非凹最优投资与无套利：一个理论测度

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英文标题：
《Non-concave optimal investment and no-arbitrage: a measure theoretical
  approach》
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作者：
Romain Blanchard, Laurence Carassus, Mikl\\\'os R\\\'asonyi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider non-concave and non-smooth random utility functions with do- main of definition equal to the non-negative half-line. We use a dynamic pro- gramming framework together with measurable selection arguments to establish both the no-arbitrage condition characterization and the existence of an optimal portfolio in a (generically incomplete) discrete-time financial market model with finite time horizon. In contrast to the existing literature, we propose to consider a probability space which is not necessarily complete.
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中文摘要：
我们考虑定义为非负半直线的非凹和非光滑随机效用函数。我们使用一个动态规划框架，结合可测量的选择参数，在一个具有有限时间范围的（一般不完全）离散时间金融市场模型中，建立了无套利条件特征和最优投资组合的存在性。与现有文献相比，我们建议考虑一个不一定完全的概率空间。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Non-concave_optimal_investment_and_no-arbitrage:_a_measure_theoretical_approach.pdf (546.82 KB)

2022-5-10 20:52:44 上传

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关键词：无套利 Mathematical Quantitative mathematica Probability

非集中最优投资和无风险：一种测量理论方法劳伦斯·卡拉苏斯勒，法国兰斯香槟大学阿登分校。carassus@univ-兰斯。弗朗西罗曼兰斯香槟大学阿登分校的frRomain BlanchardLMR。blanchard@etudiant.univ-reims。弗米克尔·奥斯·阿桑尼姆塔·阿尔弗·雷恩伊数学研究所，Hungaryrasonyi@renyi.mta.huNovember10，2021摘要我们考虑定义域等于非负半线的非凹和非光滑随机效用函数。我们使用一个动态规划框架和可测量的选择参数，在一个具有有限时间Horizon的（一般不完全）离散时间金融市场模型中，建立无套利条件特征和最优投资组合的存在性。关键工作：无套利条件；非凹效用函数；最佳投资AMS 2000主题分类：初始93E2 0、91B70、91B16；次级91G10、28B201简介我们考虑在多资产和离散时间金融市场交易的投资者。我们重新审视了两个经典问题：无套利的特征和投资者终端财富预期效用的最大化。我们考虑非负半线上定义的一般随机、可能是非凹和非光滑的效用函数U（可以是“S”形的，但我们的结果适用于更广泛的一类效用函数，例如分段凹函数），我们提供了充分的条件来保证最优策略的存在。类似的优化问题构成了近年来的一个重点研究领域，如Bensoussan等人（2015年）、何和周（2011年）、金和周（2008年）、Carlier和Dana（2011年）。我们正在Carassus et al.（2015）的背景下工作，并移除Carassus et al.（2015）的某些限制性假设。

此外，我们使用的方法不同于R\'asonyi和Stettner（2005年）、R\'asonyi和Stettner（2006年）、Carassus和R\'asonyi（2015年）以及Ca ra ssus等人（2015年），在这些方法中，类似的多步骤问题得到了处理。与现有文献相比，我们建议考虑一个不一定完全的概率空间。我们从几个方面扩展了Carassus等人（2015）的论文。首先，我们提出了一个替代的可积条件（见假设4.8和命题6.1），以替代Carassus等人（2015）中规定的相当严格的可积条件，即-U（·，0）<∞. 性质U（0）=-∞ 适用于许多重要的（非随机和凹）效用函数（对数，-xα表示α<0）。这是一个相当自然的要求，因为它表达了投资者对违约的恐惧（即达到0）。我们还引入了新的（较弱的）弹性假设（见假设4.10）。特别是，假设4.10适用于凹函数（见备注4.15），因此我们的结果将R\'asonyi和Stettner（2006）中获得的结果扩展到随机效用函数和不完全概率空间。其次，我们不要求所有初始财富的价值函数都是有限的，正如Carassu s等人（2015）所假设的那样；相反，我们只假设了限制性更小、更容易处理的假设4.7。最后，我们没有像Carassus等人（2015）那样使用一些Carath’eodory效用函数U（即在ω中可测量且在x中连续的函数），而是考虑在ω中可测量且在x中上半连续（在本文其余部分中为usc）的函数。由于U也是非递减的，我们指出这意味着U在（ω，x）中是联合可测量的。

