非凹最优投资与无套利：一个理论测度

然后，就有了 B（R）-从Ohmt×r∪ {±∞}还有一些Ohmtmes∈ Ftsuch thatPt(Ohmtmes）=1和f（ωt，x）=g（ωt，x）表示所有（ωt，x）∈ Ohmtmes×R.特别是注释7.14，对于所有ωt∈ Ohmtmes，x∈ R→ g（ωt，x）是usc且不递减。证据让n≥ 1和k∈ Z固定。我们将引理7.10应用于f（·）=f（·，kn），假设f是可测量的，我们得到了一些可测量的gn，k：OhmT→ R∪ {±∞} 还有一些Ohmtn，k∈ Ftsuch thatPt(Ohmtn，k）=1和Ohmtn，kωt∈ Ohmt、 f（ωt，kn）=gn，k（ωt）. 我们开始Ohmtmes:=\\n≥1，k∈ZOhmtn，k.（64）很明显Ohmtmes∈ F和那个Pt(Ohmtmes）=1。现在，我们为所有人定义≥ 1，gn：Ohmt×R→ R∪ {±∞} bygn（ωt，x）：=Xk∈ZK-1n，千牛（x） gn，k（ωt）。很明显，gnis Ft B（R）-可测量所有n≥ 1.最后，我们定义：Ohmt×R→ R∪ {±∞} byg（ωt，x）：=limngn（ωt，x）。（65）那么g又是Ft B（R）-可测，还有待证明f（ωt，x）=g（ωt，x）对于所有（ωt，x）∈Ohmtmes×R.Let（ωt，x）∈ OhmTME×R是固定的。为了所有人≥ 1.存在kn∈ Z以至于KN-1n<x≤使gn（ωt，x）=gn，kn（ωt）=f（ωt，knn）。将引理7.12应用于f（·）=f（ωt，·）（和S=R），我们得到x处的th∈ R→ f（ωt，x）在R上是右连续的knnN≥1从上面收敛到x，接下来是g（ωt，x）=limnf（ωt，knn）=f（ωt，x），这就是证明。最后，我们介绍以下定义。定义7.15设R为闭合区间。函数f：Ohmt×S→ 对于所有ωt，R是扩展的Carath’eodoryfunction（ifi）∈ Ohmt、 x∈ s→ f（ωt，x）是右连续的，ii）对于所有x∈ S、 ωt∈ OhmT→ f（ωt，x）是Ft可测的。我们证明了下面的引理，它是关于Carath’eodory函数的一个众所周知的结果的扩展（参见Alipran tis And Border（2006）中的例子4.10）引理7.16let Rbe一个封闭的随机区间：Ohmt×S→ Rbe是一个扩展的Carath’eodoryfunction。

然后呢 B（R）-可测量。证据我们为所有人定义≥ 1，fn：Ohmt×R→ R byfn（ωt，x）：=Xk∈ZK-1n，千牛（x） 1S（kn）f（ωt，kn）。很明显，FNI是英国《金融时报》 B（R）-可测量。从f的右连续性，我们可以在引理7.13的证明中证明，对于所有（ωt，x），f（ωt，x）=limnfn（ωt，x）∈ Ohmt×S，证明是完整的Ohm ×S∈ 英尺 B（R）as S是R）的闭子集。备注7.17请注意，如果我们用FT替换FTF，结果相同。7.3 P技术结果的屋顶最后，我们提供论文的缺失结果和证明。我们从第2节的以下结果开始。引理2.2的证明。关于广义条件期望的定义和各种性质，我们参考Carassus和R\'asonyi（2015）第6.1节。特别是因为E（h+）=ROhmth+dPt<∞,E（h | Fs）对于所有0≤ s≤ t（参见Ca ra ssus和R\'asonyi（2015）的引理6.2）。同样，从提案7.4中，我们得出如下结论：Ohms→ R∪ {±∞} 定义明确（广义上）且可测量。由于ψ（X，…，Xs）是Fs可测量的，因此仍需证明E（gh）=E（g~n（X，…，Xs））对于所有g：Ohms→R+非负，Fs可测量，因此E（gh）在一般意义上定义良好，即E（gh）+∞ 或E（gh）-< ∞. 