高维期权的定价

泊松求和的应用允许我们构造一个周期扩展pqt（x）≈Xm∈ZnΦQ-2πPm，t经验2πiPhm，xi（1.11）与pQt相同的平滑度。观察到特征函数ΦQ是明确已知的，ΦQ（x）以指数形式衰减为| x |→ ∞ 在许多有实际意义的案件中。因此，级数（1.11）绝对收敛，并在2上呈现出一个完全可微函数-1P Qn，其中Qn是Rn中的单位立方体。例如，如果特征指数ψ由（1.7）定义，则pQt（x）- epQt（x）<< 经验-2.-1P b, P→ ∞ 对于任何x∈ 2.-1P Qn，其中bis是一个模型参数。接下来，我们通过Fourier投影和域中的光谱来近似EPQTOhm′1/R 在定理25中定义。观察Ohm′1/Rhas是一个指数双曲十字的形状，其形状取决于模型参数。我们证明了这一点Ohm′1/R包含m Pn（ln R）ν，R→ ∞具有整数分量的点，其中ν是模型参数，且epQt（x）-Xm∈锌∩Ohm′1/RΦQ-2πPm，t经验2πiPhm，xi<<议员-N1.-ν-1exp-议员-Nν-1., m、 P→ ∞对于任何x∈ 2.-1P Qn。我们详细讨论了数值方法的比较问题。为了证明（1.11）给出的近似方法在指数尺度下是不理想的，我们使用了m宽度，而不是常用的近似方法。这使我们能够比较各种近似和重建方法（包括非线性）。所有技术细节见第5.4节和附录IV。将该方法应用于任何具体模型过程，我们可以构建几乎最优的epQt（x）恢复方法（反映维度的情况）。最后一章讨论了期权定价问题。我们给出了赫德-周定理的详细证明，这在我们的应用中很重要。

基于这个定理和第五章的结果，我们构造了（1.1）给出的扩散期权价格V的显式近似公式，当所有一维L’evy过程都是ψ（1）和ψ（2）m时，它定义了（1.7）ar e KoBoL过程中的特征指数ψ（V）。定理36表明了所给出的近似公式的指数收敛速度。类似的分析也适用于一般的跳跃扩散模型。在附录I-IV中，我们收集了本文中使用的所有必要结果。在附录一中，我们介绍了LPS空间，给出了Fubini和Radon-Nikodym定理，它们在我们的应用中很重要。在附录II中，我们收集了谐波分析中的基本事实，这些事实在定价理论中非常有用，例如普朗谢尔定理、里兹定理和里兹-托林定理。附录III介绍了鞅，并给出了关于鞅转换的两个结果，即Doo b-Meyer分解和Girsanov定理，它们是鞅理论的重要组成部分。此外，我们还介绍了等价鞅测度集的基本性质。附录四包含了最优逼近的结果，这在数值算法的比较中非常重要。所获得的结果已在莱斯特大学数学系2010-2014年的应用数学和金融数学研讨会、伦敦大学伯克贝克学院2014年径向基函数国际研讨会、伦敦大学伯克贝克学院经济、数学和统计系2014年研讨会上进行了展示和讨论，精算师和研究人员会议2012，欧洲数值数学和应用-2011，莱斯特，博士生节，莱斯特大学，2011年和2012年，英国数学学术讨论会-2011，莱斯特，以及许多其他国家和国际会议。

