非凹最优投资与无套利：一个理论测度

这意味着Ohmt~ndPt=ROhmtdp并使用Fubini定理（见引理7.1）得到Ohmt+1U+t+1（ωt+1，x+h（ωt）St+1（ωt+1）Pt+1（dωt+1）=ZOhmtZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+h（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）Pt（dωt）=ZOhmtZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，1+h（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）Pt（dωt）≥Z{I6=}(+∞)Pt（dωt）=+∞ .因此我们必须有pt（{I6=}) = 0 i.e Pt（{i=}) = 1.自从{I=} ∈ 确实存在Ohm色调 {I=} 以至于Ohm色调∈ Ftand Pt(Ohm色调）=Pt（{I=}) = 1.对于al lωt∈ Ohmtint，假设5.9在t+1的情况下是正确的，我们现在可以定义OhmT OhmteOhmt:=Ohm特娜∩ Ohm色调∩ OhmtC。（39）很明显OhmT∈ Ft，Pt（e）Ohmt） =1，证明完整。下一个命题使我们能够简化将在第6.1条中进行的归纳论证。提案6.9假设（NA）条件和假设4.7、4.8和4.10成立。第（34），（35），（36）和（37）个堡垒=TOhmT=Ohm.证据我们从（34）开始表示t=t。当UT=U（见（30））时，使用定义4.1，x∈ R→ UT（ωT，x）定义良好，不递减，且usc在R上，T=T的（34）为真。我们现在证明（35）对于t=ti.ethat=U是FT B（R）-可测量。为了做到这一点，我们证明了对于所有ωT∈ OhmT、 x∈ R→ UT（ωT，x）是右连续的，并且对于所有x∈ R、 ωT∈ OhmT→ UT（x，ωT）是FT可测量的（这只是定义4.1的第二点），因此我们可以使用引理7.16并建立T=T的（35）。设ωT∈ OhmTbe固定。从（34）到T，我们刚刚证明了，x∈ R→ UT（ωT，x）是非递减的，在R上是usc，因此应用引理7.12我们得到了that x∈ R→ UT（ωT，x）在R上是右连续的。我们现在证明（36）对T=T是真的。让ξ∈ ΞT-1和H=x+PT-1t=1φtSTX在哪里≥ 0, φ∈ Ξ,. . . ,φT-1.∈ ΞT-2和PT（H（·）+ξ（·）圣（·）≥ 0) = 1. 设（φξi）1≤我≤T∈ Φ由φξT=ξ和φξi=φifor 1定义≤ 我≤ T- 那么Vx，φξT=H+ξ就这样站着∈ Φ（x）。

利用命题6.1，我们得到EU+（·，Vx，φξT（·））=EU+T（·，H（·）+ξ（·）ST（·））<∞ （回想一下U=UT）。因此（36）被验证为fort=T。最后，根据假设4.10，（37）对于t=t是正确的。下一个命题证明，如果（34），（35），（36）和（37）在t+1时成立，那么它们在某些选择井也成立Ohmt、 提案6.10Let0≤ T≤ T- 1固定。假设（NA）条件成立，且（34）、（35）、（36）和（37）为真att+1（其中UT+1是从给定值定义的）Ohmt+1参见（31））。然后就有了OhmT∈ FtwithPt（e）Ohmt） 例如：（34）、（35）、（36）和（37）是真的。此外，对于所有H=x+Pts=1φsSs，withx≥ 0和φ∈ Ξ, . . . , φt∈ Ξt-1，这样的pt（H≥ 这里有一些OhmtH∈ Ftsuch THAP（e）OhmtH=1，eOhmtHEOhm和某个+1∈ Ξt对于所有ωt∈EOhmtH，bhHt+1（ωt）∈ Dt+1H（ωt）（ωt）和ut（ωt，H（ωt））=ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。（40）证据。首先，我们定义Ohm证明（34）和（35）对Ut是正确的。应用命题6.7，我们得到所有ωt∈EOhmt、 函数（ωt+1，x）→ Ut+1（ωt，ωt+1，x）满足引理5.11和定理5.13的假设Ohm = Ohmt+1，H=Gt+1，Q=qt+1（·|ωt），Y（·）= St+1（ωt，·），V（·，y）=Ut+1（ωt，·，y），其中V定义在Ohmt+1×R。