高维期权的定价

相应的特征指数的形式为ψ（ξ）=-iuξ+c+[ln(-λ-- iξ）- 在(-λ-)] + C-[ln（λ++iξ）- ln（λ+），其中λ-< 0<λ+，c>0和u∈ R.具有这些参数的方差伽马过程也是指数型（λ）的L’evy过程-, λ+).巴恩多夫-尼尔森[3]-[8]介绍并研究了所谓的正态逆高斯过程。各自的特征指数t为ψ（ξ）=-iμξ+δhα- （β+iξ）ν/2- (α- β） ν/2i。4.6 KobolProcessDefinition 17的密度函数表示对于固定的R>0，考虑两条分段光滑曲线λ+（x）：=x+i（α++a+（x））：[-R、 R]→ {z|Imz>0}和λ-（x） ：=x+i（α）-+ A.-（x） ）：[-R、 R]→ {z|Imz<0}，其中α+>0，a+（x）≥ 0是一个偶数函数，在[0，R]上递增，在[0，R]上递减[-R、 0]。类似地，α-< 0，a-（十）≤ 0是一个偶数函数[-R、 0]并在[0，R]上递减。考虑六条等高线，γ（R）：={z | z=|λ+（R）| exp（iφ），φ∈ [arg（R+i（α++a+（R）），0]}，γ（R）：=[|λ+（R）|，|λ-（R） |]γ（R）：={z | z=|λ-（R） exp（iφ），φ∈ [0，arg（R+i（α-+ A.-（R） γ（R）：={z | z=|λ-(-R） exp（iφ），φ∈ [arg(-R+i（α）-+ A.-(-R） ），- π] }，γ（R）：=[|λ-(-R） |，|λ+(-R） |]γ（R）：={z | z=|λ+(-R） exp（iφ），φ∈ [arg(-π, -R+i（α）+a+(-R） ））]}。我们说一个L′evy过程X={Xt，t>0}是（λ）-, λ+-解析如果R>0，其特征指数ψ（z）允许解析扩展到域中Ohm由λ连接-(·) ∪ λ+(·) ∪[k=1γk（R）和limr→∞Zγk（R）exp（iyz）- tψ（z））dz=0,1≤ K≤ 6，t，y>0对于任何t>0，y>0。回想一下，在欧式看涨期权的情况下，奖励函数的形式为H（y）=max{Sexp（y）- K、 0}。因此，我们只需要考虑情况0<ln（K/S）<y。

观察到，通常K>S是因为股票在时间间隔（0，T）内的潜在获利能力。下面的陈述给出了密度函数的一个有用的重新表示。定理18设X={Xt，T>0}为A（λ-, λ+-分析过程。然后pt（y）=2π（exp（α+y）+exp（α-y） ）×ZRexp（iy（x+ia+（x）））N（x）+exp（iy（x+ia-（x） ）M（x）dx，其中n（x）：=exp(-tψ（x+i（α+a+（x））（1+i˙a+（x））和m（x）：=exp(-tψ（x+i（α）-+ A.-（x） ）（1+i˙a-（x） ）。证据设γ（R）：={z | z=x+iλ+（x），x∈ [-R、 R]}。因为进程x={Xt，t≥ 0}是（λ）-, λ+-解析，然后利用柯西定理得到zγ∪[|λ+（R）|，-|λ+(-R） |]∪γ（R）∪γ（R）exp（iyz）- tψ（z））dz=0。应用（λ）-, λ+-解析性与R→ ∞ 我们得到pt（y）=2πZRexp（iyξ- tψ（ξ））dξ=2πlimR→∞Z[-R、 R]exp（iyξ）- tψ（ξ））dξ=exp(-α+y）2π×ZRexp（iyx）- ya+（x）- tψ（x+iα+ia+（x））（1+i˙a+（x））dx。类似地，pt（y）=exp(-α-y） 2π×ZRexp（iyx）- 对-（十）- tψ（x+iα）-+ ia-（x） ）（1+i˙a-（x） ）dx。证据来自pt的最后两种表述。特别地，如果X={Xt，t>0}是（0，λ+）-解析过程，那么相应的密度函数pt（y）可以表示为aspt（y）=exp(-α+y）2π×ZRexp（iyx）- ya+（x）- tψ（x+iα+ia+（x））（1+i˙a+（x））dx。以下陈述给出了（0，λ+）分析过程的广泛示例。定理19参数为u的任何KoBoL过程≥ 0，c+=c-= c>0和ν∈ （0，1/2）是（0，λ+）-分析L’evy过程。证据

