随机投资组合理论：机器学习的视角

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英文标题：
《Stochastic Portfolio Theory: A Machine Learning Perspective》
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作者：
Yves-Laurent Kom Samo, Alexander Vervuurt
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we propose a novel application of Gaussian processes (GPs) to financial asset allocation. Our approach is deeply rooted in Stochastic Portfolio Theory (SPT), a stochastic analysis framework introduced by Robert Fernholz that aims at flexibly analysing the performance of certain investment strategies in stock markets relative to benchmark indices. In particular, SPT has exhibited some investment strategies based on company sizes that, under realistic assumptions, outperform benchmark indices with probability 1 over certain time horizons. Galvanised by this result, we consider the inverse problem that consists of learning (from historical data) an optimal investment strategy based on any given set of trading characteristics, and using a user-specified optimality criterion that may go beyond outperforming a benchmark index. Although this inverse problem is of the utmost interest to investment management practitioners, it can hardly be tackled using the SPT framework. We show that our machine learning approach learns investment strategies that considerably outperform existing SPT strategies in the US stock market.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一种新的应用高斯过程（GPs）的金融资产配置。我们的方法深深植根于随机投资组合理论（SPT），这是Robert Fernholz引入的一种随机分析框架，旨在灵活分析股票市场中某些投资策略相对于基准指数的表现。特别是，SPT展示了一些基于公司规模的投资策略，在现实假设下，这些策略在特定时间范围内以概率1跑赢基准指数。在这个结果的激励下，我们考虑了一个反问题，该问题包括（从历史数据中）学习基于任何给定交易特征集的最优投资策略，并使用用户指定的最佳性标准，该标准可能超越了超越基准指数的表现。尽管这个反问题对投资管理从业者来说是最重要的，但它很难用SPT框架来解决。我们表明，我们的机器学习方法学习的投资策略大大优于美国股市中现有的SPT策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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PDF下载：
--> Stochastic_Portfolio_Theory:_A_Machine_Learning_Perspective.pdf (4.8 MB)

2022-5-11 07:19:13 上传

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关键词：随机投资组合理论 投资组合理论 投资组合 机器学习 学习的

随机投资组合理论：机器学习的视角OxfordYLKS@ROBOTS.OX.AC.UKAlexander维武特数学研究所牛津大学定量金融研究所OxfordVERVUURT@MATHS.OX.AC.UKAbstractIn本文提出了高斯过程（GPs）在金融资产配置中的新应用。我们的方法深深植根于随机投资组合理论（SPT），这是Robert Fernholz引入的一种随机分析框架，旨在灵活分析股票市场中某些投资策略相对于基准指数的表现。特别是，SPTHA展示了一些基于公司规模的投资策略，在现实假设下，这些策略在特定时间范围内以概率1跑赢基准指数。在这一结果的激励下，我们考虑了一个反问题，它包括（从历史数据中）学习基于任何给定交易特征集的最优投资策略，并使用用户指定的最佳标准，该标准可能超出了优于基准指数的范围。虽然这个反问题对投资管理从业者来说是最重要的，但它很难用SPT框架来解决。我们的研究表明，我们的机器学习方法学习的投资策略远远优于美国股市现有的SPT策略。1简介随机投资组合理论（SPT）是金融数学中一个相对较新的理论，由Robert Fernholz[2002]发起并在很大程度上发展。有关该油田的调查，请参见Fernholz和Karatzas[2009]和Vervuurt[2015]。在许多其他方面，SPT提供了一种投资组合选择的替代方法，将概率为1的表现优于市场指数（例如，标准普尔500指数）作为其选择标准。

