非凹最优投资与无套利：一个理论测度

因此h′=0和asA∩ {h\'\'St+1（ωt，·）=0} {hSt+1（ωt，·）=0}，qt+1（hSt+1（ωt，·）=0 |ωt）=1。像Ohmt\\n∏t∈ 确实存在OhmtNA1∈ Ftand Nt∈ NPt（一组可忽略不计的(Ohmt、 等等Ohmt\\t∏t=OhmtNA1∪ 恩坦德角(OhmtNA1）=Pt(Ohmt∏t=1。自从OhmtNA1 Ohmt∏t，对于所有ωt∈ OhmtNA1，0∈ Dt+1（ωt）和所有h∈ 第（4）条是正确的。我们证明（5）。假设ωt∈ OhmTNA1和h∈ Dt+1（ωt）等于qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1。利用（4）和引理7.18我们得到h∈ Lt+1（ωt）。所以∈ Dt+1（ωt）∩ Lt+1（ωt）={0}和（5）保持不变。还有待证明∏t∈Ftand Pt（πt）=0。为此，我们引入以下随机设置：OhmtRdHt（ωt）：=H∈ Dt+1（ωt），h6=0，qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1.那么∏t=ωt∈ Ohmt、 Ht（ωt）6== 项目|OhmtGraph（Ht）自图（Ht）={（ωt，h）∈ Ohmt×Rd，h∈ Ht（ωt）}。我们现在证明了图（Ht）∈ 英尺 B（路）。实际上，我们可以重写tGraph（Ht）=Graph（Dt+1）\\n（ωt，h）∈ Ohmt×Rd，qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1o\\Ohmt×Rd\\{0}.从引理7.9开始，（ωt，h）∈ Ohmt×Rd，qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1∈ 英尺 B（Rd）和fromma 3.4，图（Dt+1）∈ 英尺 B（Rd），我们得到图（Ht）∈ 英尺 B（路）。ProjectionTheorem（参见Castain g和Valadier（1977）中的定理3.23）适用且∏t={Ht6=} = 项目|OhmtGraph（Ht）∈Ft.根据A-umann定理（见Sainte Beuve（1974）中的推论1），存在可测选择器ht+1:πt→ rdht+1（ωt）∈ 每ωt的Ht（ωt）∈ πt.我们现在将dht+1扩展到Ohmt通过设置ht+1（ωt）=0表示ωt∈ Ohm很明显，ht+1受体是可测量的。应用引理7.10，存在ht+1：OhmT→ RDFT是可测量的，并且几乎可以肯定满足+1=ht+1Pt。那么，如果我们设置φ（ωt）=qt+1（ht+1（ωt）St+1（ωt，）≥ 0 |ωt），ν（ωt）=qt+1（ht+1（ωt）St+1（ωt，）≥ 0 |ωt），我们从P位置7.9得出，|是可测的，从命题7.6 iii）得出，|是可测的。

此外，作为{ωt∈ Ohmt、 ~n（ωt）6=~n（ωt）} {ωt∈ Ohmt、 ht（ωt）6=ht+1（ωt）}，几乎可以肯定。这就是我所说的Ohmt~ndPt=ROhmtdPt。现在我们定义了可预测过程（φt）1≤T≤Tbyφt+1=ht+1，对于i6=t+1，φi=0。ThenP（V0，φT）≥ 0）=P（ht+1St+1≥ 0）=Pt+1（ht+1St+1≥ 0）=ZOhmt~n（ωt）Pt（dωt）=ZOhmt~n（ωt）Pt（dωt）=Z∏tqt+1ht（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωtPt（dωt）+ZOhmt\\t∏tqt+10 ×  St+1（ωt，·）≥ 0 |ωtPt（dωt）=Pt（πt）+Pt(Ohmt∏t）=1，这里我们使用了，如果ωt∈ πt，ht+1（ωt）∈ Ht（ωt），否则Ht+1（ωt）=0。