非凹最优投资与无套利：一个理论测度

（49）自（46）起，ROhmU+ω、 Vx，φ（ω）P（dω）<∞ 我们可以应用Fubini定理（见（47））和zOhmUω、 Vx，φ（ω）P（dω）=ZOhmZOhmUω、 ω，Vx，φ（ω）+φS（ω，ω）q（dω|ω）P（dω）=ZbOhmZOhmUω、 ω，Vx，φ（ω）+φS（ω，ω）q（dω|ω）P（dω）。再次使用（46），ROhmU+ω、 Vx，φ（ω）P（dω）<∞ 并（在广义上）整合（49）的两边OhmU（ω，Vx，φ（ω））P（dω）=ZbOhmU（ω，Vx，φ（ω））P（dω）≥ZbOhmZOhmUω、 ω，Vx，φ（ω）+φS（ω，ω）q（dω|ω）P（dω）=ZOhmUω、 Vx，φ（ω）P（dω）。因此（x）≥ZOhmUω、 Vx，φ（ω）P（dω）。我们可以继续，因为对于P-几乎所有ω，我们有qφ(ω) ∈ HVx，φ（ω）（ω）|ω= 1.对于PT-1几乎所有ωT-1我们有那个qTφT（ωT）-1) ∈ HTVx，φT-1（ωT）-1） （ωT）-1） |ωT-1.= 1，我们使用增益（46）和富比尼定理（见（47））得出≥ZOhmZOhm· · ·ZOhm屠ωT，Vx，φT（ωT）qT（dωT |ωT）-1） ·q（dω|ω）P（dω）。（50）所以我们有U（x）≥ E（U（·，Vx，φT（·）），对于任何φ∈ Φ（U，x），证明是完整的，因为U（x）=E（U（·，Vx，φ*T（·））<∞. 证据定理4.17。为了证明定理4.17，我们想应用定理4.16，因此我们需要确定假设4.7和d 4.8是正确的。为此，我们将在下面证明（53）。首先，我们要展示一个ll x≥ 0, φ ∈ Φ（x）和0≤ T≤ 几乎所有的ωT∈ Ohmt | Vx，φt（ωt）|≤ xtYs=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1). （51）为此，我们首先≥ 0，一些φ=（φt）t=1，。。。T∈ Φ（x）和1≤ T≤ T对于ωt-1.∈ OhmT-1固定，我们用φ表示⊥t（ωt）-1） φt（ωt）的正交投影-1） 关于Dt（ωt）。回顾第5.3条，我们已经φ⊥t（ωt）-1)St（ωt）-1，·）=φt（ωt-1)St（ωt）-1，·）|ωt-1.= 1，因此φ⊥t（ωt）-1) ∈ DtVx，φt-1（ωt）-1） （ωt）-1） （有关Dtx的定义，请参见（29）。当NA条件保持不变时，引理3.6适用，引理0∈ Dt（ωt+1）。然后我们可以应用L emma 5.10，得到|φ处的th⊥t（ωt）-1)| ≤Vx，φt-1（ωt）-1） αt-1（ωt）-1).

