主权违约风险和不确定性溢价

这表明，将价格映射为价格的均衡映射，实际上是将（yt，Bt+1）的函数映射到自身，因此均衡价格必须具有这个性质。注意，给定q（vt，Bt+1）=q（yt，Bt+1），借款人不认为z是国家的一部分，因此δ（vt+1，Bt+1）=δ（yt+1，Bt+1）。因此，W（vt+1，Bt+1，Bt+1）=δ（yt+1，Bt+1）WR（vt+1，Bt+1，Bt+1）+（1- δ（yt+1，Bt+1））WA（vt+1）≡“\'W（yt+1，Bt+1，Bt+1）+A+Azt+1.40《美国经济杂志》月年鉴于价格假设，因此WR（vt，Bt，Bt）=min（m，n）∈M×Nmaxbt+1{zt+G（bt，bt+1；bt+1，yt）+θγE[M]（yt）+ηγEY[M（yt+1）E[n]（zt）| yt]+γEV[M（yt+1）n（zt+1）W（Vt+1，bt+1，bt+1）|Vt]），其中n的定义与M类似。求解最小化问题的产量（Vt，bt，bt，bt）=maxbtzt+G（bt，bt+1；bt+1，yt）- θγlogy经验-Tη[W（·，Yt+1，Bt+1，Bt+1）]（Yt+1，zt）θ|yt.通过对W的假设，我们得到了WR（vt，Bt，Bt）=WR（yt，Bt，Bt）+A（zt）+A=maxbt+1（G（Bt，Bt+1；Bt+1，yt）- θγlogy“exp(-η/A[t+1]（Yt+1，Yt）+W（Yt+1，Bt+1，Bt+1）θ）|Yt#）+（γAρ+1）（zt）+γ（A+Aρ）。因此，必须是A=（γAρ+1）和A=γ（A+Aρ）的情况。WAyields¨WA（yt）+A+Azt=γ的类似代数(-θlogey“exp(-{(1 - π） η/A时的‘WA（Yt+1）+π‘W（Yt+1,0,0）}+[t+1]（Yt+1）θ| Yt#）+γ（A+Aρ）+（1+γAρ）zt。因此，同样的解决方案适用于AA和WA。因此，\'WR（yt，Bt，Bt）=maxbt+1G（Bt，Bt+1；Bt+1，yt）- θγlogy经验-Tη（1）-γρ)[t+1]（Yt+1，Yt）1-γρ+W（Yt+1，Bt+1，Bt+1）θ|yt.bt+1（假设内部解）的FONC和包络条件yieldqo（yt，bt+1）=γEYΥ（Wt+1，Bt+1）δo（Yt+1，Bt+1）exp-Tη（1）-γρ)[t+1]（Yt+1，Yt）1-γρ+W（Yt+1，Bt+1，Bt+1）θ嗯经验-Tη（1）-γρ)[t+1]（Yt+1，Yt）1-γρ+W（Yt+1，Bt+1，Bt+1）θytyt,式中Υ（w，B）≡λ + (1 - λ)ψ+qo（y，Bo（w，B））.卷号。

问题缺省和不确定性前提在线补充材料“最小化代理”问题的递推公式在这一节中，我们证明了“最小化代理”问题的最优性原则成立。让我们做一个消费计划。可行的消费计划是指满足每个t的预算约束的计划。贷款人对消费计划的偏好描述如下。对于任何给定的消费计划和初始状态，该计划的寿命效用由u（cL；w）给出≡ 最小（mt+1）吨∞Xt=0γtEMt（重量）cLt（Wt）+θγE[mt+1（·Wt）]（Yt）| W（S.22）EY[mt+1（Yt+1 | Wt）|Yt]=1，其中E表示概率测度P，γ下关于Wt的预期∈ （0，1）是贴现因子，参数θ∈ (θ, +∞] 是一个惩罚参数，用于衡量对模型误判的关注程度，以及映射E:M→ L∞（Y） ，其定义见第二小节。E、 是条件相对熵，由（3）给出。我们注意到，由于B是有界的，在平衡状态下，qt∈ [0, γ]; 任何可行的消费计划都是有界的，即| cLt（Wt）|≤ C<∞ a、 s.定义s.2.1：给定可行的消费计划cL，对于每个（t，wt），wesay函数（t，wt，cL）7→ Ut（cL；wt），满足“最小化代理”（SP-MA）效应（cL；wt）=min（mt+j+1）j的顺序问题∞Xj=0γjMt+j（Wt+j）Mt（Wt）{cLt+j（Wt+j）+θγE[mt+j+1（·Wt+j）]（Yt+j）},EY[mt+1（Yt+1 | Wt）| Yt]=1（S.23），其中mt≡Qtτ=1mτ，M=1和E·|wt条件期望值是W吗∞, 假设Wt=Wt，没有i.i.d。

