随机投资组合理论

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英文标题：
《Topics in Stochastic Portfolio Theory》
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作者：
Alexander Vervuurt
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This is an overview of the area of Stochastic Portfolio Theory, and can be seen as an updated and extended version of the survey paper by Fernholz and Karatzas (Handbook of Numerical Analysis Vol.15:89-167, 2009).
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中文摘要：
这是随机投资组合理论领域的概述，可以看作是Fernholz和Karatzas（数值分析手册第15卷：89-167，2009）调查论文的更新和扩展版本。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Topics_in_Stochastic_Portfolio_Theory.pdf (2.99 MB)

2022-5-8 02:27:46 上传

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关键词：随机投资组合理论 投资组合理论 投资组合 Quantitative Mathematical

牛津大学皇后学院提交的论文从PRS转为DPhil状态2014年10月31日内容1介绍22设置42.1定义。42.2一些有用性质的推导。92.3功能生成的投资组合。113无套利条件133.1套利的概念和定义。143.2相对套利的存在。154多种模型174.1长期相对套利。174.2短期内的相对套利。205个高度波动的模型215.1长期内的相对套利。215.2短期内的相对套利。225.3波动稳定模型。235.4广义波动率稳定模型。266基于排名的模型和投资组合266.1 Atlas模型。276.2基于排名的功能性投资组合。286.2.1尺寸效应。296.2.2泄漏。307投资组合优化317.1个投资组合和预期效用最大化。317.2最优相对套利。328 SPT框架中的对冲348.1对冲欧洲索赔。

. . . . . . . . . . . . . . . . 348.2对冲美国索赔。359非等价测度变化369.1严格局部鞅Radon-Nikodym导数。379.2通过套利构建市场。3810到目前为止自己的研究4010.1数据研究。4010.2负p的多样性加权投资组合。4110.2.1数据观察。4110.2.2理论动机。4210.2.3表现优于“正常”DWP。4310.2.4“正常”DWP性能不佳。4410.2.5非失效假设的弱化。4510.2.6试图消除非故障假设。4610.2.7基于排名的多样性加权投资组合。4810.2.8讨论。5011未来研究5211.1最优相对套利和信息合并。5311.2信息论方法。5311.3实际市场中的实施和绩效。5411.4大型市场。5611.5其他。

56承认57参考文献571简介随机投资组合理论（SPT）是一个框架，在该框架中，不进行“经典”金融数学的规范性假设，而是采用描述性方法来研究根据经验观察得出的市场特性。更具体地说，我们不假设等价局部鞅测度（ELMM）的存在，也不假设等价地（由Delbaenad Schachermayer[DS94]证明的资产定价第一定理）存在无免费午餐和消失风险（NFLVR）假设。相反，在SPT中，我们将自己置于一般It^o模型中，并仅假设有界风险（NUPBR）条件下的弱无无界利润，这在[FK05]中首次定义。然后，我们的目标是找到一种投资策略，这种投资策略的表现优于市场，尤其是那些避免对股票预期回报率做出假设的投资策略，而股票预期回报率是出了名的难以估计（例如，见[Rog01]）。由Robert Fernholz发起的SPTwas（见[Fer99b]、[Fer99a]、[Fer01]和书[Fer02]），2009年，Fernholz和Karatzas在[FK09]中对该地区进行了一次重大审查。在这篇综述中，作者描述了迄今为止在发现所谓的相对套利问题上取得的进展，并列出了几个悬而未决的问题，其中一些问题自那时以来已得到解决，一些问题至今仍未解决。SPT框架下的目标是找到与整个市场相比具有良好路径和相对绩效的投资策略，即几乎肯定超过市场指数（通常在给定时间内）的策略；这些投资组合“击败市场”。Fernholz将此类投资组合定义为相对套利，并建设性地证明了在某些类型的市场中存在此类投资机会。

