网络传播中的定价和推荐

也可能存在混合策略纳什均衡。在平均场模型下，有足够高的η，我们有一个上限阈值策略：唯一的平均场平衡可以有u（n）的形式-1） =ω和u（1）=0，u（n）-1） =1和u（1）=0或u（n）-1） =1和u（1）=ω，取决于游戏参数。因此，平均场均衡有效地选择了中心采用早期和周边免费乘车的均衡。7.2邻域之间的度依赖对均衡结果的影响在迄今为止分析的平均场模型中，邻域度的分布由边缘透视度分布f（d）给出。研究邻居之间的依赖程度如何影响平衡结果将是一件有趣的事情。为此，让我们介绍以下术语。LetP（d | k）是当代理具有度k时，邻居具有度d的概率。那么我们有以下定义。定义7。（邻里关系）。我们说，相互作用结构表现出负（正）邻域连接ifP（d | k） ()P（d | k）表示k>k，其中 表明Firstorder随机优势。有效地说，负邻居关系意味着更高级别的代理更有可能与较低级别的代理连接，而正邻居关系意味着他更有可能与另一个更高级别的代理连接。在双价格政策导致低阈值策略的情况下，负邻域效应将保持均衡的低阈值性质。事实上，较低的学历现在更有可能与高学历的搭便车者联系在一起，因此有更大的动机尽早采用。

同样，高学历的搭便车者和低学历的早期采用者有更高的联系机会，因此有更高的搭便车动机。类似地，在上限转介策略下，负邻居关联将保留均衡的上限性质。事实上，较低学历的搭便车者现在更有可能与高学历的早期使用者联系在一起，因此搭便车的动机更大。同样，高学历的早期采用者有更高的机会与低学历的搭便车者建立联系，因此有更高的动机早期采用。出于相反的原因，正邻域效应往往会削弱平均场模型中得出的阈值结果。例如，在低门槛策略中，低等级的早期采用者更有可能与另一个低等级的早期采用者建立联系，因此早期采用的动机较小。7.3证明理由1。对于任何α∈ [0,1]通过Φ（α）=α（BR（α））定义对应关系Φ。任意定点α*Φ，以及相应的u*∈ BR（α）*) 使得α（u）*) = α*构成一个油田平衡。因此，我们需要证明对应Φ有一个固定点。我们在复合映射Φ（α）=α（BR（α））上使用了Kakutani的不动点定理。Kakutani的不动点定理要求Φ有一个紧域，这是平凡的，因为[0，1]是紧的。此外，Φ（α）必须是非空的；同样，这很简单，因为BR（·）和α（·）都有非空图像。接下来，我们证明Φ（α）有一个闭图。当我们在[0,1]上赋予平均场策略集产品拓扑时，我们首先表明BR有一个闭合图∞. 这很容易理解：如果αn→ α、 和un→ u，其中un∈ BR（αn）表示所有n，然后是un（d）→ u（d）表示所有d。由于∏defer（α，d）和∏adopt（α，d）是连续的，因此u（d）∈ BR（α），soBR有一个闭图。

还要注意的是，对于平均场策略空间上的产品拓扑，α（·）是连续的：如果un→ u，然后是α（un）→ α（u）由有界收敛定理确定。为了证明Φ有一个闭图，假设αn→ α、 而αn→ α、 αn在哪里∈ Φ（αn）表示所有n.选择un∈ BR（αn）使得α（un）=αn.根据泰科诺·弗夫定理[0,1]∞产品拓扑结构紧凑；因此，如果有必要，我们可以假设μn收敛到极限μ。因为BR有一个闭合图，所以我们知道∈ BR（α）。最后，由于α（·）是连续的，我们知道α（u）=α。因此α∈ Φ（α），按要求。最后，我们证明了Φ的图像是凸的。让α，α∈ Φ（α），设^α=Δα+（1-δ） α，其中δ∈ (0, 1). 选择u∈ BR（α）和u∈ BR（α），设^u=Δu+（1- δ)u;请注意^u∈ BR（α），因为BR（α）是凸的。最后，由于α（·）是线性的，我们有α（μ）=α，这表明α∈ Φ（α）-根据需要。根据Kakutani的不动点定理，Φ具有一个不动点α*. 放任*∈ BR（α）*)使α（u）*) = α*, 我们的结论是：*是平均场平衡。接下来，我们证明了关于α（u）唯一性定理的第二个结论*).我们按照一系列步骤进行，回顾（4）：步骤1：所有d≥ 1，采用∏（α，d）- πdefer（α，d）在α中严格递减∈ (0, 1). 注意η≥ 0，p>0，因此从（1）可以看出∏adopt（α，d）在α中没有增加。此外，AH>0，因此从（2）可以看出∏defer（α，d）严格地按要求在α中增加。第二步：为了所有人≥ 1，α>α，BRd（α） BRd（α）。紧接着是第1步和第3.1节BRD的定义。第3步：如果u、u是平均场策略，则u（d）≥ u（d），然后是α（u）≥ α(u). 这是因为α（·）的参数是线性的，具有非负系数。第四步：完成证明。现在假设有两个平均场平衡（u*, α*) 和（u0*, α0*), α0*> α*.

