高维期权的定价

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英文标题：
《Pricing of high-dimensional options》
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作者：
Alexander Kushpel
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Pricing of high-dimensional options is one of the most important problems in Mathematical Finance. The objective of this manuscript is to present an original self-contained treatment of the multidimensional pricing. During the past decades the Black-Scholes this model, which essentially is based on the log-normal assumption, has been increasingly criticised. In particular, it was noticed by Mandelbrot that empirical log-returns distributions are more concentrated around the origin and have considerably heavier tails. This suggests to adjust the Black-Scholes model by the introduction of the Levy processes instead of Brownian ones. This approach has been extensively studied in a univariate setup since the nineties. In the multivariate settings the theory is not so advanced. We present a general method of high-dimensional option pricing based on a wide range of jump-diffusion models. Namely, we construct approximation formulas for the price of spread options. It is important to get an efficient approximation for the respective density function, since the reward function has usually a simple structure. Instead of a commonly used tabulation approach, we use the respective m-widths to compare a wide range of numerical methods. We give an algorithm of almost optimal, in the sense of the respective m-widths, reconstruction of density functions. To demonstrate the power of our approach we consider in details a concrete class of Levy driven processes and present the respective rates of convergence of approximation formulas. The interrelationship between the theory and tools reflects the richness and deep connections in Financial Mathematics, Stochastic Processes, Theory of Martingales, Functional Analysis, Topology and Harmonic Analysis.
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中文摘要：
高维期权的定价是数学金融学中最重要的问题之一。这篇手稿的目的是呈现一种原始的、独立的多维定价方法。在过去几十年中，Black-Scholes模型基本上基于对数正态假设，受到了越来越多的批评。特别是，Mandelbrot注意到，经验对数收益率分布更集中在原点周围，并且有相当大的尾部。这建议通过引入Levy过程而不是布朗过程来调整Black-Scholes模型。自20世纪90年代以来，这种方法在单变量系统中得到了广泛的研究。在多元环境下，这一理论并不那么先进。本文提出了一种基于跳扩散模型的高维期权定价方法。也就是说，我们构造了价差期权价格的近似公式。获得相应密度函数的有效近似值很重要，因为奖励函数通常具有简单的结构。与常用的制表方法不同，我们使用各自的m宽度来比较各种数值方法。我们给出了一个密度函数的近似最优重建算法。为了证明我们的方法的有效性，我们详细考虑了一类具体的Levy驱动过程，并给出了近似公式各自的收敛速度。该理论与工具之间的相互关系反映了金融数学、随机过程、鞅理论、泛函分析、拓扑与调和分析的丰富性和深刻联系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：Mathematical Quantitative relationship Multivariate introduction

高维期权定价Alexander Kushpel 2015年9月25日内容1前言22注释103一般定义123.1市场和衍生工具。123.2货币的时间价值。133.3套利定理。144 L’evy工艺和特性说明164.1简介。164.2基本结果。164.3一类随机系统。204.4篮子期权的有效等价鞅度量条件。234.5科博家族。254.6 KoBoL过程密度函数的表示。295跳跃扩散模型中密度函数的恢复345.1简介。345.2密度函数的表示。355.3泊松求和法近似密度函数。375.4近似方法的比较。405.5 m项指数和密度函数的近似456期权定价486.1简介。486.2赫德-周定理。496.3近似公式。54第1章高维或价差期权的重新定价是数学金融学中最古老、最重要的问题之一。这些期权在股票、外汇和大宗商品市场上很重要。

电火花差价期权在广泛的市场上交易，用于将特定燃料换成电力。在农业市场上，一类将生大豆与大豆醇和豆粕混合交换的价差很受欢迎[19]。利差定义为工具St，t≥ 0，其在时间t的值由差值t=S1，t给出- S2，t，t≥ 0.买入这种价差就是买入S1，卖出S2，t。我们不应该局限于St定义的价差，相反，我们认为STA是交易金融工具的价格。众所周知，价差期权的定价需要具有不同于几何布朗运动跳跃的模式ls，并且此类期权的定价可能会受到挑战[52]。我们使用L’evy过程来模拟回报。已知的价差期权定价方法可分为两大类：解析近似法（近似公式）和数值方法。我们将集中讨论分析方法，这些方法旨在开发封闭式公式来近似差价期权价格。这里有两种主要方法：偏微分方程和鞅。经验表明，如果维度较低[32,99]，P DE’s方法是合适的。我们将采用鞅定价法。在这种情况下，通用价差期权在时间0时的价格V由V=exp给出(-rT）等式[H]，其中H:Rn→ [0, ∞) 是报酬（Payoff）函数，T>0是到期时间，期望值是根据与所选模型相对应的等价鞅测度Q计算的（更多细节见附录I和附录III）。在许多有实际意义的情况下，Q允许密度函数pQT。因此，在这种情况下，V=exp(-rT）ZRnHpQTdx。（1.1）在应用中，构建一个包含各种奖励函数H的定价理论非常重要。在许多实际情况下，奖励函数H呈指数增长。

