网络传播中的定价和推荐

考虑到p∈ （0,1），因此利润最大化要求∈ （0，1），然后η=0。现在请注意，对于α=0的任何（P，P，η），其收益率为0:ρ（P，P，η，H）=0（因为没有早期采用者，然后在第二阶段没有人采用），并且这种收益可以通过任何一种策略实现（设置η=0或非常高）。类似地，如果α=1，推荐激励是不相关的，因为没有第二阶段采用者，因此没有推荐付款。这些观察结果表明，与αk序列和政策相关的任何利益序列也总是可以在0推荐激励下实现，因此^πD=^π≥ ^πR.从上述观察，如果我们证明利润最大化需要α，我们可以证明最后一个不等式是严格的∈ (0, 1).为了完成证明，我们认为优化α必须位于（0，1）中，并且从上面我们可以将注意力限制在η=0。请注意，如果P>AH，那么没有代理延迟采用，因为在这种情况下，他们的报酬是负的。因此，对于任何P>AH，我们都有ρ（P，P，0，H）≤ ρ（P，AH，0，H）。考虑到（9）中π（P，P，0，H）的定义，我们假设P<AH。接下来，请注意，如果对于给定的策略（P，P，0），我们有‘- P≥ p（啊- P） 然后通过比较∏采用（α，d）和∏延迟（α，d），我们看到α=1。在这种情况下，Monopolist的利润是P。因为我们已经假设P<AH，在这种情况下P<A。我们注意到这个事实；下面，我们将展示这个性能是次优的，因此我们可以忽略α=1的可能性。现在假设- P<P（啊- P） 。这相当于定价博弈的假设2。在这种情况下，定理1适用，以确保每个平衡u导致相同的α=α（u）。

在d-正则网络上，给定一个均衡策略∈ 等式（P，P，η），β（u）=u（d）=α（u）=α是早期采用者的平衡分数，γH（u）=（1）- u（d））（1- (1 - α） d）=（1）- α)(1 - (1 - α） d）是后期采用者的平衡分数。因此，从（6）中，我们得出结论：ρ（P，P，0，H）=αP+（1- α)(1 - (1 - α） d）P.（30）假设对于α=0的任意（P，P，0），ρ（P，P，η，H）=0，而对于α<1的任意（P，P，0），必须是∏采用（α，d）≥ 0，这意味着：≥ P- pη（1）- α） d≥ P.（31）因此，对于任何带有“A”的定价政策（P，P，0）- P<P（啊- P） P<AH，我们有：ρ（P，P，η，H）≤ G（α）：=A\'-A+（1）- α)(1 - (1 - α） d）啊。（32）G是紧支撑[0,1]上α的连续凹函数。设^α表示最大化子，即^α=arg maxα∈[0,1]G（α）。很容易检查，在假设2下，我们必须有0<^α<1。^α>0这一事实微不足道。要显示^α<1，请选择α，使其为1- (1 - α） d=p，然后假设2确保G（α）>G（1）=\'A。如上所述，对于α=1的任何（p，p，η），收益小于\'A；因此，这样的政策不可能是最优的。第二部分：这个证明很简单。这是基于这样一个事实，即→ ∞, 对于任何α>0的情况，每个等待到第二个周期的代理都被告知概率为1。第二阶段的价格可以按a收取，然后提供价格折扣或推荐激励，这会导致代理商在第一阶段和第二阶段采用之间不存在差异，从而实现与最佳α的平衡*. 因此，不管是使用D-政策还是R-政策，只有一小部分代理人需要在D进入实体时被激励尽早采用。这足以在第二阶段产生完全采用，并且两个限制均等于最大允许利润提案7。