（52）此外，众所周知-1.∈ OhmT-1.→ φ⊥t（ωt）-1） 是《金融时报》-1-应用富比尼定理（见引理7.1），我们得到：φ⊥TSt=φt圣= 我们用Ohmt验证此等式的Pt fullmeasure集合。我们需要稍微修改集合Ohm他们可以在不同时期使用它。我们采用归纳法。我们从t=1开始（回想一下Ohm:= {ω} ）与Ohm公式Fort=2我们重新设置，滥用符号，Ohm等式=Ohm情商∩Ohm等式×Ohm我们重申这个过程直到结束。证明我们通过归纳法进行。在t=0时是清晰的。修好一些t≥ 假设（51）在t处成立，设ωt+1∈ Ohmt+1EQ，在t和（52）处使用（51），我们得到| Vx，φt+1（ωt+1）|=Vx，φt（ωt）+φt+1（ωt）St+1（ωt+1）=Vx，φt（ωt）+φ⊥t+1（ωt）St+1（ωt+1）≤Vx，φt（ωt）1 +|St+1（ωt+1）|αt（ωt）≤ xt+1Ys=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1)（51）被证明适用于t+1。从那以后，所有的0≤ s≤ t| Ss|∈ wss和αs∈ Wsthat Vx，φt∈ 我们将证明这一点∈ Φ（x）和ωTin a全量测setU+（ωT，Vx，φT（ωT））≤ 2γK max（x，1）γTYs=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1)!γU+（ωT，1）+CT（ωT）. （53）由于假设EU+（·，1）<∞, ECT<∞ 从那以后≤ T≤ T|圣|∈ wt与αt∈ Wt，我们得到EU+（·，Vx，φT（·））<∞ 无论如何∈ Φ（x）和假设4.7和4.8都成立。我们现在证明（53）。我们做了一些x≥ 0和dφ∈ Φ（x）。然后根据U+（51）的单调性，假设4。10，qts=1的事实1 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1)≥ 1，我们有ωT∈ Ohm特克特Ohm塔图+ωT，Vx，φT（ωT）≤ U+ωT，max（x，1）TYs=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1)!≤ K2最大（x，1）TYs=11 +|Ss（ωs）|αs-1（ωs）-1)!γU+（ωT，1）+CT（ωT）.7附录在本附录中，我们报告了有关测度理论、可测选择定理和随机集的基本事实。

我们还提供了一些技术结果的证明。7.1广义积分和富比尼理论为了便于读者阅读，我们提供了一些关于测度理论、随机核和积分的众所周知的结果。第一个引理为非负函数提供了Fubini定理的一个版本（例如，参见Bogachev（2007）中的定理10.7.2）。然后，我们介绍了广义积分的定义，并提供了广义积分的Fubini定理的另一个版本（见命题7.4），这在本文中至关重要。设（H，H）和（K，K）是两个可测空间，p是（H，H）上的概率测度，q是给定（H，H）的（K，K）上的随机核，即对于任何H∈ H、 C∈ K→ q（C | h）是（K，K）和任何C的概率测度∈ K、 h∈ H→ q（C | h）是h-可测的。此外，对于安雅来说∈ H K和任何h∈ H、 A沿H的截面由（A）H:={k定义∈ K、 （h，K）∈ A} 。（54）引理7.1LetA∈ H Kbe固定。对安∈ 我们有∈ 我们定义ePbyP（A）：=ZHZKA（h，k）q（dk | h）p（dh）=ZHq（（A）h | h）p（dh）。（55）然后是（H×K，H）上的概率测度 H） 。此外，iff:H×K→ R+∪ {+∞}是非负的 K-然后∈ H→RKf（h，k）q（dk | h）是可测量的，其值为inR+∪ {∞}我们有ZH×KfdP:=ZH×Kf（h，k）P（dh，dk）=ZHZKf（h，k）q（dk | h）P（dh）。（56）证据。让h∈ H固定。设T={A∈ H K |（A）h∈ K} 。很容易看出，T是H×K上的sigma代数，包含在H中 K.设A=B×C∈ H×K然后（A）H= 如果h/∈ B和（a）h=C如果h∈ B.因此（A）h∈ K和H×K T因为T是一个西格玛代数，H K T和d T=H K紧随其后。我们现在展示→ZKA（h，k）q（dk | h）=ZK（A）h（k）q（dk | h）=q（（A）h | h）对于任何一个∈ H K.设E={A∈ H K | h∈ H→ q（（A）h | h）是h-可测的}。很容易看出，E是H×K上的sigma代数，包含在H中 K

