非凹最优投资与无套利：一个理论测度

如Nutz（2014）所述，我们将考虑一个单周期的情况，其中初始过滤是微不足道的（因此策略在Rd中），因此证明比R\'asonyi和Stettner（2005）、R\'asonyi和Stettner（2006）、Carassus和R\'asonyi（2015）以及Carassus等人（2015）的证明要简单得多。要付出的代价是，在多阶段的情况下，我们使用强可测选择参数（如Nutz（2014））来获得定理4.16。在我们的模型中，只有一个概率测度，所以我们不需要引入Borel空间和分析集。因此，我们将(Ohm, F、 F，P）比Nutz（2014）限定为一种概率度量的方法更为普遍。由于我们处于非凹面环境中，我们使用了类似于Carassus和R\'asonyi（2015）以及C arassus等人（2015）的观点。最后，正如R\'asonyi和Stettner（2005年）、R\'asonyi和Stettner（2006年）、Carassus和R\'asonyi（2015年）以及Carassus等人（2015年）所述，我们提出了以下结果，作为定理4.16 a适用的更简单但仍然是一般的设置。我们为大家介绍0≤ T≤ 行波管：=X:OhmT→ R∪ {±∞}, Ft可测量，E|X|p<∞ 所有p>0（16） 定理4.17假设（NA）条件和假设4.10成立。进一步假设EU+（·，1）<+∞而这一切≤ T≤ T|St |，αt∈ Wt.莱克斯≥ 0.那么，无论如何∈ Φ（x）和ALL0≤ T≤ T、 Vx，φT∈ 此外，还存在一些最优策略φ*∈ Φ（U，x）使得U（x）=EU（·Vx，φ*T（·））<∞5.一期案件(Ohm, H、 Q）是一个概率空间（我们用E表示Q下的期望），Y（·）是一个H-可测二值随机变量。Y（·）可以代表价格过程的价值变化。让D Rdbe是Rdbe的最小一个子空间，包含Y（·）分布的支持。我们假设D包含0，所以D实际上是Rd的非空向量子空间。

在当前设置中，与（NA）相对应的条件是假设5.1存在一些常数0<α≤ 1.为了所有人∈ DQ（hY（·）≤ -α| h |）≥ α. （17） 备注5.2如果D={0}，那么（17）是非常正确的。下面的备注5.3正是Carassus和R\'asonyi（2015）的备注8（另见Nutz（2014）的引理2.6）。备注5.3让h∈ 然后让h′∈ Rdbe是h在D上的正交投影- h′⊥ D{Y（·）∈ D} {（h）- h′）Y（·）=0}。因此Q（hY（·）=h′Y（·））=Q（（h- h′）Y（·）=0）≥ Q（Y（·）∈ D） =1由D定义。因此Q（hY（·）=h′Y（·））=1。假设5.4我们考虑随机效用V：Ohm ×R→ R满足以下两个条件o每x∈ R、 函数V（·，x）：Ohm → R是H-可测的，o对于每个ω∈Ohm, 函数V（ω，·）：R→ R是非递减的，usc在R上，oV（·x）=-∞, 对于所有x<0。让x≥ 0是固定的。我们定义为：∈ Rd，Q（x+hY（·）≥ 0=1o，（18）Dx:=Hx∩ D.（19）很明显，HX和DX是Rd的封闭子集。我们现在定义了我们在单周期情况下主要关注的函数v（x）=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0+∞)（x） 嘘∈HxEV（·，x+hY（·））。（20） 备注5.5首先注意，从备注5.3中，v（x）=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0+∞)（x） 嘘∈DxEV（·，x+hY（·））。（21）备注5.6引理5.11将显示，在假设5.1、5.4、5.7和5.9下，对于所有∈ Hx，E（V（·，x+hY（·））定义明确，更准确地说，EV+（·，x+hY（·））<+∞. 在这组假设下，Φ（V，x），h的集合∈ Hx例如EV（·，x+hY（·））定义明确，等于Hx。我们现在给出了一些假设，这些假设允许断言（20）存在一些最优解。

