非随机投资组合理论

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英文标题：
《Non-stochastic portfolio theory》
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作者：
Vladimir Vovk
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper studies a non-stochastic version of Fernholz\'s stochastic portfolio theory for a simple model of stock markets with continuous price paths. It establishes non-stochastic versions of the most basic results of stochastic portfolio theory and discusses connections with Stroock-Varadhan martingales.
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中文摘要：
本文针对具有连续价格路径的股票市场的一个简单模型，研究了Fernholz随机投资组合理论的非随机版本。它建立了随机投资组合理论最基本结果的非随机版本，并讨论了与Stroock Varadhan鞅的联系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Non-stochastic_portfolio_theory.pdf (357.1 KB)

2022-6-2 19:53:01 上传

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关键词：随机投资组合理论 投资组合理论 投资组合 Quantitative Optimization

非随机投资组合理论格拉迪米尔·沃夫克2021年6月28日摘要本文针对具有连续价格路径的股票市场的简单模型，研究了费恩霍尔茨随机投资组合理论的非随机版本。它建立了随机投资组合理论最基本结果的非随机版本，并讨论了与Stroock–Varadhan鞅的联系。版本位于http://probabilityand融资。com（工作文件51）更新最频繁。简介Fernholz的随机投资组合理论【2，3，4】，顾名思义，依赖于股票价格的随机模型。本文基于[16]的框架，提出了该理论的非随机版本（参见本节末尾，简要讨论其与[13]的关系）。随机投资组合理论的一个关键发现（例如，见[2，第4节]、[3，第2章和第3章]、[4，第7节]）是，在某些简化假设下，存在一个只做多的投资组合，其表现优于资本加权市场投资组合。本文的主要目的是给出这种现象的一种简单的非随机形式化。第2节定义了我们的股票市场模型，并介绍了投资组合价值及其超额增长部分的非随机概念。第3节是随机投资组合理论“主方程”的非随机版本，第4节是其应用。特别是，后者涵盖了熵加权投资组合（如[2，定理4.1]和[3，定理2.3.4]）和多样性加权投资组合（[3，示例3.4.4]，[4，第7节]，返回到至少[1]）。第5节详细解释和讨论了前几节的结果。

第6节讨论了与斯特鲁克-瓦拉丹鞅的联系，这使得主方程非常直观。最后，第7节列出了一些进一步研究的方向。另一篇以路径方式处理随机投资组合理论的论文是[13]，它考虑了更广泛的投资组合类别。然而，该文件依赖于一些并非出于经济考虑的假设：o它假设了一个合适的“重新划分顺序”；o它假设每对价格路径w.r.到这一划分序列之间存在连续的协变量（在F¨ollmer[7]的意义上）；o对非光滑投资组合生成函数的可能扩展（如[3，第4章]）需要假设当地时间的存在（也许是[17]的线条）。2市场和投资组合本论文使用了[16]和[3]的定义和符号（但后者将始终重复）。符号Rx dY用于时间t isRtX（s）dY（s）的whosevalue过程，用于It^o和Lebesgue–Stieltjes集成。括号[…]总是表示二次变化，从不用于括号中。缩写“q.a.”和“ucqa”代表“准静态”和“准静态一致紧集”；定义见【16】。我们考虑一个金融市场，其中J理想化证券（简称股票）进行交易；其价格路径Sj:[0，∞) → (0, ∞), j=1，J、 被假定为连续函数，它们从不支付红利。我们让C[0，∞) 表示[0]上所有连续实值函数的集合，∞).