组成部分xt，贷款人在cL上的终身效用将仅为givenbyU（cL；y）≡ 最小（mt+1）吨∞Xt=0γtEhMt（Yt）{cLt（Yt）+θγE[mt+1（·Yt）]（Yt）}yi。（S.21）请注意，自cLt≥ -kθE≥ 0时，方程的RHS总是在[-K∞]其中Kis是某个有限常数。2《美国经济杂志》月-年定义S.2.2：给定可行的消费计划cL，对于每个（t，yt），wesay函数（t，wt，cL）7→ Ut（cL；wt），满足“最小化代理”（FP-MA）的功能问题（cL；wt）=cLt（wt）+γminmt+1（·wt）∈M嗯mt+1（Yt+1 | wt）Ut+1（cL；wt，Yt+1）| Yt+ θE【mt+1（·| wt）】（yt）,（S.24）其中Ut+1（cL；wt，yt+1）=EX[Ut+1（cL；wt，Xt+1，yt+1）]。此后，我们假设在这两个定义中，“min”实际上都实现了。如果没有，定义和证明可以通过使用“inf”进行修改，但代价是使它们更加繁琐。我们还假设（S.23）定义的Ut（cL；·）对于W是可测量的∞.定理S.2.1：对于任何可行的消费计划cL，（a）如果（Ut（cL；wt））t满足SP-MA，则满足FP-MA。（b） 假设存在一个函数（t，wt）7→满足FP MAandlimT的Ut（cL；wt）→∞γT+1EMT+1（WT+1）\'\'UT+1（cL；wT+1）| W= 0，（S.25）对于所有MT+1，例如MT+1=MT+1MT、M=1和MT+1∈ 然后（`Ut（cL；wt））t，wt满足SP-MA。这个定理的重要性在于它有助于研究函数方程（S.24）。定理的证明需要以下引理（证明被推迟到本节末尾）。引理S.2.1：在程序S.23中，必须在（mt）t上执行最小化∈ 我在哪儿≡（mt）t:mt∈ M∩∞Xj=0γjMt+j（Wt+j）Mt（Wt）E[mt+j+1（·| Wt+j）]（Yt+j）}Wt≤ CC，γ，θ，yt,式中，CC，γ，θ=2C（1-γ)θγ.证明：定理S.2.1的证明。在整个证明过程中，我们使用EY | Xto表示随机变量Y的预期，给定X.VOL.VOL NO。

