高维期权的定价

然后，由（5.15）沃恩Ohm′1/ρ Pn（lnρ）Pns=1ν-1s:=V（ρ）。应用Riesz定理（见附录I，定理44，我们得到（m，P）=PnXm∈注册护士\\Ohm′1/R∩ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiLq（PQn）=Pn/2Xm∈注册护士\\Ohm′1/R∩ZnΦQ-2πPm，T~nm（x）Lq（PQn）<< P-n/2P-（n/2）2/q′-1.Z∞Rρ-q′dV（ρ）1/q′：=P-n/q′（I（R））1/q′，其中I（R）=Z∞Rρ-q′dV（ρ）=PnnXs=1ν-1s！Z∞Rρ-q′-1（lnρ）Pns=1ν-1s-1dρ。（5.18）观察νs∈ (0, 1 /2). HencePns=1ν-1s- 1 > 0. 设α>1，β>0。然后∞Rx-α（lnx）βdx=-α+1x-α+1（lnx）β|∞R-Z∞R-α+1x-α+1β（lnx）β-1x-1dx=α- 1R-α+1（lnr）β+βα- 1Z∞Rx-α（lnx）β-1dx=α- 1R-α+1（lnr）β，R→ ∞, （5.19）sincelimR→∞R∞Rx-α（lnx）β-1dxR∞Rx-α（Lnx）βdx=0。比较（5.18）和（5.19）我们得到了（R）<< PnR-q′（ln R）Pns=1ν-1s-1，R→ ∞.亨西（男，女）<< R-1（lnr）（Pns=1ν-1s-1） /q′，R→ ∞.这意味着使用m=Pn（lnr）Pns=1ν-来自Ohm′1/R∩ 我们得到近似值的误差（m，P）<<议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1./q′exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1.,作为m，P→ ∞. 比较定理26和定理27，我们发现截断域Ohm′1/Ris在n-共面传感器的基本规模上是最优的。应用定理22和定理27，我们得到以下陈述。推论282≤ Q≤ ∞ b:=min{bs|1≤ s≤ n} 然后用我们的符号E（P）+E（m，P）=pQT（x）-PnXm∈Ohm′1/R∩ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiLq（PQn）<< 经验(-P b）Pn/q+议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1./q′exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1.,作为m，P→ ∞.为了简单起见，设q=∞.

假设推论28中的P是这样的=议员-N（Pns=1ν-1s）-1，orP=B-1m（Pns=1ν-1s）-1.1+n（Pns=1ν-1s）-1.-1（5.20）thenE（P）+E（m，P）<< 经验-amk嗯，m→ ∞,式中：=b1-1+n（Pns=1ν-1s）-1.-1，k：=Pns=1ν-1s-11+nPns=1ν-1s-1和h:=1-Pns=1ν-1s-11+nPns=1ν-1s-1.这意味着在Ohm′1/R，其中R=exp（P-纳米（Pns=1ν-1s）-1.P由（5.20）定义，我们得到了收敛误差exp-ambmkasm→ ∞.第六章期权定价。高维期权的定价是金融数学的一个深层次问题。本章的主要目的是开发一种新的简单实用的篮子期权定价方法。作为一个激励性的例子，考虑一个没有套利机会的无摩擦市场，其恒定无风险利率>0。让Sj，t，1≤ J≤ n、 t≥ 0，是n个资产价格过程。随机数为T>0和K的公共扩展选项≥ 0是paysH签署的合同=S1，T-Pnj=2Sj，T- K+在时间T。在中国市场的不同行业，此类期权的交易范围很广。假设存在风险中性等价鞅测度Q，我们得到时间0时价差期权值V的以下pricingformula，V=exp(-rT）等式[H]，其中H是一个回归函数，期望值是关于等价鞅测度的。关于扩散选项及其应用有大量文献。特别是，如果K=0，则利差期权与将一项资产换成另一项资产的期权相同。Margrabe[85]给出了这种情况下的显式解。Margrabe模型认为，St，1和St，2遵循一个几何布朗运动，其波动率σ和σ不需要是常数，但St，1/St，2的波动率σ是常数，σ=σ+ σ- 2σσρ, 式中，ρ是布朗运动S1，和S2，t的相关系数。