显然，（4.9）给出的特征指数ψ（ξ）在domainc\\{[iλ+，i]中是解析的∞) ∪ [iλ-, -我∞)} .因此，有必要证明LIMR→∞I+（R，y，t）=limR→∞我-（R，y，t）=0，其中i+（R，y，t）：=Zξ∈Γ+Rexp（iyξ）- tψ（ξ））dξ, （4.11）I-（R，y，t）：=Zξ∈Γ-Rexp（iyξ）- tψ（ξ））dξ, （4.12）Γ+R={ξ|ξ=|λ+（R）| exp（iφ），φ∈ [0，arg（R+ia+（R））]}和Γ-R={ξ|ξ=|λ+(-R） exp（iφ），φ∈ [π，arg(-R+ia+(-R） ）]}。让我们给出积分（4.11）的估计值。很明显，I+（r，y，t）=Zarg（R+iα++ia+（R））exp（iyR exp（iφ）- tψ（R exp（iφ）））Ri exp（iφ）dφ≤ RZarg（R+iα++ia+（R））exp（iyR exp（iφ）- tψ（R exp（iφ））dφ≤ RZarg（R+iα++ia+（R））χ（y，R，ν，φ）dφ（4.13），其中χ（y，R，ν，φ，t）：=exp（Re（iyR exp，iφ）- tψ（R exp（iφ）））。自从≥ 0，u≥ 0，c>0，t>0和-Γ (-ν） 如果ν，cos（πν/2）>0∈ （0，1/2）然后应用（4.10）我们得到χ（y，R，ν，φ，t）≤ C e xp-在φ- tRusinφ- 2ctRν-Γ (-ν） 因为πνcos（νφ）≤ C e xp-2ctRν-Γ (-ν） 因为πνcos（νφ）（4.14）比较and（4.13）和（4.14），我们得到i+（R，y，t）≤ CRZπ/2exp-2ctRν-Γ (-ν） 因为πν1.-2νπφdφ，这里我们使用cos（νφ）≥ 1.- 如果φ∈ [0, π/2]. 这意味着i+（R，y，t）≤ CR e xp-2ctRν-Γ (-ν） 因为πν×Zπ/2exp2ctRν-Γ (-ν） 因为πν2νπφdφ=πCR1-ν4ctν-Γ (-ν） 因为πν经验-2ctRν-Γ (-ν） 因为πν×经验2ctRν-Γ (-ν） 因为πνν- 1.≤πCR1-ν4ctν-Γ (-ν） 因为πν经验-2ctRν-Γ (-ν） 因为πν(1 - ν).从第一行我们可以看到i+（R，y，t）<< R1-νexp(-CtRν），R→ ∞对于任何y>0的情况。现在我们得到积分（4.12）的时间。在这种情况下φ∈[arg(-R+ia+(-R） ），π] [π/2, π]. 因此(-Γ (-ν） cos（πν/2））cos（νφ）>0v∈ (0 , 1/2). 回想一下y>0、u>0和t>0。

应用与我们得到的相同的参数行-（R，y，t）≤ CR e xp-2ctRν-Γ (-ν） 因为πν×Zππ/2exp2ctRν-Γ (-ν） 因为πν2νπφdφ=πCR1-ν4ctν-Γ (-ν） 因为πν经验2ctRνΓ(-ν） 因为πν×经验-4νctRνΓ(-ν） 因为πν- 经验-2νctRνΓ(-ν） 因为πν<< R1-νexp(-Ct（1- 2ν）Rν），R→ ∞.第5章跳跃微分模型中密度函数的恢复。1简介回忆一下定价公式的形式是V=exp(-rT）等式[H]，其中Qi是一个固定的等价鞅测度。由于奖励函数H通常有一个简单的结构，主要的问题是近似于概率中性密度函数pQT，其中T>0是一个成熟时间。因此，构造一种简单的、无饱和的、适用于密度函数逼近的维数方法是非常重要的，这在spre-ad-options理论中很重要。我们的方法是基于泊松求和公式和在相应的指数双曲交叉中用谐波近似密度函数。这种方法的优点是，泊松求和公式的应用给出了密度函数的周期扩展，其平滑度与原始函数[67,68]相同，而不是[38,39]中讨论的已知方法。此外，这种方法使我们不需要应用数值方法就可以得到近似公式。[65,66,69,47,60,61,62,63,64,76]中考虑了通过指数型整函数和sk样条的子空间逼近光滑函数。这些方法在广泛的光滑函数集（包括解析函数和整体函数）上是无饱和的，并且在各自的m宽度意义上给出了几乎最优的收敛速度。然而，这些方法的应用需要使用数值方法。