发行违约和不确定性溢价3（a）根据SP-MA和方程式（S.22）的定义，可以得出U（cL；w）=min（mt+1）tn{cL（w）+θγE[m（·w）]（y）}+γ∞Xt=1γt-1EW | W男（女）EWt | WMt（Wt）M（W）{cLt（Wt）+θγE[Mt+1（·Wt）]（Yt）}W|W)= min（mt+1）tn{cL（w）+θγE[m（·w）]（y）}（？）γEW | W“m（W）∞Xs=0γ缝+1 | WMs+1（Ws+1）M（W）ncLs+1（Ws+1）+θγE[Ms+2（·Ws+1）]（Ys+1）|W| W≥ minmncL（w）+θγE[m（·| w）]（y）}+γEW | w[m（y | w）U（cL；w，w）| w] o=minmncL（w）+θγE[m（·| w）]（y）}+γEY | y[m（y | w）EX[U（cL；w，X，Y）] | w] o.第一个不平等性来自于U的定义。步骤（？）以下是交换求和和和积分（我们在当前证明的末尾展示了这个事实）。最终表达式实际上适用于任何状态（t，yt），Ut（cL；wt）≥ 肉末+1cLt（wt）+θγE[mt+1（·wt）]（yt）（S.26）+γEYt+1 | ytmt+1（Yt+1 | wt）EX[Ut+1（cL；wt，Xt+1，Yt+1）] | yt.另一方面，通过定义U，U（cL；w）≤ M（w）{cL（w）+θγE[M（·w）]（y）}+γ∞Xt=1γt-1EW | W男（女）EWt | WMt（Wt）M（W）{cLt（Wt）+θγE[Mt+1（·Wt）]（Yt）}WW,对于满足文本中规定限制的任何（Mt）T。特别是，它用于（Mt）twhere mis left任意和（Mt）t≥2被选为最佳选择。通过遵循与之前类似的步骤，它遵循thatU（cL；w）≤ {cL（w）+θγE[m（·w）]（y）}+γEY | ym（Y | w）EX[U（cL；w，X，Y）]| Y,对于满足文本中规定限制的任何M；因此，它特别适用于达到最小值的值。注意，这适用于任何（t，yt），而不仅仅是（t=0，y），即Ut（cL；wt）≤ 肉末+1cLt（wt）+θγE[mt+1（·wt）]（yt）+γEYt+1 | yt[mt+1（yt+1 | wt）EX[Ut+1（cL；wt，Xt+1，Yt+1）]| yt].因此，将方程式（S.26）和（S.27）放在一起，可以得出（Ut）t符合FP-MA。（b） 让（`Ut）t满足FP-MA和方程（S.25）。

然后，通过一个简单的迭代，很容易看到“U（cL；w）”≤ 极限→∞TXj=0γjEWj | WMj（Wj）{cLj（Wj）+θγE[mj+1（·Wj）]（Yj）}w+ 极限→∞γT+1EWT+1 | W[MT+1（WT+1）\'\'UT+1（cL；WT+1）|w] 。根据方程式（S.25），RHS中的最后一项为零，因此¨U（cL；w）≤ U（cL；w）（其中U满足SP-MA）。相反的不等式来自类似的论点，以及U（c；w）是最小可能值的事实。（t，yt）的证明是类似的。因此，我们得出结论，满足FP-MA和（S.25）的任何函数序列（Ut）也满足SP-MA。证据？。展示？这是有效的，莱恩≡nXs=0m（y | w）γ缝+1 | wMs+1（Ws+1）M（w）{cLs+1（Ws+1）+θγE[Ms+2（·Ws+1）]（Ys+1）}w.我们注意到|Hn |≤∞Xs=0m（y | w）γsCEWs+1 | wMs+1（Ws+1）M（w）| w+∞Xs=0m（y | w）γ缝+1 | wMs+1（Ws+1）M（w）θγE[Ms+2（·Ws+1）]（Ys+1）|w,其中第二行紧随其后，因为cLtis有界。观察，对于所有的t和j和p，EWj+1 | WthMj+1（Wj+1）Mt（wt）| wti=1∞s=0γsEWs+1 | WhMs+1（Ws+1）M（w）θγE[ms+2（·| Ws+1）]（Ys+1）|wi≤引理S.2.1给出的CC，γ，θ。因此|Hn |≤ 对一些人来说∞ > K> 0（取决于（γ，θ，M））。由于RHS是可积的，根据支配收敛定理，交换求和和和积分是有效的。证明：引理S.2.1的证明。在显示所需结果之前，我们先将其显示为SUfficesvol。第5卷发布违约和不确定性溢价5，以在（mt）t上执行最小化∈ 我在哪儿≡（mt）t:mt∈ M∩∞Xj=0γjMt+j（Wt+j）Mt（Wt）E[mt+j+1（·| Wt+j）]（Yt+j）}Wt≤ CC，γ，θ，yt,式中，CC，γ，θ=2C（1-γ)θγ.我们这样做是自相矛盾的。假设（mt）解决了SP-MA中的最小化问题，P∞j=0γjMt+j（Wt+j）Mt（Wt）E[mt+j+1（·| Wt+j）]（Yt+j）}wti>CC，γ，θ。