我感谢这些会议的所有参与者为我提供了机会，让我就我的研究进行演讲，并从他们的演讲中学习。这本书可以被认为是一份研究报告，主要基于作者及其同事的研究结果。我们回顾了所需的基本材料，并给出了相关书籍中没有的新结果和断言的证明。在这个意义上，我们试图提出一种独立的治疗方法，一种可以接触到的tonon专家。我们希望这本书现在可以真正没有错误，尽管它包含了mas的细节。第2章符号N、Z、R和C分别是所有正整数、所有整数、所有实数和所有复数的符号。Z+和R+分别是Z和R的非负元素的集合。Rn是n维欧几里德空间，其正则基为e，··，en。它的元素x=（x，··，xn）和y=（y，··，yn）a是n个实分量的向量。内积inRnis-hx，yi=Pnj=1xjyj；标准是|x |=Pnj=1xj1/2.Cn是n维c复空间。它的元素z=（z，·，zn）是带有n个复杂c成分的向量。同样，我们定义了镍和锌。对于matr ix，a=（aj，k），AT=（ak，j）表示其转置。设X是实空间上的向量空间。设x，xm∈ X.通过lin{X，····，xm}和a ff{X，····，xm}我们分别表示X，···，xm的线性跨度和有效组合。lin{A，B}表示A，B的线性跨度 X.A，B 十、 z∈ 十、 c∈ R、 A+z={x+z |x∈ A}，A- z={x- z | x∈ A}，cA={cx|x∈ A} ,，-A={-x | x∈ A} ，A\\B={x |x∈ A&x/∈ B}。Minkovski的A的和与差 X和B X定义为asA+B={X+y | X∈ A、 y∈ B}（2.1）和A- B={x- y | x∈ A、 y∈ B}分别。对于集合A和B，A表示笛卡尔积。设（X，θ）为度量空间。

半径r>0的开放球B（x，r）∈ X是s et B（X，r）={y∈ X|θ（X，y）<r}。一个子集U 如果对于每个X，则称为X∈ 存在一个r>0，使得B（x，r） U.complement X一个开集U的U称为clos ed。集合U的内部、封闭和边界 X由intU、U和分别是。让(Ohm, F、 作为测量空间。如果F是Lebesgueσ-代数L，那么我们写(Ohm, 五十、 ν）。Voln（B）是集合B的勒贝格测度 注册护士。χBis集合B的指示函数，即χB（x）=1代表x∈ B和0代表x/∈ B.缩写a.s.几乎肯定地表示，即概率为1。就勒贝格度量而言，几乎所有的地方，或者几乎可以肯定的是，都存在着对a.e.的评价。类似地，Γ-a.e.表示几乎所有的地方，或几乎所有的地方，与测量结果相对应。符号δ表示集中在a处的概率度量∈注册护士。如果a=0，我们将写出δa=δ。快离子γ* Γ代表有限测度的演化；Γ（m）是Γ的m倍卷积。当m=0时，Γ（m）被理解为δ。C（Rn）是Rn上连续函数的空间，Lp（Rn）是p-可积函数f:Rn7的通常空间→ R（或f:Rn7）→ C） 配备标准KFKP=kfkLp（Rn）：=(RRn | f（x）| pdx1/p，1≤ p<∞,ess supx∈Rn | f（x）|，p=∞.让f:Rn→ R是一个可积函数，f∈ L（Rn）。定义f（f）（y）=ZRnexp(-i hx，yi）f（x）dx及其形式逆asF-1（f）（y）=（2π）-nZRnexp（i-hx，yi）f（x）dx。P（A）是一个n事件的概率A.E[X]是一个随机变量X的期望值，I是单位矩阵。阿坦达*分别是矩阵a的转置和共轭。设X是Banach spa ce，f是函数f∈ X.符号kf（·，α）kx表示我们将f（·，α）w的范数与规格t取为（·）表示的参数。设X和Y为Banach空间。

