主权违约风险和不确定性溢价

可能性扭曲的选择并非不受约束，而是受制于惩罚成本。在任何历史记录（t，wt）之后，贷款人对消费计划的偏好可以通过以下具体情况来表示：t（cL；wt）=cLt（wt）+γminmt+1（·| wt）∈MnEYhmt+1（Yt+1 | wt）Ut+1（cL；wt，Yt+1）| yti+θE[mt+1（·wt）]（Yt）o，（2）式中γ∈ （0，1）是贴现因子，参数θ∈ (θ, +∞] 是一个惩罚参数，用于衡量对模型误判的关注程度，以及映射E:M→ L∞（Y） 是条件相对熵，定义为asE[λ]（Y）≡ 嗯λ（Y）对数λ（Y）|Y（3） 对于任何λ∈ M和y∈ 最后，Ut+1（cL；wt，yt+1）是以yt+1为条件，但在实现Xt+1之前，即（4）Ut+1（cL；wt，yt+1，Xt+1）的期望值≡ 前任Ut+1（cL；wt，yt+1，Xt+1）,Ut（cL；wt）是时间t的现值预期效用，前提是wt给出了前一个历史，并且代理遵循消费计划cL。通过查看表达式（2），我们看到概率失真mt+1在实现Xt+1之前，将预期连续值乘以，即Ut+1（cL；wt，yt+1），符合我们的可测量性假设。关于贷款人寿命效用的顺序公式和递归（2）-（4）的推导，请参见补充材料中的S.2节。对于任何给定的历史wt，E[mt+1（·| wt）]（yt）测量了与近似条件概率PY | Y（·| yt）相关的已改变条件概率ePY，t（·| wt）的差异。通过这个熵项，当最小化代理选择与近似模型不同的扭曲概率时，就会受到惩罚。θ的值越高，最小化代理受到的惩罚就越大。在θ=+∞, 没有关于模型错误的担忧。F

放款人的问题如下所述，对于我们特定环境中的递归均衡，前一节中的寿命效用变为WR（wt，Bt，Bt），或者下限θ是一个分解值，低于该值，最小化问题表现不佳；详见Hansen和Sargent（2008）。12《美国经济杂志》月刊年（yt）。这里，WR（wt，Bt，Bt）是指在经济状况（wt，Bt，Bt）下，能够进入金融市场的个人贷款人的均衡值（终身效用）。WA（yt）的定义与此类似，但当借贷经济无法进入金融市场时。由于出借人是原子论的，每个出借人都将价格函数和总债务Bt视为给定值。出借人对该变量有一个感知的运动定律，只有在均衡状态下，才会要求该运动定律与实际运动定律一致。当贷款人和借款人可以建立新的财务关系时，贷款人在状态（wt，Bt，Bt）下的最小-最大问题由以下公式给出：WR（wt，Bt，Bt）=minmR∈MmaxcLt，bt+1ncLt+θγE[mR]（yt）+γEY[mR（yt+1）W（yt+1，Xt+1，bt+1，bt+1）|yt]os。t、 cLt=z+q（yt，Bt+1）（Bt+1）- (1 - λ） （英国电信）- (λ + (1 - λ） ψ）Bt和Bt+1=Γ（wt，Bt），（5）其中对于所有的yt+1∈ Y连续值W（yt+1，Bt+1，Bt+1）由W（yt+1，Bt+1，Bt+1）给出≡ EX[W（yt+1，Xt+1，Bt+1，Bt+1）]，其中W（wt+1，Bt+1，Bt+1）≡δ（wt+1，Bt+1）WR（wt+1，Bt+1，Bt+1）+（1）- δ（wt+1，Bt+1））WA（yt+1）是当借款人被赋予在状态（wt+1，Bt+1，Bt+1）下违约的选择权时，贷款人的价值，且Γ：W×B→ B是借款人Bt+1债务持有的个人贷款人的运动规律。注意，mR的最佳选择是从（wt、Bt、Bt）开始映射∈ W×Bto M。从等式（5）中，我们注意到贷款人在每个时期都会收到z给出的非随机捐赠。