例如，我们可以设想一个无摩擦的市场，没有无风险的机会，且利率r>0。设St={Sj，t，1≤ J≤ n、 t≥ 0}，n由指数过程Sj，t=Sj，0exp（Xj，t）建模的资产价格。买入期权的定义为日期T，称为到期日，数字K>0，称为行使价格的执行，它赋予其所有者在时间T以单价K购买一个单位的不动产工具的权利。假设该工具可以转售给ST，这意味着期权的所有者将收到最大支付金额{ST- K、 0}在到期日T。考虑价格分布ST=S1，T的一个选项-Pnj=1Sj，T.到期日T>0且利率下降的共同价差≥ 0是paysH（X1，T，··，Xn，T）=（ST- K） χ{ST>K}=maxS1,0exp（X1，T）-nXj=2Sj，0exp（Xj，T）- K、 0在时间T>0时。显然是H（x，··，xn）~ exp（x），x→ ∞. 因此，我们的模型过程的特征函数ΦQ（x，T），即pQT（x）的傅里叶变换，必须允许一个解析扩展到足够宽的条带，以保证定价积分（1.1）的收敛性。因此，如果等式[H]<∞. 这对模型来说是一个非常严格的条件。让我们讨论一下一维情况下常用的模型。考虑一个由r无风险债券和股票组成的普通无摩擦市场，该市场在给定的恒定无风险利率r>0的固定等价鞅测度Q下由指数L’evy过程ss St=Sexp（Xt）建模。观察到，通过对数正态分布对期权价格进行建模的想法源于萨缪尔森[95]。

因为在我们的模型中，股票不支付折扣，而是按股票价格计算(-rt）投资必须是Q项下的鞅。考虑一份合同（欧式看涨期权），该合同赋予其所有者以固定的执行价格在指定的到期日T购买标的资产的权利，但没有义务。我们需要评估一下它的价格。在这种情况下，payo off的形式为h（x）=（Sexp（x）- K） +，（1.2）其中∈ R、 （a）+=max{a，0}，K是执行价。在经典的Black-Scholes模型[11]中，股票价格遵循几何布朗运动，定义为St=Sexp（Xt），其中Xt，t≥ 0是具有概率密度函数P的布朗运动t（x）=2πσT-1/2exp-（十）- ut） 2σT就目前而言+T- Xt和参数u和σ分别称为漂移和波动[14]，第2页。股票价格的动力学由dst=uStdt+σStdWt给出，其中wt是标准布朗运动。这个随机微分方程可以求解，St=Sexpu -σt+σWt到期日和执行价为K的所有期权在t=0时的无套利价格V可以表示为V=SΦ（b）- K exp(-rT）Φ（b），（1.3），其中b=ln（S/K）+r+σ/2TσT1/2，b=ln（S/K）+R- σ/2TσT1/2和Φ是标准的正态累积分布函数[11]。在这个模型中，存在一个唯一的鞅测度Q，该测度由附录III中的Girsanov定理给出。有关更多信息，请参见[71]、[53]和[36]。如我们所见，只有波动率参数σ出现在（1.3）中，漂移u项消失。有两种常用的方法来估计σ。第一种是基于历史数据的经验估计。在固定的时间间隔（例如每天）观察股票价格。然后我们计算对数收益率，并用sa1/2估计σ，其中s是标准差，a是交易日数。

