高维期权的定价

东南 如果对于e非常X，那么X被称为存在集∈ 有一个最佳逼近元素。命题56每闭局部紧子集M X是一个存在集。特别是，X的每个有限维子空间都是一个存在集。证据假设x∈ X\\M和E（X）=c>0，否则存在性很明显。通过定义每n的inf∈ N有这样的人∈ 我是thatkx- ynk<E（x）+1/n，序列{yn}是有界的，因为它=kx- x+ynk≤ kxk+E（x）+1/n=kxk+c+1/n。利用M的局部紧性，我们可以找到这样一个子序列{ynm}thatynm→ 亚斯·m→ ∞. 评论说∈ 因为M关闭了。很明显e（x）≤ kx- ynmk<E（x）+1/mn，n∈ 如果我们让我→ ∞, 我们得到了kx- yk=E（x），这意味着yi是一个最佳逼近的元素。如果X上的范数为任意X，则称为标准凸∈ X和y∈ 十、 kxk=kyk=1我们得到了kax+（1）- a） 对于任何a，yk<1∈ (0, 1). 这意味着X中的单位球体kxk=1不包含任何线段。命题57设M是严格正规化空间X的凸子集。如果是为了x∈ 在M中有一个最佳逼近的元素，那么这个元素就是u nique。证据

假设有两个元素y∈ M和y∈ M、 y6=x的最佳近似值∈ 十、 E（X）=kx- yk=kx- yk。因为M是凸的，所以对于任何a∈ [0,1]元素ya=ay+（1）- a） 安第斯山脉（x）≤ kx- 牦牛=ka（x- y） +（1）- a） （十）- y） k≤ akx- yk+（1）- a） kx- yk=aE（x）+（1）- a） E（x）=E（x）。这意味着球面{z|z∈ 十、kx- zk=E（x）}包含段ya=ay+（1）-a） y，a∈ [0,1]这与stric t凸性是矛盾的。布景M∈ X的性质是∈ 存在一个最佳逼近的唯一元称为切比雪夫集。设M为切比雪夫集，则最佳近似（度量投影）P（x）的算子由以下等式e（x，M）=kx定义- P（x）k，P（x）∈ 命题58如果M是X中的局部紧切比雪夫集，那么算子P是连续的。如果M是切比雪夫子空间，那么P是齐次的，特别是奇数P(-x） =-P（x）。证据设xbe为X和xm中的固定点→ x、 观察kp（xm）- xk≤ kP（xm）- xmk+kxm- xk=E（xm，M）+kxm- 序列{E（xm，M）}c被P位置55包围。因此，序列{P（xm）}是有界的。假设P（xm）为9p（x）。利用M的局部紧性，我们找到一个子序列P（xmn），这样limn→∞P（xmn）=z6=P（x）。因为M是切比雪夫集，所以我们有z∈ M当n→ ∞ inkxmn- P（xmn）k=E（xmn，M）≤ kxmn- P（x）kwe get kx-zk≤ kx-P（x）k，这意味着z是xin M的最佳逼近的n元素。这与M是Chebyshevset的假设相矛盾。因此P（xm）→ P（x）。当M是任意a的切比雪夫子空间时∈ 我们要走了吗- aP（x）k=|a | kx- P（x）k=|a | E（x，M）=kax- P（ax）k，或P（ax）=aP（x）。设M=Mm是赋范s paceX的M维切比雪夫子空间，{x，··，xm}是Mm的基。

最佳逼近算子可以重新表示为asP（x）=mXk=1αk（x）xk。（6.3）从命题58我们得到命题59的泛函αk（x）：x→ 嗯，1≤ K≤ m是均匀的和连续的。证据根据命题58，P（ax）=aP（x），这意味着mXk=1αk（ax）xk=mXk=1aαk（x）xk。表示（6.3）是唯一的，因此对于任何∈ R和x∈ 我们有一个αk（X）=αk（ax），1≤ K≤ m、 最后，请注意，在有限维空间Mm（dimMm=m）中的收敛性等价于协成分w收敛性和算子P:X→ 是连续的。这意味着函数lsαk，1的连续性≤ K≤ MBorsuk-Ulam定理next语句是一个重要结果，广泛用于计算n宽度的下界[12]。定理60（Borsuk-U lam）设X和Y为R或C上的有限维Banach空间，且dimY<dimX，且S=S（X）={X∈ X:kxk=1}是X中的单位球面。如果f:S→ Y是一个连续的map，然后有一个点x∈ 这就是f(-x） =f（x）。特别是，如果f是一个奇数函数，那么就有一个点x∈ 因此f（x）=0。定理60被Ulam怀疑，Borsuk证明，可以重新表述如下。允许Ohm 是Rm中0的有界、开放、对称的邻域，F是边界的连续奇数映射Ohm 进入Rm-1.然后存在一个x*∈ Ohm 这样F（x）*) = 定理61设Xn+1b是实赋范线性空间X的任意n+1维子空间，B（Xn+1）表示Xn+1的单位球。然后证明dk（B（Xm+1），X）=1，k=0，1，2，·m。很明显，dm（B（Xm+1），X）≤ dm-1（B（Xm+1），X）≤ · · · ≤ d（B（Xm+1），X）=1，所以有充分的证据表明dm（B（Xn+1），X）≥ 1.我们证明了对于任意给定的m维子空间Lm∈ 存在∈ B（Xm+1），零是Lm的最佳近似值。