在相同的条件下，我们得到p（V0，φT>0）=Pt（ht+1St+1>0）=Z∏tqt+1ht+1（ωt）St+1（ωt，·）>0 |ωtPt（dωt）+ZOhmt\\t∏tqt+10>0 |ωtPt（dωt）=Z∏tqt+1ht+1（ωt）St+1（ωt，·）>0 |ωtPt（dωt）。设ωt∈ 当qt+1时∏tht+1（ωt）St+1（ωt，·）>0 |ωt> 事实上，如果不是这样的话，那么qt+1ht+1（ωt）St+1（ωt，·）≤ 0 |ωt= 1.作为ωt∈ πt，ht+1（ωt）∈ Dt+1（ωt）和qt+1ht+1（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt=引理7.18和ht+1（ωt）∈ Lt+1（ωt）。因此我们得到ht+1（ωt）∈ Lt+1（ωt）∩ Dt+1（ωt）={0}，一个矛盾。如果pt（πt）>0，我们得到P（V0，φt>0）>0。这与（NA）条件相矛盾，我们得到了pt（πt）=0，所需的结果。与R\'asonyi和Stettner（2005年）以及Jacod和Shiryaev（1998年）类似，我们证明了（NA）的“定量”特征。建议3.7假设（NA）条件为真且为0≤ T≤ 然后就存在了Ohm特娜∈ FtwithPt(OhmtNA）=1和Ohm特娜 OhmtNA1（参见引理3.6了解OhmtNA1）使所有ωt∈ OhmtNA，存在αt（ωt）∈ （0，1）这样的话∈ Dt+1（ωt）qt+1HSt+1（ωt，·）≤ -αt（ωt）|h | |ωt≥ αt（ωt）。（7） 此外ωt→ αt（ωt）是可测的。证据设ωt∈ Ohm必须固定(Ohmtna1在引理3.6）中定义。第一步：证明（7）。为n引入以下集合≥ 1An（ωt）：=H∈ Dt+1（ωt），|h |=1，qt+1HSt+1（ωt，·）≤ -n |ωt<N. （8） 设n（ωt）：=inf{n≥ 1，An（ωt）=} 按照当时的惯例 = +∞. 注意，如果Dt+1（ωt）={0}，那么n（ωt）=1<∞.

现在我们假设Dt+1（ωt）6={0}，并用矛盾证明th atn（ωt）<∞. 假设n（ωt）=∞ i、 e代表所有人n≥ 1，An（ωt）6=. 因此我们得到hn（ωt）∈ Dt+1（ωt），其中|hn（ωt）|=1，这样qt+1hn（ωt）St+1（ωt，·）≤ -n |ωt<n、 通过传递到一个子序列，我们可以假设hn（ωt）趋向于某个h*（ωt）∈ Dt+1（ωt）（回想一下集合Dt+1（ωt）是通过定义闭合的）与| h*（ωt）|=1。引言b（ωt）：={ωt+1∈ Ohmt+1，h*（ωt）St+1（ωt，ωt+1）<0}Bn（ωt）：={ωt+1∈ Ohmt+1，hn（ωt）St+1（ωt，ωt+1）≤ -1/n}。然后B（ωt） lim infnBn（ωt）。此外，当1lim infnBn（ωt）=lim infnBn（ωt）时，Fatou引理表示qt+1H*（ωt）St+1（ωt，·）<0 |ωt≤ZOhmt+1lim infnBn（ωt）（ωt+1）qt+1（ωt+1 |ωt）≤ lim infnZOhmt+1Bn（ωt）（ωt+1）qt+1（ωt+1 |ωt）=0。这就是qt+1H*（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt= 因此从引理3.6中的（5）我们得到了*（ωt）=0，这与| h相矛盾*（ωt）|=1。Thusn（ωt）<∞ 我们可以设定ωt∈ OhmtNA1αt（ωt）=n（ωt）。显然αt∈ （0，1）。