高维期权的定价

我们模型的构建块是一维过程。为了使我们的结果更具体，我们假设所有一维分量都是具有不同参数的KoBoL过程。对于这类过程，我们给出了一个完整的证明，证明了一个特定参数选择的特征指数。我们引入（λ）的概念-, λ+-解析性，在研究密度函数中也是很有用的。证明了任意一个ν阶KoBoL过程∈ （0，1/2）是（0，λ+）-解析的。它允许我们在密度函数表示中考虑一类一般的轮廓变形。观察到[15]中考虑了一类非常特殊的骨骼变形。4.2基本结果我们从基本定义和结果开始。概率空间(Ohm, F、 P）是一个集合的完整集Ohm, 子集F的容许族F, 2.Ohm还有一张地图P:F-→ [0，1]这样1。Ohm ∈ F和 ∈ F.2。如果∈ F代表任何n∈ N、 然后∞[n=1An∈ F∞\\n=1An∈ F.3。如果∈ F、 然后Ac∈ F.4。0≤ P（A）≤ 1，P(Ohm) = 1和P() = 0.5. 如果∈ F代表任何n∈ N和An∩ Am=, n、 m∈ N、 N 6=m，然后p∞[n=1An=∞Xn=1P（An）。一家人, 2.Ohm满足1,2和3的称为σ-代数，性质为4和5的映射称为概率测度。让(Ohm, F、 P）bea概率空间。设B（Rn）为Rn上所有Borel集的集合，其中σ为-Rn中所有开集生成的代数，即最小σ-代数包含Rn中的所有开集。如果实值函数是B（Rn）可测的，则称其为可测（Borel可测）。A映射X：Ohm -→ 瑞尼桑-有值随机变量，如果它是F-可测的，即对于任何B∈ B（Rn）我们有{ω| X（ω）∈ B}∈ F

随机过程X={Xt}t∈R+是公共概率空间上的单参数随机变量族(Ohm, F、 P）。进程X的轨迹是一个映射器+-→ Rnt 7-→ Xt（ω），其中ω∈ Ohm Xt=（X1，t，··，Xn，t）。对于固定的0≤ t<t<··<tm，m∈ N和Borel可测集Bk Rn，0≤ K≤ m考虑mapB（Rmn）-→ R+Q1≤K≤mBk7-→ P[Xt∈ B、 ···，Xtm∈ Bm]，定义了B（Rmn）上的概率度量。X的有限维分布系统是所有选择0上所有此类度量的族≤ t<t<··<tm，m∈ N.两个随机过程X和Y在定律上是相同的，如果它们的有限维分布系统是相同的，则写为Xd=Y（或X=Ymod（定律））。考虑由圆柱集生成的σ-代数F，称为Kolmogorov的σ-代数。定理5（科尔莫戈罗夫扩张定理）假设≤T≤ ··· < T和m∈ 给出了nA分布Γt，··，tM。如果有B、·Bm∈B（Rn）我们有γt，tmmYs=1Bs！=νt，···，tk-1，tk+1，··，tmY1≤s≤m、 s6=kBs, Bk=Rn那么F上存在一个唯一的概率测度P，它以{t，··，tm}作为其有限维分布系统。在[58]和[16]中可以找到这种说法的不同证明。X={Xt}t∈R+被称为L’evy过程（具有平稳独立增量的过程）if1。随机变量Xt，Xt- Xt，··，Xtm- Xtm-1，对于任何0≤ t<t<··<t和m∈ N是独立的（独立增量性质）。X=0 a.s.3。Xt+τ的分布- Xt与τ（时间均匀性或平稳增量特性）无关。它是连续的，即limτ→tP[| Xτ- Xt |>]=0表示任何>0和t≥ 0.5. 有Ohm∈ F和P(Ohm) = 1，对于任何ω∈ Ohm, Xt（ω）在[0]上是右连续的，∞) 并在（0，∞).一个满足1-4的过程在法律上被称为勒维过程。