首先，我们引入“渐近弹性”假设。假设5.7存在一些常数γ≥ 0，K>0，以及一些H-可测C（ω）≥ 0表示所有ω∈Ohm 和E（C）<∞, 这样对于所有ω∈ Ohm, 对于al lλ≥ 1，x∈ R我们有v（ω，λx）≤ Kλγ五、ω、 x++ C（ω）. （22）注释5.8与注释4.13 a中的注释相同。此外，请注意，由于K>0和c≥ 对于llω，我们也有∈Ohm, 全部λ≥ 1和x∈ RV+（ω，λx）≤ Kλγ五+ω、 x++ C（ω）. （23）我们现在介绍一些关于V+的可积性假设。假设每小时5.9次∈ H、 EV+（·，1+hY（·））<∞. （24）以下引理对应于决定论情况下R’asonyi和Stettner（2006）的引理2.1。引理5.10假设假设假设5.1成立。莱克斯≥ 0固定。然后 B（0，xα）（参见（19）中x的定义），其中B（0，xα）={h∈ Rd，| h |≤xα}和dx是一个凸的紧致子空间。注意，如果x=0，那么Dx={0}。证据让h∈ Dx。假设| h |>xα，让ω∈ {hY（·）≤ - α| h |}。那么x+hY（ω）<x- α| h |<0，根据假设5.1 Q（x+hY（·）<0）≥ Q（hY（·）≤ -α| h |）≥ α>0，这是一个矛盾。dx的凸性和闭性是明确的，紧致性来源于有界性。在确定性情况下，该引理对应于Carassus等人（2015）的引理4.8（参见R\'asonyi和Stettner（2006）的引理2.3和Nutz（2014）的引理2.8）。引理5.11假设假设假设5.1、5.4、5.7和5.9成立。还有艾哈迈苏拉布尔≥ 0令人满意的（L）<∞对allx来说也是如此≥ 0andh∈ HxV+（·，x+hY（·））≤（2x）γK+1L（·）Q- a、 s.（25）证据。附录第7.3节报告了证据引理5.12假设假设假设5.1、5.4、5.7和5.9成立。让我们使用设置值函数，将其分配给每个≥ 0设置dx。然后图（D）：={（x，h）∈ [0, +∞) ×路，h∈ Dx}是r×Rd的封闭子集。

设ψ：R×Rd→ R∪ {±∞}定义为ψ（x，h）：=（EV（·x+hY（·）），如果（x，h）∈ 图（D）-∞,否则（26）那么ψ是usc onR×rdr，ψ<+∞图（D）。证据设（xn，hn）n≥1.∈ 图（D）是一个收敛到某个（x）的序列*, H*) ∈ R×Rd.我们首先证明（x*, H*) ∈ 图（D），即图（D）是一个闭集。很明显，x*≥ 0.设置为n≥ 1En:={ω∈ Ohm, xn+hnY（ω）≥ 0}和E*:= {ω ∈ Ohm, 十、*+ H*Y（ω）≥ 0}. 很明显，林素芬 E*应用Fatou引理（limsup版本）我们得到q（x）*+ H*Y（·）≥ 0）=E1E*(·) ≥ E lim supnEn（·）≥ lim supnE1En（·）=1和h*∈ Hx*. 因为D是由定义封闭的，所以我们有h*∈ Dx*和（x）*, H*) ∈ 图（D）。我们现在证明了ψ在图（D）上是usc。R×Rd上的上半连续性将紧随引理7.11。假设为5.4 x∈ R→ V（x，ω）是R上所有ω的usc∈Ohm 和thusim supnV（ω，xn+hnY（ω））≤ V（ω，x）*+ H*Y（ω））。用引理5.11表示所有ω∈OhmV（ω，xn+hnY（·））≤ V+（ω，xn+hnY（·））≤ （|2xn |γK+1）L（ω）≤ （| 2x*|γK+2）L（ω）对于nbig足够了。我们可以应用Fatou引理（limsup版本），ψ是图（D）上的usc。从引理5.11也可以清楚地看出，ψ<+∞ 在图（D）上。我们现在可以陈述我们的主要结果。定理5.13假设假设假设5.1、5.4、5.7和5.9成立。