而增加了信息获取。对于η的中间水平，当我们改变分布时，平衡不能被排序，因为在双阈值策略下，随着分布的变化，权重可能会改变到采用或不采用的程度。4动态定价和信息差异当技术的质量不确定时，希望营销该技术的垄断者面临着不知情代理人不采用该技术的风险。换言之，如果代理人为了收集信息而推迟选择，但未能获得该信息，他可能会选择在稍后阶段不采用该技术。适当鼓励一些代理商尽早采用的动态定价政策可以抵消这种影响：因为早期采用者可以传播有关技术质量的信息，他们减少了代理商在第二阶段仍然不知情的比例，从而产生更高的采用率（如果产品质量较高）。如果诱导一些消费者提前采用的成本足够低，这可能会增加垄断者的利润。我们研究了一种环境，在这种环境中，垄断者不知道连接消费者的社会网络的拓扑结构，而是知道其来源的分布。此外，垄断者知道产品质量θ，而消费者不知道（也就是说，他们只是对它有一个先验的p）。因此，垄断者的行为可能预示着θ的信息。

然而，在研究完全均衡之前，我们首先将利润分析为持有消费者先验信念的定价策略的函数。然后，我们在第5.4.1节“动态定价策略”中返回到完全均衡分析。为了研究定价，我们需要以下定义。定义4。动态定价策略是三元组（P，P，η）∈R×R+×R+包括第一期、第二期的价格和推荐费。请注意，我们允许第一阶段的价格为负：这允许企业向早期采用者付费——就像一家公司可能会支付一位高知名度的名人来采用其产品一样，因为该公司知道个人被许多其他人观察到。然而，第二阶段的价格只有在非负的情况下才有意义，因为企业在第二阶段向消费者支付费用不会带来任何收益（这种行为不提供任何提前采用的激励，也无助于第二阶段的利润）。最后，我们只允许非负转介支付：公司不能向消费者收费，因为其他人也采用了该产品（这对激励或利润没有帮助）。消费者i的收益为：θ=Hθ=Ladopt，t=0 AH+AH+ηXi，1- PAL+ηXi，1- t=1 AH时的Padopt- 朋友- 表3：在动态定价政策下，我们注意到早期采用者只支付一次：他们支付P，但在第二阶段不会面临另一次支付。我们还注意到，如果商品质量低劣，这套定价政策禁止在第二阶段退款。如果垄断者能够承诺退款，那么一个完美的定价政策就成为可能：设置P=AH+AH，然后再提供AH退款- 如果货物质量低劣，并收取P的价格≥ 啊。在这种情况下，所有消费者都愿意在第一阶段购买。垄断者实际上赚取了全部社会剩余，而消费者则支付了全部价值。

另一方面，我们认为这样的政策是不合理的。主要问题是，对退款的承诺总体上不可信；如果商品质量低劣，那么在极端情况下，该公司将干脆关闭，无法退款。因此，我们考虑的定价政策是相关的。同样，消费者的决定是基于预期效用与早期采用和晚期采用之间的差异。保持之前的固定价格，这是（4）的一个简单变化，我们现在在不同日期添加不同的价格：π（α，d）=采用∏（α，d）- π延迟（α，d）（5）=p（AH+AH）+（1）- p） 艾尔- P+ηP（1）- α） d- p（1）- (1 - α） d）（啊- P） 。这里请注意一些使定价政策易于理解的内容。垄断者政策中唯一真正对消费者产生不同影响的条款是推荐激励效益ηp（1）- α） d，其程度正在增加。价格影响所有消费者，我们的推荐费不取决于消费者的学历。Lobel等人（2016年）的独立研究探索了非线性推荐费的考虑，但没有学习效应或其他定价交易效应，这是我们论文的重点。在第5节中，我们证明了当定价政策可以用作产品质量的信号时，先验p与池均衡是一致的。同样的方式。这一功能提供了一种参考偏好的“交叉条件”，使其成为一种筛选设备。每个定价政策（P、P、η）定义了消费者之间的特定动态博弈，并与第2节中所述的定价政策属于同一类别；i、 e.具有双阈值平衡特征。因此，平衡也存在于类似的论证中。

这种对原始游戏的简单转换会带来丰富的设置，我们可以在其中研究各种定价政策对早期采用、信息差异和搭便车的影响。在检验利润最大化定价政策下的均衡之前，我们陈述了关于特定类型定价政策下均衡性质的一系列结果。以下命题具有重要意义。它指出，没有转介激励的动态定价政策构成了一种机制，在这种机制下，只有较低学历的机构才会选择早期采用。提案3（无需转介的筛查）。在动态定价政策（P，P，0）（即η=0）下，平均场平衡u*只有一个阈值d*就这样*（d） =1，对于d<d*五十、 和u*（d） =0，对于d>d*L.换句话说，这种政策构成了一种筛选机制，在这种机制下，学位较低的代理尽早采用，而学位较高的代理免费获取前者生成的信息。因此，垄断者可以保证学位低于某个门槛的代理人会提前采取行动。下一个命题表明，对于足够高的η，具有推荐的定价策略构成了一种机制，在此机制下，只有更高级别的代理选择提前采用。提案4（通过转介进行筛查）。对于任何P，P，都存在η+<∞ 在动态定价政策下（P，P，η），其中η>η+，平均场平衡u*我相信*（d） =0，表示d<d*U、 和u*（d） =1，对于d>d*U