回顾第2节开头的符号，并使用第三和第四等式的富宾i定理（见命题7.4和备注7.5），我们得到E（gh）=E（g（X，…，Xs）h（X，…，Xt））=ZOhmTg（ω，…，ωs）h（ω，…，ωt）P（dωt）=ZOhmtg（ω，…，ωs）h（ω，…，ωt）qt（ωt |ωt）-1) . . . qs+1（ωs+1 |ωs）Ps（dωs）=ZOhmsg（ω，…，ωs）ZOhms+1×。。。×Ohmth（ω，…，ωs，ωs+1，…，ωt）qt（ωt |ωt-1) . . . qs+1（ωs+1 |ωs）！Ps（dωs）=ZOhmsg（ω，…，ωs）~n（ω，…，ωs）Ps（dωs）=E（g（X，…，Xs）~n（X，…，Xt）），这是证明的结论。

我们现在给出第3节结果的证明。引理3.4的证明。我们首先证明了EDT+1是一个非空、闭值且Ft可测的随机集。从其定义（见（2））可以清楚地看出∈ Ohmt、 eDt+1（ωt）是Rd的一个非空闭子集。我们现在证明了eDt+1是可测的。设O是Rd中的固定开集，并引入uO:ωt∈ OhmT→ uO（ωt）：=qt+1St+1（ωt，）∈ O |ωt=ZOhmt+1St+1（·，·）∈O（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）。我们证明了μOis是可测量的。As（ωt，ωt+1）∈ Ohmt×Ohmt+1→ St+1（ωt，ωt+1）是FtGt+1-可测量和O∈ B（Rd），（ωt，ωt+1）→ 1.St+1（·，·）∈O（ωt，ωt+1）是Ft Gt+1-可测量，结果来自命题7.9。通过定义dt+1（ωt），我们得到{ωt∈ Ohmt、 eDt+1（ωt）∩ O 6=} = {ωt∈ Ohmt、 uO（ωt）>0}∈ 接下来我们证明了Dt+1是一个非空的、闭值的、Ft可测的随机集。使用（3），Dt+1是一个非空的闭值随机集。还有待证明Dt+1是可测量的。AseDt+1是Ft可测的，应用Castaing表示（见Molchanov（2005）第一章定理2.3或Rockafellar和Wets（1998）定理14.5），我们得到了一个可数族的Ft可测函数（fn）n≥1: OhmT→ 所以对于所有ωt∈ Ohmt、 eDt+1（ωt）={fn（ωt），n≥ 1} （根据通常的拓扑结构进行闭合）。设ωt∈ Ohmtbe固定。可以很容易地看出dt+1（ωt）=Aff（eDt+1（ωt））=（f（ωt）+pXi=2λi（fi（ωt）- f（ωt）），（λ，…，λp）∈ Qp-1，p≥ 2). （66）因此，再次使用Castaing表示（参见Rockafellar and Wets（1998）的定理14.5），我们得到Dt+1（ωt）是Ft可测的。根据Rockafellar和Wets（1998）的定理14.8，图（Dt+1）∈英尺 B（Rd）（回想一下Dt+1是闭值的）。引理3.5的证明。引入Ct+1（ωt）：=Conv（eDt+1（ωt））由eDt+1（ωt）生成的闭凸壳。As Ct+1（ωt） Dt+1（ωt）我们将证明∈ Ct+1（ωt）。

自Ct+1（ωt） 假设Dt+1（ωt），对于所有h∈ Ct+1（ωt）\\{0}qt+1（h）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）<1。（67）因此，如果我们找到一些h∈ Ct+1（ωt），比如qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt=1，那么h=0。我们区分两种情况。首先假设∈ Rd，h6=0，qt+1（hSt+1（ωt，）≥ 0 |ωt）<1。然后是Ct+1（ωt）的极性，即集合Ct+1（ωt）o:= {y∈ Rd，yx≤ 0,  十、∈ Ct+1（ωt）}被简化为{0}。