第二步，因为*∈ BR（α）*) 和u0*∈ BR（α0）*), 我们有*（d）≥ u0*（d） 。第3步，我们得到α*= α(u*) ≥ α(u0*) = α0*, 矛盾。Thustheα*在任何平均场中，均衡都必须是唯一的。因此*在这个意义上是独一无二的，这是需要的。定理2。现在想想，π（α，d）作为连接支架上连续变量d的函数[1，∞). 首先请注意（4）可以改写为π（α，d）=采用∏（α，d）- π延迟（α，d）=pAH+（1）- p） AL+ηp（1）- α） d+pAH（1- α） 对于任何α∈ (0, 1), π（α，d）是d的非递减函数和d的凸函数之和。因此∏（α，d）在d中是凸的。因此，它也是拟凸的，因此是(-∞, 0）是一个凸集，具体来说，是一个区间[1，y]，如果π（α，1）<0或区间（x，y），其中x≥ 1.否则。这些区间中的整数（即[1，y）TN+或（x，y）TN+）代表延迟采用是严格最佳响应的代理的程度，即{d:BRd（α）={0}。因此，对于严格采用是严格最佳响应的代理的程度，即{d:BRd（α）={1}}，位于该间隔之外，即在支撑度的任一端或两端。这个结果适用于这里的集合关系A B意味着所有x∈ A和y∈ B、 x≤ y、 任意一对（u，α），其中u∈ BR（α）和α∈ (0, 1). 因此，它适用于任何平均平衡（u*, α*) 这样α*∈ (0, 1).请注意，任何平均场平衡*具有相同的对应α*= α(u*) （参见定理1）。让d*L=sup{z:BRd（α*) = {1} ，对于所有d<z}和d*U=inf{z:BRd（α*) = {1} 对于所有d>z}定义了一对阈值d*d土地*Uvalid适用于平均场平衡中可能出现的所有策略，即任何策略*以至于*∈ BR（α）*) 和α*=α(u*).提议1。第（1）部分：我们首先在命题的第一部分证明η的存在。我们给出了一个充分的条件。

让我们证明存在这样的ηη < η,π（α，\'d）- 1) > 所有α的∏（α，`d）∈ (0, 1). 首先请注意，使用（4），我们可以π（α，`d）- π（α，\'d）- 1） =ηp（1）- α) - α-pAH（1）- α） \'d-1（18）对于任何α∈ （0,1），如果η<αpAH（1-α） \'d-1p（1）-α） ，则（18）的RHS为负值，因此π（α，`d）<π（α，\'d）- 1). 请注意，当η=0时，这显然也是正确的，对于η的小正值（即η<η），通过连续性（对于任何α）保持如此∈ （0,1），给出任何定义，对于某些η>0）。根据π（α，d）在d中（参见定理2的证明），通过归纳得出π（α，d+1）<π（α，d），适用于所有1≤ d</d.注意，在任何最佳响应中∈ BR（α）到α，u（d）=1π（α，d）>0，且u（d）=0π（α，d）<0。自从π（α，d）在d中严格递减，对于任何η<η，我们现在设置η=sup{η：d*U> 因此η是最大的η，因此每个平均场平衡都可以用d来表征*U> 第（2）部分：我们给出了一个充分的条件。让我们证明存在“η”∞ 以至于η > η, Π(α, 1) < π（α，2），对于所有α∈ (0, 1). 首先请注意，使用（4），我们可以Π(α, 2) - π（α，1）=ηp（1）- α) - 多环芳烃（1）- α - (1 - α） ）=p（η- 啊）- α（p（η）- 啊)+pAH(1)- α） 我们验证了当η>η=AH时，Π(α, 2) - 对于所有α，π（α，1）>0∈ (0, 1). 注意Π(α, 2) - π（α，1）是α的一个函数和α的一个纯二次函数之和。二次项在期望的α范围内严格为正。当η>AH时，α项也几乎为正。因此Π(α, 2) > 任何α的∏（α，1）∈ （0，1），当η>η时。根据π（α，d）在d中（参见定理2的证明），后面是归纳法π（α，d+1）>π（α，d），对于所有d≥ 1.自从π（α，d）在d中严格增加，η>η的结果如下。我们现在设置η=inf{η：d*L=0}。第（3）部分：。