注意，在完全西格玛代数的情况下，U是一个正规被积函数（参见Rockafellar and Wets（1998）中的定义14.27或Molchanov（2005）中第5章的第3节，以及Rockafellar and Wets（1998）中的推论14.34）。这将在动态规划部分发挥重要作用，以获得某些可测性性质。允许非连续U在金融数学文献中并不常见（尽管它在优化中很常见）。我们强调，这种普遍化有可能模拟维斯特的行为，在达到理想的财富水平后，这种行为可能会突然改变。这种变化可以用给定水平上U的跳跃来表示。为了解决我们的优化问题，我们使用了动态规划，如R\'asonyi和Stettner（2005）、R\'asonyi和Stettner（2006）、Carassus和R\'asonyi（2015）以及Carassus等人（2015）所述，但在此我们提出了一种不同的方法，提供了更简单的证明。如Nutz（2014）所述，我们考虑了Rd中策略的一个周期情况。然后我们使用动态规划和可测量的选择函数，即Aumann定理（例如，参见Sainte Beuve（1974）中的推论1）来解决多周期问题。我们的模型化(Ohm, F、 F，P）比Nutz（2014）更一般，因为只有一个概率测度，我们不必假设Borel空间或解析集。我们还使用同样的方法在可能不完全的Sigma代数的背景下，对无套利特征的经典结果（seeR’asonyi和Stettner（2005）以及Jacod和Shiryaev（1998））进行了重新验证。我们不处理在整个实线上定义效用的情况（使用一组类似的假设），因为这会使论文负担过重。

这有待进一步研究。本文的结构如下：第二部分介绍我们的设置；第三部分是关于无套利的主要结果；第4节介绍了终端财富预期效用最大化的主要定理；第5节确定了单周期情况下最优策略的存在性；我们在第6节证明了效用最大化的主要定理。最后，第7节收集了一些技术结果和证明，以及关于随机可测性的元素。2设置固定时间范围T∈ 让我们(Ohmt） 一,≤T≤空间序列a和（Gt）1≤T≤T是一个西格玛代数序列，其中GT是上的西格玛代数Ohmt对于所有t=1，T对于t=1，T，我们用Ohmt次笛卡尔积Ohmt=Ohm× . . . × Ohmt、 元素Ohm斜纹可以用ωt=（ω，…，ωt）表示（ω，…，ωt）∈ Ohm× . . . × Ohmt、 我们还用乘积sigma代数来表示OhmtFt=G . . .  Gt。为了简单起见，我们认为状态t=0是确定性的，并且Ohm:= {ω} andF=G={, Ohm}. 为了避免繁重的符号，我们将在本文的其余部分省略ω中的依赖关系。我们用过滤系数（Ft）0表示≤T≤T.设Pbe为Fan上的概率测度，qt+1为Gt+1×上的随机核Ohmt对于t=1，T-1.也就是说，我们假设所有ωt∈ Ohmt、 B∈ Gt+1→ qt+1（B |ωt）是对Gt+1和所有B的概率度量∈ Gt+1，ωt∈ OhmT→ qt+1（B |ωt）是Ft可测的。这里，我们不假设Gt包含Pand的空集，而Gt+1包含所有ωt的qt+1（.|ωt）的空集∈ Ohmt、 然后我们定义∈ Ft随机核的Fubini定理（见引理7.1）给出的概率。Pt（A）=ZOhmZOhm· · ·ZOhmtA（ω，…，ωt）qt（dωt |ωt）-1） ·q（dω|ω）P（dω）。（1） 终于(Ohm, F、 F，P）：=(OhmT、 FT，F，PT）将是我们的基本测量空间。

PTT下的预期将用EPt表示；当t=t时，我们只需写E。如果我们选择Ohm 在波兰空间中，任何概率测度P都可以分解为（1）的形式（参见Dellacherie and Meyer（1979）III.70-7中的测度分解定理）。从现在起，一些数字或随机变量X的正（负）部分用X+表示（负）-). 我们还将为任意随机变量X和（可能的随机）函数f的（f（X））写f±（X）。在本文的其余部分，我们将使用广义积分：对于某些ft：OhmT→ R∪ {±∞}, 可测量的，这样的Ohmtf+t（ωt）Pt（dωt）<∞ 奥尔Ohmtf-t（ωt）Pt（dωt）<∞, 我们去尼兹Ohmtft（ωt）Pt（dωt）：=ZOhmtf+t（ωt）Pt（dωt）-ZOhmtf-t（ωt）Pt（dωt），其中等式在R中成立∪ {±∞}. 我们参考附录引理7.1、定义7.2和命题7.4了解更多细节和属性。特别是，如果ftis是非负的，或者ftis是非负的Ohmtf+t（ωt）Pt（dωt）<∞ （这将是本文中感兴趣的两个案例）我们可以应用Fubini的OremandOhmtft（ωt）Pt（dωt）=ZOhmZOhm· · ·ZOhmtft（ω，…，ωt）qt（dωt |ωt-1） q（dω|ω）P（dω），其中等式在[0]中成立，∞] 如果FTI为非负且处于[-∞, ∞) ifROhmtf+t（ωt）Pt（dωt）<∞.最后，我们给出了概率空间完成的一些符号(Ohmt、 对于一些t∈{1，…，T}。我们将用npt表示ptt的集合Ohmti。e NPt={N OhmTM∈ 纽约时报M和Pt（M）=0}。LetFt={A∪ N、 A∈ 纽约时报∈ NPt}和PT（A）∪ N） =Pt（A）表示A∪ N∈ 那么众所周知，PTI是一种与Pton Ft一致的FTA测量方法(Ohmt、 Ft，Pt）是一个完全概率空间，且p限制为npt等于零。对于t=0，T- 1，设Ξt为Ft可测随机变量映射集Ohm下面的引理建立了条件期望和内核之间的联系。