实现这一点的投资策略被称为相对套利，并已在某些类别的市场模型中构建。费恩霍尔茨的“主方程”促进了某些投资组合的表现与市场表现之间几乎肯定的比较，这是一种不受随机积分影响的相对表现的路径分解。上述主方程是SPT投资组合选择的主要优势，因为它允许人们绕过在投资组合优化的经典方法中遇到的显式模型假设和校准以及（规范性）无套利假设的挑战。然而，目前SPT框架仍存在一些问题和局限性。首先，在市场模型的合理假设下发现相对套利的任务很困难，因为这是一个反问题（Wong[2015]也指出了这一点）。也就是说，给定一个投资策略和市场假设，你可以检查这个策略是否是一个相对套利（尽管对于更复杂的策略来说，这很快变得非常困难），但理论本身并没有提出这样的策略。因此，明确构建的相对套利数量仍然很大。在实际环境中，最好将问题倒置，并使用用户指定的性能标准从数据中学习投资策略。实际上，大多数经过测试的投资经理可能会对以下问题有一个强烈的看法：i）用什么绩效指标来评估他们的战略，ii）他们认为所选指标的价值是例外的。选择的绩效指标可能会偏离相对于市场指数的超额回报，例如，通过调整所承担的风险。

类似地，在一定时间范围内[0，T]以概率1跑赢大盘对一些从业者来说可能不够好，因为投资者可能会在最初表现令人失望后退出，使投资经理无法实现长期最优。因此，理想情况下，一个人应该致力于从市场数据中了解，根据用户的观点，什么样的投资策略可能会表现得异常出色。其次，SPT中忽略了几个市场缺陷；最值得注意的是，破产的可能性被排除在外。由于构建的投资策略通常大量投资于小型资本化股票，这对这些投资组合在现实世界中的可实施性构成了极大的限制。然而，从数据中学习最优投资策略很好地应对破产，因为投资最终失败的股票的策略自然会被视为次优。它还允许交易成本的合并，这在理论上具有挑战性，在SPT中尚未解决。最后，迄今为止，SPT的设置基本上都是为仅由市值驱动的投资策略而开发的——还没有任何由其他因素驱动的相对套利构造。虽然这种简化简化简化了理论分析，但这是一个明显的限制，因为从业者确实会考虑更多的市场特征，以利用市场缺陷。我们通过采用贝叶斯非参数方法来解决所有这些问题。我们考虑由交易特征（如市值）的任意空间上定义的函数驱动的广泛投资策略，我们将高斯过程（GP）置于其之上。对于给定的策略，其“例外”的可能性来自用户定义的性能指标（例如：。

超额市场回报率指数、夏普比率等）以及从业人员认为“特殊”的价值。然后，我们使用蒙特卡罗马尔科夫链（MCMC）从GP的后部取样，驱动“例外”策略。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们将介绍SPT的背景。在第3节中，我们介绍了我们的模型，并在第4节中说明了我们的方法学习的策略优于SPT备选方案。最后，我们在第5.2节背景中讨论了我们的发现，并对未来的研究提出建议。我们简要介绍了SPT，定义了其结果适用的市场模型的一般类别，投资组合选择标准是什么，以及如何构建实现该标准的策略。2.1模型在SPT中，股票资本在It^o过程中建模。即n个正股票资本化过程的动力学Xi（·），i=1，n由以下SDE系统描述：dXi（t）=Xi（t）bi（t）dt+dXν=1σiν（t）dWν（t）, （1） 在最近的工作Karatzas和Ruf[2016]中，人们发现这可以被削弱为一个半鞅模型，甚至允许违约。对于t≥ 0和i=1，n、 这里，W（·），Wd（·）是带d的独立标准布朗运动≥ n、 andXi（0）>0，i=1，n是初始资本。我们假设所有过程都在概率空间中定义(Ohm, F、 P），并适应过滤F={F（t）}0≤t<∞这满足了通常的条件，并且包含了由“驱动”布朗运动产生的过滤。我们让读者参考Karatzas和Shreve[1988]中有关托卡斯特微积分的内容。回报率bi（·），i=1。