范数kAk:=sup{kAxkY|kxkX≤ 1} 线性算子a:X→ Y由kA | X表示→ 有界线性算子A的空间用L（X，Y）表示。设X，Yand，Z为Banach空间A∈ L（X，Y）a和B∈ L（Y，Z）那么A和B的组合用B表示o A:X→ Z.表达式f（x）~ g（x）表示limx→∞f（x）/g（x）=1。我们应该写出f（x）。g（x）if limx→∞f（x）/g（x）≤ 1和A≈ Bn，n∈ N如果bn是A的形式逼近的一个序列，而不考虑任何类型的收敛。不同的正普适常数大多用字母C表示。我们没有仔细区分不同的常数，也没有尝试对它们进行良好的估计。同一个字母将用于表示不同的普适常数。为了便于记谱，我们把am>> 对于两个序列，如果am≥ CBM和am bmif煤层气≤ 是≤ 为了所有人∈ 和一些常数C、C和C。通过文本[a]表示a的整数部分∈ R第3章一般定义3。1市场和衍生工具市场是一个由机构、程序、社会关系和基础设施组成的系统，各方在其中进行电子交易。市场参与者包括影响商品价格的所有买家和卖家。市场允许对任何可交易商品进行评估和定价。一般来说，一个运转良好的市场的结构可以近似如下：1。许多人在购物中心购物。2.买卖双方有平等的信息获取权。3.产品具有可比性。投资者是指将钱投入到某件事情中，并期望获得财务回报的人。资产是经济资源，即具有正经济价值且可转换为现金的所有权价值。金融学是研究投资者在确定性和不确定性条件下如何分配资产的学科。

衍生工具是双方之间的合同，规定了双方之间进行支付的条件。我们认为，如果金融合同在到期日T的价值由标的现金工具在时间0时的市场价格确定，则金融合同是衍生证券（或或有权益）。期权（金融）是一种衍生工具，它规定了双方之间以参考价格（履约）就资产（通常是股票、债券、现金或期货合同）进行未来交易的合同。股票代表创始人投资于企业的原始资本。债券是一种可转让的证书，承认债券的债务由持有人承担。远期合同是在已知日期以固定价格（远期价格）购买（或出售）基础资产的义务。证券上的欧洲认购期权是指在购买日T以固定的执行价K购买证券的权利。买入期权可以在t<t时以Ct（称为thepremium）的价格购买。欧式看跌期权赋予持有人在到期时以特定价格出售资产的权利。相反，美式期权可以在任何时间t，0<t行使≤ T.在首次写入期权之前，其价值未知。这就是为什么如果期权是书面的，对这个价格进行一些估计是很重要的。因此，问题是如何获得CTA的良好近似值，即标的资产价格和相关市场参数的函数。买卖价差是买卖价格之间的差异。为了简化我们的模型，我们假设我们的市场是这样的：1。没有佣金和费用（交易中的资产价格比佣金和费用高）。

展位上的买卖广告为零（市场处于均衡状态）。根据这些假设，我们有以下两种可能性。如果圣≤K（期权没钱了）那么期权就没有价值了。因此，CT=0。否则，如果ST>K（期权在货币中），那么（因为根据我们的假设，没有佣金和买卖差价），净利润将为t=ST- K>0。结合这些概率，我们得到CT=max{ST- K、 0}=（ST）- K） +，其中（a）+：=a、 a>0,0，a≤ 0.当存在一个在该状态下具有非零回报的投资组合时，自然状态被称为可保状态。对于一个每个状态都是可消费的市场，价格向量可以统一确定。因此，一个完整的市场可以定义为一个所有未定权益都可以实现的市场。一个完整的市场可以通过一个可行的金融市场的概念来定义。如果在初始阶段以azero成本实施的任何策略具有零终点收益，那么我们就没有无风险套利机会。一个可行的金融市场被定义为一个不存在可盈利的无风险风险风险机会的市场。请注意，套利与证券价格的鞅性质之间存在重要关系。这意味着对未来价格的最新估计来自最新的信息，即只有最新的信息才重要。金融市场是可行的，前提是存在一个概率Q，该概率相当于一个历史概率，在此概率下，被计算的资产价格具有鞅性质。我们认为一个可行的市场是完整的，前提是存在这种可能性。Q.3.2货币的时间价值货币的时间价值是金融理论的核心概念之一，该理论认为，由于潜在的盈利能力，今天的货币单位比明天的同一货币单位更值钱。