正如【16，第4节】所述，我们为定义分区序列提供了一种非常丰富的语言；本文中使用的所有非随机It^o演算概念（如asIt^o积分和Dol^eans指数和对数）都与该语言相关。为了方便起见，我们将Sj（t）与时间t时第j只股票的总市值进行了比较∈ [0, ∞). 市场总资本化定义为过程（t）：=JXj=1Sj（t），t∈ [0, ∞),第j种股票的市场权重为uj（t）：=Sj（t）/S（t），j=1，J、 我们以市场总资本为基数，这允许我们考虑u，uJ，1作为交易证券（参见【16，第9节】），第一个J与我们的原始证券sj一样，但受到u+···+uJ=1的限制。（事实上，除了非正式的评论外，本文的其余部分永远不会明确使用原始证券SJ。）允许Jbe RJ标准单工的内部，J:=x=（x，…，xJ）∈ （0，1）J | x+···+xJ=1.基本投资组合是一个连续有界函数π：J→Jmapping公司Jto关闭RJ；直观地，它将当前市场权重u=（u，…，uJ）映射到分数π（u）=（π（u），πJ（u））的当前资本归属于J股。（在本文中，我们只需要这些非常原始的马尔可夫投资组合。）本文中使用的Dol'eans指数E和Dol'eans对数的非随机概念在【16】中定义。对我们来说，对Dol\'eans对数最有用的解释是，L（Y）是价格路径Y的累积回报∈C[0，∞), Dol\'eans指数从其累积回报中恢复价格路径。π的值过程是Dol'eans指数zπ：=EZπ（u）d L（u）:= EJXj=1Zπj（u）d L（uj）= EJXj=1Zπj（u）ujduj, （1） 其中u：[0，∞) → rj定义为u（t）：=（u（t）。

，uJ（t）），πJ（u）：[0，∞) →R由πj（u）（t）：=πj（u（t）），和π（u）：[0，∞) → rj定义为π（u）（t）：=（π（u）（t），πJ（u）（t））。值过程Zπ是定义的且连续的准始终。定义（1）涉及Dol’eans对数，但随机投资组合理论强调正则对数（参见[3，第1.1节]中的对数模型）。在对数刻度上，定义（1）可以重写为ln Zπ=ln EJXj=1Zπj（u）d L（uj）（2） =JXj=1Zπj（u）d L（uj）-JXj=1Zπj（u）d L（uj）（3） =JXj=1Zπj（u）d lnuj+JXj=1Zπj（u）d[lnuj]（4）-JXj=1Zπj（u）d lnujq、 a。。（5） 链（2）–（5）中的第二个等式来自标准等式e（X）=exp（X- [十] /2）q.a.（6）和（2）–（5）中的第三个等式遵循L（Y）=ln Yt+[lny]q.a.（7）（表明（3）中的第一项可以表示为（4）），以及对[L（Y）]=[lny]q.a.（8）的轻微概括（表明（3）中的第二项可以重写为（5））。（6）–（8）见【16，第7节】。零件Γ*π=JXj=1Zπj（u）d[lnuj]-JXj=1Zπj（u）d lnuj（9） =JXj=1Zπj（u）d[lnuj]-由最后两个加数组成的（2）–（5）的JXi，j=1Zπi（u）πj（u）d【lnui，lnuj】称为超额增长项（它对应于随机组合理论中的累积超额增长率）。我们可以用它来总结（2）–（5）asln Zπ=JXj=1Zπj（u）d lnuj+Γ*πq.a。

（10） 加法Pjj=1Rπj（u）d lnujis是π值中累积对数增长的简单表达式，且*π是获得真实累积对数增长所需的调整。一个特别重要的特例是市场投资组合，π=u。为了理解这种情况下过度增长项（9）背后的直觉，我们可以重写2Γ*uas2Γ*u（t）=JXj=1Ztuj（s）d[lnuj]（s）-JXj=1Zujd lnuj（t） （11）=JXj=1Ztuj（s）d[lnuj]（s）=JXj=1Ztd[uj]（s）uj（s）（12）≥JXj=1Ztd[uj]（s）=JXj=1[uj]（t），其中我们使用了以下事实，即（11）中的减数是单调函数的二次变差（记住pjuj=1），为零。我们可以看到2Γ*u（t）以市场权重的总二次变化为界。3主方程是定义在开放邻域dom上的一个C正函数Jin RJ。对于dom S上定义的任何C函数F（如ln S），我们让dj代表其第j次偏导数DjF（x）=Fxj（x），x=（x，…，xj）∈ dom S和Dijstand在xind xj，DijF（x）中的二阶偏导数=Fxixj（x）。由S生成的投资组合定义为πj（x）：=Djln S（x）+1-JXk=1xkDkln S（x）！xj。（13） 括号中表达式的主要部分是Djln S（x）；剩下的就是标准化常数c=c（x）making（djlns（x）+c）xja投资组合（这是一个不依赖于j的常数）。现在我们可以陈述随机投资组合理论“主方程”的非随机版本（参见，例如，[3，定理3.1.5]）。定理1。由满足度ln Zπ（t）=lnS（u（t））S（u（0））+Θ（t）q.a.生成的投资组合π的价值过程Zπ，（14），其中Θ（t）：=Zt-12S（u（s））JXi，j=1DijS（u（s））d[ui，uj]（s）。（15） 证明。