，n和挥发性σ（·）=（σiν（·））1≤我≤n、 一,≤ν≤d、 是一些非特定的可测量过程，并被假定满足可积性条件nxi=1ZT|bi（t）|+dXν=1（σiν（t））dt<∞, P-a.s.，（2）所有T∈ (0, ∞), 以及非简并条件ε>0:ξTσ（T）σT（T）ξ≥ ε| |ξ| |，（NDε）对于所有ξ∈ Rnand t≥ 0，P-几乎可以肯定。2.2相对套利在这种情况下，我们研究（1）使用投资组合描述的股票市场投资。这些是Rn值和F-逐步可测过程π（·）=π（·），··，πn（·）T、 式中，πi（T）代表时间T时投资于股票i的财富比例。我们将自己限制为只做多的投资组合。这些投资者只投资股票，也就是说，他们在收盘时估值集合的n+n+=十、∈ Rn:x+…+xn=1,0<xi<1，i=1，N; （3） 特别是，没有货币市场。假设每家公司的已发行股份数量为1，在不失去普遍性的情况下，实施π（·）的投资者的相应财富过程Vπ（·）如下（我们将初始财富标准化为1）：dVπ（t）Vπ（t）=nXi=1πi（t）dXi（t）Xi（t），Vπ（0）=1。（4） 在标准普尔500指数中，衡量业绩的主要是市场指数。这是由向量过程u（·）给出的买入和持有组合产生的财富过程Vu（·）=u（·），··，un（·）Tofμi（t）：=Xi（t）X（t）+Xn（t）。（5） 定义1。让T>0。在时间范围内[0，T]对市场的强相对套利是一个投资组合π（·），如Vπ（T）>Vu（T）= 1.

（6） 表达这一概念的一种等效方式是，投资组合π（·）在时间范围内的表现强于u（·）[0，T]。将SPT投资组合选择方法与其他方法进行对比，如均值-方差优化（最初由Markowitz[1952]引入）和预期效用最大化（例如，参见Rogers[2013]），其中对某一性能标准的优化决定投资组合。在SPT中，任何在（6）意义上表现优于市场的投资组合都是相对套利，其表现优于市场的金额在理论上无关紧要。在实践中，人们显然希望这种相对优势尽可能大。Fernholz和Karatzas[2010]、Fernholz和Karatzas[2011]、Ruf[2011]、Ruf[2013]和Wong[2015]曾尝试优化满足（6）的策略类别。然而，这些结果是高度理论化的，很难实现。我们的数据驱动方法通过优化功能生成投资组合类别的用户定义标准，绕过了这些理论复杂性，我们将在下面介绍。2.3功能生成的投资组合Fernholz[1999]介绍并研究了一类特殊的投资组合，称为功能生成投资组合（简称FGP）。考虑一个函数G∈ C（U，R+），其中U是n+这样x7→ xiDilog G（x）是有界的n+表示i=1，n、 那么G是函数生成的组合π（·）的生成函数，给定，对于i=1，n，乘以πi（t）ui（t）=DiG（u（t））G（u（t））+1-nXj=1uj（t）DjG（u（t））G（u（t））。（7） 这里，我们写关于Ith变量的偏导数的dij，写关于Ith和JTh变量的第二偏导数的dij。

Fernholz[1999]的定理3.1断言，当与市场相关测量时，与π（·）对应的财富过程的性能满足P-几乎确定分解（通常称为“Fernholz主方程”）对数Vπ（T）Vu（T）= 日志G（u（T））G（u（0））+ZTg（t）dt，（8）其中数量g（t）：=-nXi，j=1DijG（u（t））2G（u（t））ui（t）uj（t）τuij（t）（9）被称为组合π（·的漂移过程。这里，我们已经写出了相对协方差的τuij（·）；用单位向量表示Rn，定义为1≤i、 j≤ n为τuij（t）：=u（t）- 工程安装Tσ（T）σT（T）u（t）- ej. （10） 在市场模型（1）的适当条件下，对于足够大的T>0，主方程（8）的左侧可以远离零，从而证明π（·）是相对于[0，T]市场的套利。已经证明，一些LFP以这种方式跑赢了市场——见Fernholz[2002]、Fernholz等人[2005]、Fernholzand Karatzas[2005]、Banner and Fernholz[2008]、Fernholz and Karatzas[2009]、Pickov\'a[2014]和Vervuurtand Karatzas[2015]。事实上，Pal和Wong[2014]证明，如果将π（·）限制为当前市场权重的函数，那么与市场相关的任何相对套利都必然是形式（7）。Strong[2014]证明了（8）对投资组合的概括，这些投资组合不仅是市值的确定函数，而且是其他可观察数量的确定函数。也就是说，设x（t）=（u（t），F）t，其中F是一个连续的、Rk值的、F-逐步可测量的有限变化过程，且设H∈ C2,1（Rn×Rk，R+）。根据Strong[2014]定理3.1的应用，对于任何投资组合πi（t）ui（t）=DiH（x（t））H（x（t））+1-nXj=1uj（t）DjH（x（t））H（x（t）），（11）对于i=1。