加法过程是指满足1,2,4,5的随机过程，以及满足1,2,4的加法过程。让x，y∈ Rn，x=（x，…，xn），y=（y，…，yn），hx，yi是Rn中常见的标度积，即hx，yi=nXk=1xkyk∈ 兰德| x |：=hx，yi1/2。设C（Rn）是rnap上的连续函数空间，p-可积函数f:Rn7的一般空间是Rn（Rn）→ R（或f:Rn7）→ C） 配备标准Kfkp=kfkLp（Rn）：=(RRn | f（x）| pdx1/p，1≤ p<∞,ess supx∈Rn | f（x）|，p=∞.对于Rn上的有限度量（即，如果γ（Rn）<∞) 我们定义了它的四个变量asF（Γ）（y）=ZRnexp(-i hx，yi）Γ（dx）及其形式逆Γ（dx）=F-1.o F（γ）（dx）=（2π）nZRnexp（i hx，yi）F（γ）（y）dy.卷积* Rn上的两个度量值之一的Γ被定义为Γ（B）=ZRn×RnχB（x+y）Γ（dx）Γ（dy）<∞,式中χB（x）：=1，x∈B、 0，x/∈ 可测集合B的特征函数 注册护士。概率测度Γ被称为完全可除的，如果对于任何m∈ N有一个可能性的度量，使得Γ=Γ（m）* · · · * Γ（m）|{z}m.已知如果Γ是不可整除的，则存在唯一的连续函数φ：Rn→ C使得φ（0）=0和exp（φ（y））=F（Γ）（y）（se e，例如[96]，第37页）。任何L′evy过程的XT分布的特征函数Φ（x，t）可以正式定义为Φ（x，t）：=E[exp（i hx，Xti）]=exp（-tψ（x））=（2π）nF-1（pt）（x），其中pt（x）是Xt，x的密度函数∈ Rn，t∈ 函数ψ（x）是唯一确定的。这个函数称为特征指数。反之，一个L’evy过程X={Xt}t∈R+由其特征指数ψ（x）唯一确定。

具体来说，ptt可以表示为aspt（·）=（2π）-nZRnexp(-i h·，xi- tψ（x））dx=（2π）-nF（exp(-tψ（x））（·）。我们说矩阵a是非负定义（或正半定义）ifx*斧头≥ 0代表所有x∈ Cn（或代表所有x）∈ 对于真正的matr ix），其中x*是共轭转置。矩阵A是非负定义的，它产生于一组向量v，···，vn的Gram矩阵，即A=（ai，j）=hvj，vii。下面的经典结果在我们的分析中起着关键作用。定理6（列维-钦钦公式）设X={Xt}t∈R+在Rn上是一个L’evy过程。那么它的特征指数可以表示ψ（y）=-嗨，易- 伊-ZRn（1）- 经验（ihy，xi）- ihy，xiχD（x））π（dx），（4.1），其中χD（x）是D的特征函数：={x∈ Rn，|x |≤ 1} ，A是非对称非负有限n×n矩阵，h∈ Rnand∏（dx）是一种测量RN的方法，使得Zrmin{1，|x |}∏（dx）<∞, Π({0}) = 0. （4.2）∏的密度称为L′evy密度，A是协方差矩阵。特别是，如果A=0（或A=（aj，k）1≤j、 k≤n、 aj，k=0）则L′evy过程是纯非高斯过程，如果∏=0，则过程是高斯过程。定义7：如果L’evy过程的样本路径在每个紧凑时间间隔上都有有界变化，则我们认为L’evy过程有界变化。一个L’e vy过程具有有界变化i ffa=0和Zrnmin{x |，1}∏（dx）<∞, π（{0}）=0（见例[10]，第15页）。在[43,44,45,96,1,87]中可以找到对L’evy过程理论的系统阐述。4.3一类随机系统在本节中，我们引入一类随机系统来模拟多维回报过程。设X1，t，··，Xn，tand Z1，t，··，Zn，tbe为独立随机变量，密度函数为p（1）1，t（x），·，p（1）n，t（Xn）和p（2）1，t（x），·p（2）n，t（xn）和特征指数ψ（1）和ψ（2）m，1≤ s、 m≤ 相应地。