由于每个时期的消费效用是线性的，z水平不会影响我们原始经济中的均衡债券价格、债券持有量和违约策略；见引理III.1。在金融自给自足的情况下，与借款人一样，贷款人没有决定权。因此，贷方在州内的自给自足价值（yt）由WA（yt）=minmA给出∈M{z+θγE[mA]（yt）+γEY[mA（yt+1）（（1- π） WA（Yt+1）+πW（Yt+1,0,0））|Yt]}，其中π是金融市场的重新进入概率。请注意，最优选择mA是从Y到M的映射。与借款人的情况相反，在金融自给自足期间，贷款人不承担产出损失。三、 递归均衡是定量主权违约模型中的标准，我们感兴趣的是一种递归均衡，在这种均衡中，所有代理都按顺序选择。正如我们将看到的，由于其i.i.d.性质，以及在该阶段没有决策的事实，XT不是贷款人金融自给自足问题的状态变量。请记住，我们将BTA表示为个人贷款人的债务，而BTA表示代表贷款人的债务。第卷第号发行违约和不确定性溢价13定义III.1：政策函数的集合{c，cL，B，B，mR，mA，δ}由消费c:W×B的映射给出→ R+和cL:W×B→ R+，债券持有量B:W×B→ B和B:W×B→ B分别适用于借款人和个人贷款人；概率失真mR:W×B→ M、 马：是的→M和默认决策，δ：W×B→ {0, 1}.

值函数{VR，VA，WR，WA}的集合由映射VR:W×B给出→ R、 弗吉尼亚州：W→ R、 WR:W×B→ R、 瓦：是的→ R.定义III.2：我们经济的递归均衡是一组政策函数{c*, 氯，*, B*, B*, M*R、 m*A、 δ*}, 一组值函数{V*R、 五*A、 W*R、 W*A} ，借款人债券持有量的感知运动规律，以及价格计划，例如：1）政策函数、概率扭曲和价值函数解决借款人和个别贷款人的优化问题。2） 所有人（w，B）∈ W×B，债券价格q（y，B）*（w，B））清理金融市场，即*（w，B）=B*（w，B，B）。3）债务持有的实际运动规律和感知运动规律是一致的，即B*（w，B）=Γ（w，B），代表所有人（w，B）∈ W×B.在施加上述市场清算条件后，向量（wt，Bt）能够有效地描述该经济体中任何代理的状态变量。因此，从那时起，我们认为（wt，Bt）是借款人和个人贷款人共同的状态向量。A.均衡债券价格和概率扭曲在我们竞争激烈的主权债务市场中，厌恶不确定性的贷款人基于其主观信念，在预期中实现零收益。因此，对于捐赠级yt和贷款规模Bt+1，债券价格函数满足所有（yt，Bt+1），q（yt，Bt+1）=γEYhχ（yt+1；Bt+1）m*（Yt+1；Yt，Bt+1）yti，（6）式中χ：Y×B→ R+表示长期债券的收益，用χ（yt+1；Bt+1）表示≡ EXhλ + (1 - λ)ψ+q（yt+1，B）*（wt+1，Bt+1））δ*（wt+1，Bt+1）伊恩·阿雷亚诺（2008）竞争风险中性贷款人在Bt+1水平的任何个人债务持有之间都是不同的。在我们的环境中，这不再是事实。