这些模型类别是一般It^o模型，对波动性结构和允许投资者投资的股票的市场权重行为进行了额外假设，即公司资本与总市值的比率。SPT引入并研究了与市场行为不同假设（由经验观察得出）相对应的几个此类类别；这些是：1。不同的模型——在这里，市场权重是由一个比一小的数字从上面限定的，这意味着没有一家公司可以将整个市场资本化；卡达拉斯的动机见[Kar08]第0.1节。2.“内在波动性”模型——在这里，与整个市场的波动性相关的特定过程（取决于市场权重和股票的波动性）需要远离零；3.基于排名的模型——在这里，每只股票的漂移和波动过程取决于该股票的市值排名。在真实市场中可以清楚地观察到多样性，反垄断法规通常已经到位，这就保证了多样性的有效性。Fernholz、Karatzas和Kardaras[FKK05]首先在特殊目的交易的背景下详细研究了这一假设，他们定义并研究了不同形式的多样性，并证明了在股票波动性的额外非退化条件下，此类市场中存在相对套利——既有足够长的时间范围，也有任意短的时间范围。在[Fer02]中，“有效内在波动性”的属性也被认为适用于真实市场。

在没有任何额外假设的情况下，[FK05]表明，在具有该属性的模型中，在足够长的时间范围内存在相对套利，超过市场所需的时间范围大小取决于平均市场波动下限的大小。在此类模型中是否存在任意短时间范围内的相对套利仍然是一个主要的开放问题，尽管已经证明存在于一些剧烈波动的市场的特殊情况中，即波动稳定市场（VSM；见[BF08]），已对其进行了详细研究，即广义VSM（见[Pic14]），和马尔可夫本质波动模型（见命题2和[FK10，第1194-1195页]的推论）。如[Fer02]所示，引入了基于等级的模型来模拟观察结果，即在过去几十年中，按资本等级划分的资本分布非常稳定。这些模型中的股票动力学已经得到了广泛的研究，但（渐近）相对套利的存在性问题尚未得到解决。[BFK05]中介绍并研究了一个非常简单的基于等级的模型，即Atlas模型，并在[IPB+11]中提出了一个扩展。研究了该模型的大市场限制和平均值。在[Fer01]中，Fernholz首先介绍了一个研究投资组合绩效的框架，该框架根据股票的兰金斯（rankinstead）和名字对股票进行加权，从而从理论上解释了在实际市场中观察到的某些现象。SPT的主要优势在于它不需要任何漂移估计，这使得它比投资组合优化的“经典”方法（如均值方差优化或效用最大化）更加稳健。

在构建相对论的过程中，至关重要的是所谓的功能生成投资组合，这是一种以简单的方式依赖于当前市场权重的投资组合，因此非常容易实施（忽略交易成本，这是一个至关重要的警告）。尽管上述投资组合选择标准不是一个优化标准，但[FK10]和[FK11]试图找到“最佳”相对套利（其中该结果被推广到具有“骑士式”不确定性的市场）。虽然在一般的SPT模型中不可能，但在波动稳定的市场中，对数最优或对数平均投资组合可以明确描述。Pal和Wong[PW13]已经迈出了优化功能生成投资组合的第一步。例如，参见[Pal11]，其中研究了VSM中的市场权重动态。除此之外，在过去的十五年里，还研究了许多其他与SPT相关的主题。在NUPBR持有但NFLVR被允许失败的市场中，在索赔对冲方面已经取得了一些进展，[Ruf11]和[Ruf13]表明，在马尔可夫市场中对冲欧洲索赔的最有效方式是三角洲对冲，在[BKX12]中，作者解决了美式看涨期权的估值和最佳行使问题，解决了[FK09]中提出的一个开放问题。

此外，有几篇文章提出并研究了度量的某些非等价变化，目的是构建一个具有特定属性的市场：Osterrieder和Rheinl–ander[OR06]以这种方式创建了一个多样性模型，并证明了在非退化条件下该模型中存在真正的套利；在[CT13]中，Chau和Tankov进行了类似的操作，但相反，改变了措施，将投资者对某个事件不会发生的信念整合在一起，从而导致套利机会，作者将其描述为在终端财富上拥有最大下限的套利机会；在[RR13]中，Ruf和Runggaldier描述了一种系统化的方法来构建满足NUPBR但NFLVR失败的市场模型。我们按照上面提到的顺序讨论这些话题。在第2节中，我们从几个必要的定义开始我们的批判性文献回顾，然后是讨论不同套利类型之间关系的章节——见第3节。第4节讨论了关于多样性的文献，第5节讨论了本质上不稳定的模型，第6节回顾了基于等级的模型和耦合效应研究领域的现状。其余部分讨论其他主题：第7节讨论SPT中投资组合优化的发展，第8节讨论NUPBR市场中欧洲和美国期权的套期保值，第9节讨论在前面提到的文章中研究过的绝对持续的度量变化。下面是一节，描述了我们迄今为止的研究成果，见第10节，我们在第11.2节设置中列出了可能的研究方向。1定义我们按照[FK09]进行，将自己置于一个无摩擦的一般连续时间It^o模型中（即。