设{x，··，xm+1}和{z，··，zm}分别是xm+1和lm的基，然后是任意x的基∈ Xm+1和z∈ 我们有代表性sx=m+1Xs=1asxs，z=mXs=1bsz。在证明中取X=lin{Xm+1，Lm}是有效的。注意dim X=l≤ 2m+1。设{y，···，yl}是X=lin{Xm+1，Lm}的基，所以任何X∈ x可以用x=lXs=1csys的形式书写。如果X上的范数不是严格凸的，那么它可能被范数kxk=kxk+lXs=1 | cs |取代！1/2（6.4）是严格凸的。因为dimX<2m+1，我们可以取极限→ 0同时保持定理的有效性。这意味着我们可以证明X上的范数是严格凸的，这意味着最佳逼近算子的唯一性和连续性，也意味着它的奇异性。领域Ohm =（（a，···，an+1）：x=m+1Xs=1asxs，kxk<1）是Rm+1中0的有界、开放、对称邻域。对于任何一个∈ Ohm设F（a）=（b，··，bm）∈ rm表示最佳近似tox=m+1Xs=1asxs的系数向量∈ B（Xm+1）来自Lm。根据命题59，图F（·）：Ohm → Rmis是一张奇怪的、连续的地图Ohm 进入Rm。因此，根据Borsuk-Ulam定理，存在anx*=m+1Xs=1a*sxs，kxk=1，其中零元素是Lm的最佳近似值。根据定理61和Bernstein n-宽度的定义，我们得到推论62，设A是Banach空间X中的紧对称集，然后，dm（A，X）≥ bm（A，X），m=0，1，··。Brouwer定理63（Brouwer）对于将紧凸集B映射到自身的任何连续函数，都有一个点x∈ B使得F（x）=x。定义64设（x，θ）为度量空间，F：（x，θ）→ （X，θ）是一个连续的映射，使得θ（X，F（X））≤ 对于任何x∈ 在这种情况下，我们说F是一个-移位。推论65设X是单位球B的Banach空间，dim X<∞.设F是B和的移位∈ (0, 1). 然后是δ>0，这样δBF（B）。证据

选择δ，使+δ<1。如果有x∈ δB我们有x∈ F（B）然后是δB F（B）证明了该陈述。因此，假设存在这样的x∈ δB等于x/∈ F（B）。考虑一个连续映射ξ=Υ（x），Υ：B→ B定义如下。让l（x），x∈ B是F（x）穿过x的射线∈ δB和ξ：=l（x）∩ B.假设x∈ intB。那么x6=ξ∈ B.让x∈ B.B y假设/∈ F（B）和x∈ δB，其中δ<1。这意味着对于anyx，x6=F（x）∈ B和x/∈ B.通过构造，xis是F（x）和ξ的凸组合。因此x=（1）- α） F（x）+αξ，对于某些α∈ (0, 1). 因此，kξ- F（x）k>kξ- xk≥ 1.- δ，因此- ξk=kx- F（x）+F（x）- ξk>1- δ -  = 1 - （δ+）>0，因为δ+<1。这意味着x 6=ξ。因此，地图Υ没有设定点。这与Brouwer定理相矛盾，因为单位球B在X，dim X<∞ 是紧的和凸的。设（A，θ）是度量紧空间，{U，···，Um}是A的开覆盖，即A ∪ms=1Us。设Z是线性度量空间，{Z，···，zm}是Z中的一组不同点-→ ZF（x）=Pms=1λs（x）zs，其中λs（x）：=ds（x）Pmk=1dk（x）和dk（x）：=min{θ（x，y）|y∈ A.英国}。λs（x）≥ 自dk（x）起0≥ 0.观察函数λs（x），1≤ s≤ mare连续，mXs=1λs（x）=1，如果x，则λs（x）=0/∈我们集合F（A）被称为由集合{z，····，zm}生成的覆盖{U，···，Um}的op e n的神经，用n（z，··，zm）表示。命题66设A是Banach空间X中的紧集，则对于任意>0存在m=m（）、线性流形Mm、dim-Mm=m和-移位F:A→ 嗯。证据由于A是紧的，那么根据Hausdorff定理，对于任何>0，这里有一个有限的-网{x，····，xm}，A中的m=m（），即A可以由集合B+xs的并集覆盖，1≤ s≤ m、 或A=∪ms=1（B+xs），其中Bis是X中的单位开球。显然a{X，···，xm}是线性流形Mm，m:=dim Mm≤ N