Margrabeformula表示v=exp(-qT）S0,1Φ（d）- 经验(-qT）S0,2Φ（d），其中Φ表示标准正态分布的累积分布，d=σT1/2自然对数S0,1S0,2+Q- q+σT,d=d- σT1/2和q，qa是恒定的连续股息收益率。不幸的是，在K>0且St，1，St，2是几何布朗运动的情况下，对于公式没有明确的定价。在这种情况下，已经发展了各种近似方法。主要有三种方法：蒙特卡罗方法，这是在高维情况下最常用的方法，因为收敛与维无关，[20]中研究的快速傅立叶变换方法和偏微分方程。注意，如果PDE的尺寸较低，则基于PDE的方法适用（有关更多信息，请参见，例如[90,32,99,1 06]）。通常的偏微分方程的方法是基于数值近似，从而产生一个大系统的普通微分方程，然后可以通过数值求解。近似公式通常允许快速计算。特别是，prac titione rs Kirk公式[57]中的Apoptular近似于spread call（参见Carmona-Durrleman程序[19,78]）。[28,7,9]考虑了快速傅里叶变换的各种应用。[9,77,56,86,88]中讨论了使用几何布朗运动的篮子期权的不同方法。众所周知，如果引入额外的随机因素，默顿-布莱克-斯科尔斯理论将变得更加有效。因此，重要的是考虑更广泛的L’evy过程。Mandelbrot[82]和Fama[37]首次在这种情况下使用了稳定的L’evy过程。从90年代开始，evy程序变得非常流行（参见[83,84,13,14,29]和其中的参考文献）。

我们在这里给出了一个通用的定价公式，它适用于各种跳跃扩散模型[67,68]。6.2 Hurd Zhou定理在这一部分中，我们证明了一个技术结果（见[52,51]），这在我们的应用中很重要。设Γ（z）为伽马函数，Γ（ξ）：=z∞xξ-1exp(-x） dx，ξ∈ C\\{-N∪ {0}} .这个证明基于几个引理。引理29 LetH（x，x）：=（exp（x）- 实验（x）- 1)+.然后对于任何实数=（，），>0，+<-1，H（x，x）=（2π）-2ZR+iexp（i-hu，xi）g（u）du=（2π）-2Z∞+i-∞+伊兹∞+i-∞+iexp（i（xu+xu））g（u，u）dudu，其中g（u，u）=Γ（i（u+u）- 1) Γ (-iu）Γ（iu+1）。证据Le t>0和+<-1然后使用H（x）的定义，可以表示texp（hx，i）H（x）=exp（x+x）H（x，x）=exp（x+x）（exp（x）- 前p（x）- 1)+∈ LR.因此，根据普朗谢尔定理（见附录II，定理42），函数r（u）∈ LRthatexp（hx，i）H（x）=（2π）-2ZREP（i hx，ui）r（u）du。因此，H（x）=（2π）-2ZRexp（i hx，ui- hx，i）r（u）du=（2π）-2ZRexp（i hx，u+ii）r（u）du=（2π）-2ZR+iexp（i hx，ui）r（u- 我知道。andr（u）=ZRexp(-i hx，ui）exp（hx，i）H（x）dx=ZRexp(-i hx，u+ii）H（x）dx。让r（u）- i）：=g（u）theng（u）=ZRexp(-i hx，ui）H（x）dx=ZRexp(-i（许+许））（经验（x）- 实验（x）- 1） +DX。显然，（exp（x）- 实验（x）- 1)+≥ 如果x为0≥ 0和exp（x）-实验（x）-1.≥ 0.Henceg（u，u）=Z∞经验(-iux）×Zln（exp（x）-1)-∞经验(-iux）（exp（x）- 1) - exp（x））dx！dx=Z∞经验(-iux）（实验（x）- 1)1-iu(-（国际单位）-1.- (1 - （国际单位）-1.dx。更改变量z=exp(-x） 我们得到（u，u）=(-（1）- iu）Zziu-1.1.- zz1.-iudz=(-（1）- iu）Zz（i（u+u）-1)-1(1 - z） (二)-（国际单位）-1dz=(-（1）- iu）B（i（u+u）- 1, (2 - iu）），其中b（a，b）：=Zza-1(1 - z） b-1dz=Γ（a）Γ（b）Γ（a+b）是β函数，其定义为Rea>0，Reb>0。