因为消费是有限度的（cL；wt）=∞Xj=0γjMt+j（Wt+j）Mt（Wt）{cLt+j（Wt+j）+γθE[mt+j+1（·Wt+j）]（Yt+j）}≥∞Xj=0γj(-C） EMt+j（Wt+j）Mt（Wt）| wt+θγEMt+j（Wt+j）Mt（Wt）E[mt+j+1（·| Wt+j）]（Yt+j）| Wt.请注意Mt+j（Wt+j）Mt（Wt）wt=ZWt+j-1 | WtMt+j-1（ωt+j）-1） Mt（重量）ZYmt+j（ωt+j）-1，yt+1）P（dyt+j | yt+j-1)pr（dωt+j）-1 | wt）=ZWt+j-1 | WtMt+j-1（ωt+j）-1） Mt（wt）pr（dωt+j）-1 | wt）=1.式中，pr是历史W上的条件概率∞, 给定Wt=Wt。因此，∞Xj=0γjMt+j（Wt+j）Mt（Wt）{cLt+j（Wt+j）+γθE[mt+j+1（·Wt+j）]（Yt+j）}≥ -C1- γ+θγEMt+j（Wt+j）Mt（Wt）E[mt+j+1（·| Wt+j）]（Yt+j）| Wt.根据假设，第二项大于θγCC，γ，θ。因此，最小播放代理（mt）的值在以下范围内：-C1-γ+θγCC，γ，θ。

通过选择CC，γ，θ，-C1- γ+θγCC，γ，θ=C1- γ、 6《美国经济杂志》月年自E[1]=0以来，上一次显示的RHS大于∞Xj=0γjMt+j（Wt+j）Mt（Wt）{cLt+j（Wt+j）+θγE[1]（Yt+j）}Wt.因此，我们得出结论UT（cL；wt）>∞Xj=0γjMt+j（Wt+j）Mt（Wt）{cLt+j（Wt+j）+θγE[1]（Yt+j）}Wt.但由于总t的mt=1是一个可行的选择，这与Ut（cL；wt）的定义相矛盾。近似和扭曲密度的矩。表S.31给出了下一阶段yt+1的近似和扭曲条件密度的计算力矩，给出了当前yt和债券持有量Bt。如图1所示，当前捐赠水平yt设置为低于其无条件平均值的半个标准偏差，债券持有量Bt由模拟中无条件分布的themedian给出。力矩近似模型畸变模型平均值（yt+1）0.9518 0.9481Std。偏差（yt+1）0.0191 0.0202偏斜度（yt+1）0.0601 0.0811峰度（yt+1）3.0064 2.7910表S.31——近似和扭曲条件密度的矩。根据大数定律，近似模型的矩与对数正态分布的相应“总体”矩基本相同。关于扭曲模型，有几个时刻与近似模型的时刻有显著差异。特别是，有一个明显的转移到左侧的条件平均数。正因为如此，偏度更高，即使扭曲的模型将更多的概率集中在产出的低实现上，yt+1，其中违约对借款人来说是最优的，如图1所示。自组织定价核的微观基础近年来，一些关于定量主权违约模型的研究考虑了自组织定价核，以改进资产定价维度上的校准，同时保持模型易于处理和求解。萨默沃。卷号。

发行违约和不确定性溢价7的例子包括阿雷亚诺（2008年）、阿雷亚诺和拉马纳拉亚南（2012年）、哈特孔多、马丁内斯和帕迪利亚（2012年）。我们认为我们的模型为这类特别定价内核提供了基础。在本节中，我们将从理论和数量上研究我们和特别定价核心之间的差异和相似性。在上述论文中，定价核心由一个特殊函数给出，该函数属于（S.41）S定义的类S≡ {S:Y×Y→ R++使得E[S（yt，yt+1）|yt]=γ，S（yt，·）是非递增的}，其中γ是贷款人的时间贴现系数，等于总无风险利率的倒数，即γ=1+rf。请注意，S（yt，·）按γ放大，即S（yt，·）γ，是Y上的pdf。在下文中，我们假设Y有一个pdf，用fY | Y表示，嵌入S（yt，·）中的pdf和fY | Y是等效的。一个常见的例子是（S.42）S（yt，yt+1）=γexp{-ηηt+1- 0.5（ησΓ）}，其中η>0，Γt+1~ N（0，σν），借款人的捐赠遵循anAR（1），logyt+1=α+ρlogyt+νt+1。（S.43）文献中通常假设了这个过程（我们的模拟结果中也使用了这个过程），这有助于说明。很容易看出，与一个随机变量相关的均衡价格函数∈ 和一个任意随机过程的输出，Pdfy | Yis由B7给出→ qa（y，B）=EY[{λ+（1）- λ） （ψ+qa（y，B）*a（y，B））}δ*a（y，B）S（y，y）| y]，表示任何（y，B）∈ Y×B；式中，EY[·| y]根据pdf fY | y计算，B*α和δ*根据pricingkernel S，分别给出均衡债务和违约政策。由于等价假设，很容易看出qa（y，B）=γZY{λ+（1- λ） （ψ+qa（y，B）*a（y，B））}δ*a（y，B）|（y | y）dy，（S.44），其中|（·y）是一种新的pdf，它依赖于pdf fY的原语和S的参数。