特别是ωt∈EOhmT所有h∈ Ht+1x（ωt），回忆（25）我们有Ohmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）<∞. （41）现在，我们介绍一下：Ohmt×R定义的字节（ωt，x）：=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0，∞)（x） 1eOhmt（ωt）suph∈Dt+1x（ωt）ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。从（41）开始，UTI得到了很好的定义（广义上）。首先，我们证明Utis Ft R-可测量的，然后我们将证明这意味着Utis Ft R-可测的井选线Ohmt、 为了证明这一点 B（R）-可测量，在证明它是扩展的Carath’eodory函数（见定义7.15）后，我们使用引理7.16（和备注7.17）。

应用定理5.13，我们得到所有ωt∈EOhmt、 函数x∈ R→Ut（ωt，x）是非递减的，usc在R上。实际上，这对所有ωt都是正确的∈ Ohm青岛市郊Ohmt、 x∈ R→ Ut（ωt，x）在[0]上是等于零的常数，∞) 以及-∞ 在(-∞, 0).现在让我们来看ωt∈ Ohmtbe固定。作为x∈ R→Ut（ωt，x）是非递减的，在R上usc我们可以应用引理7。我们得到了x∈ R→Ut（ωt，x）在R上是右连续的≥ 0固定，应用外稃6。11，H=x（此处OhmtH=eOhmt） 我们得到ωt∈ OhmT→ 苏菲∈Rdux（ωt，h）是可测的。最后，根据对ux的定义，我们得到了UT（ωt，x）=(-∞)1(-∞,0)+ 1[0,∞)（x） 1eOhmt（ωt）suph∈Rdux（ωt，h），这意味着ωt∈ OhmT→Ut（ωt，x）对于所有x都是Ft可测量的∈ 最后，我们证明了Ft B（R）——Ut的可测量性。为此，我们应用引理7.13，得到了一些Ohmtmes∈ 太好了(Ohmtmes）=1和一些英尺 R-可测量EUT：Ohmt×R→ R∪ {±∞} 对所有x来说都是这样∈ R、 {ωt∈ Ohmt、 Ut（ωt，x）6=eUt（ωt，x）} Ohmt\\Ohmtmes。我们现在可以进行设计Ohm坦德塞特Ohmt:=eOhmT∩ Ohmtmes。（42）回想一下，右边的积分是广义定义的。很明显OhmT∈ F和Pt（e）Ohmt） =1此外，回顾（31）、备注5.5（见（21））以及我们对所有x的定义∈ R、 ωt∈ OhmtUt（ωt，x）=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0，∞)（x） 一,Ohmtmes（ωt）1eOhmt（ωt）suph∈Ht+1x（ωt）ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）=(-∞)1(-∞,0）（x）+1[0，∞)（x） 一,Ohmtmes（ωt）1eOhmt（ωt）suph∈Dt+1x（ωt）ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）=1Ohmtmes（ωt）Ut（ωt，x）+(-∞)1.Ohmt\\Ohmtmes（ωt）1(-∞,0）（x）=1Ohmtmes（ωt）eUt（ωt，x）+(-∞)1.Ohmt\\Ohmtmes（ωt）1(-∞,0）（x）和英国《金融时报》 B（R）-UT的可测性立即出现，即（35）在t时为真。

从第三个等式也可以清楚地看出，（34）对于t是正确的，因为我们已经证明了对于所有ωt∈ Ohmt、 x∈ R→Ut（ωt，x）是定义良好的，非递减的，在R上为usc。我们现在转向关于渐近弹性的假设，即t的（37）。如果ωt/∈EOhmt、 那么（37）是真的，因为（ωt）≥ 0表示所有ωt。让ωt∈EOhmtbe固定。让x≥ 0, λ ≥ 1，h∈ rdqt+1（λx+hSt+1（ωt，）≥0 |ωt）=1是固定的。对于所有ωt+1，对于t+1乘以（37）∈ Ohmt+1，我们有t+1ωt，ωt+1，λx+hSt+1（ωt，ωt+1）≤ λγKUt+1ωt，ωt+1，x++hλSt+1（ωt，ωt+1）+λγCt+1（ωt，ωt+1）。通过整合双方（回忆（41））我们得到了Ohmt+1Ut+1ωt，ωt+1，λx+hSt+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）≤λγKZOhmt+1Ut+1ωt，ωt+1，x++hλSt+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）+λγKZOhmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）。