我们不在这里讨论这一系列的研究。5.2密度函数的表示为简单起见，所有特征指数ψ（1），Qs，1≤ s≤ n和ψ（2），Qm，1≤ M≤ 定理8中的n对应于KoBoL过程，henceare可解析地扩展到条带Imzs中∈ [κs，-, κs、+]和Imzm∈[κm，-, κm，+]，其中λs，-< κs，-< 0<κs，+<λs，+和λ′m，-<κ′m，-< 0<κ′m，+<λ′m，+，1≤ s、 m≤ n、 让bk，m≥ 0, 1 ≤ k、 m≤ n、 很容易检查函数z=（z，···，zn）→ ψ（z），ψ（z）=nXs=1ψ（1），Qs（zs）+nXm=1ψ（2），QmnXk=1bk，mzk！定理8中定义的可解析扩展到域n:=n[s=1{Imzs∈ [κs，-, κs，+]}！∩n[s=1IMZ∈κ′s，-nXk=1bk，m！-1，κ′s，+nXk=1bk，m！-1., （5.1）或b-,s≤ IMZ≤ b+，s，其中b-,s:=maxκs，-, κ′s，-nXk=1bk，m！-1.,b+，s:=minκs，+，κ′s，+nXk=1bk，m！-1.,1.≤ s≤ n和bk，m≥ 0, 1 ≤ k、 m≤ n、 在这种情况下，ΦQ（z，t）=ΦQ（z，··，zn，t）允许分析扩展到同一个域Tn 中国。设b+：=（b+，1，··，b+，n）a和b-:= （b）-,1，··，b-,n） 。定理20设ψ（1），Qs，1≤ s≤ n和ψ（2），Qm，1≤ M≤ n由（4.8）定义，即ψ（1），Qs（ξs）=-iusξs+csΓ(-νs）((-λ-,s） νs- (-λ-,s- iξs）νs）+csΓ(-νs）λνs+，s- （λ+，s+iξs）νs, νs∈ （0,1/2）和ψ（2），Qm（ξm）=-iumξm+cmΓ(-νm）((-λ-,m） νm- (-λ-,M- iξm）νm）+cmΓ(-νm）λνm+，m- （λ+，m+iξm）νm, νm∈ （0，1/2），其中cs，cm>0，νs，νm∈ (0, 1/2). 然后，相应的密度函数pQT（·）可以表示为aspQT（·）=（2π）n（exp（h·，b+i）+exp（h·，b）-i） ）×ZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z）-ib+，T）+ΦQ（z）-ib-,（T）dz。特别是，如果-B-= b+：=b thenpQT（·）=2（2π）n（cosh（h·，bi））-1×ZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z+ib，T）+ΦQ（z）-ib，T）dz。（5.2）设ΦQ（z，T）：=ΦQ（z+ieb，T）+ΦQ（z）-ieb，T），ΦQk（z，T）：=ΦQk-1（z+iekbk，T）+ΦQk-1（z）-iekbk，T），2≤ K≤ n、 然后pqt（x）=2nπnnYs=1cosh（bsxs）！-1ZRnexp(-i hx，zi）ΦQn（z，T）dz。（5.3）证据。我们将证明（5.2）是正确的，因为（5.3）是以类似的方式进行的。

在我们的符号中，密度函数c可以表示为aspQT（·）=（2π）-nZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z，T）dz=（2π）-nFΦQ（z，T）(·) .回想一下ψ（1），Qs（ξs），1≤ s≤ n a向条带mξs中引入一个解析扩展∈ [κs，-, κs，+]，其中λs，-< κs，-< 0<κs，+<λs，+，1≤ s≤ n和ψ（2），Qm（ξm），1≤ M≤ n允许对s-trip-Imξm进行解析扩展∈hκ′m，-, κ′m，+i，其中λ′m，-< κ′m，-< 0<κ′m，+<λ′m，+，1≤ M≤ n、 由推论15可知|Φ（z，T）|=| exp(-Tψ（z））|=经验-TnXs=1ψ（1）s（zs）+nXm=1ψ（2）mnXk=1bk，mzk！！！<<经验-TnXs=1ψ（1）s（zs）！<< 经验-CTnXs=1 | zs |νs！，（5.4）其中| zk |→ ∞, zk∈ 田纳西州，1≤ K≤ n、 其中领域定义为（5.1）。