，n，以下主方程成立：logVπ（T）Vu（T）= 日志H（x（T））H（x（0））+ZTg（t）dt（12）-ZTkXl=1Dn+llog H（x（t））dFl（t）。这里（与（8）和（9）相比）~g（t）：=-nXi，j=1DijH（x（t））2H（x（t））ui（t）uj（t）τuij（t）。（13） 尽管在分解过程中非常明确，但到目前为止，修改后的主方程（12）尚未应用于文献中。如何假设这种“扩展生成函数”应以何种方式依赖于市场信息，以及使用何种额外的协变量，这是非常困难且不清楚的。因此，有兴趣开发一种方法，对使用什么函数进行建议，并从市场数据中提取哪些信号是重要的。2.4多样性加权投资组合研究最多的FGP之一是带有参数p的多样性加权投资组合（DWP）∈ R、 在Fernholz等人[2005]的（4.4）中定义为π（p）i（t）：=（ui（t））pPnj=1（uj（t））p，i=1，n、 （14）在Fernholz等人[2005]的等式（4.5）中，该投资组合表明，对于任何p∈ （0,1）和T>2logn/（εδp），在条件（NDε）和分集（Dδ）下，如下所述。后者表示，任何一家公司的资本化都不能占整个市场的一定比例以上，这可以在实际市场中观察到；δ ∈ （0,1）：Pmax1≤我≤新界∈[0，T]ui（T）<1- δ= 1.（Dδ）在Vervuurt和Karatzas[2015]中，这一结果被扩展到具有负参数p的DWP，并且在足够长的时间范围内，在适当的市场假设下，该投资组合的几个变化被证明优于市场。一项使用真实市场数据的模拟支持了这样的说法，即这些投资组合有潜力跑赢市场指数，以及它们的正参数对应物。

我们的结果有力地证实了这一结论，并计算了最佳参数p——参见第4.3节解决反问题我们考虑解决SPT的反问题：给定一些投资目标，如何从数据中学习合适的交易策略？在这样做的过程中，我们的目标是：1。从一大类候选投资策略中学习，从数据中发现可能复杂的策略，通常使用生成函数的非参数生成模型；2.利用市值以外的其他信息来源，发现更好的投资策略；3.无论从业者的投资目标如何（例如，实现高夏普比率、优于替代基准指数等）。3.1模型规范Let X 对某些人来说，这可能是一套交易特征≥ 1.我们考虑形式为πfi（t）=f（xi（t））Pnj=1f（xj（t）），i=1…的纯多头投资组合，n、 （15）对于某些连续函数f:X→ R+。这种投资组合选择背后的理念是基于这样一个事实，即在实践中，投资经理通常会有一套预先定义的特征，用于比较股票，例如公司规模、资产负债表变量、信用评级、行业、动量、市场比等。账面价值、资产回报率、管理团队、在线情绪、技术指标、“贝塔”等。投资经理通常会选择交易特征，以确保其信息量足以揭示市场缺陷。此外，两支具有“相似”特征的股票将获得“相似”权重。这种方法包括特殊情况下SPT框架中所有功能生成的投资组合，尤其是多样性、熵和同等权重以及市场投资组合。