事实上，如果不是这样的话，就存在y∈ 因此-yx≥ 0代表所有x∈Ct+1（ωt）。作为A:={ωt+1∈ Ohmt+1，St+1（ωt，ωt+1）∈eDt+1（ωt）} {ωt+1∈ Ohmt+1，-YSt+1（ωt，ωt+1）≥ 0}和qt+1（A |ωt）=1，我们得到qt+1(-YSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1是矛盾。像Ct+1（ωt）oo=圆锥Ct+1（ωt）圆锥体在哪里Ct+1（ωt）表示由Ct+1（ωt）生成的锥，我们得到这个锥Ct+1（ωt）=让u 6=0∈ 圆锥Ct+1（ωt）然后-U∈ 圆锥Ct+1（ωt）存在λ>0，λ>0和v，v∈ Ct+1（ωt）使得u=λvand-u=λv。因此0=λ+λv+λ+λv∈ 通过Ct+1（ωt）的凸性得到Ct+1（ωt）。现在我们假设存在一些h∈ Rd，h6=0，使得qt+1（hSt+1（ωt，）≥ 0 |ωt）=1。注意，自从h∈ 我们不能使用（67）。介绍Ct+1（ωt）上的正交投影（回想一下Ct+1（ωt）是Rd的一个闭凸子集）p:h∈ 研发部→ p（h）∈ Ct+1（ωt）。那么p是连续的，我们有（h）- p（h））（x- p（h））≤ 0代表所有x∈ Ct+1（ωt）。固定ωt+1∈ {ωt+1∈Ohmt+1，St+1（ωt，ωt+1）∈eDt+1（ωt）}∩ {ωt+1∈ Ohmt+1，hSt+1（ωt，ωt+1）≥ 0}和λ≥ 0

设h=λhandx=St+1（ωt，ωt+1）∈ Ct+1（ωt）在前面的等式中，我们得到（回忆一下edt+1（ωt） Ct+1（ωt））0≤ λhSt+1（ωt，ωt+1）=（λh- p（λh））St+1（ωt，ωt+1）+p（λh）St+1（ωt，ωt+1）≤ （λh）- p（λh））p（λh）+p（λh）St+1（ωt，ωt+1）。因为所有λ都是这样≥ 当λ为零时，我们可以取极限，并使用pp（0）的连续性St+1（ωt，ωt+1）≥ |p（0）|≥ 0As qt+1nωt+1∈ Ohmt+1，St+1（ωt，ωt+1）∈eDt+1（ωt）o|ωt= 1通过定义ODT+1（ωt）和asqt+1（hSt+1（ωt，）≥ 我们也得到了qt+1（p（0）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1。事实上p（0）∈ Ct+1（ωt）与th（67）一起表示p（0）=0和0∈ Ct+1（ωt）如下。在引理3.6的证明中使用了以下引理。它对应于Nutz（2014）引理7.18Letωt的L emma 2.5∈ Ohmtbe固定。回想一下tLt+1（ωt）：=Dt+1（ωt）⊥是正交空间ofDt+1（ωt）（见（6））。那么∈ 我们有qt+1（hSt+1（ωt，·）=0 |ωt）=1<==> H∈ Lt+1（ωt）。证据假设h∈ Lt+1（ωt）。然后{ω∈ OhmTSt+1（ωt，ω）∈ Dt+1（ωt）} {ω ∈ Ohmt、 hSt+1（ωt，ω）=0}。根据Dt+1（ωt）的定义，qt+1(St+1（ωt，）∈ Dt+1（ωt）|ωt）=1，我们得出结论qt+1（hSt+1（ωt，）=0 |ωt）=1。相反，我们假设h/∈ 我们证明了qt+1（hSt+1（ωt，）=0 |ωt）<1。我们首先证明存在v∈eDt+1（ωt），使得hv6=0。如果不是的话∈eDt+1（ωt），hv=0，对于任何w∈ Dt+1（ωt），w=Pmi=1λivi，其中λi∈ R、 Pmi=1λi=1和vi∈eDt+1（ωt），我们得到hw=0，这是一个矛盾。此外，还存在一个以v为中心的开放球，半径ε>0，B（v，ε），使得所有v′的hv′6=0∈ B（v，ε）。假设qt+1(St+1（ωt，）∈ B（v，ε）|ωt）=0或等于qt+1(St+1（ωt，）∈ Rd\\B（v，ε）|ωt）=1。根据支架的定义，eDt+1（ωt） Rd\\B（v，ε）：这与v相矛盾∈eDt+1（ωt）。因此qt+1(St+1（ωt，）∈ B（v，ε）|ωt）>0。让ω∈ {St+1（ωt，）∈ B（v，ε）}，然后是hSt+1（ωt，ω）6=0，即qt+1（hSt+1（ωt，）=0 |ωt）<1。