设Xt=（X1，t，··，Xn，t）t，Zt=（Z1，t，··，Zn，t）和B=（bj，k）是大小为n×n的实矩阵。考虑随机向量Ut=（U1，t，··，Un，t）t，Ut=Xt+BZt。（4.3）矩阵B反映了过程U1、t、··、Un、tin和模型之间的依赖关系。对于s隐式，假设E[Xs，t]=0，E[Zs，t]=0，1≤ s≤ n、 var（Xs，t）=var（Zs，t）=vtbs，k=1，1≤ s、 k≤ n、 检查是否有s和l是很有必要的，1≤ s 6=l≤ n相关系数ρ（Us，t，Ul，t）：=E[Us，tUl，t]E美国，t伊胡尔，蒂1/2在我们之间，t=Xs，t+nXk=1bs，kZk，t，Ul，t=Xl，t+nXk=1bl，kZk，tisρ（Us，t，Ul，t）=n（n+1）-1.这反映了我们的经验：如果市场处于危机中，那么股票价格高度相关（见http://www.economicsofcrisis.com/lit.html更多信息）。下一条语句给出了返回过程Ut的特征函数的显式形式。定理8设Ut=Xt+BZt，B=（bm，k）。然后在我们的符号中，uth的特征函数Φ（v，t）的形式为Φ（v，t）=（2π）nnYs=1F-1.p（1）s，t!（v） F-1nYm=1p（2）m，t！英国电视台,= 经验(-其中ψ（v）=nXs=1ψ（1）s（vs）+nXm=1ψ（2）mnXk=1bk，mvk！。证据以R2n的转变为例→ R2nde定义的asUt=Xt+BZt，Zt=Zt。反比由xt=Ut给出- BZt，Zt=Zt，或XtZt=我-B0 IUtZt这个变换的雅可比J=det我-B0 I= 1，其中I=In×n是一个恒等式。密度函数ept（u，z）=ept（u，·u，un，z，·zn）由ept（u，z）=nYs=1p（1）s，tus给出-nXm=1bs，mzm！nYl=1p（2）l，t（zl）。这意味着Utispt（u）的密度函数pt（u）=ZRnept（u，z）和特征函数的形式为Φ（v，t）：=E[exp（i，vi）]：=exp(-tψ（v））=ZRnexp（i-hu，vi）pt（u）du=ZRnexp（i-hu，vi）ZRnept（u，z）dzdu=ZRnexp（i-hu，vi）ZRnnYs=1p（1）s，tus-nXm=1bs，mzm！nYm=1p（2）m，t（zm）dz！du=ZRnnYs=1ZRp（1）s，tus-nXm=1bs，mzm！exp（iusvs）dus！nYm=1p（2）m，t（zm）dz。

（4.4）在最后一行中，我们应用了富比尼定理（见附录一，定理39富比尼定理）。让ξs=us-Pnm=1bs，mzm，1≤ s≤ n、 ThenZRp（1）s，tus-nXm=1bs，mzm！exp（iusvs）dus=ZRp（1）s，t（ξs）expiξs+nXm=1bs，mzm！vs！dξs=expivsnXm=1bs，mzm！ZRp（1）s，t（ξs）exp（iξsvs）dξs=expivsnXm=1bs，mzm！2πF-1.p（1）s，t（vs）。（4.5）比较（4.4）和（4.5），我们得到Φ（v，t）=ZRnnYs=1expivsnXm=1bs，mzm！2πF-1.p（1）s，t（vs）！nYm=1zm，t（zm）dz=nYs=12πF-1.p（1）s，t（vs）ZRnnYs=1expivsnXm=1bs，mzm！！nYm=1p（2）m，t（zm）dz=nYs=12πF-1.p（1）s，t（vs）ZRnexpinXs=1vsnXm=1bs，mzm！！nYm=1p（2）m，t（zm）dz=nYs=12πF-1.p（1）s，t（vs）ZRnexp（i hv，Bzi）nYm=1p（2）m，t（zm）！