那么对allx来说≥ 0，v（x）<∞存在一些最优策略bh∈ dx使得V（x）=E（V（·，x+bhY（·）））。此外，v:R→ [-∞, ∞)是非递减和usc onR。证据让x≥ 0是固定的。我们首先证明v（x）<∞. 实际上，使用引理5.11，E（V（·，x+hY（·））≤ E（V+（·，x+hY（·）））≤（2x）γK+1EL（·），对于所有h∈ Dx。因此，回顾（21），v（x）≤（2x）γ+1EL（·）<∞.引理5.12，h∈ 研发部→ E（V（·，x+hY（·））在rds上是usc，因此在Dx上是usc（回想一下Dx是闭合的，请参见引理7.11）。

因为由（21），v（x）=suph∈DxE（·，V（x+hY（·）））和Dxis紧（见L emma5.10），应用Ali prantis和Border（2006）的定理2.43，存在一些bh∈ dx使得V（x）=E（V（·，x+bhY（·）））。（27）我们证明v是[0]上的usc+∞). 如前所述，R上的上半连续性将立即从引理7.11开始。让（xn）n≥0是一个收敛到某个x的非负数序列*∈[0, +∞). 莱布恩∈ Dxnbe与xnin（27）相关的最佳策略。让（nk）k≥1b是lim supnv（xn）=limkv（xnk）的子序列。引理5.10 | bhnk |≤ xnk/β≤ （十）*+ 1） /β足够大的k。所以我们可以提取一个子序列（我们仍然用（nk）k表示）≥1） 因此存在一些h*用bhnk→ H*. 作为序列（xnk，^hnk）k≥1.∈ 图（D）收敛到（x）*, H*) 图（D）是封闭的（见引理5.12），我们得到h*∈ Dx*. 使用引理5.12lim supnv（xn）=limkv（xnk）=limkEV（·，xnk+bhnkY（·））≤ EV（·，x）*+ H*Y（·））≤ v（x）*),最后一个不等式成立，因为h*∈ Dx*因此v是[0]上的usc+∞). 假设5.4，V（ω，·）对于所有ω都是非递减的∈Ohm, v也是n，在[0]上递减+∞) 自V（x）=-∞ 在(-∞, 0），v在R上不递减。6多期案例我们首先证明了以下命题。提议6.1假设4.7、4.8和4.10成立。然后呢+·, Vx，φT（·）< ∞为了所有人≥ 0和φ∈ Φ（x）。这意味着Φ（U，x）=Φ（x）。证据修正0≤ 十、≤ 1，让φ∈ Φ（x）。那么Vx，φT≤ V1，φTandφ∈ Φ（1）=Φ（1，U）（召回假设4.8）。对于任何ω∈ Ohm, 函数y→ U（ω，y）在R上不递减，所以+·, Vx，φT（·）≤欧盟+·, V1，φT（·）< ∞ 根据假设4.7。现在，如果x≥ 1.让我来∈ Φ（x）是固定的。从假设4.10我们得到所有ω∈ OhmU（ω，Vx，φT（ω））=Uω，2x+TXt=1φT（ωT-1） 2xSt（ωt）！！≤ （2x）γKU（ω，V1，φ2xT（ω））+C（ω）.根据假设4.8，φ2x∈ Φ()  Φ（1）=Φ（1，U）。

修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修修+·, Vx，φT（·）≤ （2x）γK欧盟+·, V1，φ2xT（·）+ E（C）< ∞使用假设4.7和C是可积的事实（见假设4.10）。在这两种情况下，我们的结论是Φ（x）=Φ（U，x）。我们现在介绍动态规划过程。首先我们准备好所有的t∈ {0，…，T- 1} ，ωt∈ Ohm坦德x≥ 0Ht+1x（ωt）：=nh∈ Rd，qt+1（x+hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1o，（28）Dt+1x（ωt）：=Ht+1x（ωt）∩ Dt+1（ωt），（29），其中定义3.3中引入了Dt+1。对于x<0，我们设置Ht+1x（ωt）=.我们为所有人定义∈ {0，…，T}以下函数来自Ohmt×R→ R.从t=t开始，我们设置所有x∈ R、 全ωT∈ OhmUT（ωT）：=U（ωT）。