因此，在域Tn中应用柯西定理（参见[91]）n次（由（5.4）调整），我们得到pqt（·）=（2π）-nZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z，T）dz=（2π）-nZRn+ib+exp(-i h·，zi）ΦQ（z，T）dz=（2π）-nZRnexp(-i h·，z+ib+i）ΦQ（z+ib+，T）dz=exp（h·，b+i）（2π）-nZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z+ib+，T）dz，orpQT（·）exp(- h·，b+i）=（2π）-nZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z+ib+，T）dz。（5.5）同样，pQT（·）exp(- h·，b-i） =（2π）-nZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z+ib）-,T）dz。（5.6）比较（5.5）和（5.6），我们得到了证明。5.3泊松求和近似密度函数我们需要以下结果，即泊松求和公式。定理21（[98]p.252）假设对于s ome A>0和δ>0，我们有max{f（x），Ff（x）}≤ A（1+| x |）-N-δ.然后∈Znf（x+pm）=PnXm∈ZnF（f）2πPm经验2πiPhm，xi对于任何P>0。级数绝对收敛。假设νs，νm∈ (0, 1/2), 1 ≤ s、 m≤ n和以前一样。PutfM:=2nπnZRnexp(-i h·，vi）ΦQn（v，T）dvL∞（Rn），观察tfM<∞ b e估算的原因（5.4）。修正T>0，>0，然后选择这样的P∈ N thatfMnYs=1Xmk∈Z、 m6=0科什bs2mk- 1P-1.≤ （5.7），其中m=（m，··，mn）和m6=0表示m6=（0，··，0）。显然是 经验-Pmin{bs|1≤ s≤ n}, P→ ∞.

（5.8）定理22设Qn:={x | x=（x，···，xn）∈ Rn，|xk |≤ 1, 1 ≤ K≤ n} 是Rnand中的单位立方体-B-= b+：=b.那么在我们的符号（P）中：=pQT（x）-PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiLq（PQn）<< 经验-Pmin{bs|1≤ s≤ n}Pn/q，P→ ∞,其中1≤ P≤ ∞.证据使用定理M20我们得到pQT（x）=pQT（x，··，xn）≤nYs=1cosh（bsxs）！-1米。（5.9）应用（5.9）我们可以检查定理21的条件是否满足。因此使用条件（5.7）我们得到pQT（x）-Xm∈ZnpQT（x+pm）L∞（PQn）=Xm∈锌{0}pQT（x+pm）L∞（PQn）≤fMnYs=1Xmk∈Z、 m6=0科什bs2mk- 1P-1.≤ .观察ΦQ(-x、 T）=（2π）nF-1.pQT(-x） =（2π）n（2π）nZRnexp（i-hx，yi）pQT(-y） dy=ZRnexp（i-h）-x、 yi）pQT（y）dy=FpQT（x） 。因此pQT（x）-Xm∈ZnpQT（x+pm）L∞（PQn）=pQT（x）-PnXm∈ZnFpQT2πPm经验2πiPhm，xiL∞（PQn）=pQT（x）-PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiL∞（PQn）≤ 和pQT（x）-PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiL（PQn）≤ Pn。最后，应用ing Riesz-Thorin插值定理（见附录II，定理43和（5.8），我们得到pQT（x）-PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiLq（PQn）≤ Pn/q 经验-Pmin{bs|1≤ s≤ n}Pn/q，P→ ∞.根据（5.4）的功能观察ΦQ-2πPm，T指数衰减为| m |→ ∞. 因此se riesepQT（x）：=PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xi绝对收敛，表示一个完全可微分的pqn周期函数，用epQT（x）表示。例23 Letp（x，y）=（2π）-1exp-x+y.如果是高斯密度，则其傅里叶变换为exp-2.-1.x+y. 对于固定的m和P，考虑近似值g（P，m，P，x，y）：=PX | k|≤mX | s|≤mF（p）-2πkP，-2πsP经验ikx2πP+isy2πP=PX | k|≤mX | s|≤mexp-2πkP-2πsP经验ikx2πP+isy2πP.近似的相应误差为ε（p，p，m）：=max{p（x，y）- g（p，m，p，x，y）|，x，y∈ [-P/2，P/2]}。特别地，设n=2，P=6，m=3，然后ε（P，P，m）=1。