那么对于所有ωt∈ OhmtNA1，尽管如此∈ Dt+1（ωt）|h |=1，通过定义a（ωt）（ωt），我们得到qt+1HSt+1（ωt，·）≤ -αt（ωt）|ωt≥αt（ωt）。（9） 第2步：可测量性问题。我们现在构造了一个函数αt，它是Ft可测量的，并且满足（7）。为了做到这一点，我们再次使用奥曼定理，就像在L emma 3.6的证明中一样，但这一次a适用于随机集：Ohmtrdan（ωt）在（8）ifωt中定义∈ Ohmtna1和An（ωt）= 否则我们证明了图（An）∈ 英尺B（路）。根据引理7.9，函数（ωt，h）→ qt+1HSt+1（ωt，·）≤ -n |ωt是《金融时报》 B（Rd）-可测量。引理3.4中的图（Dt+1）∈ 英尺 B（Rd）的结果如下：图（An）=图（Dt+1）\\OhmtNA1×{h∈ Rd，|h |=1}\\（ωt，h）∈ Ohmt×Rd，qt+1HSt+1（ωt，·）≤ -n |ωt<N.利用投影定理（参见Castaing和Valadier（1977）中的定理3.23），我们得到{ωt∈ Ohmt、 An（ωt）6=} ∈Ft.我们现在扩展到Ohmt如果ωt，则设置n（ωt）=1/∈ OhmtNA1。

然后{n≥ 1} = OhmT∈ 英尺 k>1{n的Ftand≥ k} =OhmtNA1∩\\1.≤N≤K-1{An6=} ∈这意味着α是可测量的。利用引理7.10，我们得到了一些Ft可测函数αtsuch，αt=αtptal，即存在Mt∈ Ftsuch，Pt（Mt）=0和{αt6=αt} 我们出发了OhmtNA:=OhmtNA1TOhmt\\Mt. 然后Pt(OhmtNA）=1和asα是检验（7）h是否为真的关键。对于ωt∈ OhmtNA，αt（ωt）=αt（ωt）（回想一下ωt∈ Ohmt\\Mt）和自ωt∈ OhmtNA1（9）是正确的，因此（7）很好。同样清楚的是αt（ωt）∈ （0,1]且证明已完成。备注3.8在定义3.3、引理3.4、3.5、3.6和命题3.7中，我们已包含案例t=0。然而，请注意Ohm= {ω} 注释3.9（7）给出的（NA）特征仅适用于h∈ Dt+1（ωt）。这就是为什么我们必须规划φt+1战略的原因∈ Ξtonto Dt+1（ωt）在我们的证明中。备注3.10为了获得命题3.7，我们可以直接应用命题3.3。ofR\'asonyi和Stettner（2005）（注意，他们的证明没有使用可测量的选择参数，直接提供了αt的可测量性）并使用引理2.2.4效用问题和主要结果现在通过一个可能非凹的随机效用函数来描述投资者的风险偏好。定义4.1随机效用是任何函数U：Ohm ×R→ R∪ {±∞} 满足以下条件o每x∈ R、 函数U（·，x）：Ohm → R∪ {±∞} 是F-可测的，o对于所有ω∈ Ohm, 函数U（ω，·）：R→ R∪ {±∞} 是R，oU（·x）=-∞, 对于所有x<0。我们介绍以下符号。定义4.2适用于所有x≥ 0，我们用Φ（x）表示所有策略的集合φ∈ Φ使得PT（Vx，φT（·）≥0）=1和d乘以Φ（U，x）所有策略的集合φ∈ Φ（x）使得EU（·，Vx，φT）在广义上存在，即。

EU+（·，Vx，φT（·））<∞ 还是欧盟-（·，Vx，φT（·））<∞.（NA）项下的备注4.3，如果φ∈ Φ（x）那么我们有Pt（Vx，φt（·）≥ 0）=1代表所有1≤ T≤ 我看不见外稃。19.我们现在制定出我们在续集中主要关注的问题。定义4.4让x≥ 0.初始财富x isu（x）：=supφ的有限水平T上的非凹投资组合问题∈Φ（U，x）EU（·，Vx，φT（·））。（10） 备注4.5假设存在一些P-完全测量集Ohm ∈ F使得所有ω∈EOhm, 十、→U（ω，x）是非递减的，usc在[0+∞), i、 e.x→ U（ω，x）是（0，∞) 对于y（xn）n≥1.