因为Ct（ωt）=ROhmt+1Ct+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）（见引理6.5）和h∈ Ht+1λx（ωt）意味着hλ∈Ht+1x（ωt） Ht+1x+（ωt），我们通过定义Ut（见（31））得到Ohmt+1Ut+1ωt，ωt+1，λx+hSt+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）≤ λγ库特ωt，x++ λγKCt（ωt）。夺取最高荣誉∈ Ht+1λx（ωt）我们得出结论（37）对于t对于x是正确的≥ 0.如果x<0，则（37）通过Ut的定义为真。注意，我们可能有ωt∈ Ohmt\\Ohmt和Ct（ωt）=+∞ 因为（37）不要求Ct（ωt）<+∞ .我们现在证明（40）为Ut。首先，从命题6.7和定理5.13开始OhmTEOhmt、 我们总共有ωt∈EOhm坦德x≥ 0表示存在一些ξ*∈ Dt+1x（ωt）使得ut（ωt，x）=ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+ξ）*St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt），（43），其中右侧的积分定义为广义（回忆（41）和引理5）。11). 设H=x+Pt-1s=1φsSs和x≥ 0和φs∈ Ξsfor s∈ {1，…，t- 1} ，固定为P（H≥ 0) = 1. 删除OhmtH:=eOhmT∩ {ωt∈ Ohmt、 H（ω）≥ 0}. TheneOhmtH∈ F和P（e）OhmtH=1。

我们引入以下随机集ψ：OhmtRdψH（ωt）：=H∈ Dt+1H（ωt）（ωt），Ut（ωt，H（ωt））=ZOhmt+1Ut+1ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1）qt+1（dωt+1 |ωt）,对于ωt∈EOhmtHandψH（ωt）= 否则为了证明（40），为ψH定义一个Ft可测量的选择器就足够了。从ψHand-uH的定义（见（45））中，我们得到（回想一下OhmtHEOhm坦德OhmtH Ohm参见（42）和Ohm薄引理6.11）。图（ψH）=n（ωt，H）∈EOhmtH×Rd∩ 图（Dt+1H），Ut（ωt，H（ωt））=uH（ωt，H）o。从Lemma 6.4我们得到了该图（Dt+1H）∈ 英尺 B（路）。我们已经证明了（ωt，y）→Ut（ωt，y）是Ft B（R）-可测，当H是Ft可测时，我们得到ωt→ Ut（ωt，H（ωt））是可测的。现在应用引理6.11，我们得到了uHis Ft B（Rd）-可测量。图（ψH）的事实∈ 英尺 B（Rd）紧随其后。所以我们可以应用投影定理（参见Castaing and Valadier（1977）中的定理3.23），我们得到{ψH6=} ∈f并使用奥姆-安定理（见Sainte Beuve（1974）中的推论1），证明存在一些可测的hHt+1:{ψH6=} → 所以对于所有ωt∈ {ψH6=},hHt+1（ωt）∈ ψH（ωt）。然后我们将hHt+1全部扩展Ohmt通过设置hHt+1=0开启Ohmt\\{ψH6=}. 现在应用引理7.10，我们得到一些Ft可测量的bHht+1：OhmT→ 还有一些OhmtH∈ 太好了(OhmtH）=1和OhmtH {hHt+1=bhHt+1}。我们现在证明了集合{ψH6=} 是全面的。的确，让ωt∈EOhm这是固定的。用（43）表示x=H（ωt）≥ 0，存在h*（ωt）∈ ψH（ωt）。因此OhmtH {ψH6=} andPt（{ψH6=}) = 1.所以对于ωt∈ OhmtH∩EOhmhaveUt（ωt，H（ωt））=ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+hHt+1（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）=ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。那么布汀OhmtH=eOhmtH∩OhmtHEOhmt（44）（40）被证明为t。我们现在剩下（36）的证明为Ut。让ξ∈ Ξt-1和H=x+Pt-1s=1φsSSX在哪里≥ 0和φ∈ Ξ, . . . , φt-1.∈ Ξt-使Pt（H（·）+ξ（·）圣（·）≥ 0) = 1.

