高维期权的定价

因此（实验（y）- 前p（y）- 1） +exp（hy，i）L（R\\（P-kdk∞)Q）<< 经验Pmax{-, + + 1}, P→ ∞其中++1<0，>0。附录一：0<p<∞, lp是由所有序列c={ck，k组成的空间∈ Zn}令人满意的Xk∈锌| ck | p<∞.如果p≥ 1，然后kCkP:=Xk∈Zn | ck | p！1/pde定义了lp的规范。如果p=∞, 然后是l的标准∞由KCK定义∞:= 高级大床房∈锌| ck |。如果1≤ P≤ ∞, 那么lp是一个关于normkkp的完全非rmed空间，因此是一个Banach空间。让我≤ P≤ ∞ 及(Ohm, F、 ν）是函数F的度量空间：Ohm → Rsuch thatkfkp，ν=kfkp：=(ROhm|f|pd|1/p，1≤ p<∞,ess sup | f |，p=∞)< ∞.在这种情况下，我们说f∈ Lp=Lp(Ohm, F、 ν）。任何一个≤ P≤ ∞, Lpis是阿巴纳空间。设L为Lebesgueσ-代数，dy b为Lebesgue测度。定理37（杨氏不等式[98]，[49]）设f∈ Lp（Rn，L，dy），g∈Lq（Rn，L，dy）和1/p+1/q=1/r+1。森克≤ KfkKKQ。定理38（Jensen不等式）Let(Ohm, F、 是一个概率空间，即(Ohm) = 1.让f：Ohm → R是Γ-可积函数，g:R→ R是一个凸函数。然后OhmGo fd~n≥ GZOhmfd~n.Fubini和Tonelli定理Fubini定理允许我们使用迭代积分计算二重积分。因此，它为我们提供了改变积分顺序的充分条件。它是亲生育理论的核心工具之一。定理39（富比尼定理）假设（A，F，Γ）和（B，F，Γ）是完全测度s空间。假设f（x，y）在A×B上是可测的。

IfZA×B|f（x，y）|d|d|∞,其中，积分是关于a×B上的乘积测度Γ×Γ，则ZA×Bf（x，y）dΓdΓ=ZAZBf（x，y）d~ndü=ZBZAf（x，y）d~ndü。IfRA×B | f（x，y）| d|d|=∞, 那么右边的两个迭代积分可能有不同的值。如果Ohm 是可测集与有限测度的可数并。概率论的另一个重要定理是下面的陈述。定理40（托内利定理）设（A，F，γ）和（B，F，γ）是两个σ-有限测度空间和f（x，y）是一个Γ×Γ可测函数，使得f（x，y）≥ 0,  （x，y）∈ A×B thenZA×Bf（x，y）dādā=ZAZBf（x，y）d~ndü=ZBZAf（x，y）dДdü。任何概率空间都有一个σ-有限测度。在这种情况下，托内利定理简单地说，如果f（x，y）≥ 0,  （x，y）∈ A×B然后我们可以在没有硬条件的情况下改变积分的顺序∞ 奥富比尼定理。Radon-Nikodym定理(Ohm, F、 作为测量空间。假设Γ和Γ是一个可测集合上的两个测度(Ohm, F） 和Γ（A）=0=> Γ（A）=0，则我们认为Γ与对Γ的响应完全连续（或由Γ控制）。在这种情况下，我们应该写下<< υ. 如果你<< 和<< υ、 可以说，测量值γ和γ是等效的 υ.定理41（Radon-Nikodym）设Γ和Γ是测度空间上的两个σ-有限测度(Ohm, F） 然后呢<< υ、 然后存在一个范围为R（f）的Γ–可测函数f [0, ∞), 用f=dν/dΓ表示，因此对于任何可测集A，我们有Γ（A）=ZAf·dΓ。有关更多信息，请参见，例如[97]。附录二：普朗谢尔定理为了证明反演公式的正确性，我们需要普朗谢尔定理（参见例[30]）。让我们输入符号L（Rn）：=Lp（Rn，L，dy）。定理42（普朗谢尔）傅里叶变换是从L（Rn）到L（Rn）的线性连续算子。