因此，g（u，u）=Γ（i（u+u）- 1) Γ (-iu+2）(-（1）- iu）Γ（iu+1）=Γ（i（u+u）- 1) Γ (-iu）Γ（iu+1），自Γ(-iu+2）=（1- iu）Γ(-iu+1）=(-（1）- iu）Γ(-iu+1）。引理30∈ R、 x=（x，··，xn）∈ r与u=（u，··，un）∈ Cn，Imuk>0，1≤ K≤ n、 ThenZRnδexp（z）-nXk=1exp（xk）！exp（z）- i hu，xi）dx=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）exp-iznXk=1uk！，其中δ（·）表示δ函数。证据通过改变变量ρ=exp（z）和σk=exp（xk），我们得到：=ZRnδexp（z）-nXk=1exp（xk）！exp（z）- i hu，xi）dx=ρZρQnΔρ-nXk=1σk！nYk=1σ-幸运儿-1knYk=1dσk，其中qn:={x=（x，···，xn）| 0<xk≤ 1, 1 ≤ K≤ n} sinceZRn\\ρQnΔρ-nXk=1σk！nYk=1σ-幸运儿-1knYk=1dσk=0。我们采用归纳法。很容易检查I=ρ-iu或引理30对n=1是真的。如果引理12对m=n为真，那么对于m=n+1，我们得到+1=ρZρQn+1δ（ρ- σn+1）-nXk=1σk！σ-iun+1-1n+1nYk=1σ-幸运儿-1kdσn+1nYk=1dσk，我们可以在+1asIn+1=ρZρσ中重写-iun+1-1n+1ρ- σn+1Jn（ρ，σn+1）dσn+1，其中jn（ρ，σn+1）：=（ρ- σn+1）ZρQnnYk=1σ-幸运儿-1kδ（ρ）- σn+1）-nXk=1σk！nYk=1dσk。根据归纳假设jn（ρ，σn+1）=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）exp-inXk=1ukln（ρ- σn+1）=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）（ρ- σn+1）-iPnk=1uk。亨塞因+1=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρZρσ-iun+1-1n+1ρ- σn+1（ρ- σn+1）-iPnk=1ukdσn+1=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρ-iPnk=1ukZρσ-iun+1-1n+11.-σn+1ρ-1.-iPnk=1ukdσn+1。改变变量ξ：=σn+1/ρ，我们得到in+1=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρ-iPnk=1ukZ（ρξ）-iun+1-1(1 - ξ)-1.-iPnk=1ukρdξ=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρ-iPn+1k=1ukZξ-iun+1-1(1 - ξ)-1.-iPnk=1ukdξ=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρ-iPn+1k=1KB-iun+1，-inXk=1uk=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρ-iPn+1k=1ukΓ(-iun+1）Γ(-iPnk=1uk）Γ(-iPnk=1uk- iun+1）=Qn+1k=1Γ(-iuk）Γ-iPn+1k=1uk经验-izn+1Xk=1uk！。定理31（赫德·周）设n≥ 2.

对于任意实数=（，···，n），且m>0表示2≤ M≤ n和<-1.-Pnm=2m，exp（x）-nXm=2exp（xm）- 1!+= (2π)-nZRn+iexp（i hu，xi）g（u）du，其中x=（x，··，xn）和，对于u=（u，··，un）∈ Cn，g（u）=Γ（iPnm=1um- 1） Qnm=2Γ(-Γ（iu+1）。（6.1）证据。我们需要展示（6.1）。观察Zrδexp（z）-nXk=2exp（xk）！exp（z）dz=1。Henceg（u）=ZRnZRδexp（z）-nXk=2exp（xk）！实验（x）-nXk=2exp（xk）- 1!+x exp（z）- i hu，xi）dzdx=ZR（exp（x）- exp（z）- 1） +×ZRn-1δexp（z）-nXk=2exp（xk）！exp（z）- 我胡，习）dx··dxn！dxdz。应用引理30和引理29我们得到g（u）=Qnk=2Γ(-iuk）Γ(-iPnk=2uk）×ZRexp-iux- iznXk=2exp（英国）！（实验（x）- exp（z）- 1） +dxdz=Γ（iPnk=1uk- 1） Qnk=2Γ(-iuk）Γ（iu+1）。6.3近似公式在应用中，重要的是建立一个定价理论，该理论包括一系列不同的奖励函数H。例如，由H=H（x）=H（x，··，xn）给出的展宽期权的奖励函数=S0,1exp（x）-nXj=2S0，jexp（xj）- K+相对于xas x，允许指数增长→ ∞. 因此，我们需要介绍以下定义。定义32我们说模型过程St={Sj，t，1≤ J≤ n} 如果等式[H]<∞.显然，如果等式[H]=∞ 那么期权就无法定价了。回想一下，期望算子是根据满足等价鞅测度条件（4.7）的密度函数pqt计算的。下一条语句将奖励函数简化为cano nic al形式。引理33在我们的符号中v=K exp(-rT）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+pQT（y）- d） dy，其中d:=（d，··，dn），dj=lnS0，jK, 1.≤ J≤ n、 证据。还记得V=exp吗(-rT）等式[H]。