dz=nYs=12πF-1.p（1）s，t（vs）ZRnexp我BTv，znYm=1p（2）m，t（zm）！dz=nYs=12πF-1.p（1）s，t（vs）F-1nYm=12πp（2）m，t！英国电视台,其中AT=（ak，j）是A的转置。因此Φ（v，t）=nYs=1exp-tψ（1）s（vs）nYm=1exp-tψ（2）mnXk=1bk，mvk！！=经验-tnXs=1ψ（1）s（vs）+nXm=1ψ（2）mnXk=1bk，mvk！！！。4.4篮子期权的充分等价鞅测度条件在本节中，我们为我们的模型指定了e等价鞅测度条件。在等价鞅测度下，所有资产都具有相同的预期收益率，即无风险收益率。这意味着在无风险条件下，投资者在市场上的风险偏好不会参与估值决策。请记住，一般来说，Q不是唯一的。[33]证明了等价鞅测度的类是如此丰富，以至于某个区间[a，b]中的每一个price都可以通过一个特定的鞅测度得到。我们假设Q已经确定，所有预期都将根据这一指标进行计算（更多信息见附录三）。考虑一个由无风险债券B和股票S组成的无摩擦市场。在选择的等价鞅测度Q下，该市场S由指数L’evy过程S=St=Sexp（Xt）建模。

假设无风险评级者是常数。定理9设D为ψQ（ξ）和R的域∪ {-我} D、 然后用ψQ表示(-i） =-r、 证据。折扣价格过程，由St=exp给出(-rt）St=exp(-rt）Sexp（Xt）必须是选择的等价鞅测度Q下的鞅，即对于任何0≤ l<t≤ T martinga-le条件必须为~Sl=EQh~St | Fli（更多信息见附录三）。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设l=0。然后去纽约∈ （0，T）我们有S=Sexp(-r0）=S=EQ[Sexp(-rt）exp（Xt）|F]=EQ[Sexp(-rt）·exp（Xt）]=SEQ[exp(-rt）·e xp（Xt）]。由于S>0，则等于[exp(-rt）·exp（Xt）]=1，orexp（rt）=EQ[exp（Xt）]。（4.6）自ψ(-（一） D然后通过对特征的定义(-tψ(-i） ）=EQ[exp（i）(-i） Xt）]=EQ[exp（Xt）]。因此，既然t>0，那么从（4.6）可以得出r=-ψ(-i） 。ψQ（ξ）的一个常用条件是它允许解析延拓进入{z|- 1.≤ IZ≤ 0}（参见，例如[72]第83页）。我们现在指定系统（4.3）的等价鞅测度条件。定理10让股票价格由s，t=Ss，0exp（Us，t），1来建模≤ s≤ n、 域D 特征指数ψq的Rn+iRnof包含Rn∪(∪nk=1{-其中{ek，1≤ K≤ n} 是Rn中的标准基础。然后ψQ(-ies）=-r、 一,≤ s≤ n、 （4.7）证据。O观察任何1≤ s≤ 在折扣价格过程Ss中，t必须是选择的等价鞅测度Q下的鞅。设ψQs（xs）为Us，t.Thenexp的特征指数-tψQs（xs）= EQ[exp（ixsUs，t）]=EQ[exp（hix，Us，tesi）]=exp-tψQ（xses）.因此，通过定理9，我们得到r=-ψQs(-i） ，给出了n个方程组ψQ(-ies）=-r、 一,≤ s≤ N观察到，通常无风险利率可能取决于s。在这种情况下，我们得到系统ψQ(-ies）=-rs，1≤ s≤ n、 4.5 KoBoL家族在本节中，我们研究所谓K-oBoL家族的特征指数。