链（2）–（5）中的中间等式（3）表示（14）的左侧：ln Zπ（t）=XjZtπj（u（s））uj（s）duj（s）-Xi，jZtπi（u（s））πj（u（s））ui（s）uj（s）d[ui，uj]（s）=XjZtDjln s（u（s））+1-Xkuk（s）Dkln s（u（s））！duj（s）-Xi，JZtdilln S（u（S））+1-Xkuk（s）Dkln s（u（s））！×Djln S（u（S））+1-Xkuk（s）Dkln s（u（s））！d[ui，uj]（s）=XjZtDjS（u（s））s（u（s））duj（s）（16）-Xi，jZtDiS（u（s））s（u（s））DjS（u（s））s（u（s））d【ui，uj】（s）q.a.，（17），其中最后一个等式从pkuk=1开始。接下来，我们将It^o公式应用于（14）右侧的函数lns；It^o公式在我们的非随机设置中仍然适用：参见【16，第6节】。对于（14）右侧的第一个加数，它给出了表达式lns（u（t））S（u（0））=XjZtDjS（u（S））S（u（S））duj（S）+Xi，jZtDijS（u（S））S（u（S））d[ui，uj]（S）-Xi，jZtDiS（u（s））DjS（u（s））s（u（s））d【ui，uj】（s）等于，q.a.，至（16）–（17）减Θ，如（15）所定义。4特殊情况在开放的社区中定义了积极的C功能如果多样性是对称的和凹的，那么它就是多样性的度量。在本节中，我们将讨论多样性度量的三个示例。4.1 Fernholz的套利机会在【3，第3.3节】中，Fernholz描述了其市场随机模型的套利机会。在本文的非随机背景下，他的投资组合被认为是一个套利机会，但它仍然很有趣，并表明了击败市场的可能性（如下一节所讨论）。现在我们对多样性（x）的度量感兴趣：=1-JXj=1xj。（18） 相应投资组合π的组成部分（13）为πj（x）=2.- xjS（x）- 1.xj。（19） 现在，定理1给出了[3，示例3.3.3]的以下非随机版本。推论2。投资组合（19）的价值过程Zπ满足ln Zπ（t）=lnS（u（t））S（u（0））+JXj=1Ztd[uj]（S）2S（u（S））q.a.（20）证明。

封堵DijS（x）=- 1i=j（其中1e代表E的指示剂函数）到（15），我们确实得到了Θ（t）=Zt2S（u（s））Xjd[uj]（s）。推论2的一个稍微粗糙但更简单的版本是：推论3。投资组合的价值过程Zπ（19）满足Zπ（t）≥ - ln 2+JXj=1[uj]（t）q.a.（21）证明。需要注意的是∈ [1/2, 1].4.2熵加权投资组合多样性的原型测度【3，示例3.1.2和3.4.3】是熵函数（x）：=-JXj=1xjln xj。使用（13），相应熵权投资组合的成分可以计算为πj（x）=-xjln xjS（x）。（22）计算定理1中的漂移项Θ，我们得到以下推论（非随机版本的[3，定理2.3.4]）。推论4。熵权投资组合的价值过程Zπ满足度ln Zπ（t）=lnS（u（t））S（u（0））+Ztd*u（s）s（u（s））q.a.（23）证明。封堵DijS（x）=- 1i=j/xjinto（15），我们得到Θ（t）=Zt2S（u（s））Xjd[uj]（s）uj（s）。将此表达式与（12）进行比较。4.3带参数pFix p的多样性加权投资组合∈ (0, 1). 用参数p确定多样性的度量∈ （0，1）[3，示例3.4.4]asDp（x）：=JXj=1xpj1/p。p多样性加权投资组合的组成部分πj（t）：=uj（t）pPJi=1ui（t）p。（24）以下推论是[3，示例3.4.4]的非随机版本。推论5。带参数p的多样性加权投资组合π的价值过程Zπ∈ （0，1）满意度ln Zπ（t）=lnDp（u（t））Dp（u（0））+（1- p） Γ*π（t）q.a.（25）证明。现在（15）给出Θ（t）=Zt-12Dp（u（s））×Xi，j（1- p） （ui（s）uj（s））p-1Xkuk（s）p！1/p-2d[ui，uj]（s）+Xj（p- 1） （uj（s））p-2Xkuk（s）p！1/p-1d[uj]（s）=1.- 压电陶瓷Xjπj（u（s））d[uj]（s）uj（s）-Xi，jπj（u（s））d[ui，uj]（s）ui（s）uj（s）= (1 - p） Γ*π（t）。推论5立即暗示：推论6。带参数p的多样性加权投资组合π的价值过程Zπ∈ （0，1）满足Zπ（t）≥ (1 - p） Γ*π（t）-1.- ppln J q.a.（26）证据。