7 47 × 10-3.5.4近似方法的比较定理22显示了epQT（x）的指数收敛速度，如果x∈PQP→ ∞. 在本节中，我们将讨论在m宽度和m宽度意义下密度函数的最佳恢复问题。这使我们能够比较各种数值方法，并构造序列epQT（x）的准最优截断。设{~nk（x），k∈ N} 是测度空间上的一组连续正交且一致有界的函数(Ohm, F、 ν）。谢谢∈Nk~nkk∞< ∞.对于任何f∈ L:=L(Ohm, F、 Γ）我们构造了一个形式傅里叶级数[F]=∞Xk=1ck（f）~nk，ck（f）：=ZOhmf~nkdx。考虑函数集∧：={f | | ck（f）|≤ λk，k∈ N}，其中λk>0，k∈ N.很容易检查∧是凸对称集。而且∧在L中是紧的(Ohm, F、 （定义见附录I）如果∞Xk=1λk<∞.设κmbe为宽度dm（λ，Lq）之一(Ohm, F、 ν），am（λ，Lq(Ohm, F、 ν），am（λ，Lq(Ohm, F、 ν），λm（λ，Lq）(Ohm, F、 （定义见附录四）。定理24设λk，k∈ N是正数的非递增序列，P∞k=1λk<∞ 然后在我们的符号κm中≥ ηL-1.ZOhmdü1/q-1λm+1，q≥ 1，其中η=1，如果κmis dmor amandη=2-1ifκmis amorλm.证明。FixLm+1:=lin{~nk，1≤ K≤ m+1}并考虑setQm+1:=（tm+1:=m+1Xk=1ck|k，|ck|≤ 1） 这是Lm+1中的单位球。Lm+1中的相应范数由KTM+1kQm+1表示。因为λk，k∈ N是一个正数的非递增序列，然后λm+1Qm+1 Λ. （5.10）应用Riesz定理（见附录II，定理44），我们得到KTM+1kL≥ L-1最大值{| ck |，1≤ K≤ m+1}。这意味着KTM+1kL≥ L-1ktm+1kQm+1=ktm+1kLQm+1，适用于任何tm+1 Lm+1，球体∩ Lm+1 LQm+1，其中B：=FKKKL≤ 1.. 因此，应用（5.10）我们得到-1λm+1B∩ Lm+1 λm+1Qm+1 Λ.从最后一行和伯恩斯坦m-w idth的定义（见附录四）bm（λ，L(Ohm, F、 ⑸）≥ L-1λm+1。

（5.11）根据Jensen不等式（见附录I，定理38），得出如下结论：ZOhmdü1.-1/qkfkL≤ KKKLQF或任何f∈ Lq，q≥ 1.因此，通过定义Bernstein的n-宽度和（5.11），我们得到bm（λ，Lq）(Ohm, F、 ⑸）≥ L-1.ZOhmdü-1+1/qλm+1，q≥ 1.（5.12）应用推论62（见附录IV），我们得到dm（λ，Lq）(Ohm, F、 ⑸）≥ L-1.ZOhmdü-1+1/qλm+1，q≥ 1.am（λ，Lq）的相同下界(Ohm, F、 根据定理66，附录四，我们得到相应的共线的下界。从理论上来说。3因此，对于Banach空间中的任何紧对称集a，Xbm（a，X）≤ 凌晨2点（A，X），已知[102]p.222，am（A，X）≤ 嗯（A，X）和[101]第190页，嗯（A，X）≤ am（A，X）。Hencebm（A，X）≤ 凌晨2点（A，X）。（5.13）最后，比较（5.11）-（5.13）我们得到am（λ，Lq）(Ohm, F、 ⑸）≥ 2.-1L-1.ZOhmdü-1+1/qλm+1，q≥ 1.对于λm（λ，Lq），可以得到类似的结果(Ohm, F、 ν）。现在我们应用定理24，从下面的收敛速度来估计。首先，我们需要以下结果。定理25 LetOhmΦQ，T，, P:=Z∈ Rn，ΦQ2πPz，T≥ .