这个想法是基于一个简单的观察。根据L’evy Khintchine公式（4.1），如果我们可以显式计算∏（dx）的逆傅里叶变换，则可以显式地找到ψ（ξ）。因此，[14]的作者建议考虑以下形式的∏（dx），∏（dx）=| x |αexp(-β| x |）dx，其中α和β是固定参数。让λ-< 0<λ+，π+（ν，λ+，dx）=（max{x，0}）-ν-1exp(-λ+x）dx和∏-(ν, λ-, dx）=（最大值）{-x、 0}）-ν-1exp(-λ-x） dx，其中ν<2。定义11如果L’evy过程是纯非高斯过程，且L’evy测度的形式为∏（dx）=c+π+（ν，λ+，dx）+c，则称为Ⅴ<2阶KoBoL过程-Π-(ν, λ-, dx），其中c+>0，c-> 0，λ-< 0 < λ+.我们称ν为过程的顺序，λ+和λ-深度参数和c+和c-该过程的强度参数。参数λ-（分别为λ+确定密度函数右（分别为左）尾的指数衰减率。很容易看出条件（4.2）是满足的，即ZRmin1，xc+π+（ν，λ+，dx）+c-Π-(ν, λ-, dx）< ∞.此外，如果ν<1，则nzrmin{1，|x |}c+π+（ν，λ+，dx）+c-Π-(ν, λ-, dx）< ∞,i、 e.KoBoL工艺具有有限的变量，其有效值小于1。引理12（[14]，第70页）如果ν∈ (0, 1) ∪ （1，2）则ψ（ξ）=-i+c-Γ (-ν) ((-λ-)ν- (-λ-- iξ）ν）+c+Γ(-ν)λν+- （λ++Ⅰξ）ν. （4.8）如果ν=0，则ψ（ξ）=-i+c-[ln(-λ-- iξ）- 在(-λ-)]+c+[ln（λ++iξ）- lnλ+]。如果ν=1，则ψ（ξ）=-i+c-[(-λ-) 在(-λ-) - (-λ-- iξ）ln(-λ-- iξ）]+c+[λ+lnλ+- （λ++Ⅰξ）ln（λ++Ⅰξ）]，其中u∈ R、 c±>0和λ-< 0 < λ+.[14]中引理12的证明是不完整的。下一个陈述给出了表示（4.8）的完整证明，这在我们的应用中很重要。定理13∈ （0，1）那么在我们的符号ψ（ξ）=-i+c-Γ (-ν) ((-λ-)ν- (-λ-- iξ）ν）+c+Γ(-ν)λν+- （λ++Ⅰξ）ν, （4.9）其中u是实参数。证据

仅证明∏+（ν，λ，dx）的陈述是有效的，即-ψ+（ξ）：=ZRexp（ixξ）- 1.- ixξχ[-1,1]（x）π+（dx）=ZRexp（ixξ）- 1.- ixξχ[-1,1]（x）max{x，0}-ν-1exp(-λx）dx=Z∞exp（ixξ）- 1.- ixξχ[-1,1]（x）十、-ν-1exp(-λx）dx=Z∞（exp（ixξ）- 1） x-ν-1exp(-λx）dx-iξZx-νexp(-λx）dx:=I（ξ，ν，λ）- iξD（ν，λ），其中D（ν，λ）：=Rx-νexp(-λx）dx andI（ξ，ν，λ）=-νZ∞（实验）(- (λ - iξ）x）- 经验(-λx）dx-ν= -ν（实验）(- (λ - iξ）x）- 前任警察(-λx）x-ν|∞--νZ∞(- (λ - iξ）exp(- (λ - iξ）x）+λexp(-λx）x-νdx=-λ - iξνZ∞经验(- (λ - iξ）x）x-νdx- λνΓ (-ν） ：=I- λνΓ (-ν) .改变变量z=（λ）- iξ）x在Iwe getI=-(λ - iξ）νZγexp(-z） z-νdz，其中γ是射线{z | z=（λ- iξ）x，λ>0，ξ∈ R}、λ和ξ是固定参数和x≥ 0.假设ξ≥ 0.案例ξ≤ 0可以被类似地对待。考虑轮廓η：=γ∪ γ∪ γ∪ γ、 式中γ：={z=ρexp（iθ）|0≤ θ ≤ arg（λ）- iξ），λ>0，ξ∈ R} ，γ：={z |ρ≤ Z≤ R、 z∈ R}，γ：={z=R exp（iθ）|0≤ θ ≤ arg（λ）- iξ），λ>0，ξ∈ R}，γ：={z | z=（λ）- iξ）x，ρ≤ |z|≤ R} 。