我们现在证明第5节的以下结果。命题5.11的证明。我们从（25）的证明开始∈ Dx。因为D是Rd0的向量子空间∈ Hx，Dx的af fi外壳也是一个向量空间，我们用Aff（Dx）表示。如果x≤ 假设5.4，对于所有ω∈ Ohm, H∈ Dx，V+（ω，x+hY（ω））≤ V+（ω，1+hY（ω））。（68）如果x>1，使用假设5.7（见备注5.8中的（23））我们得到所有ω∈ Ohm, H∈ DxV+（ω，x+hY（ω））=V+2x+h2xY（ω）≤ （2x）γK五+ω、 1+h2xY（ω）+ C（ω）. （69）首先我们处理Dim（Aff（Dx））=0的情况，即Dx={0}。总而言之ω∈Ohm, H∈ Dx={0}，使用（68）和（69），我们得到thatV+（ω，x+hY（ω））≤ V+（ω，1）+（2x）γKV+（ω，1）+C（ω）≤ （（2x）γK+1）（V+（ω，1）+C（ω））。（70）我们假设（Aff（Dx））大于0。如果x=0，那么Y=0q-a.s.如果不是这样，那么我们应该有D={0}一个矛盾。的确，如果存在一些h∈ h 6=0时，则Qh | h | Y（·）<0> 0根据与h相矛盾的假设5.1∈ 对于x=0，Y=0q-a.s，通过假设5.4，我们得到了llω∈Ohm, H∈ D、 V+（ω，0+hY（ω））≤ V+（ω，1）。从现在开始，我们假设x>0。那么g呢∈ Rd，g∈ Dxif和仅ifgx∈ D、 我们有Aff（Dx）=Aff（D）。我们设置d′：=Dim（Aff（d））。设（e，…，ed′）是Aff（D）（这是Rd的子向量空间）和φ：（λ，…，λD′）的正交基∈ Rd′→ ∑d′i=1λiei∈ Aff（D）。然后是各向异性（回想一下，（e，…，ed′）是Aff（D）的基础）。由于φ是线性的，且空间被认为是有限维的，因此它也是Rd′和Aff（D）之间的同胚。由于不可压缩引理5.10-1（D）是Rd′的一个紧曲面。所以存在一些c≥ 0，使得对于所有h=∑d′i=1λiei∈ D、 |λi |≤ 对于所有i=1，d′。我们完成向量族（e，…，ed′）以获得Rd的正交基，用（e，…，ed′，ed′+1，…）ed表示。

总而言之ω∈ Ohm , 设（yi（ω））i=1，。。。，在此基础上Y（ω）的坐标。现在让h∈ 这是固定的。然后是H2X∈ D 对于某些（λ，…λd′）的情况，Dandh2x=∑d′i=1λi∈ 带|λi |的Rd′≤ C对于所有i=1，d′。注意ash2x∈ D、 λi=0表示i≥ d′+1。由于（e，…，ed）是Rd的正交基，我们得到了所有ω∈Ohm1+h2xY（ω）=1+d′i=1λiyi（ω）≤ 1+∑d′i=1 |λi | yi（ω）|≤ 1+c∑d′i=1 | yi（ω）|。因此，从所有ω的假设5.4∈Ohm 我们明白了+ω、 1+h2xY（ω）≤ 五+ω、 1+c∑d′i=1 | yi（ω）|.我们设定（·）：=V+ω、 1+c∑d′i=1 | yi（ω）|d′>0+V+（·，1）+C（·）。当d′=Dim（Aff（d））时，很明显L不依赖于x。同样清楚的是L是H-可测的。然后使用（68），（69）和（70）我们得到所有ω∈OhmV+（ω，x+hY（ω））≤ （（2x）γK+1）L（ω）。