第（i）和（ii）部分：我们首先表明limq→0limdu→∞^πR=limq→0limdu→∞π：设R-策略为（P，P，η），其中η=P（AH）- （P）（1）- (1 -~f（du）du）+P-亚太地区（1）-■f（du）du（33）很容易验证存在P和P的dusuch∈ 还有杜≥ du，得到的平衡策略u为u（du）=1和u（dl）=0。因此，这是一种更高的阈值策略，其中du代理提前采用，dl代理延迟采用（推荐奖励高到足以使高级别代理提前采用，但低到足以使低级别代理延迟采用）。（33）中的表达式源自du代理的差异条件∏采用（α，du）=∏延迟（α，du），其中α设置为f（du）（因此信息仅由du代理生成）。因为f（du）=qduqdu+（1-q） dlandα=α（u）=f（du）u（du）=f（du），因此limq→0limdu→∞α=1，因此limq→0limdu→∞γH（u）=1。还要注意，limq→0limdu→∞β（u）=limq→0limdu→∞f（du）=0。因此，limq→0limdu→∞ρ（P，P，^η，H）=P。直觉很简单：在q和dulimits中，这种错误策略会在第二阶段产生完全采纳，需要激励的早期采纳者的比例会逐渐减少。使用一个策略（啊，啊，^η），它会遵循limq→0limdu→∞πR（AH，^η，H）=AH（函数的上界）。因此，limq→0limdu→∞πR（AH，^η，H）=limq→0limdu→∞^πR=limq→0limdu→∞^π.此外，政策（啊，啊，η+），其中η+=AH-亚太地区（1）-~f（du））du（P设置为AH时，这只是（33））在q和dulimits中是最佳的。我们现在展示limq→0limdu→∞πD<limq→0limdu→∞^πR：对于某些Pand P，设D-策略为（P，P，0）。任何相应的均衡策略u都是一个较低的阈值策略（参见命题3）。如果limq→0limdu→∞u=0，没有早期采用者，也没有晚期采用者，且利润为0。

如果limq→0limdu→∞u>0，然后是limq→0limdu→∞β（u）=limq→0limdu→∞(1-q） u（dl）+qu（du）>0，因此非消失的一部分代理人提前采用并支付折扣价格P。还请注意，limq→0limdu→∞β（u）=u（dl）和该limq→0limdu→∞α（u）=f（dl）u（dl）=0，因为f（dl）变为0。这意味着limq→0limdu→∞γH（u）=0（有诺拉特采用者），因为没有代理可以收集信息。因此，limq→0limdu→∞ρ（P，P，0，H）=Pβ（u）+PγH（u）=Pβ（u）。因此，limq→0limdu→∞π（P，P，0，H）≤αβ（u）≤“\'A<AH，它紧跟在limq之后→0limdu→∞πD<AH=limq→0limdu→∞^πR.此外，利润最大化的两个价格政策是所有低级别代理尽早采用的政策（因为他们不会采用其他政策）。从命题6来看，这可以通过价格P=\'A和P=AH来实现，因此它遵循thatlimq→0limdu→∞π（\'A，AH，0，H）=\'Aβ（u）=\'A，策略（\'A，AH，0）是q和dulimits中的最优双价格策略。第（三）部分：从极限度分布是du正则的这一事实出发，并引用定理3（ii）。第四部分：让q∈ （0，1）设（P，P，η）为某种R-策略。如果相应的平衡策略u是limdu→∞u（du）=0，则自limdu→∞~f（du）=1，表示limdu→∞α=limdu→∞u（du）=0，因此没有代理延迟采用。如果limdu→∞u（du）>0，然后是limdu→∞β（u）=limdu→∞(1-q） u（dl）+qu（du）>0，因此有相当一部分药剂需要提前采用，并且必须受到激励。从这些观察结果来看，无法达到最大允许利润。我们得出结论，limdu→∞πR<AH。推论1。第（i）部分：垄断者在固定政策（P0，k，P1，k，ηk）下的利润现在定义为ρ（P0，k，P1，k，ηk）=αk（P0，k- pηk（1）- αk）d）+p（1- αk）（1- (1 - αk）d）P1，k。