函数exp(-z） z-ν在η限定的区域内是解析的，因此从柯西定理可以得出iηexp(-z） z-νdz=0且自ξ起≥ 那么对于我δ>0我们得到-π/2 + δ ≤ arg（λ）- iξ）≤ 0.亨塞利姆→∞Zγexp(-z） z-νdz= limR→∞Zarg（λ）-iξ）exp(-R exp（iθ））R-νexp(-iνθ）Ri exp（iθ）dθ≤πlimR→∞经验(-R cosδ）R1-ν= 0.观察thatlimρ→0Zγexp(-z） z-νdz≤ limρ→0Z2πexp(-ρe xp（iθ））ρ-νexp(-iνθ）ρi exp（iθ）dθ≤ 2πlimρ→0ρ-ν+1= 0.亨塞兹γexp(-z） z-νdz=ZR+exp(-z） z-νdz=Γ(-ν + 1) = -νΓ (-ν) .因此，我=-(λ - iξ）νZγexp(-y） y-νdy=Γ(-ν) (λ - iξ）ν和ψ+（ξ）=Γ(-ν) (λν- ((λ - iξ）ν）+iξD（ν，λ）。最后，项iξD（ν，λ）可以被视为iuξ的一部分，其中u∈ R是一个自由参数。观察参数（ν，c+，c-, λ+, λ-) 确定概率密度。

对于较大的ν和c±我们得到了较大的概率分布峰值。参数c+和c-λ时概率分布的控制不对称性-λ+确定指数衰减率为ξ→ ±∞.考虑条带中KoBoL指数ψ（ξ）的渐近行为Iξ ∈(λ-, λ++作为|ξ|→ ∞. 在接下来的内容中，我们将修改标准符号，zν=exp（νln z），其中，ν，z∈ C使得z6∈ (-∞, 0]和ln z表示定义在C上的ln z的分支(-∞, 所以ln（1）=0。引理14设c+=c-= c>0，ξ=ρexp（iφ）和Imξ∈ (λ-, λ+). ThenReψ（ξ）~ -ρν2cΓ(-ν） 因为πν如果Reξ→ ∞ 安德烈ψ（ξ）~ -ρν2cΓ(-ν） 因为πνcos（νπ）如果Reξ→ -∞.证据显然(-λ-)ν- (-λ-- iξ）ν~ -ρνexp我-π+ φνλν+- （λ++Ⅰξ）ν~ -ρνexp我π+ φνasρ→ ∞. 自从c-= c+=c然后ψ（ξ）=-i+c-Γ (-ν) ((-λ-)ν- (λ-- iξ）ν）+c+Γ(-ν)λν+- （λ++Ⅰξ）ν~ -iμρexp（iφ）- 2cΓ(-ν） exp（iνφ）cosπνρν.HenceReψ（ξ）~ ρusinφ+ρν2c-Γ (-ν） 因为πνcos（νφ）。（4.10）为了完成证明，我们指出φ→ 如果Reξ为0→ ∞ φ→ πifReξ→ -∞ 在长条上∈ (λ-, λ+). 推论15 Letν∈ （0，1/2），ξ=ρexp（iφ）和Imξ∈ (λ-, λ+). 然后，相应的特征函数Φ（ξ，t）=exp(-tψ（ξ））可以估计为|Φ（ξ，t）|=| exp(-tψ（ξ））|≤ 经验(-tReψ（ξ））。经验2tρνcΓ(-ν） 因为πν如果Reξ→ ∞ 和|Φ（ξ，t）|。经验2tρνcΓ(-ν） 因为πνcos（νπ）如果Reξ→ -∞. 特别是，如果∈ （0，1/2）然后(-ν） 因为πνcos（νπ）<0和|Φ（ξ，t）|<< 经验(-Ct|ξ|ν），|ξ|→ ∞, Imξ∈ (λ-, λ+) .例16在这一点上，我们给出了特征指数ψ（ξ）的两个更重要的例子，它们在金融市场的实证研究中具有实用价值。备注：Madan及其合作者[80]、[81]首次在金融市场研究中应用方差伽马过程。