（30）回想一下U（ωT，x）=-∞ 对于所有（ωT，x）∈ Ohm × (-∞, 0).用于t≥ 1.全尺寸seteOhmT∈ 这将通过第6.9和6条中的归纳来定义。10.我们准备好了∈ R和ωt∈ OhmtUt（ωt，x）：=(-∞)1(-∞,0）（x）+1eOhmt×[0+∞)（ωt，x）suph∈Ht+1x（ωt）ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。（31）t=0U（x）的最终结果：(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0+∞)（x） 嘘∈HxZOhmU（ω，x+h）S（ω））P（dω）。（32）备注6.2我们将通过归纳证明UTI定义良好（见（34）），即（31）和（32）中的积分在广义上定义良好。备注6.3在继续之前，我们将对Ut的选择进行一些解释。UT的自然定义应该是（ωt，x）：=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0+∞)（x） 嘘∈Ht+1x（ωt）ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。介绍Ptfull measure seteOhmtin（31）与将在第6.11节中解决的可测量性问题有关。这并不奇怪，因为这与条件预期的使用有关，而条件预期几乎在所有地方都有定义。引理6.4Let0≤ T≤ T- 1和HBE是一个绝对值和可测量的随机变量。

考虑以下随机设置ht+1H：ωt∈ OhmtHt+1H（ωt）（ωt），Dt+1H:ωt∈ OhmtDt+1H（ωt）（ωt）。然后这些随机集都是闭值的，并且具有图值inFt B（路）。证据首先，很明显，Ht+1His是封闭的。由于Dt+1是闭值的（见引理3.4），因此Dt+1也是闭值的。事实图（Ht+1H）∈ 英尺 B（Rd）紧跟在图（Ht+1H）=n（ωt，h）之后∈ Ohmt×Rd，H（ωt）≥ 0，qt+1H（ωt）+HSt+1（ωt，）≥ 0= 1 |ωto、 引理7.9（记住H是可测量的）。我们从引理3.4知道这个图（Dt+1）∈英尺 B（Rd），它跟在图（Dt+1H）=图（Dt+1）后面∩ 图表（Ht+1H）∈ 英尺 B（路）。最后我们为ωT引入了C（ωT）：=C（ωT）∈ OhmT、 假设4.10Ct（ωT）中定义的C=ZOhmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）∈ {0，…，T- 1} ，ωt∈ Ohmt、 （33）引理6.5函数ωt∈ OhmT→ Ct（ωt）定义明确，非负（对于所有ωt），可测量且满足（Ct）=E（Ct）<∞. 此外，无论如何∈ {1，…，T}，存在OhmtC∈ Ftand withPt(OhmtC）=1，并且∞在…上OhmtC。Fort=0我们有∞.证据我们采用归纳法。假设t=t时，4.1 0 CT=C是可测量的，CT≥ 0安第斯山脉（CT）<∞. 假设Ct+1是可测量的，Ct+1≥ 0和E（Ct+1）=E（Ct）<∞. 从命题7.6 i）应用到f=Ct+1，我们得到ωt→ Ct（ωt）=ROhmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）是可测的。作为Ct+1（ωt+1）≥ 对于所有ωt+1，很明显Ct（ωt）≥ 所有ωt都为0。应用Fubinitheorem（见引理7.1），我们得到th（Ct）=ZOhmtZOhmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）Pt（dωt）=ZOhmt+1Ct+1（ωt+1）Pt+1（dωt+1）=E（Ct+1）=E（Ct）<∞.诱导步骤已经完成。对于l-emma的第二部分，我们将引理7.7应用于f=Ct+1，得到OhmtC:={ωt∈ Ohmt、 Ct（ωt）<∞} ∈ Ftand Pt(OhmtC=1。下面的命题6.7到6.11解决了动态规划过程，并在以下条件下成立。