[0, +∞) 收敛到0，U（ω，0）≥ lim-su-pnU（ω，xn）。我们setU：Ohm ×R→ R∪ {±∞}U（ω，x）：=U（ω，x）1eOhm×[0,+∞)（ω，x）+(-∞)1.Ohm×(-∞,0）（ω，x）。满足定义4.1，第二项见引理7.11。此外，值函数不改变u（x）=supφ∈Φ（U，x）EU（·，Vx，φT（·）），如果存在一些φ*∈ Φ（U，x）使得U（x）=EU（·Vx，φ*T（·）），然后φ*是（10）的最佳解决方案。备注4.6设U为仅在（0，∞) 并验证每x∈ (0, ∞),U（·，x）：Ohm → R∪ {±∞} allω的F-可测与d∈ Ohm, U（ω，·）：（0，∞) → R∪ {±∞} 非减损和usc开启（0，∞). 我们可以在rby设置上扩展U，对于所有ω∈ Ohm,U（ω，0）=limx→0U（ω，x）对于x<0，U（ω，x）=-∞. 然后，与之前一样，验证4.1的定义，价值函数没有改变。注意，我们可以考虑一个闭合区间F=[a，∞ ) 而不是[0，∞), 我们本可以调整我们的上半连续性概念，所有的续集都将适用。我们现在给出U上的条件，它允许断言如果φ∈ Φ（x）然后EU（·，Vx，φT（·））得到了很好的定义，并且（10）存在一些最优解。假设4.7适用于所有φ∈ Φ（U，1），欧盟+·, V1，φT（·）< ∞.假设4.8Φ（U，1）=Φ（1）。备注4.9假设4.7和4.8相互关联，但作用不同。

假设4.8保证欧盟·, V1，φT（·）对所有人来说都很明确∈ Φ（1），并允许我们放松Carassus et al.（2015）关于U在0左右的行为的假设2.7，即EU-(·, 0) < ∞. 然后是假设。7（连同假设4.10）用于表明u（x）<∞ 对于所有x>0。注意假设4。7更容易验证经典假设u（x）<∞ （对于全部或部分x>0），这通常是在终端财富效用最大化理论中提出的。在命题6.1中，我们将证明，在假设4.7、4.8和4.10下+·, Vx，φT（·）< ∞为了所有的x≥ 0和φ∈ Φ（x）。因此Φ（U，x）=Φ（x）。请注意，如果存在一些问题∈ Φ（U，x）等于+·, Vx，φT（·）= ∞ 和欧盟-·, Vx，φT（·）< ∞ th en u（x）=∞ 问题是不适定的。我们提出了一些假设4.7或4.8成立的例子。示例ii）说明了假设4.7和4.8之间的区别，以及我们不合并假设和假设EU+·, V1，φT（·）< ∞, 无论如何∈ Φ(1).i） 如果U在上面有界，那么这两个假设在三个方面都是正确的。我们直接得到Φ（U，x）=Φ（x）对于所有x≥ 0.ii）假设欧盟-(·, 0) < ∞ 这是真的。让x≥ 0和φ∈ Φ（x）是固定的。用这个U-对于所有ω都是非递减的∈ Ohm 我们明白了-（·，Vx，φT（·））≤ 欧盟-(·, 0) < +∞,因此，EU（·，Vx，φT（·））得到了很好的定义，Φ（U，x）=Φ（x），假设4.8成立。iii）假设存在一些^x≥ 1使U（·，^x）- 1) ≥ 0p-几乎可以肯定的是andbu（^x）：=supφ∈Φ（^x）EU（·，V^x，φT（·））<∞,我们出发的地方∈ Φ（^x）\\Φ（U，^x），EU（·，V^x，φT（·））=-∞. 让φ∈ Φ（1）应固定。那么使用thatU对所有ω都是非递减的∈ Ohm, 我们有P-a lm几乎确定的u（·，V1，φT（·）+^x- 1) ≥ U（·，^x）- 1) ≥ 因此U（·，V1，φT（·）+^x- 1） =U+（·，V1，φT（·）+^x- 1） P-几乎可以肯定。