请注意，如果x 6=0且Dim（Aff（Dx））>0，则在上述不等式中使用L中的第一项。对于Dim（Aff（Dx））=0和x=0且Dim（Aff（Dx））>0的情况，第二个和第三个都存在。根据假设5.7和5.9，E（V+（·，1）+C（·））<∞, 还有待证明d′>0意味着E五+·, 1+c∑d′i=1 | yi（·）|< ∞.引入W，其在（e，…，ed′）上的坐标为1或-（ed′+1，…ed）上的1和0。然后W Aff（D）和W的向量用θjj表示∈ {1，…，2d′}。设θω为向量，其（e，…，ed′）上的坐标为（符号（yi（ω）））i=1。。。（ed′+1，…ed）上的d′和0。那么θω∈ 我们明白了+ω、 1+c∑d′i=1 | yi（ω）|= V+（ω，1+cθωY（ω））≤d′Xj=1V+（ω，1+cθjY（ω））。为了证明这一点∞ 这足以证明如果所有1的d′>0≤ J≤ 2d′，EV+（·，1+cθjY（·））<∞.还记得θj吗∈ Aff（D）。设ri（D）={y∈ Dα>0 s.t Aff（D）∩ B（y，α） D} 表示D的相对内部。作为非凸和非空（回忆一下D′>0），ri（D）也是非空和凸的，我们将一些*∈ ri（D）。我们证明了这一点*∈ ri（D）。

设α>0为Aff（D）∩ B（e）*, α)  丹格∈ Aff（D）∩ B（e）*,α). 然后是2g∈ Aff（D）∩ B（e）*, α） （回想一下，Aff（D）实际上是一个v形空间）和th us 2g∈ D.为非凸和0∈ D、 我们得到了g∈ Dand Aff（D）∩ B（e）*,α)  这有什么好处*∈ ri（D）。现在让εjbe使得εj（cθj-E*) ∈ B（0，α）。很容易看出，这里的B（y，α）是以y为中心，半径为α的Rd球。选择εj∈ (0, 1). 然后作为“ej:=e*+εj（cθj）- E*) ∈ Aff（D）∩ B（e）*,α） （还记得θj吗∈ W Aff（D）），我们得出∈ D.使用（23）我们得到了对于Q-几乎所有ωV+（ω，1+cθjY（ω））=V+（ω，1+e*Y（ω）+（cθj）- E*)Y（ω））≤εjγK五+ω、 εj（1+e）*Y（ω））+εj（cθj- E*)Y（ω）++ C（ω）≤εjγK五+ω、 +e*Y（ω）+εj（cθj）- E*)Y（ω）++ C（ω）≤εjγKV+（ω，1+\'ejY（ω））+C（ω））,其中第二个不等式来自于1+e*Y（·）≥ 0 Q-a.s（回想一下e*∈ ri（D））和假设4.1中V的单调性。请注意，即使1+cθjY（ω）<0 si nce（23）（见备注5.8）且V的单调性对所有x都成立，上述不等式仍然成立∈ R.根据假设5.9，我们得到EV+（·，1+）-ejY（·））<∞ （回想一下“ej”∈ D） 假设5.7意味着EC<∞, 因此EV+（·，1+cθjY（·））<∞ （25）被证明适用于h∈ Dx。现在让h∈ Hxandh′在D上的正交投影，然后hY（·）=h′Y（·）Q-a.s（见备注5.3）。很明显，h′∈ 因此V+（·，x+hY（·））=V+（·，x+h′Y（·））Q-a.s和（25）也适用于h∈ Hx。最后，在定理4.16的证明中使用了以下引理。引理7.19假设（NA）成立。让φ∈ Φvx，φT≥ 0 P-a.s，然后vx，φt≥ 0 Pt-a.s.证明。假设有一些t，使得Pt（Vx，φt≥ 0）<1或相当于Pt（Vx，φt<0）>0，且设n=sup{t|Pt（Vx，φt<0）>0}。然后Pn（Vx，φn<0）>0，对于所有s≥ n+1，Ps（Vx，φs≥ 0) = 1. L etψs（ω）=0如果s≤ n和ψs（ω）=1Aφs（ω）如果s≥ n+1与A={VΦn<0}。