不存在交易成本、交易限制或任何其他缺陷）；假设股票i=1的价格过程Xi（·），n在物理量P下由dxi（t）=Xi（t）bi（t）dt+dXν=1σiν（t）dWν（t）, i=1，n（1）Xi（0）=Xi>0。这里，W（·）=（W（·），Wd（·））是一个d维P-布朗运动，我们假设≥ n、 此外，我们假设我们的过滤F包含由W（·）生成的过滤FW，以及漂移率过程bi（·）和矩阵值波动率过程σ（·）=（σiν（·））i=1，。。。，n、 ν=1，。。。，d是F-逐步可测的，并满足可积条件nxi=1ZT | bi（t）|+dXν=1（σiν（t））！dt<∞ T∈ (0, ∞).这些无摩擦假设限制了该理论的可实施性，是未来研究的重要领域——见第11.3节。我们定义协方差过程a（t）=σ（t）σ（t），撇号表示转置。请注意，（·）是一个正的半有限矩阵值过程。最后，我们假设存在无风险资产X（t）≡ 1.T≥ 0; 也就是说，在不丧失一般性的情况下，我们假设零利率，通过债券价格贴现股票价格。现在，让我们考虑原木价格过程；根据It^o公式，我们得到了log Xi（t）=bi（t）-所有（t）dt+dXν=1σiνdWν（t）=γi（t）dt+dXν=1σiνdWν（t），（2）其中我们定义了增长率γi（t）：=bi（t）-好的。这个名字正是因为Limt→∞T日志Xi（T）-ZTγi（t）dt= 每年0人。；例如，参见[Fer99a]的推论2.2。我们通过定义我们的框架中允许的投资规则来进行。2.1.1定义。将投资组合定义为一个F-逐步可测向量过程π（·），一致有界于（t，ω），其中πi（t）表示在时间t投资于集合i的财富比例，且满足Pni=1πi（t）=1T≥ 0.如果πi（t），我们说π（·）是一个长的单端口组合≥ 0i=1，N

为了将来的参考，我们还定义了集合n+：={x∈ Rn:xi>0i=1，n} 。（3） 我们用Vw，π（·）表示投资者根据组合π（·）进行投资的财富过程，初始财富w>0。请注意，投资组合是通过定义进行自我融资的。我们还定义了更一般的投资规则类别，我们称之为交易策略。2.1.2定义。交易策略是一个F-逐步可测量的过程h（·），它取R中的值，并满足可积性条件nxi=1ZT|hi（t）bi（t）|+hi（t）aii（t）dt<∞ P-a.s.对于任何t，hi（t）是投资于股票i的金额。同样，我们让Vw，h（·）表示投资者遵循交易策略h（·）并从初始财富w开始的财富过程≥ 我们写Vh（·）：=V1，h（·）。我们要求h（·）对于somex是x-容许的≥ 0，写为h（·）∈ Ax，意思是V0，h（t）≥ -十、T∈ [0，T]a.s.我们将写出a:=a.注意，每个投资组合通过设置hi（T）=πi（T）Vw，π（T）生成一个交易策略T∈[0，T]。我们假设容许条件排除加倍策略。相反，我们可以定义交易策略h（·）∈ ax通过将其指定为每次在股票中投资的比例，πi（t）=hi（t）/Vw，h（t），前提是w>x，与投资组合类似，但通常情况下，nowPni=1πi（t）6=1；也就是说，存在现金π（t）的非零持有。与投资组合π（·）和初始财富w相关的财富过程∈ R+可以被视为随着dvw，π（t）Vw，π（t）=nXi=1πi（t）dXi（t）Xi（t）=bπ（t）dt+dXν=1σπν（t）dWν（t），（4）随着投资组合的收益率bπ（t）：=Pni=1πi（t）bi（t）及其波动系数σπν（t）：=Pni=1πi（t）σiν（t）（非常轻微滥用）。