在我们的情况下=S1，T-nXj=2Sj，T- K+,其中Sj，T=Sj，0exp（Uj，T），1≤ J≤ n、 这意味着v=exp(-rT）ZRnS0,1exp（x）-nXj=2S0，jexp（xj）- K+pQT（x）dx，=K ex p(-rT）×ZRn经验x+lnS0,1K-nXj=2expxj+lnS0，jK- 1.+pQT（x）dx，其中S0，j，1≤ J≤ n是各自的现货价格。改变变量syj=xj+lnS0，jK, 1.≤ J≤ n、 我们得到v=K exp(-rT）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+pQT（y）- d） dy，其中d:=（d，··，dn），dj=lnS0，jK, 1.≤ J≤ N定理34在我们的符号中，对于任意m=（m，··，mn）∈Znand=（，···，n），m>0表示2≤ M≤ n和<-1.-Pnm=2m，我们有ZrNexp2πiPm+，xH（x）dx=Γ-2πiPPns=1ms-Pns=1s- 1.Qns=2Γ2πiPms+sΓ-2πiPm- + 1.证据观察h（x）=（2π）-nZRn+iexp（i-hu，xi）g（u）du=（2π）-nZRnexp（i-hz+i，xi）g（z+i）dz=（2π）-nexp(- h，xi）ZRnexp（i hz，xi）g（z+i）dz，其中函数g由（6.1）定义。HenceH（x）exp（h，xi）=（2π）-nZRnexp（i-hz，xi）g（z+i）dz。自H（x）exp（H，xi）∈ L（Rn）然后，应用普朗谢尔定理em（见附录二定理42）和定理31，我们得到f（H（x）exp（H，xi））（u）=ZRnexp(-i hu，xi）H（x）exp（H，xi）dx=g（u+i）=i（i（（u+i）+iPnm=2（um+im））- 1） Qnm=2Γ(-i（um+im）Γ（i（u+i）+1）=Γ（i（u+Pnm=2um）-Pnm=1m- 1） Qnm=2Γ(-ium+m）Γ（iu）- + 1).这意味着thatZRnexp2πiPhm，xiH（x）e xp（H，xi）dx=g-2πiPm+i=Γ-2πiPPns=1ms-Pns=1s- 1.Qns=2Γ2πiPms+sΓ-2πiPm- + 1.下一个陈述给出了spr e ad选项的基因ral近似公式，该公式在各种应用中都很重要。注意，它没有显示收敛的速度。这个问题将在后面讨论。

在这个阶段，我们只解释如何构造近似公式。定理35 Letd:=（d，··，dn），dj=lnS0，jK, 1.≤ J≤ nand=（，···，n），0<j≤ b+，j，2≤ J≤ 请注意-,1.≤ < -1.-Pnm=2m。那么V的形式近似值可以写成V=K exp(-rT- hd，i）PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di×Γ-2πiPPns=1ms-Pns=1s- 1.Qns=2Γ2πiPms+sΓ-2πiPm- + 1, R→ ∞, P→ ∞,哪里Ohm′1/R=（x）∈ Rn，nXs=1CTln Rν-1s2πPxsνs≤ 1).证据应用引理33，我们得到v=exp(-rT）等式[H]=exp(-rT）ZRnS0,1exp（x）-nXj=2S0，jexp（xj）- K+pQT（x）dx，=K ex p(-rT）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+pQT（y）- d） dy，其中d:=（d，··，dn），dj=lnS0，jK, 1.≤ J≤ n、 对于给定的=（，·n），b-,s≤ s≤ b+，s，1≤ s≤ n我们可以将Cauchytheorem n次应用于由（5.1）定义的do main TN，其由（5.4）调整。HencepQT（y）=（2π）-nZRnexp(-i hy，xi）ΦQ（x，T）dx=（2π）-nZRn+iexp(-i hy，xi）ΦQ（x，T）dx=（2π）-nZRnexp(-i hy，x+ii）ΦQ（x+i，T）dx=exp（hy，i）（2π）-nZRnexp(-i hy，xi）ΦQ（x+i，T）dx。让我来∈PQn。回想一下Qn={x | x=（x，···，xn）∈Rn，|xk |≤ 1}.