然后v0，ψs=sXk=1ψsSs=sXk=n+1ψsSs=1AVx，φs- Vx，φn如果是≥ n+1ps（Vx，φs）≥ 0）=1，并且在，-VΦn>0因此PT（V0，ψT≥ 0=1和V0，ψT>0在A上。根据（通常的）富比尼定理PT（A）=Pn（Vx，φn<0）>0，我们得到了一个套利机会。因此，无论如何≤ T，Pt（Vx，φT≥ 0) = 1. 致谢。L.Carassus感谢LPMA（UMR 7 599）的支持。M.R\'asonyi得到了亨加里安科学院“Lend–ulet”项目LP2015-6的资助。参考资料c。D.阿利普兰蒂斯和K.C.边境。有限维分析：搭便车指南。Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学的基本原理]。施普林格·维拉格，柏林，第三版，2006年。Alain Bensoussan、Ab el Cadenillas和Hyeng Keun-Koo。创业者在努力和项目上的决策具有一个不可超越的目标函数。数学奥普。第40（4）号决议：2015年第902–914页。内政部：10.1287/摩尔。2014.0702. 统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1287/moor.2014.0702.V.I.博加乔夫。测量理论，第二卷。斯普林格·维拉格，柏林，2007年。L.Carassus和M.R\'asonyi。离散时间金融市场中非凹效用函数的最大化。运筹学数学，在线发布ISSN 1526-54712015。L.Carassus、R\'asonyi M.和A.M.R odrigues。离散时间正实轴上的非凹效用最大化。《数学与金融经济学》，9（4）：325–3492015。G.C.阿利耶和R-A.达纳。当代理人具有法律不变量效用时，未定权益的最优需求。数学《金融》，21:169-2012011。C.卡斯坦和瓦拉迪埃先生。凸分析和可测多函数，第580卷。柏林斯普林格，197年。R.C.D.阿兰、A.莫顿和W.威林格。随机证券市场模型中的等价鞅测度与无套利。《随机统计学》杂志，2 9:185-2011990。C.德拉切里和P.-A.迈耶。概率和潜力。北荷兰，阿姆斯特丹，1979年。霍尔默和A。

希德。随机金融：离散时间导论。Walter de Gruyter&Co.，柏林，2002年。他和周小燕。累积前景理论下的投资组合选择：一种分析处理。《管理科学》，57:315–331，2011年。J.贾科德和A.N.希里亚耶夫。局部鞅和离散时间情形下的基本资产定价定理。金融斯托赫。，2:259–273, 1998.H.Jin和X.Y.Zhou。连续时间内的行为投资组合选择。数学《金融》，18:385-4262008。D.O.克拉姆科夫和W.沙切迈耶。效用函数的渐近弹性与完全市场中的最优投资。安。阿普尔。Probab。，9:904–950, 1999.I.莫尔查诺夫。随机集理论。Springer Verlag，伦敦，2005年。纳茨先生。离散时间模型不确定性下的效用最大化。数学资金发布日期：2014年10月1111日/ma fi.12068日。M.R\'asonyi和L.Stettner。离散时间金融市场模型中的效用最大化问题。安。阿普尔。Probab。，15 :1367–1395, 20 05.M.R\'asonyi和L.Stettner。关于离散时间金融模型中效用最大化问题最优投资组合的存在性。在：卡巴诺夫，Y。；利普斯特，R。；斯托亚诺夫，J.（编辑），从随机微积分到数学金融，斯普林格。，第589-6082006页。R.T.罗卡费拉和R.J.-B.韦茨。《变分分析》第317卷，《数学基本原理》。施普林格·维拉格，柏林，1998年。ISBN 3-540-62772-3。M-F.圣贝乌。关于冯·诺依曼-奥曼定理的推广。J.功能分析，17（1）：112-129，1974年。