为此，我们引入了FTt，即Ohmt与Ft相关，定义为ftt=G . . .  燃气轮机 {, Ohmt+1}。 {, OhmT} 。设Ξttt是来自OhmTto路，让我们来看看：OhmT→ Ohmt、 Xt（ω，…，ωt）=ωt对应于t的坐标映射。然后FTt=σ（X，…，Xt）。所以∈ ΞTtif且仅当存在一些g时∈ Ξtsuch认为h=g（X，…，Xt）。这意味着h（ωT）=g（ωT）。为了便于旋转，我们将识别h和g，以及Ft、FTt、Ξ和ΞTt。引理2.2Let0≤ s≤ T≤ 莱思∈ Ξtsuch thatROhmth+dPt<∞thenE（h | Fs）=~n（X，…，Xs）Psa。s、 ν（ω，…，ωs）=ZOhms+1×。。。×Ohmth（ω，…，ωs，ωs+1，…，ωt）qt（ωt |ωt-1) . . . qs+1（ωs+1 |ωs）。从现在起，我们将Fub-ini定理称为随机核的Fu-bini定理（参见引理7.1，命题7.4）。证据为完整起见，附录第7.3节报告了证据。让{St，0≤ T≤ T}b e是一个d维适应过程，代表考虑中的金融市场中d风险证券的价格。为了简单起见，还存在一种无风险资产，我们假设其固定价格等于1。如果没有这个假设，下面的所有开发都可以使用折扣价格进行。符号St:=St- 圣-1将经常使用。如果x，y∈ 然后连接xy代表它们的标量积。符号|·|表示Rd（或R）上的欧几里德范数。交易策略由d维可预测过程（φt）1表示≤T≤T、 式中，φit表示投资者在时间T时持有的资产i；可预测性意味着φt∈ Ξt-1.所有可预测的交易策略家族用Φ表示。我们假设交易是自我融资的。

当无风险资产的价格为常数1时，投资组合的价值tφ从初始资本x开始∈ R由vx给出，φt=x+tXi=1φi硅。3无套利条件以下无套利条件或NA条件为标准，相当于具有有限期限的离散时间市场中存在风险中性措施，见Da lang等人（1990）。（NA）如果V0，φT≥ 0 P-a.s.对于某些情况∈ Φ那么V0，φT=0 P-a.s.备注3.1在R\'asonyi和Stettner（2006）的命题1.1中证明，（NA）等同于无套利假设，该假设规定，任何投资者都不应被允许在没有任何成本和风险的情况下进行投资，即使有预算约束：≥ 0如果φ∈ Φ等于vx，φT≥ xa。s、 ，那么Vx，φT=xa。s、 我们现在提供关于（NA）条件及其“具体”局部特征的经典工具和结果，见命题3.7，我们将在本文的其余部分使用。我们从集合Dt+1（种子定义3.2）开始，其中Dt+1（ωt）是包含支持St+1（ωt，）在qt+1（.|ωt）下。如果Dt+1（ωt）=rdt，那么直观地说，不存在冗余资产。否则，对于φt+1∈ Ξt，可以用正交投影φ来代替φt+1（ωt，·）⊥Dt+1（ωt）上的t+1（ωt，·），而不改变自φt+1（ωt）以来的投资组合值St+1（ωt，·）=φ⊥t+1（ωt）St+1（ωt，·），qt+1（·|ωt）a.s.，见下面的备注5.3和引理7.18，以及F¨ollmer和Schied（2002）的备注9.1。定义3.2(Ohm, F） 是一个可测空间和（T，T）一个拓扑空间。随机集R是一个集值函数，它分配给每个ω∈ Ohm T的子集R（ω）。我们写道：Ohm T。我们说，如果对于任何开集O∈ T{ω∈ Ohm, R（ω）∩ O 6=} ∈ F.定义3.3让0≤ T≤ 我不能确定。