第二种方法与所谓的隐含波动性有关，即标的资产的波动性，当替换为（1.3）时，给出了与市场价格相关的理论价格等式。这个方程可以用数值方法求解。如果我们计算不同罢工和到期时间T的隐含波动率，那么我们发现波动率不是恒定的。固定T的隐含波动率与ST/K的关系称为波动率微笑。这种现象是由于正态分布是对数回归较差的模型[22]。观察到，如果Black-Scholes公式（1.3）正确，隐含波动率将独立于T和K，并与历史波动率sa1/2相等，这在现实中是不正确的。在过去的几十年里，布莱克-斯科尔斯模型受到越来越多的批评。曼德布罗特是第一个提出反对对数正态分布假设的证据的人[82]。也就是说，他发现，与正态分布相比，经验分布更集中在尾部和原点周围。基于这些观察结果，Mandelbrot提出考虑一类纯跳跃过程，而不是连续布朗运动。众所周知，如果引入额外的随机因素，布莱克-斯科尔斯理论将变得更加有效。因此，重要的是考虑更广泛的L’evy过程。Mandelbrot[82]和Fama[37]首次在这种情况下使用了稳定的L’evy过程。从90sL开始，所有流程变得越来越流行（参见[83、84、13、14、59、4、5、7、8、21]及其参考文献）。有几种不同的方法可以构建高维L’evy过程。一般方法基于著名的L'evy Khintchine公式（4.1），该公式给出了任何L'evy过程Xton Rn的特征指数ψ的表示。

任何L’evy过程的特征函数Φ（x，t）可以正式定义为Φ（·t）=E[exp（i h·，Xti）]=exp(-tψ（·）），其中ψ是唯一确定的Xt的特征指数。然后密度函数Pt可以表示为aspt（·）=（2π）-nZRnexp(-i h·，xi- tψ（x））dx。根据L’evy-Khintchine公式，对于任何L’evy过程，特征指数ψ允许表示ψ（·）=hA·，·i- 我…我-ZRn（1）- 经验（i h·xi）- i h·，xiχD（x））∏（dx），（1.4），其中χDis单位球在Rn中的特征函数，h∈Rn，A是非对称的非负定义矩阵，而∏（dx）是一个度量，使得Zrnmin{1，hx，xi}∏（dx）<∞, Π ({0}) = 0.（1.4）中的三重态（A，π，h）称为生成三重态（或L’evy三重态）。在报告（1.4）中选择不同的L’evy密度∏，我们得到了L’evy过程的特征指数集（见例[14]，第200页）。然而，这种方法与流形上积分的数值计算有关。例如，一类已知的高维L’evy模型基于所谓的KoBoL族，由∏（dx）=ρ定义-ν-1exp(-λ（φ）ρ）dρdφ，其中dφ是Sn上的归一化旋转不变测度-1. Rnandλ是Sn上的一个连续正函数-1.可以证明关联特征指数ψ的形式为ψ（·）=-i hu，·i+Γ(-ν） ZSn-1(λν(φ) - (λ (φ) - i hAξ，φi）ν）dφifν∈ (0, 1)∪(0, 2), u ∈ Rnand A为正定义矩阵[14]，第200页。请注意，如果不是Sn，也可以获得类似的模型-1. 我们考虑齐次完全光滑的m维黎曼流形 Rn，m<n.我们不在此讨论这一研究领域。

观察到[25]中讨论了一些非常具体的多变量L’evy过程依赖结构建模方法。我们将采用一种通用且实用的方法，该方法仍然允许在不涉及数值方法的情况下获得利差期权定价的显式近似公式。这就允许在我们的分析中应用分析方法。为了对收益过程进行建模，我们引入了一类形式为ut=Xt+BZt，B=（bm，k，1）的随机系统≤ m、 k≤ n） （1.5）其中Xt=（X1，t，·，Xn，t）和Zt=（Z1，t，·，Zn，t）具有由其特征指数ψ（1）s，1定义的独立分量≤ s≤ n和ψ（2）m，1≤ M≤ n代表性a和Ut=（U1，t，··，Un，t）。矩阵B反映了过程U1，t，···，Un，t之间的依赖关系。作为L’evy过程的线性组合，它是L’evy过程（参见[9 6]，第65页）和返回过程isSt={Sj，t=Sj，0exp（Uj，t），1≤ J≤ n} 。（1.6）实证研究表明，如果市场处于危机中（参见。http://www.economicsofcrisis.com/点燃。html获取更多信息）。我们给出了Ut的特征函数Φ（z，t）的一种显式形式，Φ（z，·zn，t）=Φ（z，t）=exp(-其中ψ（z）：=nXs=1ψ（1）s（zs）+nXk=1ψ（2）mnXk=1bk，mzk！。（1.7）我们为模型（1.6）指定了充分等价鞅度量条件。在等价鞅测度Q下，所有资产的预期收益率均为无风险率r。这意味着在无套利条件下，市场上投资者的风险偏好不会参与估值决策。