然后从推论5.5我们得到pqt（y）≈ exp（hy，i）PnXm∈ZnΦQ-2πPm+i，T经验2πiPhm，yi!和pqt（y- d）≈ exp（hy）- d、 i）×PnXm∈ZnΦQ-2πPm+i，T经验2πiPhm，y- di≈ exp（hy）- d、 i）×PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di经验2πiPhm，yi.因为j>0，2≤ J≤ n、 -1.-Pnj=2j然后我们可以将定理34应用到Bainv=K exp(-rT）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+pQT（y）- d） dy≈K exp(-rT）PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di×ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy）- d、 i）经验2πiPhm，yidy=K exp(-rT- hd，i）PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di×ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）经验2πiPhm，yidy=K exp(-rT- hd，i）PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di×Γ-2πiPPns=1ms-Pns=1s- 1.Qns=2Γ2πiPms+sΓ-2πiPm- + 1=埃夫。定理36让我们用符号T>0，0<j≤ b+，j，2≤ J≤ 请注意-,1.≤ < -1.-Pnm=2m，d:=（d，·dn），dj=lnS0，jK, 1.≤ J≤ n、 b=min{-B-,s、 b+，s，1≤ s≤ n} ，M（P，R）：=(2π)-nZRnexp（i h）·-d、 xi）ΦQ(-x+i，T）dx-PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di经验2πiPhm，·iL∞（Rn），andeV是定理35中V的近似值，那么δ：=五、-电动汽车<<K exp(-rT）Γ(-Pns=1s- 1） Qns=2Γ（s）Γ（1）- )×经验(-（b）+议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1.+K exp(-rT）M（P，R）×经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）L（Rn\\（P-kdk∞)Qn），m→ ∞, P→ ∞.证据LeteV是V的近似值。

自0<j≤ b+，j，2≤ J≤ 请注意-,1.≤ < -1.-Pnm=2m当我们得到δ=五、-电动汽车= K ex p(-（右）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）×(2π)-nZRnexp（i-hy）- d、 xi）ΦQ(-x+i，T）dx-PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di经验2πiPhm，yidy:= K ex p(-rT）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）u（y）dy。从推论5.5可以得出，对于选择的P>0和m>0，我们有|u（y）|=(2π)-nZRnexp（i-hy）- d、 xi）ΦQ(-x+i，T）dx-PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di经验2πiPhm，yi<< 经验(-（b）+议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1.对任何人来说∈PQn- d、 让我们把m=0放在定理34中。然后：=经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）L（Rn）=Γ(-Pns=1s- 1） Qns=2Γ（s）Γ（1）- ）对于选定的=（，···，n），0<j≤ b+，j，2≤ J≤ 请注意-,1.≤ < -1.-Pnm=2m.观察该pqn-DP- kdk∞Qn，kdk在哪里∞:= 最大{dk |，1≤ K≤ n} 。特雷弗雷斯（P-kdk∞)Qn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）u（y）dy≤ L经验(-（b）+议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1..最后，我们有-kdk∞)Qn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）u（y）dy≤ M（P，R）经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）L（Rn\\（P-kdk∞)Qn）。为了简单起见，假设n=2。首先，让我们-1.- 和>0。自（exp（y）- 经验（y）- 1)+≥ 如果exp（y）为0- 经验（y）- 1.≥ 0和x≥ 0那么（实验（y）- 前p（y）- 1） +exp（hy，i）L（R\\（P-kdk∞)Q） =ZL（R\\（P-kdk∞)Q） （实验（y）- 经验（y）- 1） +exp（hy，i）dy:=i+i，其中i=Z∞P-max{d，d}exp（y）Zln（exp（x）-1)-∞（实验（y）- 1.- exp（y）exp（y）dy！dyandI=ZP-max{d，d}exp（y）Z-P+max{d，d}-∞（实验（y）- 1.- exp（y）exp（y）dy！可以证明我<< 经验-P安迪<< 经验（++1）P作为P→ ∞.