现在用U+表示所有ω都是非递减的∈ Ohm 我们都得到了∈ Φ（1）EU+（·，V1，φT（·））≤ EU+（·，V1，φT（·）+^x- 1） =EU（·，V1，φT（·）+^x- 1) ≤ bu（^x）<+∞假设4.7和4.8得到满足，而不是规定bu（^x）<∞ 假设EU（·，V^x，φT（·））<∞ 无论如何∈ Φ（^x）。iv）我们将在定理4.17中证明，在（NA）条件和假设4.10下，假设4。如果EU+（·，1）<+∞ 如果一切都是零≤ T≤ T|St |，αt∈ Wt（有关Wt的定义，请参见（16））。假设4.10我们假设存在一些常数γ≥ 0，K>0，以及满足C（ω）的随机变量C≥ 0表示所有ω∈ Ohm 和E（C）<∞ 这样对于所有ω∈ Ohm, λ ≥ 1和x∈ R、 我们有u（ω，λx）≤ KλγUω、 x++ C（ω）. （11） 备注4.11首先请注意，君士坦丁（1）是任意选择的，以简化演示。这可以在不丧失一般性的情况下完成。事实上，假设存在一些问题≥ 0使得所有ω∈ Ohm, λ ≥ 1和x∈ RU（ω，λx）≤ Kλγ（U（ω，x+x）+C（ω））。（12） 利用U的单调性，我们可以假设x>0。设置为所有ω∈ Ohm 还有x∈ R、 U（ω，x）=U（ω，2xx）。那么ω呢∈ Ohm, λ ≥ 1和x∈ R、 我们有U（ω，λx）=U（ω，2λxx）≤ Kλγ（U（ω，2xx+x）+C（ω））=KλγUω、 x++ C（ω）,和美国（11）。很明显，如果*是问题u（x）：=supφ的最优解∈Φ（U，x2x）EU（·，Vx2x，φT（·））然后2xφ*是（10）的最佳解决方案。还要注意，因为k>0和C≥ 0，很快就能看到ω∈ Ohm, λ ≥ 1和x∈ RU+（ω，λx）≤ KλγU+ω、 x++ C（ω）. （13） 备注4.12我们现在就假设4.10提供一些见解。由于不等式（11）用于控制U+（·，x）在大x值下的行为，非凹情况下的通常假设（见Ca-ra-ssus等人的假设2.10）。

（2015））是存在一些^x≥ 0使EU+（·，^x）<∞以及一个满足E（C）的随机变量∞ 和C（ω）≥ 对于所有ω为0，因此对于所有x≥ ^x，λ≥ 1和ω∈ OhmU（ω，λx）≤ λγ（U（ω，x）+C（ω））。（14） 我们现在证明，如果（14）成立，那么（12）用x=^x、K=1和C=C进行验证。事实上，假设（14）对x进行了验证≥ 0，利用U的单调性，我们得到了所有ω∈ Ohm λ≥ 1thatU（ω，λx）≤ U（ω，λ（x+^x））≤ λγ（U（ω，x+^x）+C（ω））。对于x<0，这是正确的，因为U（ω，x）=-∞.因此（12）是比（14）弱的假设。还要注意，如果我们假设（14）对所有x>0都成立，那么如果0<x<1和ω∈ Ohm 我们有（ω，1）≤十、γ（U（ω，x）+C（ω）），和U（ω，0）：=limx→0，x>0U（ω，x）≥ -C（ω）。例如，这就排除了你是法律顾问的情况。此外，这也意味着欧盟-(·, 0) ≤ 欧共体∞ 我们回到假设2。Carassus et al.（2015）的第7条，或者，回顾凹面情况的处理方式（见R\'asonyi和Stettner（2005）中的引理2），我们可以引入一个随机变量，使E（C）满足∞ andC≥ 0这样对于所有x∈ R、 ω∈ OhmU+（ω，λx）≤ λγU+（ω，x）+C（ω）. （15） 我们没有这样做，因为在考虑非凹函数时，很难通过动态编程程序证明这种不平等性是保持的，除非我们假设-(·, 0) <∞ 正如Carassus等人（2015年）所述。备注4.13如果存在某些设置OhmAE∈ F和P(OhmAE）=1，这样（11）只对ω成立∈ OhmAE，然后设置如备注4.5所示，U（ω，x）：=U（ω，x）1OhmAE×R（ω，x）、U满足度（11）和（10）中的值函数不变。在不损失一般性的情况下，我们还假设C（ω）≥ 0表示（11）中的所有ω。的确，如果C≥ 我们可以考虑C:=CIC≥0