设A=B×C∈ H×K那么q（（A）H）| H）等于0，如果H/∈ B和toq（C | h）如果h∈ B.因此，通过定义q（·|·），H×K E是一个西格玛代数，H K E和E=H Kfollows。因此（55）中的最后一个是明确的。我们验证了P定义了一个概率度量（H×K，H H）。很明显，P() = 0和P（H×K）=1。sigm a-可加性性质源自单调收敛定理。我们现在证明了对于f:H×K→ R+∪ {+∞} 非负和H K-可测，h∈ H→RKf（h，k）q（dk | h）是h-可测的，（56）成立。如果A的f=1a∈ H 这一主张得到了证实。通过采用线性组合，证明了H K-可测阶跃函数。那么如果f:H×K→R∪ {+∞} 是非负的，H K-可测，存在一些递增序列（fn）n≥1这样fn:H×K→ R是H K-可测阶跃函数与（fn）n≥1接近f。利用阶跃函数的单调收敛定理a和（56），我们得出（56）对f成立的结论。定义7.2设f:H×K→ R∪ {±∞} 做一个H K-可测量的功能。IfRH×Kf+dP<∞ RhR×Kf-dP<∞, 我们定义了f byZH×KfdP的广义积分：=ZH×Kf+dP-ZH×Kf-数据处理备注7.3注意，如果H×Kf+dP=∞ andRH×Kf-dP=∞, 上述积分未定义。然而，我们本可以引入一些惯例来处理这种情况，因为在大多数情况下，我们有rh×Kf+dP∞, 我们不这样做。提案n 7.4Letf:H×K→ R∪ {±∞}是啊 K-可测函数，使得rh×Kf+dP<∞. 然后，我们得到了zh×KfdP=ZHZKf（h，k）q（dk | h）p（dh）。（57）注释7.5注：我们可以假设Rh×Kf-dP<∞ 结果很好地证明了这一点。

我们将在A ppendix后面的引理2.2的证明中使用这个。证据使用定义7.2并将引理7.1应用于f+和f-我们得到了ZH×KfdP=ZH×Kf+dP-ZH×Kf-dP=ZHZKf+q（dk | h）p（dh）+ZHZKf-q（dk | h）p（dh）。为了建立（57），假设以下线性结果已被证明：设gi:H×K→ R∪ {±∞} 做点什么 K-可测函数，如tha-tRH×Kg+idP<∞ 对于i=1，2。然后zh（g+g）dp=ZHgdp+ZHgdp。（58）我们用g（h）=RKf+（h，k）q（dh | k）和g=-RKf-（h，k）q（dh | k）因为引理7.1，ZHg+dp=ZHZKf+（h，k）q（dh | k）p（dh）=ZH×Kf+（h，k）q（dh|k）p（dh）=ZH×Kf+dP<∞而clearlyRHg+dp=0<∞. 所以我们得到了zhzkf+（h，k）q（dk | h）p（dh）-ZHZKf-（h，k）q（dk | h）p（dh）=ZHZKf+（h，k）q（dk | h）-ZKf-（h，k）q（dk | h）p（dh）=ZHZKf（h，k）q（dk | h）p（dh），其中第二个等式来自于f（h，·）相对于q（·| h）和（57）的广义积分的定义。我们现在证明（58）。IfRHg-国内流离失所者∞ 对于i=1，2，这是微不足道的。FromRHg+idp<∞ 我们得到了g+i<∞对于i=1，2，几乎可以肯定的是，因此g+g之和p几乎可以确定得很好，取其值[-∞, ∞). As（g+g）+≤ g++g+，利用非负函数积分的线性，我们得到了zh（g+g）+（h）p（dh）≤ZHg+dp+ZHg+dp<∞.现在从g++g开始+- G-- G-= g+g=（g+g）+- （g+g）-,利用非负函数积分的线性度，我们得到了zh（g+g）+dp+ZHg-dp+ZHg-dp=ZH（g+g）-dp+ZHg+dp+ZHg+dp。检查不同的案子，呃-dp=∞ 安德烈-dp<∞ （和相反的情况）以及RHG-idp=∞ 对于i=1，2，我们得到（58）是真的。7.2进一步的测量理论问题我们现在展示了本文中使用的具体应用或结果。我们从前面介绍的Fubini结果的四个扩展开始。