换言之，现在支付的1英镑比一年支付的1英镑更值钱，因为今天在银行存款1英镑，一年就多出1英镑。现值（或现值贴现价值）是指已贴现以反映其当前价值的资产的未来价值。同样，未来价值是指资产在未来的价值，相当于当前的特定金额。对于固定时间段[T，T]，利息是指该时间段开始和结束之间的额外收益。未来总和F的当前值P可以使用P=exp的连续复合利率r获得(-r（T）- T） ）F。一般来说，如果r=r（t）是t的函数，那么p=F exp-ZTTr（t）dt！。3.3套利理论所有已知的衍生品定价方法都采用套利的概念。可将套利定义为一种从无到有地获得保证利润的方式，即按时间看涨，然后按t结算。套利的存在提供了一个回报率有限的投资机会。因此，投资者会尝试使用rbitrage来赚钱，而不在时间T投入任何东西。因此，为了消除这种可能性，我们需要引入所谓的有效市场假说，其本质是：1。所有已知信息都反映在所有证券的价格上。2.当前价格是对证券价值的最佳估计。3.价格将根据任何新信息即时调整。4.使用所有已知信息，投资者不能跑赢市场价格。要给出套利的分析定义，请考虑一个简单的模型，该模型有两个时间点和T，T<和o利息。设a为两次概率p时S（T）的值，b为两次概率1时S（T）的值- p、 a<b.b通过这种方式，我们指定p(Ohm, F） ，在哪里Ohm = {a，b}和F={, {a} ，{b}，{a，b}。因此，我们得到了一个概率空间(Ohm, F、 P）。

考虑由N个货币单位和M个股票单位组成的一本书（N，MS（T））。该投资组合在Tis V（T）=N+MS（T）和Tis V（T）=N+MS（T）时的价值V（T）。我们说，如果存在一个套利组合（N，MS（T）），那么存在一个套利机会，使得V（T）=0，V（T）≥ P（V（T）>0）>0。可以解释为什么不存在任意年龄的机会[35]。定理1（资产定价基本定理）不存在套利机会，前提是存在一个与原始概率测度P等价的概率测度Q，使得股票价格过程（S（T），S（T））满足等式[S（T）| S（T）]=S（T）。概率测度Q是等价鞅测度。观察定理1明确地将套利的一个基本概念与马丁加定理的一个先进理论联系起来。在多周期模型的情况下，我们得到了相似的结果[104]。定理2在多期模型中不存在套利机会。对于每一个t，关于过滤（Ft，Ft+1）的单期模型（St，St+1）不允许存在套利机会。详见附录三。考虑连续时间设置的情况（参见[104]）。定义3测度空间上的概率测度Q(Ohm, F） 如果它等价于P，并且是关于Q的鞅，则称为等价鞅测度。

测度空间上所有等价鞅测度的集合(Ohm, F） 用MS表示(Ohm, F） 。测度空间的变化(Ohm, F、 P）→ (Ohm, FQ）基于拉东尼科迪姆定理（见附录I，定理m 41定理4，如果存在等价鞅测度，则不存在套利机会。该声明的证明基于局部凸拓扑向量空间的Hahn-Banach定理和我们在此不讨论的anach-Alaoglu定理测量被称为市场测量（或物理测量，或历史测量）。资产价格由随机过程（St）t>0建模，其演变由固定的概率测度决定。在套利定价理论中，存在一个风险中性概率测度，在该测度下，资产价格是无套利的。无套利等价于（St）t>0的风险中性等价鞅测度的存在，使得潜在过程成为一个随机过程。在等价鞅测度下，所有资产都具有相同的预期收益率，即无风险收益率。这意味着在无风险条件下，投资者在市场上的风险偏好不会做出估值决定[27]。从数学和经济学角度对金融衍生品进行概述，请参考[50,17,35,36]。第四章：过程和特征指数。1简介在本节中，我们介绍了L’evy过程的重要性质。我们引入一类随机系统对收益过程进行建模，这将在后面的章节中进行研究，并为这类模型建立有效的等价鞅测度条件。