傅里叶逆变换-1.可以通过出租获得F-1克（x） =（2π）n（Fg）(-x） 对于任何g∈ L（Rn）。Riesz-Thrin和Riesz定理Riesz-Thrin插值定理是调和分析和概率论中的一个重要工具。这个定理限制了Lp=Lp之间线性算子的范数(Ohm, F、 ⑸）空间。定理43（Riesz Thorin，[107]）让(Ohm, F、 )及(Ohm, F、 ν）是有限的度量空间。假设1≤ p、 p，q，q≤ ∞, 设A为有界线性算子A∈ L（Lp，Lq）∩ L（Lp，Lq）。ThenkA | Lpθ→ Lqθk≤ kA | Lp→ Lqk1-θ·kA | Lp→ Lqkθ，θ ∈ [0,1]，其中pθ=1- θp+θp，qθ=1- θq+θq.定理44（F.Riesz，[107]v.2，第123页）让(Ohm, F、 是一个可测空间，ωk（x），k∈ zn可以是任意正交且一致有界的系统Ohm, i、 埃兹Ohmωk（x）ωm（x）dΓ=δk，m：=1，k=m，0，k6=mandsupx∈Ohm|ωk（x）|≤ LK∈ 锌，让我≤ P≤ 2.1. 如果f∈ Lp(Ohm, F、 则傅里叶系数k:=ZOhmf（x）ωk（x）d~n满足不等式kkkp′的条件≤ L2/p-1kfkp，其中c={ck，k∈ Zn}，1/p+1/p′=1和kCkq:=Xk∈Zn | ck | q！1/q，1≤ Q≤ ∞.2.给定任意序列c:={ck，k∈ Zn}与kckp岩相比，存在f∈Lp′(Ohm, F、 ⑸）满足性：=ZOhm所有k的f（x）ωk（x）d~n∈ Nnandkfkp′≤ L2/p-1个CKP。更多信息请参见[107,46,2]。附录三：鞅方法s和p r icing观察到，每次预测都是未来可能值的平均值。随机变量在一个不确定的未来可以假定的所有可能值都由与这些值相关的概率加权。因此，我们需要根据在时间τ上所述的信息来计算随机变量的预期值≤ T鞅理论通常用于这些目的。鞅（半鞅）是一类重要的随机序列，在衍生产品定价中有各种应用。

我们需要一些基本的定义。定义45二元关系 在集合a上，a是a元素的有序对（a，b）的集合。换句话说，它是Cartesian产品a=a×a的子集。定义46我们称之为二元关系 如果a是反对称的 b波段 a那么a=b，如果a是可传递的 b和b c然后a c和总计，如果a 博尔b a、 定义47总顺序是一种二元关系（由) 在传递的、反对称的、完全的集合A上。集合T与totalorder配对 被称为完全有序集（或链）。一般来说，决策者使用的信息会随着时间的推移而增加。人们很自然地认为决策者从不放弃过去的数据。因此，以下定义如下。定义48σ-代数族{Ft|t∈ T}，Ft F、 英尺 Ftift 在给定的概率空间中(Ohm, F、 P）被称为σ-代数的潮流（实验或过滤的潮流）。集合Ft可以解释为截至时刻t（包括）为止所进行实验中观察到的所有事件的类别。修正一个任意的集合T。让{Ft| t∈ T}是σ-代数的电流。定义49一系列随机变量{ξ（t），Ft，t∈ T}其中随机变量ξ（T）对于每个T是可测量的∈ T称为鞅ifE[|ξ（T）|]<∞,E[ξ（t）|Fs]=ξ（s），P- a、 美国 t、 s，t∈ TA族{ξ（t），Ft，t∈ T}被称为子鞅，ifE[ξ（T）|Fs]≥ ξ（s），P- a、 美国 t、 s，t∈ T，和超马氏体ifE[ξ（T）|Fs]≤ ξ（s），P- a、 美国 t、 s，t∈ T超鞅和次鞅称为半鞅。注：性质E[ξ（t）|Fs]=ξ（s），P- a、 美国 t、 s，t∈ 也就是说，对未观测到的未来值的最佳预测是对ξ（s）的最后一次观测。这里的所有预期都假定与概率测量P有关。