自Dp以来∈ [1，J（1-p） /p]，我们有LNDP（u（t））Dp（u（0））≥ -1.- ppln J（参考文献[4，（7.6）]）；将其插入（25）可得到（26）。5击败市场上一节的结果对我们理想化的金融市场有着显著的影响。最容易讨论的是推论3。可以非常非正式地解释为以下菲舍尔析取：市场中每种股票的变化都会衰减，因为总的二次变化【uj】(∞)各J市场权重超过[0，∞) 是有限的，或者我们可以击败市场→∞Zπ（t）=∞ （参见[6]，第42页）。请注意，析取的第二个备选方案也处理（21）中的“q.a.”。投资组合（19）特别平淡（或者用Fernholz的术语（3，第3.3节）来说是可以接受的）：它只是多头投资，相对于市场投资组合，它的损失从未超过其价值的50%（到（21）），并且它在任何股票上的投资从未超过市场投资组合的3倍。对推论3的更具体的可能解释是基于伯顿·G·马尔基尔（BurtonG.Malkiel）在畅销书[11]中大力提倡的有效市场假说；对他来说，“表明市场普遍相当有效的最有力证据是，专业投资者并没有击败市场。”即使有击败市场的方法，人们通常认为，它们应该涉及一些不同寻常的东西，而不仅仅是简单的组合，如（19）、（22）或（24）（至少自2002年以来广为人知）。根据这一解释，推论3意味着在高效市场中，我们预计市场变化最终会消失。如果我们相信股票市场的变化永远不会消失，我们不得不承认推论3“通过严格的积极投资管理打开了获得优异长期投资回报的大门”【10，第1.3节】。

这就是随机投资组合理论的典型实际应用所基于的解释（参见，例如，[1]，然而，它是基于推论5和6的随机版本，而不是推论3）。推论3是推论2的一个更粗糙的版本，它将（20）右侧的第一个加数替换为其下界，将第二个加数中的分母替换为其上界。推论2更精确，因为它将投资组合价值的增长分解为两个组成部分：一个与市场权重多样性s（u）的增长有关，另一个与市场权重变化的累积有关。随机投资组合理论中的标准假设是，市场不会集中或几乎集中在一只股票上，并且股票波动率最低；这些假设的精确版本分别称为多样性和非简并性。我们将看到，前一节的结果可以解释为，除非市场失去多样性或退化，否则我们可以打败市场。推论3说，事实上，仅非简并条件是有效的；这源于d[lnuj]=d[uj]/uj（但请记住，我们的论述是市场权重uj大于价格Sj，后者通常用于随机投资组合理论。）推论4依赖于多样性和非简并性这两个假设。如果市场保持其多样性，我们预计（23）右侧的第一个加数将保持在下方，此外，如果市场没有退化，我们预计第二个加数将稳步增长。因此，熵权投资组合的表现优于市场。为了讨论推论5和6，可以方便地扩展对Γ的讨论*u见第2节至更一般的Γ*π.