我们得到了一些ωt∈EOhmt、 LetX（ωt）=H（ωt-1） +ξ（ωt）-1)St（ωt）th en X是Ft可测的。我们将（40）应用于X（ωt）（和Dt+1X（ωt）（ωt）），得到了一些ωt∈ OhmT→bht+1（ωt），它是Ft可测量的和Ohm德克萨斯州∈ Ftsuch该Pt（e）OhmtX）=1，并且对于所有ωt∈EOhmtX，qt+1X（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt= 1和ut（ωt，X（ωt））=ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，X（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。利用詹森不等式u+t（ωt，X（ωt））≤ZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，X（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。因此作为Pt（e）OhmtX）=1ZeOhmtXU+t（ωt，X（ωt））Pt（dωt）=ZOhmtU+t（ωt，X（ωt））Pt（dωt）≤ZOhmt+1U+t+1（ωt+1，X（ωt）+bht+1（ωt）St+1（ωt+1））Pt+1（dωt+1）<∞,因为t+1的（36）适用于X=X+Pt-1s=1φsSs+ξSTX在哪里≥ 0, φ∈ Ξ, . . . , φt-1.∈Ξt-2, ξ ∈ Ξt-1和BHT+1∈ Ξt：（36）对于t是证明的。在引理6.10的证明中，下列引理对于解决可测性问题至关重要。引理6.11修正一些≤ T≤ T- 1和X≥ 0.LetH:=x+Pt-1s=1φsSs，在哪里∈ Ξ, . . . , φt-1.∈Ξt-2和pt（H）≥ 0) = 1. 假设（NA）条件成立，且（34）、（35）、（36）和（37）在att+1时为真。勒图：Ohmt×Rd→ R∪ {±∞}定义为（ωt，h）：=ROhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt），if（ωt，h）∈OhmtH×Rd∩ 图（Dt+1H），-∞if（ωt，h）/∈ 图（Dt+1H），否则。（45）其中Dt+1His定义在引理6.4中，以及OhmtH:=eOhmtT{ωt∈ Ohmt、 H（ωt）≥ 0}（定义见（39）Ohmt） 。英国《金融时报》对此进行了定义 B（Rd）-可测且适用于所有ωt∈ Ohmt、 h∈ 研发部→ uH（ωt，h）是usc。Morevover，ωt∈ OhmT→ 嘘∈RduH（ωt，h）是可测的。备注6.12在下面的证明中，我们将证明对于（ωt，h）∈OhmtH×Rd∩ 积分（45）的图（Dt+1H）定义良好。注意，并非所有情况都是如此（ωt，h）∈ Ohm确实，让（ωt，h）固定，使得qt+1（h（ωt）+hSt+1（ωt，·）<0 |ωt）>0。

那么很明显Ohmt+1U-t+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）=∞ 没有进一步的假设，我们无法证明Ohmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）<∞ （很容易找到一些反例），（45）中的积分可能无法很好地定义。我们本可以通过使用公约来规避这个问题∞ - ∞ = -∞ 但我们宁愿避免这样做。证据从t+1处的（35）开始，Ut+1为英尺 Gt+1 B（Rd）-可测量且自H和St+1分别是fta和Ft+1-可测的，我们得到（ωt，ωt+1，h）∈ Ohmt×Ohmt+1×Rd→ Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））也是Ft Gt+1 B（Rd）-可测量。为了证明（ωt，h）∈OhmtH×Rd∩图（Dt+1H）（45）中的积分定义良好，我们引入Euh:（ωt，h）∈OhmtH×Rd∩ 图（Dt+1H）→ZOhmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）。首先，我们展示了广义上的尤希斯。的确，让（ωt，h）∈OhmtH×Rd∩图表（Dt+1H）是固定的。