注意，鞅总是关于σ-代数{Ft|t的某个流定义的∈ T}和概率测度P。不幸的是，大多数金融资产不是鞅。对于insta nc e，债券的价格预计会随着时间的推移而上涨。此外，随着时间的推移，股票价格预计将平均增加。这意味着bt<E[Bs | Ft]，t<s<t，其中bt是在时间t到期的债券的价格，t是一个时间范围。显然，这与Bt=E[Bs | Ft]，t<s的条件相矛盾。同样，股票STM的预期回报率为正。因此，它不表现为鞅。欧洲类型期权的价格也是如此。尽管大多数金融资产不是鞅，但仍有可能将其转换为鞅。大多数已知的衍生品定价方法都采用了反映市场均衡的套利概念。这意味着，如果存在套利投资组合，就存在“免费午餐”的机会。在真实金融市场中，任何套利机会都将被试图利用该机会赚钱的经纪人的活动所消除，并自然进入均衡状态。我们后面的讨论表明，无论“交易”（或历史）概率是什么，如果没有套利机会，可以使用均衡假设下构造的概率度量来表示金融工具的实际市场价值。有关更多详细信息，请参见[94,55,31,50,24]。有两种常规方法可以继续。第一种方法基于onDo-ob-Meyer定理（参见，例如[45]，第25页，[94]页）。

141).定理50（Doob-Meyer分解）如果ξ（t），t≥ 0是关于Ft的右连续次鞅，那么ξ（t）允许分解ξ（t）=Mt+At，其中Mt是关于概率P的右连续鞅，Atis是关于Ft可测的递增过程。第二种方法基于改变概率测度的思想，使(-rt）Sta鞅。这种常用的导数定价方法基于Girsanov的theo-rem，并基于基本概率分布P的适当变化(-rt）Stis asubmartingale，即EP[exp(-rs）St+s | Ft]>St，s>0，其中EP[exp(-rs）St+s | Ft]是使用概率分布P计算的条件期望，然后应用Girs-anov定理，我们可以找到概率分布n Q（在相同的度量s速度上），这样eq[exp(-rs）St+s | Ft]=St，s>0。因此，exp(-strs变成了鞅。这种概率分布称为等价鞅测度。定义51标准布朗运动是一个随机过程X={Xt | t∈ R+}的状态空间满足以下性质：1。X=0（概率为1）。X有固定的增量。就是s、 t∈ [0, ∞), s<t，Xt的分布- XS与分布Xt相同-s、 三,。X有独立增量，或t、 ·tn∈ [0, ∞) 当t<···<tn时，随机变量Xt，Xt- Xt，··，Xtn- Xtn-你是独立的。4.XT为正态分布，T∈ [0, ∞) => Xt~ N（0，t）。概率为1，t7→ Xtis在[0]上继续，∞).定理52（Girsanov）考虑概率空间(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）。假设（Θt）0≤T≤这是一种适应过滤（Ft）0的方法≤T≤t过程如sds<∞ 过程（Lt）为0≤T≤这是一个鞅：Lt:=exp-ZtΘsdWs-ZtΘsds,这里是标准布朗运动。