通过在证明的前两部分中构造η和η，可以得出任何η<η<η*L=0或d*U> “d”是一个矛盾。因此，我们得出结论，对于所有η<η<η，任何平均场平衡都可以用一些d*L≥ 1和D*U≤\'d.注意，如果BRd（α*) 6={1}对于d=1，我们设置d*L=1。提议2。让我们*和u0*平均场平衡出现在分布f和f下，分别为和letα*= α(u*) α0*= α(u0*).我们从证明命题的第一部分开始。假设α0*> α*. 然后BR（α0*) BR（α）*) （参见定理1的证明，第2步）。因此我们有u0*（d）≤ u*（d） 对于所有的d，我们从中得到：α0*=除息的≥1f（d）u0*（d）≤除息的≥1f（d）u*（d） 。（19） 由于η<η（~f），u*必须是较低的阈值策略，即存在d*l对于所有d<d的情况，u（d）=1*对于所有d>d，焊盘u（d）=0*L.换句话说，就是*是一个递减函数。因为一阶随机支配着f和u*在下降时，我们得到：Xd≥1f（d）u*（d）≤除息的≥1f（d）u*（d） =α*,当与（19）结合时，得到α0*≤ α*, 矛盾。我们得出结论，α0*≤ α*,按要求。命题第二部分的证明以类似的方式进行。我们假设α0*< α*, 所以BR（α0*)  BR（α）*), 逆转（19）中的不等式：α0*=除息的≥1f（d）u0*（d）≥除息的≥1f（d）u*（d） 。（20） 此外，由于*是一种上限策略（参见命题1），我们得出结论，它正在增加，因此：≥1f（d）u*（d）≥除息的≥1f（d）u*（d） =α*,当与（20）结合时，得到α0*≥ α*, 矛盾。我们得出结论，α0*≥ α*,按要求。提议3。在（4）中设置η=0，并将价格和压力纳入π（α，d）=p（AH+AH）+（1）- p） 艾尔- P- p（啊- P） +P（啊- P） （1）- α） 我们将注意力限制在P<AH的情况下，否则就不会有药物延迟使用。

体贴的收获π（α，d）作为连续变量d在连接支承上的函数[1，∞).对于任何α∈ (0, 1), π（α，d）是d的严格递减函数。其结果如命题1第（1）部分所示。提议4。该证明与命题1第（2）部分的证明基本相同。首先请注意，使用（4）并结合价格和P，我们可以Π(α, 2) - π（α，1）=ηp（1）- α) - p（啊- P） （1）- α - (1 - α） ）=p（η- （啊- P） )- α（p（η）- （啊- P） ）+P（啊- P） （1）- α） 我们将注意力限制在P<AH的情况下，否则没有代理延迟采用。η+=AH- P、 因此，如果η>AH- P、 然后Π(α, 2) > 任何α的∏（α，1）∈ (0, 1).根据π（α，d）在d中（参见定理2的证明），通过归纳得出：π（α，d+1）>π（α，d），对于所有d≥ 1.因此π（α，d）在d中严格递增，其结果如命题1的第（2）部分所示。提议5。首先，我们认为，至少一种类型的分离均衡导致正利润并不存在。由于消费者永远不会以非负价格购买已知的低价商品，因此分离均衡必须涉及低价商品的零利润。为高端产品赚取正利润的策略必须在第一阶段有一个正价格，否则所有消费者都可以在第一阶段以0或更低的价格获得产品（考虑到通过分离被认为是高端产品），因此永远不会支付正价格。

如果一些消费者在第一阶段以正价格购买，那么这不可能是一个分离均衡，因为低类型必须在分离均衡中获得0利润，而可能会偏离以模仿高类型，并在第一阶段获得正利润，在下一阶段没有销售（因为没有人会购买，因为第二阶段的价格是非负的，因此不会进行推荐付款）。接下来，让我们来研究池均衡。我们证明了均衡路径上的贝叶斯信度sp{θ=H | P，P，η}与均衡博弈是一致的。当θ为H或L时，将垄断（^P，^P，^η）作为一个纯策略进行展示。这样消费者就无法通过观察定价政策来推断关于θ的任何信息。因此P{θ=H|^P，^P，^η}=P，也就是说，后一个等于前一个。我们现在证明了策略是顺序理性的。考虑到（^P，^P，^η）被垄断者视为纯粹的策略，消费者扮演着重要角色*∈ EQ（^P，^P，^η），这是他们对该定价政策的最佳反应，因为他们相信{θ=H |P，^P，^η}=P。对于垄断者，当θ=H时，该政策（^P，^P，^η）通过构造导致非负收益π（^P，^P，^η，H）。另一方面，任何偏差（P，P，η）6=（^P，^P，^η）都会导致消费者形成信念P{θ=H |P，P，η}=0，这意味着不采用（即，μ）*= 0）因此为零，即π（P，P，η，H）=0。由此得出π（^P，^P，^η，H）≥π（P，P，η，H）表示任意（P，P，η）。同样，对于垄断者来说，当θ=L时，策略（^P，^P，^η）通过构造导致非负收益。另一方面，任何偏差（P，P，η）6=（^P，^P，^η）都会导致消费者形成信念P{θ=H |P，P，η}=0，这意味着不采用（即，μ）*= 0）因此为零，即π（P，P，η，L）=0。