也就是说，使用这个特殊的定价核相当于使用两个概率测度，如果它们彼此绝对连续，则它们是等价的。8《美国经济杂志》月-年修改版的条件概率控制捐赠的随机过程。此外，可以证明，对于任何∈ S、 |（·| y）是由fY（·| y）主导的第二方。最后，我们观察到，对于我们之前的内核规范（S.42）和输出过程（S.43）示例，Ν（·y）是带有参数的对数正态pdf(-ση+α+ρlogy，σΓ）。特别是，定价方程中使用的条件概率仍然是对数正态分布，方差相同，但条件均值较低；也就是说，它是由支配捐赠随机过程的一阶主导的，参数η调节这两种分布的差异。然而，请注意，即使是输出过程（S.43），我们模型中的条件扭曲概率测度也不再是对数正态的；特别是，它向左倾斜，如图1所示。为了进一步阐明特设定价核心和我们的定价核心对资产定价的影响，我们发现可以方便地使用修改后的pdf和扭曲的pdf，并假设默认集为阈值类型，在不同的定价核心中相同。我们还重点分析了短期债务模型，即λ=1。关于默认设置为相同和阈值类型的假设，虽然是特别的，但在数值模拟中似乎成立，并且已经证明对这些类型的模型适用不同的环境；见阿雷亚诺（2008）和普佐南德·普雷斯诺（2014）。正式地说，让我∈ {η，θ}其中η（θ）表示具有特别（我们的）定价核心的经济。

假设捐赠的随机过程由方程（S.43）给出，λ=1和B7→ D*i（B）=D*（B）≡ {y:y≤ 那么，对于所有的B，排列可以如下构造：Spi，t+1（B）=γZy>\'y（B）fit+1（y | yt+1）！-1.- γ-1= γ-1 IT+1（y（B）| yt+1）1- Fit+1（\'y（B）| yt+1），其中Fit（·yt）（Fit（·yt））是给定历史yt的模型的条件pdf（cdf）。我们认为这与我们的模型定价核心γm有值得注意的相似之处*R、 这也导致了apricing方程，该方程使用了控制捐赠随机过程的条件概率的扭曲版本。然而，我们的模型定价核心是从贷款人对模型不确定性的态度中内生地在一般均衡中出现的，这一事实具有重要的后果。首先，我们的条件扭曲概率不是马尔可夫的，也就是说，取决于禀赋的整个过去历史（与之相反，只取决于最后一个时期的价值）。这是因为我们的条件扭曲概率依赖于B*t+1（以及进入金融市场的机会），而方程（S.44）中的概率度量则没有。令人惊讶的是，这种修改后的pdf类似于Barillas、Hansen和Sargent（2009年）在模型不确定性下内生性出现的扭曲pdf，以分析Hansen和Jagannathan（1991年）范围内的股权溢价和无风险利率之谜。对于随机游走过程和对数消耗的atrend平稳过程，失真的pdf也来自近似过程中的条件均值漂移。第9卷发行违约和不确定性溢价。因此，如果对于给定的yt，Fηt（·| yt）>（<）Fθt（·| yt）（S.45）成立，则Spη，t+1（B）>（<）Spθ，t+1（B）a.S。。关于这个结果，有几点意见是正确的。