然后在概率P（L）下，密度Lt相对于P，过程（W*t） 0≤T≤T、 W*t:=Wt+ZtΘsdis是标准布朗运动。如果所有等价鞅测度的集合EMM都是一个单态，则这类等价鞅测度市场模型称为完备。[23]给出了不存在套利和完全性的充分必要条件。定理53表示标准布罗夫尼运动和Nta标准泊松过程。假设STI既不增加也不减少。LetFt:=σ（Su，u）≤ t） 是St的自然过滤。那么模型St=Sexp（Zt）仅在以下情况下完成：（1）Zt=αWt+βt，（α，β）∈ R\\{α=0，β6=0}；（2） Zt=αWγt+βt，（α，β）∈ R、 γ>0，αβ<0。我们看到，与双曲型KoBoL模型相比，黑色Scho les mo de l是完整的。[33]中的n表明，集合EMM是SO富足的，在某个区间（a，b）中的每一个价格都可以通过一个特定的鞅测度得到。设r>0为恒速，u为漂移，∏为ztp下的L′evy测度。设EMM′为所有Q的子集∈Ztis againL’evy流程的EMM。如果系统（RRy1/2（x）- 1.π（dx）+R | x |>1（exp（x）- 1） y（x）π（dx）<∞u - r+RR（exp（x）- 1） y（x）- χD（x））π（dx）=0有一个解y:R→ (0, ∞), 然后EM M EMM′6=.定理54（Eberlein Jacod[33]）考虑范围集：=经验(-rT）等式[H]| Q∈嗯,I\'e:=nexp(-rT）等式[H]Q∈EM M′o.如果满足（1）条件下ztp的L′evy度量∏((-∞, a] ）>0，A.∈ R（2） π含有n-o原子和Satiesz[-1,0）|x |∏（dx）=Z[-1,0）|x |∏（dx）=∞那么EMM不是空的，IEM是完整的间隔（exp(-rT）H（Sexp（rT）），S），其中H是支付函数，I′eis在该区间密集。为了计算期权价格，我们需要在EMM′中选择一个等价的鞅测度。

有两种常用的方法，埃舍尔变换和所谓的最小熵测度。让我们做一个L’evy过程(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）。Esscher变换是将P的任何变化转化为具有密度处理的qdp | Ft（定义见附录I定理41）的等效测量值Q，其形式为xt=exp（θZt）M（θ）t，θ∈ R、 其中M（θ）是Zt的矩母函数。一般来说，对于R上的任何不可整除分布Γ（dx），在某个区间（c，d）上有一个单元生成函数，c<0<d，Esscher变换Γθ（dx）对于任何θ都是不可整除的∈ （c，d）由aθ=a，∏θ（dx）=exp（θx）π（dx），hθ=h+θa+ZR（exp（θx）生成的L′evy三元体（aθ，θ∏θ，hθ）- 1） χD（x）π（dx）（见[93]）。在这种情况下，特征指数nt应满足（见[14]，p.20），ψQ（ξ）=ψp（ξ）- iθ）- ψP(-iθ）对于某些θ∈ 与定理9比较，我们得到R+ψP(-i（θ+1））- ψP(-iθ=0。文献[89,40,92]给出了最小熵的方法。更多信息请参见[18,34,41,42,48]。附录四：数值方法的比较科尔莫戈罗夫[58]在1936年引入了宽度，对各种数值方法进行了比较和分类。设X是一个范数为k·k的Banach空间。X中对称集a的Kolmogor-ov n-宽度dn（a，X）定义为dm（a，X）=infLm克苏帕辛菲∈Lmkx- yk，最后一个inf将接管所有的子空间 维数n的X。计算m宽度的问题通常分为两部分：估计数量e（Lm，A，X）=supA辛菲∈Lmkx- yk，其中lm是一个固定的子空间，它给了我们一个必要的上界，并获得了宽度dm（a，X）的较低估计。很难找到m-宽度的下界是所有m-维子空间 必须考虑X。