让我≤ T≤ 我不能确定。美国犹他州ωt·: R→ 对于所有ωt，R i定义良好、非递减且在R上usc∈ Ohmt、 （34）Ut（·，·）：Ohmt×R→ R{±∞} 是《金融时报》 B（R）-可测，（35）ZOhmtU+t（ωt，H（ωt-1） +ξ（ωt）-1)St（ωt））Pt（dωt）<∞, （36）对于所有ξ∈ Ξt-1和H=x+Pt-1s=1φsSSX在哪里≥ 0, φ∈ Ξ, . . . , φt-1.∈ Ξt-2和Pt（H（·）+ξ（·）圣（·）≥ 0）=1，Ut（ωt，λx）≤ λγK美国犹他州ωt，x++ Ct（ωt）, 总而言之ωt∈ Ohmt、 λ≥ 1，x∈ R.（37）备注6.6注意，从（34）和（35）中，我们得到了-Utis后正规被积函数（见Rockafellar and Wets（1998）中的定义14.27或Molchanov（2005）和推论14第5章第3节）。Rockafellar and Wets（1998）第34页）。然而，为了证明这个性质在动态规划过程中被保留，我们需要分别证明（34）和（35）是真的。此外，由于我们的sigma代数不被认为是完备的，因此从-这将带来另一层差异。由于这些原因，我们选择证明（34）和（35），而不是一些正规的被积函数性质。然而，在引理6.11的证明中，我们将再次使用正规被积函数的性质。下一个命题是构建ofe的第一步Ohmt、 提案6.7Let0≤ T≤ T- 1固定。假设（NA）条件成立，而（34）、（35）、（36）和（37）条件成立。然后就有了OhmT∈ Ftsuch thatPt（e）Ohmt） =1，对于所有ωt∈EOhmt函数（ωt+1，x）→ Ut+1（ωt，ωt+1，x）满足t heorem5的假设。13岁Ohm = Ohmt+1，H=Gt+1，Q（·）=qt+1（·|ωt），Y（·）=St+1（ωt，·），V（·，y）=Ut+1（ωt，·，y）定义在哪里Ohmt+1×R。备注6.8注意，引理5.11、5.12和定理5.13在同一组假设下成立。

因此，我们可以用上述命题中的引理5.11或5.12代替定理5.13。证据为了证明这个命题，我们将逐一回顾应用理论所需的假设。13在上下文中Ohm = Ohmt+1，H=Gt+1，Q（·）=qt+1（·|ωt），Y（·）=St+1（ωt，·），V（·，y）=Ut+1（ωt，·，y），其中V定义在Ohmt+1×R。在续集中，我们很快将其称为上下文t+1。对于所有ωt，从（34）到t+1∈ Ohmtandωt+1∈ Ohmt+1，函数x∈ R→ Ut+1（ωt，ωt+1，x）是非减量的，并且在R上是usc。对于所有固定的ωt，在t+1处从（35）开始∈ Ohm坦德x∈ R、 函数ωt+1∈ Ohmt+1→Ut+1（ωt，ωt+1，x）是Gt+1-可测量的，因此假设5.4在t+1的上下文中是满足的（重新定义Ut+1（ωt，ωt+1，x）=-∞ 假设所有x<0）。现在，我们将讨论在某些特定的全测度集中验证ωtchosen的假设。首先是引理3.6中的所有ωt∈ Ohm我们有10个∈ Dt+1（ωt）（回想一下，在第5节中，我们假设D包含0）。从命题3.7来看，假设5.1适用于所有ωt∈ Ohmt在上下文中t+1。我们现在处理假设5.7关于t+1下的渐近弹性。设ωt∈ OhmtCbe固定在哪里Ohm引理6.5定义了TCI。从（37）到t+1，我们得到了所有ωt+1的t∈ Ohmt+1，λ≥ 1和x∈ 车辙+1（ωt，ωt+1，λx）≤ λγKUt+1ωt，ωt+1，x++ Ct+1（ωt，ωt+1）.