固定在Ohm如命题6.10所示，我们可以证明（41）成立（这里H（ωt）是一个固定数，ωtis fixed）和thu sZOhmt+1U+t+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）<∞,因此，euHis的定义很明确（但可能有一定的价值）。我们现在证明uHis Ft B（Rd）-可测量。我们可以将命题7.6（iv）应用于S=OhmtH×Rd∩图（Dt+1H），其中f（ωt，h，ωt+1）等于U±t+1（ωt，ωt+1，h（ωt）+hSt+1（ωt，ωt+1）），因为OhmtH×Rd∩图（Dt+1H）∈ 英尺B（Rd）（见引理6.4）和两者（ωt，h，ωt+1）∈ Ohmt×Rd×Ohmt+1→ U±t+1（ωt，ωt+1，H（ωt）+HSt+1（ωt，ωt+1））是FtB（道路）Gt+1-可测量。所以我们得到了euHis英尺 B（道路）S-可测量，在哪里英尺 B（道路）关于Ft的迹sigma代数 B（Rd）在S上。现在我们扩展euHtoOhm通过设置euH（ωt，h）=-∞ if（ωt，h）/∈ 图（Dt+1H）和euH（ωt，h）=0如果（ωt，h）∈ 图（Dt+1H）和ωt/∈ Ohm第。

自从英尺 B（道路）s 英尺 B（道路），OhmtH∈ Ftand图（Dt+1H）∈ Ft×B（Rd），这个euHis的延伸又是Ft B（Rd）-可测量。很明显，euHand Uh的这种扩展是一致的，证明了Uh的可测性。现在我们来看看南加州大学的房产。设ωt∈ OhmtHEOhmtbe固定。我们将P位置6.7应用于Ut+1，得到ωt∈EOhmt、 函数（ωt+1，x）→ Ut+1（ωt，ωt+1，x）满足引理5.12的假设（见备注6.8）Ohm = Ohmt+1，H=Gt+1，Q=qt+1（·|ωt），Y（·）=St+1（ωt，·），V（·，y）=Ut+1（ωt，·，y），其中V定义在Ohm因此，函数φωt（·，·）由φωt（x，h）=（R）定义在R×rdy上Ohmt+1Ut+1（ωt，ωt+1，x+hSt+1（ωt，ωt+1））qt+1（dωt+1 |ωt）如果x≥ 0和h∈ Dt+1x（ωt）-∞ 否则/。南加州大学位于R×Rd（见（26））。特别是，对于x=H（ωt）≥ 0固定，有趣的活动h∈ 研发部→ uH（ωt，h）=φωt（h（ωt），h）是Rd上的usc。现在是ωt/∈ Ohm如果h，则tH等于0∈ Dt+1H（ωt）（ωt）和to-∞ 否则，引理7.11适用（回想一下，随机集Dt+1His闭值）和h∈ 研发部→ uH（ωt，h）是uscon al l Rd。最后，我们应用Rockafellar and Wets（1998）中的推论14.34，并发现-uHis aFt-normal被积函数。现在根据Rockafellar和Wets（1998）的定理14.37，我们得到ωt∈ OhmT→嘘∈RduH（ωt，h）是可测的，这就是证明。证据定理4.16。我们分三步进行。首先，我们处理一些对证明至关重要的可积性问题。然后，我们通过诱导建立最优策略的候选，并最终确定其最优性。可积性问题∈ Φ（x）=Φ（U，x）（回顾命题6.1）。既然命题6.9成立，我们可以对t=t应用命题6.10- 1，通过反向归纳，我们可以将命题6.10应用于所有t=t- 2.特别是，我们得到（36）对所有0都成立≤ T≤ T

所以选择H=Vx，φt-1和ξ=φt我们得到了（回忆一下注释4.3，来自φ∈ Φ（x）我们得到Pt（Vx，φt（·）≥ 0）=1）ZOhm图+tωt，Vx，φt（ωt）Pt（dωt）<∞. （46）这意味着Ohm啧啧ωt，Vx，φt（ωt）Pt（dωt）是在广义意义上定义的，我们可以应用Fubini定理进行广义积分（见命题7.4）ZOhm啧啧ωt，Vx，φt（ωt）Pt（dωt）=ZOhmT-1ZOhm啧啧ωt-1，ωt，Vx，φt（ωt-1，ωt）qt-1（dωt |ωt）-1） Pt-1（dωt）-1). （47）φ*我们做了一些x≥ 0，并通过归纳法为最优策略构建我们的候选者。我们从t=0开始，用命题6.10中的（40）表示H=x≥ 0.我们设定φ*:=我们得到了（回忆一下）=, Ohm)P（x+φ）*S（.）≥ 0) = 1.U（x）=ZOhmU（ω，x+φ）*S（ω）P（dω）。回想一下（46），上述积分在一般意义上定义得很好。假设直到≥ 1.