1960年，Tikhomirov[100]证明了一个关于球直径的定理（定理61），他首先应用了一种有趣的拓扑方法，即Borsuk-Ulam定理，在此基础上，他提出了一种获得较低宽度估计值的方法。这里我们给出了定理6.3的一个简单证明，它在我们的应用中很重要。让我们来提醒一些定义。设X是单位球B的Banach空间，a是X的紧的中心对称子集。设Lm+1b是X中的（m+1）维子空间。Bernstein的m-width定义为bm（a，X）=sup{Lm+1 X|sup{491;>0|B∩ Lm+1 A} 哦。Alexandrov的m-宽度是值am（A，X）=inf∑mXinfσ：A→∑msup{kx- σ（x）k |x∈ A、 }，其中取所有m维复形∑m的内界，位于X和所有连续映射σ：A中→ ∑m.Ur ysohn的宽度um（A，X）是直径小于in X且重数m+1（即每个点都被≤ m+1集，且某个点恰好被m+1集覆盖）。观察到宽度um（A，X）由Urysohn[103]引入，并受到Lebesgue-Brouwer维度定义的启发。在pr中，最佳回收率问题产生了被称为Cowidth的量。设（X，θ）是一个给定的度量（Banach）空间，Y是一个特定的编码集 十、 Θ映射族θ：a→ Y，则相应的cowidth可以定义为A（A，X）=infθ∈Θsupy∈θ（A）直径θ-1（y）∩ A.,θ在哪里-1（y）={x | x∈ 十、 θ（X）=θ（y）}。特别是，让Y成为RmandΘ：A→ Rmbe是一个线性应用，Θ=L（a，Rm），然后我们得到一个线性共线λm（a，X）。很容易检查λm=2dm，其中dmis是由dm（A，X）=inf{L定义的Gelfand的m宽度-M X | sup{kxk |X∈ A.∩ L-m} }，其中inf接管所有子空间L-M codimensio n m的X。

设Y是X中所有m维复形的集合，且Θ=C（A，Y）是所有连续映射的集合θ：A→ 然后我们得到Alexandrov的cowidths am（A，X）。最佳逼近的泛函和算子这里我们介绍了关于最佳逼近的泛函和算子的一些已知事实。设X是范数为k·kX=k·k的Banach空间∈ 非空子集M中的X 十、 即e（X）=e（X，M）=e（X，M，X）：=infy∈Mkx- ykX（6.2）被认为是固定集合M中x的最佳近似值 X方程式（6.2）定义了X上的函数，E:X→ R+被称为最佳逼近泛函。55号提案让我 如果X是线性流形，那么泛函（·，M）是一致连续的，次可加的：E（X+X）≤ E（x）+E（x），x、 x∈ 十、 正齐次：E（ax）=| a | E（X），A.∈ 兰德凸：E（ax+（1）- a） 十）≤ aE（x）+（1）- a） E（x），A.∈ [0, 1], x、 x∈ X.证据。让x∈ X和X∈ 十、 那么对于任何人来说∈ 我（x）≤ kx- yk≤ kx- xk+kx- yk。对y采取行动∈ M我们发现（x）≤ kx- xk+E（x），矿石（x）- E（x）≤ kx- xk。交换x和x我们得到E（x）- E（x）≤ kx- xk或| E（x）- E（x）|≤ kx- xk表示E的一致连续性。证明E是次可加的weremark，对于任何y∈ X和y∈ 我们有（X+X）≤ kx+x- Y- yk≤ kx- yk+kx- yk。从右边获取关于Yan的inf，然后我们得到E（x+x）≤E（x）+E（x），这意味着E是次可加的。对于任何x∈ X和a∈ R\\{0}我们有（ax）=infy∈Mkax- yk=|a | infy∈Mkx- y/ak=|a | infy∈Mkx- yk=|a | E（x），这证明了E是正齐次的。最后，由于E是次可加且正同态的，所以它是凸的。如果y达到（6.2）中的inf∈ M，即e（x）=kx- yk，则称为x在M中的最佳近似元素。