如备注6.12所述，引入跟踪sig ma代数是为了避免使用约定而付出的代价∞ - ∞ = -∞ .建议7.6解决一些问题∈ {1，…，T}。i） 乐视网：OhmT→ R+∪ {+∞}是一个非负的可测函数。那么ωt-1.∈ OhmT-1.→ROhmtf（ωt）-1，ωt）qt（dωt |ωt）-1） isFt-1-可测量inR值+∪ {+∞}.ii）Letf：Ohmt×Rd→ R+∪{+∞}做一个不消极的人B（Rd）-可测函数。然后（ωt）-1，h）∈OhmT-1×路→ROhmtf（ωt）-1，ωt，h）qt（dωt |ωt）-1） isFt-1. B（Rd）-可通过inR值测量+∪ {+∞}iii）乐透基金：OhmT→ R+∪ {+∞}做一个不消极的人-1. Gt可测量函数。那么ωt-1.∈ OhmT-1.→ROhmtf（ωt）-1，ωt）qt（dωt |ωt）-1） isFt-1-可测量的inR值+∪ {+∞}.iv）让∈ 英尺-1. B（路）。介绍英尺-1. B（道路）S:=A.∩ S、 A∈ 英尺-1. B（道路）痕迹符号代数-1.B（Rd）onS。乐视网：OhmT-1×Rd×OhmT→ R+∪{+∞}做一个不消极的人-1.B（道路）Gt可测量函数。然后（ωt）-1，h）∈ s→ROhmtf（ωt）-1，h，ωt）qt（dωt |ωt）-1） 是吗英尺-1. B（道路）可测量的数值inR+∪ {+∞}.证据语句i）是引理7.1对H=OhmT-1，H=Ft-1，K=Ohmt、 K=Gtandq（·|·）=qt（·|·）。为了证明语句ii），让“qt”定义为“qt:（G，ωt-1，h）∈ Gt×OhmT-1×路→ qt（G |ωt）-1，h）：=qt（G |ωt-1). （59）我们首先证明了“qt”是给定的随机核OhmT-1×Rd，其中可测量性与Ft有关-1. B（路）。设（ωt）-1，h）∈ OhmT-1×Rdbe固定，B∈ 燃气轮机→ qt（B |ωt-1，h）=qt（B |ωt-1） 是一种概率测量吗(Ohmt、 Gt）通过qt的定义。让B∈ Gt是固定的，那么（ωt-1，h）∈ OhmT-1×R→ qt（B |ωt-1，h）=qt（B |ωt-1） 是《金融时报》-1. B（Rd）-对于任何B′都是可测量的∈ B（R），通过定义qt，n（ωt）-1，h）∈ OhmT-1×Rd，`qt（B|ωt）-1，h）∈ B\'o=ωt-1.∈ OhmT-1，qt（B |ωt）-1) ∈ B′X路∈ 英尺-1. B（路）。声明ii）之后是引理7.1对H的应用=OhmT-1×Rd，H=Ft-1. B（Rd），K=Ohmt、 K=Gt，q（·|·）=qt（·|·）。

为了证明声明iii）请注意，自-1.英尺-很明显，QT是一个随机核(Ohmt、 Gt）给定(OhmT-1英尺-1） （也就是说，可测量性与英尺有关-1). Andstatement iii）紧随着引理7.1对H=OhmT-1，H=Ft-1，K=Ohmt、 K=Gt，q（·|·）=qt（·|·）。我们现在证明la st陈述。众所周知，英尺-1. B（道路）S） 是一个可测量的空间。设qt由qt：（G，ωt）定义-1，h）∈ Gt×S→ qt（G |ωt）-1，h）：=qt（G |ωt-1). （60）证明了qt是一个随机核(Ohmt、 Gt）给定s英尺-1. B（道路）s. 的确，让（ωt）-1，h）∈ Sbe固定，B∈ 燃气轮机→ qt（B |ωt）-1，h）=qt（B |ωt-1） 是一种概率度量吗(Ohmt、 Gt），通过qt的定义。让B∈ Gt是固定的，那么（ωt-1，h）∈ s→ qt（B |ωt）-1，h）=qt（B |ωt-1） 我知道英尺-1. B（道路）对于任意B′的S-可测自∈ B（R），我们有，通过qt的定义（ωt）-1，h）∈ S、 qt（B |ωt）-1，h）∈ B′=ωt-1.∈ OhmT-1，qt（B |ωt）-1) ∈ B′X路\\s∈hFt-1. B（Rd）是。现在让我们把f限制为S×Ohmt、 使用类似的论点和事实-1. B（道路） GtiS×Ohmt=hFt-1. B（Rd）是 Gt，（61）我们得到了FSI英尺-1. B（道路）s 这是可以测量的。最后，陈述iv）来自于L emma 7.1对H=S，H的另一个应用=英尺-1. B（道路）S、 K=Ohmt、 K=Gt，q（·|·）=qt（·|·）。