如果（14）成立，我们参考Carassus和R\'asonyi（2015）的备注2.5和Carassus等人（2015）的备注2.10来解释γ：对于C=0，可以将其视为U在+∞ （见Kramkov和Schachermayer（1999））。所以（14）要求（广义的）渐近弹性+∞ 现在是最后一天。在这种情况下，如果U是可微的，那么“渐近弹性”作为“边际效用”：U′（x）和“平均效用”：U（x）x的比率有一个很好的经济解释，请再次参阅Kramkov和SchachermayerIn引用的论文C第6节≥ 0 a.s.但这不是一个问题，更多讨论请参见下面的备注4.13（1999年）。C>0的情况允许有界的实用程序。Carassus等人（2015年）证明，与凹形情况不同，U从上方有界（因此满足（12））并不意味着渐近弹性是有基础的。我们现在给出一个n无界效用函数满足（12）的例子→∞xU′（x）U（x）=+∞. 这表明（作为Carassus等人（2015）的反例），假设4.10不如通常的“渐进弹性”强。让你：R→ R由u（x）定义=-∞1(-∞,0）（x）+Xp≥0p1[p，p+1-p+1）（x）+fp（x）1[p+1]-p+1，p+1）（x），其中fp（x）=2p+1x+（p+1）1.- 2p+1为了p∈ N.然后，美国满足定义4.1，我们有U′（x）=Xp≥0p+1[p+1]-p+1，p+1）（x）。我们证明（12）是正确的。请注意，对于所有x≥ 我们有x- 1.≤ U（x）≤ x+1。让x≥ 0和λ≥ 1.固定。然后我们得到u（λx）≤ λx+1≤ λ（U（x+1）+1）+1≤ λ（U（x+1）+2）和（12）在K=x=1和C=2时为真。现在轮到k了≥ 0，设xk=k+1-k+2。

我们有U（xk）=fk（xk）=k+和xku′（xk）U（xk）=2k+1k+1-k+2k+→K→∞+∞.备注4.15我们提出了假设4.10成立的进一步例子。i） 假设U从上面被某个可积随机常数C所限定≥ 0和欧盟-(·,) < ∞. 那么对于所有x≥ 0, λ ≥ 1, ω ∈ Ohm 我们有u（ω，λx）≤ C（ω）≤ λUω、 x++ λC（ω）- Uω、 x+≤ λUω、 x++ λC（ω）+U-ω,,和（11）适用于x≥ 0，K=1，γ=1，C（·）=C（·）+U-(·,). 作为U（·，x）=-∞ 当x<0时，（11）适用于所有x∈ R.ii）假设U满足定义4.1，且U限制为[0，∞) 是凹形的，不减损的，在欧盟-(·, 1) < ∞. 我们使用了类似于R\'asonyi和Stettner（2006）中引理2的论点。事实上，让x≥ 2, λ ≥ 1确定我们有（ω，λx）≤ U（ω，x）+U′（ω，x）（λx）- 十）≤ U（ω，x）+U（ω，x）- U（ω，1）x- 1(λ - 1） x≤ U（ω，x）+2（λ）- 1） （U（ω，x）- U（ω，1））≤ U（ω，x）+3（λ）-) （U（ω，x）- U（ω，1））≤ 3λU（ω，x）+U-(ω, 1),在这里，我们用U的凹度表示前两个不等式，用th表示x≥ 2对于其他的，andU是不递减的。因此，通过证明（14）意味着（12），我们得到（12）在K=3，γ=1，x=2和C（·）=U时成立-(·, 1).现在我们可以陈述我们的主要结果。定理4.16假设（NA）条件，假设4.7、4.8和4.10成立。莱克斯≥ 0.那么，u（x）<∞并且存在一些最优策略*∈ Φ（U，x）使得U（x）=EU（·Vx，φ*T（·））。此外φ*t（·）∈ Dt（·）a.s.适用于所有0≤ T≤ 我们将使用动态规划来证明我们的主要结果。我们将结合R\'asonyi和Stettner（2005）、R\'asonyi和Stettner（2006）、Carassus和R\'asonyi（20 15）、Carassus等人（2015）和Nutz（2014）的方法。