已知[26]等价鞅测度Q的存在性等价于无套利条件n。注意，Q相对于P是绝对连续的，P是从收益观测中得到的历史测度（详见附录I）。证明了在等价鞅测度条件下，ψ必须满足条件ψQ(-ies）=-r、 一,≤ s≤ n、 其中{es，1≤ s≤ n} 是inRn的标准基础。一般来说，Q不是唯一的。此外，等价的nt鞅测度的类对于从依赖于模型参数的某个密集区间集合中确定利率期权价格来说是非常大的。一种数学上的trac表选择是所谓的Esscher等效测量（更多信息见附录III）。我们假设Q已经确定，并且所有的预期都是根据这一指标计算出来的。此外，我们将不关心模型校准的问题（更多信息参见[19]）。一维特征指数ψ（1）和ψ（2）min（1.7）是我们模型的基石。在（1.7）中选择不同的ψ（1）和ψ（2）以及B=（bm，k），我们得到了大范围的高维跳跃扩散模型。作为一个激励性的例子，我们考虑了一种在实践者中流行的模型，即所谓的KoBoL家族。[14,15,54,73,74,70]中考虑了s-uch模型的特征指数ψ，可直接从一维L’evy-Khintchine公式（1.4）中获得，ψ（ξ）=-i+c-Γ (-ν) ((-λ-)ν- (-λ-- iξ）ν）+c+Γ(-ν)λν+- （λ++Ⅰξ）ν, （1.8）其中∈ (0, 1), u ∈ R、 c+，c-> 0，λ-< 0<λ+是一维模型参数。观察参数（ν，u，c+，c-, λ+, λ-) 确定概率密度。ν和c+的较大值，c-当参数c+，c-控制不对称与λ-,λ+确定本征衰变率为|ξ|→ ∞.

在我们的应用中，我们充分注意到（1.8）定义的函数ψ（ξ）是域C中的分析{(-我∞, iλ-] ∪ [iλ+，+i∞)} 和|Φ（ξ，t）|=| exp(-tψ（ξ））| 经验(-C |ξ|ν），as |ξ|→ ∞, |Imξ|∈ (λ-, λ+), ν ∈ (0, 1/2). 这里C>0是一个绝对常数(-ν） <0和cos（νπ/2）>0如果ν∈ （0,1）和c+，c-> 0.因此在条带κ中应用柯西定理-≤ Imξ≤ κ+, λ-< κ-< 0<κ+<λ+我们得到pqt（x）=M（x）N（x，t），（1.9），其中M（x）：=2π（exp（κ-x） +exp（κ+x））和n（x，t）：=ZRexp(-ixξ）ΦQ（ξ）- iκ-, t） +ΦQ（ξ）- iκ+，t）dξ是R上的有界函数。观察ifRRM（x）H（x）dx<∞ 然后我们的模型过程适用于奖励函数H。特别是，如果H是Europeancall奖励函数（1.2），则H（x）~ exp（x），作为x→ ∞ 我们应该假设λ+>1以保证定价积分（1.1）的收敛性。在基因ral中，如果ΦQ（ξ，t），（ξ，t）∈ R×R+不允许对ξ进行解析延拓，那么我们可以应用固定相近似来建立pQt（x）的符号→ ∞ 选择可容许的r e ward函数。在多维环境中，我们也有类似的情况。为了简单起见，假设特征函数ΦQ（z，t），（z，t）∈ Rn×R+允许对each变量zk，1进行解析扩展≤ K≤ n进入条带| I mzk |∈ [-bk，bk]，其中lim | zk|→∞ΦQ（z，·zn，t）= 0, 1 ≤ K≤ n、 然后我们证明pqt（x）=M（x）n（x，t），其中M（x）=2-2nπ-nnYk=1cosh（bkxk）！-1（1.10）和N（x，t）是有界函数，N（x，t）=ZRnexp(-i hx，zi）ΦQn（z，t）dz，其中函数ΦQn（z，t）定义为ΦQ（z，t）：=ΦQ（z+ieb，t）+ΦQ（z-ieb，t），ΦQk（z，t）：=ΦQk-1（z+iekbk，t）+ΦQk-1（z）-iekbk，t），2≤ K≤ n、 我们基于（1.10）中的泊松求和公式重建密度函数pQtis的方法。设P为一个膨胀参数。