我们找到了一些线索*∈ Ξ, . . . , φ*T∈ Ξt-还有一些Ohm∈ FOhmT-1.∈ 英尺-因此，对于所有i=1，T- 1.Ohm我EOhmi、 圆周率(Ohmi） =1，对于所有i=0，T- 1，φ*i+1（ωi）∈ Di+1（ωi）和ptx+φ*S（ω）+··+φ*t（ωt）-1)St（ωt）-1，ωt）≥ 0= 最后，对于所有ωt∈Ohm啧啧-1.ωt-1，Vx，φ*T-1（ωt）-1)=ZOhm啧啧ωt-1，ωt，Vx，φ*T-1（ωt）-1) + φ*t（ωt）-1)St（ωt）-1, ·)qt（dωt |ωt）-1） ，其中，积分在广义上得到了很好的定义（见（46））。我们将命题6.10应用于H（·）=Vx，φ*t（·）=Vx，φ*T-1(·) + φ*t（·）St（·）（回忆Pt（Vx，φ）处的th*T≥ 0=1）并且存在Ohmt:=eOhmtVx，φ*T∈ 太好了OhmTEOhmt、 Pt(Ohmt） =1和一些Ft可测ωt→ φ*t+1（ωt）：=bhVx，φ*tt+1（ωt）使得对于所有ωt∈Ohmt、 φ*t+1（ωt）∈ Dt+1（ωt）qt+1（Vx，φ*t（ωt）+φ*t+1（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）=1，Rockafellar和Wets（1998）的推论14.34仅适用于完整的σ-代数。这就是为什么-uHis是aFt-正规被积函数，而不是Ft-正规被积函数。美国犹他州ωt，Vx，φ*t（ωt）=ZOhmt+1Ut+1ωt，ωt+1，Vx，φ*t（ωt）+φ*t+1（ωt）St+1（ωt，·）qt+1（dωt+1 |ωt）。

（48）自Pt以来(Ohmt） =1，我们通过Fubini定理得到pt+1（Vx，φ*t+1≥ 0）=ZOhmtqt+1（Vx，φ*t（ωt）+φ*t+1（ωt）St+1（ωt，·）≥ 0 |ωt）Pt（dωt）=1，我们可以继续递归。因此，我们找到了φ*= (φ*t） 一,≤T≤Tsch表示对于所有t=0，T，Pt（Vx，φ*T≥ 0）=1，即φ*∈ Φ（x）。我们也发现了一些OhmT∈ 英国《金融时报》，以至于OhmTEOhmt、 Pt(Ohmt） =1，对于所有ωt∈ Ohmt、 （48）适用于allt=0，T- 1.此外，根据命题6.1，φ*∈ Φ（U，x）我们有E（U（Vx，φ*T） ）<∞.φ的最优性*我们证明了φ*分两步进行优化。步骤1：使用φ=φ的（47）*而fact that PT-1(OhmT-1） =1，我们得到e（U（Vx，φ*T） ）=ZOhmT-1ZOhm屠ωT-1，ωT，Vx，φ*T-1（ωT）-1) + φ*T（ωT）-1)ST（ωT）-1，ωT）qT（dωT |ωT）-1） PT-1（dωT）-1） =ZOhmT-1ZOhm啧啧ωT-1，ωT，Vx，φ*T-1（ωT）-1) + φ*T（ωT）-1)ST（ωT）-1，ωT）qT（dωT |ωT）-1） PT-1（dωT）-1).使用（48）表示t=t- 一次又一次的事实是-1(OhmT-1） =1，我们有e（U（Vx，φ*T） ）=ZOhmT-1UT-1.ωT-1，Vx，φ*T-1（ωT）-1)PT-1（dωT）-1).我们迭代T的过程- 1：使用富比尼定理（见（47）），第-2(OhmT-2） =1和（48），我们得到e（U（Vx，φ*T） ）=ZOhmT-2UT-2.ωT-2，Vx，φ*T-2（ωT）-2)PT-2（dωT）-2).因此，通过反向归纳，我们可以得到that（回忆）Ohm:= {ω} E（U（Vx，φ）*T） ）=U（x）。Asφ*∈ Φ（U，x），我们得到U（x）≤ u（x）。那么φ*如果U（x）为最佳值≥ u（x）。第二步：我们再做一次∈ Φ（U，x）（回顾命题6.1）。我们得到了Vx，φt≥ 0 Pt-a.s.表示所有t=1，T（回忆Rema rk 4.3）。Asφ∈ hx我们得到了u（x）≥ZOhmU（ω，x+φ）S（ω））P（dω）。作为P（Vx，φ+φs≥ 0）=1，存在一些P-完全测量挫折Ohm∈ F所有ω都是这样∈BOhm,QVx，φ（ω）+φ（ω）S（ω，·））≥ 0|ω= 1即qφ(ω) ∈ HVx，φ（ω）（ω）|ω= 1（见引理7.9）。那么ω呢∈BOhm, 我们有u（ω，Vx，φ（ω））≥ZOhmUω、 ω，Vx，φ（ω）+φ（ω）S（ω，ω）q（dω|ω）。