地图F:A→ N（x，··，xm）是必需的-移位。定理66（Tikhomirov[101]，第221页）设X是Banach空间，且 X是凸对称紧的。然后BM（A，X）≤ 凌晨2点（A，X）。噗。根据定理61和（6.4）的证明，我们可以假设t X是一个有限维的Ba nach空间，具有完全光滑和s三角凸的单位球B。在X中固定（m+1）维子空间Lm+1。观察Lm+1是切比雪夫子空间e。因此，度量投影算子PLm+1:X→Lm+1定义明确。假设凌晨2点（A，X）<bm（A，X）- 4。（6.5）设Km为m维复形，F:A→ Km可以是一个连续的映射，使得∈ A | kx- F xk}≤ am（A，X）+。（6.6）设z，··，zs是Kmandζ的顶点：=PLm+1z，··，ζs:=PLm+1z是z，··，zsin Lm+1的最佳逼近元素。既然Km是一个简单的复形，那么任何x∈ 对于mx=lXj=1αsjzsj，Km可以用。确定地图P:Km→ Lm+1，px:=lXj=1αsjζsj=lXj=1αsjPLm+1zsj=lXj=1PLm+1αsjzsjandψ：=Po F注意P是一个单纯形映射。因此P（Km）≤dim Km=m。构成Km的单纯形的直径可以根据我们的喜好来假设。因此，对于任何>0，根据PLm+1和P的定义，我们可以假设：Y∈ 公里PLm+1- PY≤ . （6.7）因此，对于anyx∈ （bm（A，X）- ）B∩ Lm+1 Awe getkx- ψxk=kx- Po F xk=十、- fx+fx- Po Fx+PLm+1o F x- PLm+1o F x≤ kx- F xk+F x- PLm+1o F x+PLm+1o F x- Po F x:= J+J+J.按消耗量（6.6），J≤ am（A，X）+andJ=F x- PLm+1o F x= inf{ξ∈ Lm+1 | kF x- ξk}≤ kF x- xk≤ am（A，X）+。从（6.7）可以看出=PLm+1o F x- Po F x≤ .比较这些估计，我们得到kx- ψxk≤ （am（A，X）+）+（am（A，X）+）+）≤ 凌晨2点（A，X）+3<（bm（A，X）- 4）+3=bm（A，X）- ，我们使用的地方（6.5）。因此，球的连续映射ψ（bm（a，X）- ）B∩Lm+1是一个（bm（A，X）- ）-换班。

从推论6.3我们得到dim（ψ（bm（A，X）- ）B∩ Lm+1）≥ m+1。丁二酮（ψ（bm（A，X）- ）B∩ Lm+1）≤ dim Km=m。矛盾证明（6.5）是不可能的。因此，bm（A，X）≤ 凌晨2点（A，X）。参考文献[1]Applebaum，D.：勒夫过程和随机微积分。剑桥大学出版社，剑桥（2004）[2]巴赫曼，G.：抽象谐波分析的要素。学术出版社，纽约/伦敦（1964）[3]巴恩多夫-尼尔森，O.E.：粒径对数的显著递减分布。过程。罗伊。Soc。伦敦爵士。A 353401-419（1977）[4]巴恩多夫-尼尔森，O.E.：正态逆高斯型过程。金融和斯托克。2,41-68（1998）[5]巴恩多夫-尼尔森，O.E.，Le vendorskii，S.Z.：正态逆高斯型费勒过程。定量。资金1,3318-331（2001）[6]巴恩多夫-尼尔森，O.E.，P劳兹，K.：明显的斯卡林。Finanace和Stoch。5,1,103-11 3（20 01）[7]巴恩多夫-尼尔森，O.E.，Shephar d，N.：L\'evy Process为金融计量经济学设计的模式。摘自：巴恩多夫-尼尔森，O.E.，米科什T.安德烈斯尼克，S.（编辑）L\'evy Processs:理论与应用，第283-318页，伯赫-奥斯特-博斯顿，波士顿，马萨诸塞州（2001）[8]巴恩多夫-尼尔森，O.E.，谢泼德，N.：基于非高斯的奥恩斯坦-纽伦贝克模型及其在金融经济学中的一些应用。J.R.统计Soc。爵士。B.Sta t.Methodol。63,2167-241（2001）[9]贝塞尔，J.：另一种评估篮子期权价值的方法。工作论文，约翰内斯·古腾堡大学-美因茨（19 99）[10]伯顿，J.：列维过程。剑桥大学数学专业。，121.剑桥大学出版社，剑桥（1996）[11]布莱克，F.，斯科尔斯，M.：期权和共同企业负债的定价。J.政治经济学。81,3637-654（1973）[12]K.博尔苏克：¨德文《北地美施耐特酒店》（Uber Schnitte der n-dimensio nalen Euklidischen R¨aume）。数学安。106,1239-248（1932）[13]Bouchaud，J-P.，Potters，M.：金融风险理论。

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