由此得出π（^P，^P，^η，L）≥π（P，P，η，L）表示任意（P，P，η）。因此，我们展示了顺序合理性。然后，垄断者在世界的每个状态θ中选择定价策略（P，P，η）H=（P，P，η）L=（^P，^P，^η）∈ {H，L}和消费者*∈ EQ（^P，^P，^η）具有后验信度{θ=H |P，^P，^η}=P和播放u*= 对于任何其他策略（P，P，η），P{θ=H | P，P，η}=0，6=（^P，^P，^η）构成一个完美的贝叶斯均衡*（PBE）*).提议6。我们将首先排除一些价格。让P>A，然后∏采用（α，d）=A-对于任何d，P<0，因此任何药物的最佳反应都是不要过早采用。这导致α=α（u）=0，因此既不早采用也不晚采用，因此ρ（P，P，0，H）必须等于0。因此，我们可以将注意力限制在P上≤’A.同样，P>AH会导致AH的第二期支付- 晚领养时P<0，因此任何代理人的最佳反应是不晚领养。因此，我们可以将注意力限制在P上≤ 啊。我们现在将证明，任何具有某个阈值的较低阈值策略u都可以通过某个双价格策略调整为唯一均衡。设α=α（u）为相应的邻居采用概率。然后对于一些P<AH，我们可以找到一个特殊的rp<a，使得∏采用（α，d）=a- P=P（1）- (1 - α） （啊- P） =延迟（α，d）（21）对于这样一对P，P，一个d级的代理是不一样的，d级<d级的代理严格地说更喜欢提前采用，而d级>d级的代理严格地说更喜欢晚采用。然后选择dL度的试剂策略，即u（dL），使α=α（u）。只有一个这样的μ（dL）。因此，我们已经证明，对于任何较低的阈值策略u，都存在一对P，Psuch，该u作为唯一的平衡被维持。注意，从（21）开始，P。

事实上，有越来越多的序列SP1，k↑ A和P，k↑“一个这样的国家”∈ EQ（P0，k，P1，k，0）是所有k的唯一平衡策略。要看到这一点，让P1，k↑ a可以是任何单调递增的序列，收敛到a。然后，简单地设置P0，k=\'A- p（1）- (1 - α） （啊- P1，k）。由于等式（P0，k，P1，k，0）是一个单集，从（6）我们可以写出ρ（P0，k，P1，k，0，H）=P0，kβ（u）+P1，kγH（u）（22）。注意ρ（P0，k，P1，k，0，H）在k中严格递增。此外，因为我们已经证明，任何较低的阈值策略u都可以作为递增序列P1，k的适当选择来维持唯一的平衡↑ A和P，k↑我们可以写出πD（\'A，啊，H）=lim supP↑“A，P↑AHρ（P，P，0，H）（23）=最大{u：dU=∞}\'Aβ（u）+AHγH（u）（24）>max{u：dU=∞}Pβ（u）+PγH（u）（25）=lim supP↑P、 P↑对于任何P<A和P<AH，Pρ（P，P，0，H）（26）=πD（P，P，H）（27）。第一个平等只是（11）中对利益的定义。第二个等式来自limP0，k↑\'A，P1，k↑序列P1，k的AHP0，kβ（u）+P1，kγH（u）=Aβ（u）+AHγH（u）↑ A和P，k↑“一个这样的国家”∈ EQ（P0，k，P1，k，0）对于任何k，并且根据以下事实，任何较低阈值策略u都可以在适当选择此类序列的过程中保持为单峰平衡。然后得出^πD=maxP，PπD（P，P，H）=πD（\'A，AH，H）。定理3。第（i）部分：注意，对于具有α平衡的d-正则网络，使用（6）的结果是：ρ（P，P，η，H）=α（P- η(1 - α） d）+（1）- α)(1 - (1 - α） d）P.（28）接下来，注意如果α∈ （0,1），那么代理的差异意味着早期采用的预期效果等于等待的预期效果：- P+Pη（1）- α） d=p（1）- (1 - α） d）（啊- P） 。（29）因此，解（29）的任何P，η组合都可以得到相同的α。注意从（28）和（29）开始∈ （0,1），利润与P成正比- η(1 - α） d，而在P中，试剂的差异条件是线性的- pη（1）- α） d。