取q（Yt+1，B）*（Wt+1，Bt+1）和借款人的策略如给定，贷款人用严格凹目标函数解决一个凸优化问题，因此个人债务持有有一个唯一的内部解决方案。14《美国经济杂志》月和月*: Y×B→ R+由m给出*（yt+1；yt，Bt+1）≡扩展-W*（yt+1，Bt+1，Bt+1）θoEYhexpn-W*（Yt+1，Bt+1，Bt+1）θo伊蒂。函数m*本质上是概率扭曲的反应函数，这与最小化问题（5）中的FOC和债务的市场清算条件一致。考虑到下一个时期的经济状况，如果发生违约，债券的收益为零。否则，债券的一部分λ到期，而剩余的（1- λ） 支付息票ψ并保持市场价值q（Yt+1，B*（Wt+1，Bt+1）。在不担心模型不确定性的情况下，即θ=+∞, 概率失真消失，即*= 1，这意味着贷款人的信念与近似分布PY | Y一致，因此价格函数（6）与Chatterjee和Eyinggor（2012）的理性预期环境相同。备注III.1（一期债券）：在一期债券的情况下，即λ=1，设置Xt=0，定价方程6崩溃为q（yt，Bt+1）=γEYhδ*（Yt+1，Bt+1）m*（Yt+1；Yt，Bt+1）伊蒂。（7） 对于θ=+∞ 该表达与阿雷亚诺（2008）的表达一致。在模型不确定性下，这种经济体中的贷款人不信任条件概率PY | Yand，并希望防止yt+1的最坏情况扭曲分布，由m给出*（·；wt，B）*（yt，Bt）PY | Y（·| yt）。有效的最小化代理将通过向贷款人低持续效用相关的状态倾斜概率来选择这种最坏情况下的密度。

在存在违约风险的情况下，效用最低的州与借款人违约的州一致，因此贷款人没有收到任何还款。此外，在这个有长期债务的经济体中，还款后，收益会随着下一期债券价格的变化而变化。因此，后者较低的状态将与相对较高的概率扭曲相关联。图1显示了Yt+1下一个周期实现概率的最佳扭曲，给定当前状态（wt、Bt）和金融市场准入。Bt+1使用最优债务政策计算，即Bt+1=B*（英国广播公司wt）。我观察到，通过构造*（yt+1；yt，B）*（wt，Bt））=m*R（yt+1；wt，Bt）。而我*在原子主体的鲁棒控制迭代中，通常计算沿平衡路径的罕见最优概率畸变，反应函数m*是在这种环境下评估借款人替代债务选择的必要利益对象。我们建议读者参考我们的工作文件版本，对θ<∞.出于说明目的，低捐赠和低债券持有Bt，或相当高的债务量。第1卷发行违约和不确定性溢价15在本图的顶部，我们绘制了yt+1的条件近似密度和畸变密度，以及相应的概率畸变*R（带m）*R（yt+1；wt，Bt）=m*（yt+1；yt，B）*（英国广播公司）。底部面板图描绘了在实现Xt+1之前，对于Yt+1的每个值，t+1处债券χ（Yt+1；Bt+1）的预期收益。请注意，由于输出冲击Xt+1平滑了条件违约概率，该预期收益在Yt+1中是连续的。

两个面板中的阴影区域对应于实现yt+1的价值范围，在该范围内，借款人违约的概率等于或高于50%（请注意，t+1的违约决策也取决于实现Xt+1）。为了最小化出借人的预期效用，最小化代理将一个非光滑的概率失真m*R（·；wt，Bt）在YT+1的下一个期间实现，在默认时间间隔内值严格大于1，随着还款变得更加确定，该值急剧下降到1以下。通过这样做，最小化代理从借款者不违约的状态中移除概率质量，并反过来将其放在yt+1的低变现上，在这种情况下，默认对借款者来说是最优的。对于这种特殊的状态向量（yt，Bt），在近似模型下，条件违约概率为9.3%，而在扭曲模型下，条件违约概率为16.2%，几乎是原来的两倍。m的扭结形状*R根据债券的效用价值相对于yt+1的扭结形状，这反过来又是由于债券下一期支付的扭结形状作为yt+1的函数。对于长期债务，在还款间隔期间会发生额外的概率扭曲。由于债券的支付取决于下一期债券的价格，因此债券的支付仍然是国家或有条件的，因此贷款人的效用也是如此。因此，与下一阶段价格相对较低相关的州将被分配相对较高的权重。如图1所示，在与违约风险相关的yt+1区间内，最小化代理的概率倾斜会产生扭曲密度的内生冲击。