（34）在定理3的证明中，与αk的某些序列和策略（P0，k，P1，k，ηk）相关的任何序列也可以在没有引用的情况下实现，即通过某些策略序列（P0，k，P1，k，0）。因此^πD=^π。注意，在D-策略下，代理的差异条件是∏采用（αk，D）=a- P0，k=p（1- (1 - αk）d）（啊- P1，k）=∏延迟（αk，d）。（35）现在让（Pk，Pk，ηk）成为一些R-策略。在这种政策下，代理人的独立条件是∏采用（αk，d）=a- Pk+pηk（1）- αk）d=p（1）- (1 - αk）d）（啊- Pk）=∏延迟（αk，d）。对于某些αk满足（35），设置Pk=P1，和pηk（1- αk）d- P1，k=-P0，k（或等效设置ηk=P1，k-P0，kp（1-αk）d）给出了一个产生相同αk的R-策略。此外，这样做会产生ρ（P1，k，P1，k，ηk）=αk（P1，k- pηk（1）- αk）d）+p（1- αk）（1- (1 - αk）d）P1，k=αkP0，k+p（1- αk）（1- (1 - αk）d）P1，k=ρ（P0，k，P1，k，0）。因此，与αk的某些序列和两个价格策略（P0，k，P1，k，0）相关的相同的利润序列也可以通过适当选择R策略（Pk，Pk，ηk）来实现。因此，πR=πD=π，这就完成了第（i）部分的证明。请注意，这对知情主体（如定理3）不起作用，因为函数ρ（p，p，η，H）中缺少p因子会导致ρ（P0，k，P1，k，0，H）>ρ（P1，k，P1，k，ηk，H）。第（二）部分：这一证明与定理3第（二）部分的证明相同，不同之处在于，一个代理晚采用的事前概率是p（θ=H的概率）。然后立即得出预期的极限利润等于pAH。8致谢我们感谢弗朗西斯·布洛赫和伊泰·费恩梅瑟的有益讨论。这篇论文的早期版本在ACM经济与计算会议（EC’14）上发表。Leduc衷心感谢美国格兰特#FA9550-12-1-0411的支持。

空军科学研究办公室（AFOSR）和国防高级研究计划局（DARPA）。Jackson感谢theAFOSR和DARPA授予FA9550-12-1-0411的资金支持，以及ARO MURI奖编号W911NF-12-1-0509和NSF授予SES1629446的资金支持。Johari非常感谢theAFOSR和DARPA的FA9550-12-1-0411赠款的财政支持。参考Sadlakha，S.，Johari，R.，和Weintraub，G.Y.2015。多人动态博弈的均衡：存在性、近似性和市场结构。经济学杂志156269-316。2 Bar Isaac，H.，Caruana，G.，和Cunat，诉2010年。信息收集和营销。《经济与管理战略杂志》19，375401。1布洛克，F.和奎鲁，北卡罗来纳州，2013年。社交网络中的定价。游戏和经济行为。80, 243–261. 1,4.1安贝尔，A.2013年。社交网络中的口碑传播和渗透。《美国经济评论》103、62466–2498。2012年，比莫加，基斯拉。具有外部性的网络中的最优定价。运筹学。60, 4, 883–905. 1,4.1查姆利，约2004年。社交学习中的延迟和大小信息均衡。《欧洲经济评论》48477–501。1查姆利，C.和盖尔，D.1994年。投资模型中的信息披露和战略延迟。计量经济学62，51065-1085。1 Chen，Y.-J.，Zenou，Y.，和Zhou，J.2015。社交网络中的竞争性定价策略。CEPR讨论文件第10857号。23 Cheng，J.，Adamic，L.，Dow，A.，Kleinberg，J.，和Leskovec，J.2014。可以预测坎卡斯卡？ACM万维网国际会议（WWW）。2《社区》，P.和Li，H.2000年。顺序筛查。经济研究综述67697717。1《安娜，J.2001》。需求不确定性下的垄断价格分散。《国际经济评论》42649670。1 Fainmesser，I.P.和Galeotti，A.2015。定价网络效应。

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