我们定义了eDt+1的随机集（见定义3.2）：OhmtRdbyeDt+1（ωt）：=\\nA Rd，闭合，qt+1St+1（ωt，）∈ A |ωt）=1o、 （2）对于ωt∈ Ohmt、 eDt+1（ωt） RDI是对分销的支持qt+1（·|ωt）下的St+1（ωt，·）。我们还定义了Random集合Dt+1：OhmtRdbyDt+1（ωt）：=AffeDt+1（ωt）, （3） 式中，Aff表示集合的af fi外壳。下面的引理建立了Dt+1和Dt+1的一些重要性质，特别是图（Dt+1）∈英尺 B（路）。这个结果将是证明我们大多数结果的核心。引理3.4Let0≤ T≤ Tbe固定。LeteDt+1：OhmtRdandDt+1：OhmtRdbe定义3.3的（2）和（3）中定义的随机集。EDT+1和DT+1都是非空、闭值和FT可测量的随机集（见定义3.2）。特别是图（Dt+1）∈ 英尺 B（路）。证据附录第7.3节报告了证据。在引理3.5中，我们得到了一个众所周知的结果：对于ωt∈ Ohmt固定且在（NA）的局部版本下，Dt+1（ωt）是Rd的一个向量子空间（例如，参见F¨ollmer and Schied（2002））的定理1.48）。然后在引理3.6中，我们证明了在（NA）假设下，对于Ptalmost allωt，Dt+1（ωt）是Rd的一个向量子空间。我们还提供了（NA）条件的局部版本（见（5））。注意引理3.6是R\'asonyi和Stettner（2005）中命题3.3与引理2.2结合的直接结果（见备注3.10）。我们提出了与我们的框架和方法一致的引理3.5和3.6的交替证明。引理3.5Let0≤ T≤ Tandωt∈ Ohmtbe固定。假设∈ Dt+1（ωt）\\{0}qt+1（h）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）<1。然后呢∈ Dt+1（ωt）和setDt+1（ωt）实际上是一个向量曲面。证据附录第7.3节报告了证据。引理3.6假设（NA）条件成立。

那么就一切而言≤ T≤ T- 1.存在完整的度量集Ohmtna1这是所有ωt的结果∈ OhmtNA1,0∈ Dt+1（ωt），即Dt+1（ωt）是rd的向量空间。此外，对于所有ωt∈ Ohm等等∈ 我们得到qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1=> qt+1（hSt+1（ωt，·）=0 |ωt）=1。（4） 特别是，如果ωt∈ OhmtNA1andh∈ Dt+1（ωt）我们得到了th-atqt+1（h）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1=> h=0。（5） 证据。让0≤ T≤ 我不能确定。回想一下，FTI是FTA的Pt完成，PTI是PTSoft的（唯一）扩展。我们引入以下随机集∏t∏t：=ωt∈ OhmTH∈ Dt+1（ωt），h6=0，qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1.假设∏t∈Ftand that Pt（πt）=0（这将在下面得到证明）。L etωt∈ Ohmt∏t.假装0∈ Dt+1（ωt）是引理3.5∏tand定义的直接结果。我们现在证明（4）。让h∈ Rd应固定为qt+1（hSt+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1。我们证明了qt+1（hSt+1（ωt，·）=0 |ωt）=1。如果h=0，这很简单。如果h∈ Dt+1（ωt）\\{0}，ωt∈ 是不可能的。现在如果/∈ Dt+1（ωt）和h6=0，设h′是h在Dt+1（ωt）上的正交投影（回想一下，因为ωt/∈ πtDt+1（ωt）是一个向量子空间）。我们首先证明qt+1（h′）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1。事实上，如果不是这样的话，集合B:={ωt+1∈ Ohmt+1，h′St+1（ωt，ωt+1）<0}将验证qt+1（B|ωt）>0。SetLt+1（ωt）：=Dt+1（ωt）⊥. （6） As（h）- h′）∈ Lt+1（ωt）（回想一下，Dt+1（ωt）是一个向量子空间），通过引理7.18，集合a:={ωt+1∈Ohmt+1，（h- h′）St+1（ωt，ωt+1）=0}验证qt+1（A |ωt）=1。因此我们可以得到qt+1（A∩B |ωt）>0，这意味着qt+1（hSt+1（ωt，）≥ 0 |ωt）<1，矛盾。因此qt+1（h′）St+1（ωt，·）≥0 |ωt）=1。如果h′6=0，则表示为h′∈ Dt+1（ωt），ωt∈ 是矛盾的。