结果畸变条件密度的双峰形式与鲁棒控制迭代中的标准畸变不同，在鲁棒控制迭代中，它通常只显示条件平均值与近似值之间的偏移。2829在我们的模型中，主权违约事件可以被解释为“灾难事件”，在我们的经济中，灾难事件是由借款人的决策和债务合同缺乏可执行性内生的。对模型误判水平的担忧被恰当地选择为在近似密度下具有相当大的违约风险。当前捐赠水平YT对应于低于其无条件平均值的半个标准偏差，债券持有量BTB在模拟中设置为其无条件分布的中值。此外，电流被设置为零。如果没有输出冲击，债券的支付将因违约或有事项而不连续，概率扭曲也将不连续。例如，见Barillas、Hansen和Sargent（2009年）和Anderson、Hansen和Sargent（2003年）。补充材料第S.3节中的表S.31报告了我国经济在几个关键时刻的扭曲情况。16《美国经济杂志》月刊年刊YT+10.85 0.9 0.95 11.0500.020.040.060.0800.511.522.5yt+10.85 0.9 0.95 1 1 1.0500.51概率扭曲m$r失真模型；t Proximating型号PY0JY图1。近似和扭曲密度。这反过来又放大了它们对分配和均衡价格的影响，因为它们增加了贷款人对这些罕见事件发生的认知可能性。因此，该模型可以被视为产生了内生的灾难风险。概率扭曲的状态依赖性。在我们的经济中，概率扭曲依赖于国家，因此通常是时变的。

近似密度下的违约风险以及借款人可以违约的下一期债券的数量，会影响最小化代理扭曲贷款人信念的程度。图2显示了当前捐赠和债券持有（yt，Bt）的不同组合下一期yt+1的近似和扭曲密度。通过比较最上面一行（或最下面一行）的两个面板，我们可以看到概率失真如何随当前债务水平而变化。在这个总体平衡框架中，我们需要考虑借款人对当前经济状况的最佳债务反应。对于未经考虑的状态向量，当前的不确定性水平Bt越高，借款人最佳选择将更多债务带入下一个时期Bt+1。为了了解下一个时期的预期违约概率是如何变化的，我们检查了近似模型下的违约风险和概率扭曲是如何随着低捐赠yt+1和高捐赠yt+1分别对应于低于yt无条件平均值一半和四分之一的标准差而变化的。i.i.d.输出再次设置为零。此外，低债务由债务无条件分布的中值给出，高债务对应于第60百分位。发行违约和不确定性溢价17当前债券持有量增加。首先，借款人违约的yt+1变现时间间隔扩大。借款人在t+1时必须偿还的债券数量越大，其不这样做的动机就越大。

因此，近似模型下的违约风险更高。此外，那些债务较高的新违约州现在成为贷款人的低效用州，因此概率扭曲m*在新的最坏情况密度中，R大于1被分配给它们。其次，概率扭曲程度的变化可能并不直接。一方面，由于在这些情况下，更多的债券持有Bt+1被转入下一期，贷款人面临的风险更大，因为违约事件中的潜在损失更大。因此，默认状态的概率质量将比以前更高。另一方面，更高的Bt+1也意味着未来的违约风险更高，这也会压低下一期债券价格，从而降低债券在偿还期内的支付。由于最优概率失真是基于每个状态的相对收益分配的，因此它们可能比之前更高或更低。随着债务的增加，图2顶部面板中的概率扭曲（在违约区间内）变小，而底部面板中的概率扭曲则相反。通过比较左侧栏（或右侧栏）中的两个面板，我们可以看到概率失真如何随当前禀赋水平而变化。由于（yt）t的随机过程的持续性，当前禀赋yt越低，下一阶段禀赋的条件平均值yt+1的近似密度越低。对于此处考虑的状态向量，随着当前捐赠的增加，代理的负债相对增加。这是因为捐赠基金中违约的产出成本正在增加。yt越高，借款人违约时受到的惩罚就越严重。