引理7.7Letf：Ohmt+1→ R+∪ {∞}beFt+1-可测量、非负等Ohmt+1f（ωt+1）Pt+1（dωt+1）<∞. Th enωt∈ OhmT→ROhmt+1f（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）是可测的。此外，letNt:={ωt∈ Ohmt、 ZOhmt+1f（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）=∞}.然后呢∈ FtandPt（Nt）=0证明。引理的第一个断言是命题7.6中i）的直接应用。所以很明显∈ 此外，应用富比尼定理（见引理7.1）我们可以得到它OhmtZOhmt+1f（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）Pt（dωt）=ZOhmt+1f（ωt+1）Pt+1（dωt+1）<∞.假设Pt（Nt）>0。然后Ohmt+1f（ωt+1）Pt+1（dωt+1）≥兹茨Ohmt+1f（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）Pt（dωt）=∞.我们得到一个矛盾：Pt（Nt）=0。

粗略地说，下一个引理允许获得“nice”部分（即一个特定概率度量的完整度量集）。我们用它来证明定理4.17和引理7.9。引理7.8修正somet∈ {1，…，T}。删除OhmT∈ Ftsuch thatPt（e）Ohmt） =1和OhmT-1.∈ 英尺-1就这样-1（e）OhmT-1） =1并设置OhmT-1:=nωt-1.∈EOhmT-1，qtEOhmTωt-1 |ωt-1.= 1参见引理7.1，了解EOhmTωt-1.那么OhmT-1.∈ 英尺-1和(OhmT-1) = 1.证据从引理7.1我们知道ωt-1.→ qtEOhmTωt-1 |ωt-1.是《金融时报》-1-可测量的事实OhmT-1.∈ 英尺-1立即跟进。此外，利用富比尼定理（见引理7.1），我们得到了1=Pt（e）Ohmt） =ZOhmT-1ZOhmteOhmt（ωt）-1，ωt）qt（dωt |ωt）-1） Pt-1（dωt）-1） =ZOhmT-1ZOhmt（e）Ohmt） ωt-1（ωt）qt（dωt |ωt-1） Pt-1（dωt）-1） =泽OhmT-1ZOhmt（e）Ohmt） ωt-1（ωt）qt（dωt |ωt-1） Pt-1（dωt）-1） =泽OhmT-1qtEOhmTωt-1 |ωt-1.Pt-1（dωt）-1） =ZOhmT-11×Pt-1（dωt）-1） +ZeOhmT-1\\OhmT-1qtEOhmTωt-1 |ωt-1.Pt-1（dωt）-1） ，我们在第三行中使用了P（eOhmT-1) = 1.但是如果P（e）OhmT-1\\OhmT-1） >0，那么我们通过定义OhmT-1thatZeOhmT-1\\OhmT-1qtEOhmTωt-1 |ωt-1.Pt-1（dωt）-1） <Pt-1（e）OhmT-1\\OhmT-1） ，然后thus1<Pt-1(OhmT-1） +Pt-1（e）OhmT-1\\OhmT-1） =1，这是荒谬的，因此-1（e）OhmT-1\\OhmT-1) = 0. 我们得出结论，使用ag-ain，Pt-1（e）OhmT-1) = 1. 以下引理贯穿全文。特别是，Last语句用于主定理引理7.9Let0的开头≤ T≤ T- 1，B∈ B（R），H：OhmT→ 兰特：OhmT→ RDBEF无法确定。然后是函数（ωt，h）∈ Ohmt×Rd→ qt+1（H（ωt）+HSt+1（ωt，·）∈ B |ωt），（62）ωt∈ OhmT→ qt+1（H（ωt）+ht（ωt）St+1（ωt，·）∈ B |ωt），（63）分别为ft B（Rd）-可测量和FT可测量。