现在从引理6.5开始，从ωt开始∈ OhmtC，我们明白了Ohmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（ωt+1|dωt）=Ct（ωt）<∞因此，假设5.7在t+1的情况下对所有ωt进行了验证∈ OhmtC。想要证明对于ωtin，一些完整的测量集是确定的，对于所有的h∈ Ht+1（ωt）我们有这个zOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）<∞.我们引入以下随机集I：OhmtRdI（ωt）：=（h∈ Ht+1（ωt），ZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）=∞). （38）通过矛盾论证和使用可测选择论证，我们将证明I（ωt）=对于Pt几乎所有ωt∈ OhmT

我们首先展示该图（I）∈ 英尺 B（路）。从t+1处的（35）可以清楚地看出（ωt，ωt+1，h）→ U+t+1（ωt，ωt+1，1+h）St+1（ωt，ωt+1））i s Ft Gt+1 B（Rd）-可测量。利用命题7.6 ii）我们得到（ωt，h）→ROhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）是Ft B（Rd）可测量（取潜在值）+∞). 从L emma 6.4中，我们得到了图（Ht+1）∈ 英尺 B（Rd）和图（I）∈ 英尺 B（Rd）如下。应用P投影定理（参见Castaing and Valadier（1977）中的Th eorem 3.23），我们得到{I6=} ∈F利用奥曼定理（见Sainte Beuve（1974）中的推论1），存在一些可测h:{I6=} → 所以对于所有ωt∈ {I6=}, h（ωt）∈ I（ωt）。Weextendhon所有Ohmt通过设置h（ωt）=0打开Ohmt\\{I6=}. As{I6=} ∈ Ftit很明显，hremainsFt是可测量的。利用引理7.10，我们得到了一些Ft-h：OhmT→ RdandOhm钛∈ Ftsuch thatPt(OhmtI）=1和Ohm钛 {ωt∈ Ohmt、 h（ωt）=h（ωt）}。在引理3.6的证明中进行论证，并使用富宾i定理（见引理7.1），我们得到pt+1（1+h（·）St+1（·）≥ 0）=ZOhmtqt+1（1+h（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）Pt（dωt）=ZOhmtqt+1（1+h（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）Pt（dωt）=1。现在假设Pt（{I6=}) > 0.自从h∈ Ξtand Pt+1（1+h（·）St+1（·）≥ 0=1，从t+1处的（36）应用于H=1ZOhmt+1U+t+1（ωt+1，1+h（ωt）St+1（ωt+1））Pt+1（dωt+1）<∞.我们再次讨论引理3.6中的s。设φ（ωt）=ZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+h（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt），ν（ωt）=ZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+h（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。我们已经看到了（ωt，h）∈ Ohmt×Rd→ROhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）是Ft B（Rd）-可测量（考虑潜在价值）+∞). 从成分上看，很明显，~n是可测量的，而~n是可测量的。此外，作为{ωt∈ Ohmt、 ~n（ωt）6=~n（ωt）} {ωt∈Ohmt、 h（ωt）6=h（ωt）}，ν=νPt几乎可以肯定。