那张卡片OhmΦQ，T，, P∩ 锌<< Pn自然对数-1.Pns=1ν-1，任何 > 0和固定T>0和νs∈ (0, 1/2), 1 ≤ s≤ n、 作为P→ ∞. 允许Ohm′ΦQ，T，, P:=（z=（z，·zn）∈ 注册护士，经验-CTnXs=12πPzsνs！≥ )然后OhmΦQ，T，, P Ohm′ΦQ，T，, P安德卡德Ohm′ΦQ，T，, P∩ 锌 Pn自然对数-1.Pns=1ν-1s，（5.14）作为P→ ∞.证据由（5.4）可知：OhmΦQ，T，, P Ohm′ΦQ，T，, P=（z）∈ Rn，nXs=1CTln-1.ν-1s2πPzsνs≤ 1).自从Ohm′ΦQ，T，是分段光滑的Ohm′ΦQ，T，, P∩ 锌~ 沃恩Ohm′ΦQ，T，, P,作为P→ ∞. 亨塞沃恩Ohm′ΦQ，T，, P=ZOhm′（ΦQ，T，,P）dz=nYs=1自然对数-1CTν-1sP2πnVoln（B（ν，··，νn）），=（CT）-Pns=1ν-1sP2πnVoln（B（ν，··，νn））自然对数-1.Pns=1ν-1s，其中b（ν，···，νn）：=（z=（z，··，zn）∈ Rn，nXs=1 | zs |νs≤ 1） ν>0，··，νn>0。

已知[105]volnb（ν，···，νn）=2nQns=1Γ（1+νs）Γ（1+Pns=1νs）。亨塞卡OhmΦQ，T，, P∩ 锌<< 卡片Ohm′ΦQ，T，, P∩ 锌 Pn自然对数-1.Pns=1ν-1s，（5.15）作为P→ ∞. 考虑度量空间（P Tn，L，dx），其中P Tn=Rn/P zn是无量纲环面，L是勒贝格σ-代数，dx是P Tn上的勒贝格度量。定义函数类∧：=（f（x）=Xm∈Zncm~nm（x），m=（m，··，mn），其中| cm |≤ λmand~nm（x）：=P-n/2exp2πiPhm，xi, M∈ 锌。观察系统{~nm（x），m∈Zn}是正交的且L=supm∈Nk~nmk∞= P-不适用。设λm=exp-CTnXs=12πPmsνs！。还记得吗ΦQ-2πPm，T≤ 经验-CTnXs=12πPmsνs！。HenceepQT（x）=PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xi∈ Λ.定理26在我们的符号κm（λ，Lq（P Tn，L，dx））中>> P-1/2+1/qexp-P-纳米（Pns=1ν-1s）-1.,作为m→ ∞.证据设dx是一个Lebesgue测度Ohm = 2.-1P Qn，其中Qn:={x=（x，···，xn）∈ Rn，max | xk |≤ 1, 1 ≤ K≤ n} 是单位立方体，单位为Rn。从定理24我们得到κm（λ，Lq（P-Tn，L，dx））>> L-1.Z-1P-Qndx-1+1/qλm+1>> Pn/2Pn(-1+1/q）λm+1=P-1/2+1/qλm+1。（5.16）让我 Pn自然对数-1.Pns=1ν-1然后，根据定理25，  经验-P-纳米（Pns=1ν-1s）-1.（5.17）应用（5.14）我们得到λm+1 . 因此，使用（5.17）和（5.16）我们得到了κm（λ，Lq（P Tn，L，dx））>> P-1/2+1/qexp-P-纳米（Pns=1ν-1s）-1.,作为m→ ∞. 5.5通过mterm指数求和逼近密度函数下一个陈述涉及使用域中具有谱的m项经验和逼近函数Ohm′1/R.定理27让2≤ Q≤ ∞, 1/q+1/q′=1，νs∈ (0, 1/2), 1 ≤ s≤ n、 m:=Pn（lnr）Pns=1ν-1s。然后用符号（m，P）：=epQT（x）-PnXm∈锌∩Ohm′1/RΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiLq（PQn）<<议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1./q′exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1.,作为m，P→ ∞.证据回想一下，函数系统φm（x）：=P-n/2exp2πiPhm，xi, M∈锌，x∈PQnis一致有界，||m（x）|≤ P-n/2，M∈Znand或THOLNORMALPQn.让ρ→ ∞.