此外，假设pt+1（H（·）+ht（·）St+1（·）∈ B） =1，则存在某个完整度量集Ohmtsuch这一切ωt∈ Ohmt、 qt+1（H（ωt）+ht（ωt）St+1（ωt，·）∈ B |ωt）=1。证据作为h∈ 研发部→ HSt+1（ωt，ωt+1）对所有（ωt，ωt+1）是连续的∈ Ohmt×Ohmt+1和（ωt，ωt+1）∈Ohmt×Ohmt+1→ HSt+1（ωt，ωt+1）是Ft+1=Ft Gt+1-可测量所有h∈ Rd（回想一下，根据假设，站姿St+1分别为Ft和Ft+1），（ωt，ωt+1，h）∈ Ohmt×Ohmt+1×Rd→ HSt+1（ωt，ωt+1）是Ft Gt+1 B（Rd）-可测量为Carath’eodory函数。当H是Ft可测时，我们得到ψ：（ωt，ωt+1，H）∈ Ohmt×Ohmt+1×Rd→ H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1）也是Ft Gt+1 B（Rd）-可测量。因此，对于y B∈ B（R），fB：（ωt，ωt+1，h）∈ Ohmt×Ohmt+1×Rd→ 1ψ(·,·,·)∈B（ωt，ωt+1，h）i s FtGt+1B（路）。最后，我们使用命题7.6中的陈述i）来总结，并证明了命题（62）的正确性。我们用类似的论点证明（63）。由于htft是可测的，很明显ψht:（ωt，ωt+1）∈ Ohmt×Ohmt+1→H（ωt）+ht（ωt）St+1（ωt，ωt+1）是Ft Gt+1-可测量。因此，对于ny B∈ B（R），fB，ht：（ωt，ωt+1）∈Ohmt×Ohmt+1→ 1ψht（·，·）∈B（ωt，ωt+1）是Ft Gt+1-可测量。我们总结应用命题7.6中的i）toff，ht。在最后一句话中，我们设定Ohmt+1：=ωt+1=（ωt，ωt+1）∈ Ohmt×Ohmt+1，H（ωt）+ht（ωt）St+1（ωt，ωt+1）∈ B.很明显Ohmt+1∈ Ft+1和Pt+1（eOhmt+1）=1。然后我们可以应用引理7.8，得到一些Pt全测度集Ohmtsuch这一切ωt∈ Ohmt、 qt+1（H（ωt）+ht（ωt）St+1（ωt，·）∈ B |ωt）=1。引理7.10通常与奥曼定理（见Sainte Beuve（1974）中的推论1）结合使用，以获得Ft可测量选择器。引理7.10Letf：OhmT→ RbeFt是可测量的。然后就有了：OhmT→ R是可测量的，因此F=Gpt几乎可以确定，即E是存在的Ohmtfg∈ FtwithPtOhmtfg= 1和Ohmtfg {f=g}。证据设f=1bb∈ 然后B=A∪ N，带着∈ Ftand N∈ 《不扩散条约》。设g=1A。那么g是可测量的。

Cl-early，{f6=g}=N∈ NPt，因此f=g Pta。s、 通过采用线性组合，证明了该引理适用于阶跃函数，并对每个指标函数使用相同的论证。然后，通常可以通过一系列阶跃函数（fn）n来逼近某个Ft可测函数f≥1.从上一步开始，所有n≥ 1，我们得到了一些Ft可测的阶跃函数gnfn=gnptalm。设g=lim sup gn，g是Ft可测的，我们得出结论，因为{f6=g} ∪N≥1{fn6=gn}在NPt中是aga。接下来，我们提供一些关于usc函数的简单但有用的结果。引理7.11LetCbe是somem的闭子集≥ 1.出租：Rm→ R∪ {±∞}就是这样-∞onRm\\C.Thengis usc onRmif，仅ifgis usc onC。证据我们证明了，如果g在C上是usc，那么它在Rmas上是usc，反之亦然。让α∈ R固定。我们证明了Sα：={x∈ Rm，g（x）≥ α} 在Rm关闭。让（xn）n≥1. Sα收敛于x∈ Rm。然后xn∈ C代表全体n≥ 因为C是一个闭集，所以x∈ C.asg是C上的usc（即集合{x∈ C、 g（x）≥ α} 对于Rmon C的诱导拓扑是闭合的，我们得到了g（x）≥ α、 即x∈ Sα和gis usc在Rm上。引理7.12 Rbe是R的闭子集。Letf:R→ R∪ {±∞}这样一来，我们就不用担心了。然后是正确的。证据让（xn）n≥1. S是一个收敛到某个x的序列*从上面。然后x*∈ 自从S被关闭以来。作为x∈ s→ f（x）对于所有n都是非递减的≥ 1我们有f（xn）≥ f（x）*) 和thuslim infnf（xn）≥ f（x）*). 现在当f是S上的usc时，我们得到lim supnf（xn）≤ f（x）*). S上的右连续性立即关闭。我们现在建立了一个有用的emma 7.10扩展。引理7.13Letf：Ohmt×R→ R∪{±∞}心安理得B（R）-可测函数，使得对于所有ωt∈ Ohmt、 x∈ R→ f（ωt，x）是usc且不递减。